高中數(shù)學《函數(shù)的單調(diào)性》導學案

?N.第IB章集合與函數(shù)概念

DIYIZHANG1.3函數(shù)的基本性質(zhì)

1.3.1單調(diào)性與最大（?。┲?/p>

第1課時函數(shù)的單調(diào)性

卜課前自主預習

1.增減函數(shù)定義

、

\條件結(jié)論定義

增設函數(shù)/（］）的定

當為〈必時?都有/（工）在區(qū)間D

函義域為/:如果對

②/（巧）＜/（巧）上是⑶增函數(shù)

數(shù)于定義域/內(nèi)某

減個區(qū)間D上的

當彳1V/2時,都有/1）在區(qū)間D

pjq□1任意兩個自變

印/（百）＞/（電）上是國減函數(shù)

數(shù)

2.函數(shù)單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=?r）在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)八%）

在這一區(qū)間上具有（嚴格的）固單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y=/U）的叵］

單調(diào)區(qū)間.

3.基本初等函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)類型單調(diào)性

一次函數(shù)y=笈＞0在R上單調(diào)⑻遞增

AVO在R上單調(diào)回遞減

在同（一8,0）和回（0,+8）上

k>0

反比例函數(shù)）是減函數(shù)

X在園（一8,0）和眼（0,+8）上

k<0

是增函數(shù)

在回（一8,一白）上是減函數(shù)

a>0

在困—/，+8）上是增函數(shù)

二次函數(shù)y=

ax-\~hjc~\~c

(aWO)在園（一8,一白）上是增函數(shù)

a<0

一點,+8）上是減函數(shù)

在匝1

\.

R自診小測

1.判一判（正確的打“J”，錯誤的打“義”）

（1）所有函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性.（）

（2）增、減函數(shù)定義中的“任意為，檢￡?！笨梢愿臑椤按嬖趚i,

.（）

（3）若函數(shù)1Ax）在實數(shù)集R上是增函數(shù)，則有｛1）勺（4）.（）

答案（1）X（2）X（3）J

2.做一做

（1）（教材改編P32、）小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通

堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛.與以上事物吻合

得最好的圖象是()

(2)已知函數(shù)yu)=%的圖象如圖1所示，①從左至右圖象是上升

的還是下降的：.

②在區(qū)間_______上，隨著％的增大，段)的值________,在此區(qū)

間上函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)：.

(3)已知函數(shù)＜%)=-2%+1的圖象如圖2所示，①從左至右圖象

是上升的還是下降的：.

②在區(qū)間_______上，隨著％的增大，危)的值________,在此區(qū)

間上函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)：.

答案(1)C(2)①上升的②(-8,+oo)增大增函數(shù)⑶

①下降的②(一8,+OO)減小減函數(shù)

卜課堂互動探究

『釋疑解難』

⑴并非所有的函數(shù)都具有單調(diào)性.如函數(shù)fix)=

1,%為有理數(shù),

［。，》為無理數(shù)，它的定義域為R,但不具有單調(diào)性?

(2)函數(shù)在某個區(qū)間上是單調(diào)增(減)函數(shù)，但是在整個定義域上不

一定是單調(diào)增(減)函數(shù).如函數(shù)在區(qū)間(-8,0)和(0,+

X

8)上都是減函數(shù)，但是在整個定義域上不具有單調(diào)性.

(3)一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或者兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“U

連接，而應該用“和”或“，”連接，如函數(shù)y=1(%W0)在區(qū)間(一8,

X

0)和(0,+8)上都是減函數(shù)，不能認為y=J(%W0)的單調(diào)減區(qū)間為(一

8,0)U(0,+8).

(4)函數(shù)的單調(diào)性是相對于函數(shù)的定義域的子區(qū)間D而言的.對

于單獨的一點，它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒有增減變化，所以

不存在單調(diào)性問題.因此在寫單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間端點可以包括，也可

以不包括.但對于函數(shù)式無意義的點，單調(diào)區(qū)間一定不包括這些點.

探究1證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性

4

例1證明函數(shù)式%)=%+：在(2,+8)上是增函數(shù).

證明任?。?,%2$(2,+°°),且％1<X2,

?,44,4(x2-%i)

則-fiX2)=XI-X2--=(Xi-X2)+——■一=

(%1—%2)(%1%214)

XlX2

'.'2<X]<X2,「兇一％2<0,%1%2>4,Xl%2—4>0.

A%2)<0,即八%1)勺(%2).

_4

函數(shù)/(%)=%+;在(2,+8)上是增函數(shù).

拓展提升

定義法證明單調(diào)性的步驟

判斷函數(shù)的單調(diào)性常用定義法和圖象法，而證明函數(shù)的單調(diào)性則

應嚴格按照單調(diào)性的定義操作.

利用定義法判斷(或運用)函數(shù)的單調(diào)性的步驟為：

2

【跟蹤訓練1】利用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)y=R7在(—L+

8)上的單調(diào)性.

解設％1,Q是區(qū)間(-1,+8)上任意兩個實數(shù)且為<X2,貝！l/Ui)

_汨+2刈+2_____冗2—

xi+1X2+I(X1+1)(X2+1),

*.*—1<X\<X29：.X2—Xl>0,X1+1>0,X2~\"l>0.

X2-X\

>0,

''(xi+DS+i)

即危1)一/2)>0,於1)4%2).

x+2

.,.y=Wj■在(-1,+8)上是減函數(shù).

探究2求單調(diào)區(qū)間并判斷單調(diào)性

例2(1)求函數(shù)y=|/+2x—3］的增區(qū)間與減區(qū)間；

(2)作出函數(shù)=-\jx2—6x+9+4%2+6%+9的圖象，并指出其單

調(diào)區(qū)間.

解(1)令人%)=r+2%—3=(%+1)2—4.作出八工)的圖象，保留其

在x軸上及其上方部分，將位于入軸下方的部分翻折到刀軸上方，得

到丁=層+2%—3|的圖象，如圖所示.

由圖象，得原函數(shù)的增區(qū)間是［-3,—1］和［1,+8),減區(qū)間是

(—8,-3］和［—1,1］.

(2)函數(shù)“X)可化為：

段)=|%—3|+|%+3|=

{—2x,—3,

<6,—3<%W3,

、2x,%>3.

作出函數(shù)/(%)的圖象如圖所示.

由圖象知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為(-8,-3］,［3,+8).

其中，單調(diào)減區(qū)間為(一8,-3］,單調(diào)增區(qū)間為［3,+-).

拓展提升

常用畫圖象求單調(diào)區(qū)間

(1)對于初等函數(shù)b=區(qū)+h,y=a^A-bx+c,y=8單調(diào)區(qū)間的確

定，常借助于函數(shù)圖象直接寫出.

(2)對于含有絕對值的函數(shù)，往往轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)去處理其圖象,

借助于圖象的變化趨勢分析相應函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間).

(3)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集，在求解的過程中不要

忽略了函數(shù)的定義域.

【跟蹤訓練2](1)根據(jù)下圖說出函數(shù)在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)

是增函數(shù)還是減函數(shù)；

(2)寫出曠=4一2%—3|的單調(diào)區(qū)間.

解(1)函數(shù)在[-1,0],[2,4]上是減函數(shù),在[0,2],[4,5]上是增函

數(shù).

(2)先畫出凡

%2—2%—3,%<—1或%>3,

的圖象，如圖.

.一(%2—2%—3),

所以y=|%2—2%—3|的單調(diào)減區(qū)間是(一8,-1],[1,3]；單調(diào)增

區(qū)間是[—1,1],[3,+8).

探究3函數(shù)單調(diào)性的應用

例3(1)已知＞=/(%)在定義域(一1,1)上是減函數(shù)，且11一4)勺(2〃

-1),求。的取值范圍；

(2)已知函數(shù)犬])=_?—2(1—。)%+2在(-8,4]上是減函數(shù)，求實

數(shù)。的取值范圍.

—1<1—a<\,

解(1)由題意可知，

-K26Z-K1.

解得0＜。＜1.①

又八%)在(-1,1)上是減函數(shù)，且八1-a)勺(2a—1),

2

/.1—a＞2a—1,即.②

2

由①②可知，0＜。＜,

即所求4的取值范圍是(0,I)

(2)：於)=心一2(1—。)%+2

=[JC—(1—tz)]2+2—(1—a)2,

二.?￥)的減區(qū)間是(一8,1—0.

又...已知八X)在(一8,4]上是減函數(shù)，

1—。24,即。W—3.

.?.所求實數(shù)a的取值范圍是(-8,-3].

拓展提升

利用單調(diào)性比較大小或解不等式的方法

(1)利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.在解決

比較函數(shù)值的問題時，要注意將對應的自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間

上.

(2)相關結(jié)論

①正向結(jié)論：若y=?x)在給定區(qū)間上是增函數(shù)，則當為＜￥2時，

fi.X\)＜f(X2)；當為＞X2時，犬%1)次%2)；

②逆向結(jié)論：若y=K%)在給定區(qū)間上是增函數(shù)，貝U當火%。勺(女)

時，X\＜X2；當火%])次%2)時，X\＞X2.

當y=/a)在給定區(qū)間上是減函數(shù)時，也有相應的結(jié)論.

【跟蹤訓練3］（1）已知函數(shù)?x）=r+b%+c對任意的實數(shù)t都

有12+。=/（2—）試比較川），/2）,14）的大??；

（2）已知?x）是定義在區(qū)間［—1,1］上的增函數(shù)，且2）勺（1一%）,

求工的取值范圍.

解（1）由題意知火工）的圖象的對稱軸方程為％=2,

故加）=/（3）.

由題意知人%）在［2,+8）上是增函數(shù)，

所以M2）勺（3）勺（4）,即-2）勺（1）勺（4）.

1W%—2W1,

（2）由題意，得解得.①

—1Wl—

因為/U）是定義在區(qū)間［—1,1］上的增函數(shù)，且7U—2）勺（1一%）,所

3

以x—2＜1-%,解得②

由①②得14〈宗

所以滿足題設條件的%的取值范圍為［1,1］

f--------------------------1層臃聊--------------------

1.若/U）的定義域為Q,AC。，3C。，/（%）在4和3上都單調(diào)遞

減，未必有/（%）在AU3上單調(diào)遞減.

2.對增函數(shù)的判斷，當％142時一，都有兀ri）勺（%2）,也可以用一個

不等式來替代：

（制一%2）［/（為）一K%2）］＞O，功＞0.

X\X2

對減函數(shù)的判斷，當了142時，都有加1）次X2）,相應地也可用一

個不等式來替代：（筋一%2）儀%1）—?￥2）］＜0或空=四＜0.

X1

3.熟悉常見的一些單調(diào)性結(jié)論，包括一次函數(shù)，二次函數(shù)，反

比例函數(shù)等.

4.若八工),g(%)都是增函數(shù)，//(%)是減函數(shù)，則：①在定義域的交

集(非空)上，/U)+g(%)單調(diào)遞增，式幻一//(%)單調(diào)遞增，②一/U)單調(diào)

遞減,端

單調(diào)遞減O)wo).

5.對于函數(shù)值恒正(或恒負)的函數(shù)人］),證明單調(diào)性時，也可以作

啕與1比較?

卜隨堂達標自測

1.下圖中是定義在區(qū)間［—5,5］上的函數(shù)y=/(x)的圖象，則下列

關于函數(shù)?x)的說法錯誤的是()

A.函數(shù)在區(qū)間［—5,—3］上單調(diào)遞增

B.函數(shù)在區(qū)間［1,4］上單調(diào)遞增

C.函數(shù)在區(qū)間［-3,1］口［4,5］上單調(diào)遞減

D.函數(shù)在區(qū)間［—5,5］上沒有單調(diào)性

答案C

解析若一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用

“U”連接.故選C.

2.函數(shù)y=(22+1)%+/?在(-8,十8)上是減函數(shù)，貝|J()

1

<

2-

Ac.B.

1*1

2-2-

答案D

解析當2%+1=0時，不符合題意，，2攵+1W0,由一次函數(shù)

的單調(diào)性可知2hHV0,即2V—

3.函數(shù)y=?r)在R上為增函數(shù)，且人2機)/一根+9),則實數(shù)相

的取值范圍是()

A.(一8,-3)B.(0,+8)

C.(3,+°°)D.(-8,-3)U(3,+°0)

答案C

解析因為函數(shù)y=/(x)在R上為增函數(shù)，且機)次一機+9),

所以2m>一m+9,即〃2>3.

4.已知函數(shù)人%)=%—在(1，+8)上是增函數(shù)，則實數(shù)。的

取值范圍是.

答案［-1,+°°)

解析設141<%2,則

因為函數(shù)凡X)在(1,+8)上是增函數(shù)，

所以於D一%2)=?_?&_看+3=但_%2)(1+制<0.

因為％1—X2<0,所以1+T^T>0,5Pa>-x\X2.

X\X2

因為X1%2>1,即一1,所以ae一1,

故實數(shù)a的取值范圍是［-1,+°°).

5.已知函數(shù)兀r)=\1，判斷八工)在(。，+8)上的單調(diào)性并用定

人I1

義證明.

解?r)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

證明如下：任?。?>%2>0,

%1一1%2-12(%1-X2),

段:一/(改尸再一一=3+1)缶+1),由制>%2>0知為+1>0,

X2+1>0,X\—%2>0,

故於I)一於2)>0,即危)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

卜課后課時精練

A級：基礎鞏固練

一'選擇題

1.對于函數(shù)y=/（x）,在給定區(qū)間上有兩個數(shù)%2,且％1<￥2,

使火方）勺⑴）成立，則尸危）（）

A.一定是增函數(shù)B.一定是減函數(shù)

C.可能是常數(shù)函數(shù)D.單調(diào)性不能確定

答案D

解析由單調(diào)性定義可知，不能用特殊值代替一般值.

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,1）上是增函數(shù)的是（）

A.y=|x|B.y=3~x

2

C.y=~XD.y=-x+4

答案A

解析B在R上為減函數(shù)；C在（-8,0）上和（0,+8）上為減

函數(shù)；D在（一8,0）上為增函數(shù)，在（0,+8）上為減函數(shù).

3.若y=/（%）是R上的減函數(shù)，對于為<0,%2>0，則（）

A.犬-%04一%2）B.八—%1）勺（一及）

C.八一即）=八一%2）D.無法確定

答案B

解析因為汨<0,X2>0,所以一方>一檢，又是R上的減

函數(shù)，所以犬一工1）勺（一%2）.

4.函數(shù)）=爐+%+1（%￡見的遞減區(qū)間是（）

A.-+8）B.[—1,+00）

C.1-8,—|D.（-8,+°°）

答案C

解析）=%2+%+1=1%+；）+1，其對稱軸為％=一；，在對稱軸

左側(cè)單調(diào)遞減，，當xW一/時單調(diào)遞減.

5.已知“X）在（一8,+8）內(nèi)是減函數(shù)，a,/?eR,且Q+〃WO,

則有（）

A.人”）+人份三人一。）+犬一切

B.fid）+X^）b）

C.人。）+1力W-A。）一/（力

D.犬a(chǎn)）+犬份2—大。）一A。）

答案A

解析因為7（%）在（一8,十8）內(nèi)是減函數(shù),a,?￡R,且a+hWO,

所以aW—b,b^-a,所以八。）刃（一力，犬切2八一。），所以其。）十

八。）2人一。）+/（一0）.

二、填空題

6.若函數(shù)八%）=X2+23—1）%+2在區(qū)間（-8,4］上單調(diào)遞減，

則實數(shù)a的取值范圍是.

答案aW—3

解析因為函數(shù)?r）在區(qū)間（-8,4］上單調(diào)遞減，且函數(shù)人%）的

圖象的對稱軸為直線％=1—。，所以1—。24,即aW—3.

7.設函數(shù)式X）滿足：對任意的Xl,X26R都有（%11%2＞［/Ul）一

犬%2）］＞0,則|一3）與人一兀）的大小關系是.

答案人一3）次一兀）

解析由（%1—%2）［/（制）一/（%2）］＞0,可知函數(shù);（%）為增函數(shù).又一3＞

一