高中數(shù)學(xué)-函數(shù)的平均變化率教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

課堂設(shè)計(jì)一一2函數(shù)的平均變化率

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

（-）知識(shí)方面：

1.了解平面上過兩點(diǎn)的直線的斜率公式及其幾何意義；

2.掌握函數(shù)平均變化率的概念與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，體會(huì)其幾

何意義；

3.A用函數(shù)的平均變化率證明函數(shù)的單調(diào)性,并刻畫函數(shù)值的變化

規(guī)律.

（-）素養(yǎng)與能力方面

數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：1.函數(shù)平均變化率的概念和幾何意義；

2.利用函數(shù)的平均變化率研究函數(shù)的單調(diào)性以及求最值.

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)平均變化率的幾何意義及其與函數(shù)單調(diào)性之間關(guān)系.

三、教學(xué)方法

合作探究與啟發(fā)誘導(dǎo)式教學(xué)

四、教學(xué)工具

多媒體課堂、PPT課件和幾何畫板

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

教學(xué)

教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

環(huán)節(jié)

提問1：你期望三年數(shù)學(xué)成績(jī)y與時(shí)通過學(xué)習(xí)中的

間，的關(guān)系是哪一種趨勢(shì)？具體問題進(jìn)行導(dǎo)入

然后過渡到函數(shù)的

課件展示兩個(gè)問題：（1）高中三年提問2：你期望三年數(shù)學(xué)課程難度y

平均變化率上，引

情景數(shù)學(xué)成績(jī)y與時(shí)間f的關(guān)系；（2）高與時(shí)間f的關(guān)系是哪一種趨勢(shì)？

入課題.

導(dǎo)入中三年數(shù)學(xué)課程難度y與時(shí)間f的

提問3：為什么？

關(guān)系，讓學(xué)生選擇圖象.

學(xué)生回答，老師引導(dǎo)，進(jìn)入課題

1

師：板書斜率公式，問為什么玉工電？

1,直線的斜率公式；幻燈片展示為=工2時(shí)，直線在坐標(biāo)系中

2.斜率的幾何意義.培養(yǎng)學(xué)生觀察、總

探究情況；展示同意坐標(biāo)系中四條不同直線，結(jié)問題的能力.

讓學(xué)生探索斜率符號(hào)與大小關(guān)系.

生：小組討論，形成結(jié)論，展示結(jié)果.

師：補(bǔ)充強(qiáng)調(diào)

1.函數(shù)平均變化率的概念；

提問：斜率是描述了經(jīng)過這兩點(diǎn)的培養(yǎng)學(xué)生觀

2.平均變化率的幾何意義；

直線的一個(gè)性質(zhì)，對(duì)于經(jīng)過這兩點(diǎn)的任察、總結(jié)問題的能

3.函數(shù)平均變化率與函數(shù)單調(diào)性

意一個(gè)函數(shù)/'(X)而言，”的意義是什力.讓學(xué)生學(xué)會(huì)合

間的關(guān)系.

探究Ax作探究.鼓勵(lì)學(xué)生

么？大膽發(fā)言，并及時(shí)

給予表?yè)P(yáng)，肯定學(xué)

先獨(dú)立思考后小組討論.

生的回答，提升學(xué)

學(xué)生回答.生的自信心.

教師總結(jié)，給出函數(shù)平均變化率的通過定義解

概念：讀，加深學(xué)生對(duì)概

念的理解.

1.函數(shù)的定義域上的某個(gè)區(qū)間，仍

然作為前置條件；

2.x1,x取值的任意性，從而

概念2

形成

(%,/(%))，&，/&))是動(dòng)點(diǎn)；

3.XW電，從而點(diǎn)

(X]J(X1)),(x2,/(x2))不重合.

2

歸納單調(diào)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)間直

師：分別給出單調(diào)遞增函數(shù)的圖象，培養(yǎng)學(xué)生觀察、

線斜率特征；從函數(shù)平均變化率的

函數(shù)讓學(xué)生觀察、思考圖象上任意兩點(diǎn)間直歸納和邏輯推理能

角度如何表達(dá)？

的平線斜率特征？力。

均變

生：思考，回答。

化率

與單師：幾何畫板展示動(dòng)圖，明確規(guī)律，

調(diào)性進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)直線斜率的幾何意義。

之間

生：觀察動(dòng)圖，形成知識(shí)。

的關(guān)

系師：概括函數(shù)平均變化率與單調(diào)性

之間的邏輯關(guān)系.

題型一、用平均變化率判斷函數(shù)的

師生共同分析解題思路充分體現(xiàn)學(xué)生

單調(diào)性

主體，教師主導(dǎo)的

師：板演解題過程。

例1判斷函數(shù)丁=米+。(％工0)的課堂模式，培養(yǎng)學(xué)

強(qiáng)調(diào)：生規(guī)范答題習(xí)慣，

單調(diào)性.

提高運(yùn)算求解能

①一次函數(shù)解析式中一次項(xiàng)系數(shù)

力.

上的幾何意義；

②一次函數(shù)的單調(diào)性.

1.強(qiáng)調(diào)步驟

生：總結(jié)解題步驟，

2.提升學(xué)生探

師：補(bǔ)充完善。

典例究概括問題的能

探究力.

學(xué)以致用：

求證：函數(shù)在學(xué)生板演，老師點(diǎn)評(píng).

X

(fO,0)和(O,4W)上都是減函數(shù).

師：分析解題思路；進(jìn)一步強(qiáng)化模

題型二、用平均變化率證明函數(shù)的

式化代數(shù)證明，提

單調(diào)性生：完成證明過程；

高學(xué)生的運(yùn)算能

例2證明:函數(shù)/(X)=X2+2X在師：展示學(xué)生解題過程，強(qiáng)調(diào)不同力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)

題型的不同解題方法，引出二次函數(shù)單學(xué)直觀能力。

(-8,T］上是減函數(shù)，在［-1,+8)調(diào)性，最值的方法——數(shù)形結(jié)合.

上是增函數(shù)，并求這個(gè)函數(shù)的最值.生：總結(jié)二次函數(shù)

=ax1+〃x+c(aw0)單調(diào)區(qū)間，

最值.

3

1.函數(shù)/(x)=5x+l在區(qū)間當(dāng)堂檢測(cè)，及

時(shí)診斷.

生：定時(shí)完成.

[-2,7]上單調(diào)遞________,其最大

師：展示答案，點(diǎn)評(píng)3.

值是_______,最小值是______.

2.函數(shù)/(幻=-/+2%的單調(diào)遞增

區(qū)間是______________，單調(diào)遞減

區(qū)間是______________,最大值

是__________.

3.向右圖所示的球形容器中

當(dāng)堂勻速注入某種液體，請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯?/p>

檢測(cè)坐標(biāo)系中，畫出容器中液面的高度

y隨時(shí)間t的函數(shù)y=/(f)圖象.

HI17f

請(qǐng)總結(jié)一下你這節(jié)課的收獲

師：以上就是我們這節(jié)課的內(nèi)容，不只是對(duì)課堂

下面，我們回顧總結(jié)一下本節(jié)課的收獲.內(nèi)容的簡(jiǎn)單回顧，

還是對(duì)所用數(shù)學(xué)思

生：總結(jié).

課堂想方法，素養(yǎng)與能

小結(jié)師：最后加以概括.力的總結(jié)。強(qiáng)調(diào)本

節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，

注重知識(shí)體系的形

成，培養(yǎng)學(xué)生回顧

反思的良好習(xí)慣。

4

學(xué)情分析

本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念及其表示方法、函數(shù)單

調(diào)性的定義，對(duì)函數(shù)有了一定認(rèn)識(shí)，但對(duì)于變量間的依存關(guān)系和變化

趨勢(shì)認(rèn)識(shí)還不夠深入，本節(jié)課就是在函數(shù)單調(diào)性定義基礎(chǔ)上引入函數(shù)

的平均變化率進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的思維能力，認(rèn)識(shí)函數(shù)值隨自變量的變

化快慢。

學(xué)生有函數(shù)的概念作基礎(chǔ)，可以輕松識(shí)別函數(shù)關(guān)系，結(jié)合學(xué)習(xí)活

動(dòng)中實(shí)際問題引入課題，對(duì)于學(xué)生認(rèn)識(shí)平均變化率還是比較容易的。

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)

等，在例題的選擇上以學(xué)生熟知的函數(shù)為載體，更容易讓學(xué)生接受新

學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時(shí)體會(huì)到數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)。

效果分析

考慮到《函數(shù)的平均變化率》這節(jié)課內(nèi)容的難易程度，以及學(xué)生

5

自身的知識(shí)水平，此節(jié)課我采用了導(dǎo)引體驗(yàn)和啟發(fā)示范式的教學(xué)模式,

讓學(xué)生在感悟中體會(huì)知識(shí)的來源，在訓(xùn)練中養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?

師生互動(dòng)、講練結(jié)合，課堂氣氛活躍，充分體現(xiàn)了以學(xué)生為主體以教

師為主導(dǎo)的課堂理念，事實(shí)證明，這是一節(jié)很成功的課堂。

通過學(xué)生合作探究培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，真正實(shí)現(xiàn)了讓學(xué)生完全

主導(dǎo)課堂。本節(jié)課合作探究的環(huán)節(jié)，老師先跟學(xué)生共同完成例1的證

明，演示利用函數(shù)平均變化率證明單調(diào)性的解題過程，通過比較定義

法證明，體會(huì)其在證明函數(shù)單調(diào)性時(shí)的簡(jiǎn)潔性，然后讓學(xué)生完成變式

訓(xùn)練的證明，讓學(xué)生總結(jié)解題步驟，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明習(xí)慣，明確學(xué)習(xí)

重點(diǎn)。

通過探究三中兩個(gè)例題的講解，讓學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明有了

很明確的思路，通過例題2的講解，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)研究函數(shù)單調(diào)

性對(duì)求最值和值域的意義。

最后的課堂小結(jié)，學(xué)生總結(jié)的也很到位，知識(shí)目標(biāo)學(xué)生清楚明白，

但對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)還需要老師的提示讓學(xué)生逐步去感悟體會(huì)。應(yīng)該說本節(jié)

課的教學(xué)效果達(dá)到了預(yù)期效果。

教材分析

本節(jié)課在教材給出了函數(shù)單調(diào)性的定義并用定義證明函數(shù)單調(diào)

性之后引入函數(shù)的平均變化率，對(duì)函數(shù)單調(diào)性一次深化提高。教材引

入平均變化率有三個(gè)目的：以時(shí)為了借助平均變化率來理解和證明函

數(shù)的單調(diào)性，二是為后面比較函數(shù)值變化的快慢引入一個(gè)得力工具，

三是為將來學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)奠定基礎(chǔ)。

6

教材首先給出了直線斜率的公式，其目的是為進(jìn)一步引入函數(shù)平

均變化率做鋪墊，這并不是本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，讓學(xué)生記住公式，并

注意直線斜率存在的條件，知道其幾何意義即可，無需在此進(jìn)行過多

訓(xùn)練。

教材中斜率公式后的“嘗試與發(fā)現(xiàn)”這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)是非常好的,

有利于學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性與圖象上任意兩點(diǎn)間直線斜率之

間的關(guān)系，這是學(xué)生本節(jié)課學(xué)習(xí)的一個(gè)關(guān)鍵，為后面利用平均變化率

證明單調(diào)性做好鋪墊，起著承上啟下的作用，也可以據(jù)此培養(yǎng)學(xué)生的

直觀想象能力。

函數(shù)的平均變化率與斜率公式形式相同，但描述的對(duì)象不同，任

何函數(shù)都有平均變化率，但只有直線才有斜率，二者之間是從屬關(guān)系,

不能簡(jiǎn)單認(rèn)為它們是一個(gè)公式的兩種不同叫法。教材給出平均變化率

的概念后，設(shè)計(jì)了例題3和例題4,以此來強(qiáng)化證明函數(shù)平均變化率

證明函數(shù)單調(diào)性的程序化證明，再結(jié)合向兩個(gè)不同形狀的容器勻速注

水，據(jù)此研究水面上升高度y與時(shí)間f的函數(shù)圖象，以此讓學(xué)生感悟

平均變化率的幾何意義，這對(duì)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)平均變化率是大有裨益

的，課本上給出的兩個(gè)拓展閱讀是非常好的，有利于增加學(xué)生數(shù)學(xué)與

物理間的學(xué)科綜合能力很有幫助，實(shí)際教學(xué)中，還是建議讓學(xué)有余力

的學(xué)生認(rèn)真體會(huì)一下。

教材最后給出的例5是以二次函數(shù)為載體，證明函數(shù)的單調(diào)性并

求最值，其目的有三，一是進(jìn)一步鞏固平均變化率在證明函數(shù)單調(diào)性

中代數(shù)證明過程，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，二是讓學(xué)生體會(huì)研究函數(shù)單

7

調(diào)性在求函數(shù)最值、值域中的應(yīng)用價(jià)值，三是為進(jìn)一步歸納二次函數(shù)

的單調(diào)性提供實(shí)例。應(yīng)該跟學(xué)生說明平均變化率僅僅是證明函數(shù)單調(diào)

性的方法之一，對(duì)于具體函數(shù)，尤其是基本初等函數(shù)我們還可以通過

畫函數(shù)圖象確定其單調(diào)性，找出最值點(diǎn)求最值，并非唯一方法，以此

提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。

函數(shù)的平均變化率課堂測(cè)評(píng)

2.函數(shù)/(x)=5x+l在區(qū)間［-2,7］上單調(diào)遞,其最大值

是，

最小值是.

2.函數(shù)/(*)=-爐+2%的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減

區(qū)間是，最大值是.

4.向右圖所示的球形容器中勻速注入某種液體，請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲?/p>

標(biāo)系中，

畫出容器中液面的高度y隨時(shí)間f的函數(shù))，=/(/)圖象.n

5.(備用)判斷函數(shù)/(x)=4的單調(diào)性，并證明.

8

參考答案：

1.增,36,-9;

4.函數(shù)/（》）=?在［0,+8）上單調(diào)遞增.

證明：函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8）,

當(dāng)丫+rEhl-△，-/（*2）-/（工1）__1

Arx2-x1x2-x,5ZX1

所以當(dāng)孫馬€［0,m）時(shí)，JL〉0,即包＞0，

，玉+aM

所以函數(shù)/3=?在［0,+8）上單調(diào)遞增.

9

課后反思

本節(jié)課在教學(xué)設(shè)計(jì)上，基于函數(shù)概念和單調(diào)性的定義，引入函數(shù)

的平均變化率，力求培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?/p>

代數(shù)證明，調(diào)動(dòng)一切積極因素，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體會(huì)利

用函數(shù)的平均變化率證明函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)潔性.

本節(jié)課以學(xué)生最關(guān)心的兩個(gè)問題“三年的數(shù)學(xué)成績(jī)y與時(shí)間t的

關(guān)系”和“三年中數(shù)學(xué)課程的難度y與時(shí)間t