新教材2021秋高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊(cè)學(xué)案：4.2.1對(duì)數(shù)的概念

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4?2對(duì)數(shù)

4.2.1對(duì)數(shù)的概念

課不呈

一心理解對(duì)數(shù)的概念

標(biāo)準(zhǔn)

》基礎(chǔ)認(rèn)知?自主學(xué)習(xí)《

概念認(rèn)知

1.對(duì)數(shù)的概念

⑴定義：一般地，如果ab=N(a>0,aHl),那么就稱(chēng)b是以a為底N

的對(duì)數(shù)，記作1。2囚=b，其中，a叫作對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù).

⑵特殊對(duì)數(shù)：

常用對(duì)數(shù)：以10為底，記作31；

自然對(duì)數(shù)：以e為底，記作InN.

⑶指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系：

b

當(dāng)a>0,a，l時(shí)，a=N<^>b=logaN.

2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)

⑴負(fù)數(shù)和。沒(méi)有對(duì)數(shù);

(2)logal=0；

(3)logaa=1.

3.對(duì)數(shù)恒等式

alogaN=N.

自我小測(cè)

1,把對(duì)數(shù)式x=log232改寫(xiě)為指數(shù)式.

X

對(duì)數(shù)式x=log232改寫(xiě)為指數(shù)式為2=32.

答案：2X=32

2.有下列說(shuō)法：

①零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)；②任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式；③以

10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)；④以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù).

其中正確的個(gè)數(shù)為.

①③④正確，②不正確，只有當(dāng)a>0，且aRl時(shí)，ax=N才能化成對(duì)

數(shù)式.

答案：3

2x-3

3.(教材二次開(kāi)發(fā)：練習(xí)改編)若log,3-^—=1,則x=；

若log3(2x-1)=0,則X=.

2x-32x-3

若log3-3-=1，則-3-=3,即2x-3=9,x=6；若log3(2x-

1)=0,貝!J2x-1=1,即x=1.

答案：61

4.(教材二次開(kāi)發(fā)：練習(xí)改編)若IO"1=小，則m=.

因?yàn)?，則m=lg小.

答案：1g小

5.若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0,則x+y+z的值為

因?yàn)閘og2(log3x)=0,所以log3x=1,

所以x=3,同理y=4,z=2,所以x+y+z=9.

答案：9

6.若對(duì)數(shù)In(x2-5x+6)存在，則x的取值范圍為

因?yàn)閷?duì)數(shù)In(x2-5x+6)存在,

所以x2-5x+6>0,所以解得x>3或x<2,

即x的取值范圍為：(-00,2)U(3,+8).

答案：(…,2)U(3,+8)

7.若a=k)g23,求2a+2-a的值.

因?yàn)閍=log23，所以2a+2-a=210g23+2-(log23)

c1c110

=3+示數(shù)=3+]=y?

區(qū)學(xué)情診斷?課時(shí)測(cè)評(píng)今

基礎(chǔ)全面練

一、選擇題

1.若對(duì)數(shù)式log(t-2)3有意義，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(

A.[2,+oo)B.(2,3)U(3,+oo)

C.(-co,2)D.(2,+oo)

選B.要使對(duì)數(shù)式log(t-2)3有意義，

ft-2>0

需1，解得t>2且度3,

[t-2W1

所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是(2,3)U(3,+8).

2.已知fe)=x,則f(3)=()

3e

A.log3eB.In3C.eD.3

選B.令ex=3,所以x=In3,所以f(3)=In3.

1

z\

3=()

OS81\z

11

A4B4cD-

-4--4

選B.令k)g3酉=t，則3，=的=3-4,所以t=-4.

1

2

4.已知log7[log3(log2X)]=0,那么X等于()

A.oB.~rC.~rD.七

3643

選C.由條件知，log3(log2x)=1,

-i

所以log2x=3,所以x=8,所以x2二

5.方程2嘀*=(的解是()

A.x=B.x=*C.x=^/3D.x=9

選A.因?yàn)?10g3X=(=2-2,

2

所以log3x=-2,所以x=3-=1.

6.(2021.上海高一檢測(cè))若loga^/b=c(a>0且a#l,b>0),則有()

A.b=a7cB.b7=ac

C.b=7acD.b=c7a

選A.因?yàn)閘oga^/b=c,所以ac=^/b,所以(a。)，=(y/b)7,所以a7c

=b.

7.(多選)若logx+i(x+1)=1,則x的取值范圍可以是()

A.(-1,+8)B.(-1,0)

C.(-oo,-1)D.(0,+oo)

選BD.因?yàn)閘ogx+i(x+l)=l,

X+]=X+1i

所以<x+l>0,所以x>-1且x#0.

8.(多選)下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的一組是()

A.e°=1與In1=0

B.Iog39=2與9^=3

-1111

C.83=/與10g8]=-W

D.log77=17'=7

2

選ACD.log39=2化為指數(shù)式為3=9.

二、填空題

9.16、17世紀(jì)之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事的發(fā)展，

改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急,數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程

中，為簡(jiǎn)化計(jì)算發(fā)明了對(duì)數(shù).直到18世紀(jì)，才由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)

b

現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系,BPa=N=b=logaN.現(xiàn)在已知a=log23,

則2a二.

a

由a=log23，化對(duì)數(shù)式為指數(shù)式可得2=3.

答案：3

3

10.e°+210g33+42=.

原式=1+2+8=11.

答案：11

三、解答題

11.(1)將3-3==化成對(duì)數(shù)式.

(2)Iog4x=，求x.

⑶已知10g2(10g3X)=1,求X.

⑴因?yàn)?-=表，所以log3g=-3.

3_2/3、1

22x3

⑵因?yàn)镮og4x=-2，所以x=4=2-2=2-=g.

(3)因?yàn)閘og2(log3x)=1,

所以log3x=2,即x=32=9.

12.求下列各式中的x值：

32

(l)logx27=2；(2)log2x=-；

(3)x=logo?!；(4)x=logj16.

2

32

(1)由logx27=］，可得x2=27,

22

所以x=27§=(33)*=32=9.

⑵由log2X=-g，可得x=23

112

(3)由x=log27g,可得27x=g,所以33x=3-2,所以x=-.

(4)由x=logi16,可得(J=16.所以2-x=24,所以x=-4.

2

綜合突破練

一、選擇題

1.已知2x9x-28=g|X，則x=()

A.log37-log32B.logo4

C.log34D.log37

選C.2x9x-28=&*,

所以2X(3X)2-28-3X=0,

即?x-4)(23+7)=0,

解得=4,則x=log34.

2.已知x2+y2-4x-2y+5=0,貝(Jlogx(yx)的值是()

A.1B.0C.xD.y

【解題指南】先對(duì)方程配方，求出x,y后再利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求值.

選B.由X?+y2-4x-2y+5=0,

則(x-2)2+(y-l)2=0,所以x=2,y=1,

x2

所以logx(y)=log2(l)=0.

a--B

3.若10。=2,P=lg3,則1002=()

124

A.B,C.1D.g

選D.因?yàn)椤?lg3,所以10B=3

6F;I'Jmna4p_10°a(10°尸_4

所以100---j--10p-3-3-

1002

二、填空題

4.logVI81=.

t1t

設(shè)log/81=t，貝!J(小)=81,32=34,2=4,t=8.

答案：8

5.若log2[log4(log3x)]=log3[log4(log2y)]=1,則x+y=.

由題意，log4(log3x)=2,

得log3x得6,得X=316;Iog4(log2y)=3,得log2y=64,得y=2日.所

以*+丫=316+2”

答案:3I6+2M

111

6.若loga2=m,loga3=n,則a?"+二.

m

因?yàn)閘oga2=m,所以a=2,

所以a2m=4,

又因?yàn)閘oga3=n,

所以a=3,

所以a2m+n=a2m-an=4x3=12.

答案：12

7.方程log3(9x-4)=x+l的解為x=.

因?yàn)?唯(9*-4)=x+1,所以9*-4=3*+1,

所以(3X)2-33-4=0,

XX

所以3=4,x