《數(shù)字電子技術(shù) 》課件第2章邏輯代數(shù)

第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)本章重點(diǎn)：邏輯代數(shù)的基本概念、基本定理、基本運(yùn)算2.1邏輯代數(shù)的三種基本運(yùn)算基本概念

邏輯：事物的因果關(guān)系 邏輯運(yùn)算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：邏輯代數(shù) 在二值邏輯中的變量取值：

0/1邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算

與（AND）或（OR）非（NOT）以A=1表示開關(guān)A合上，A=0表示開關(guān)A斷開；

以Y=1表示燈亮，Y=0表示燈不亮；

三種電路的因果關(guān)系不同：與條件同時具備，結(jié)果發(fā)生Y=AANDB=A&B=A·B=ABABF000010100111真值表或條件之一具備，結(jié)果發(fā)生Y=AORB=A+BABF000011101111真值表非條件不具備，結(jié)果發(fā)生

AF0110真值表

0－1律：A＋1＝1A·0＝0

A＋0＝A

A·1＝A互補(bǔ)律：交換律：A＋B＝B＋A

A·B＝B·A結(jié)合律：A＋(B＋C)＝(A＋B)＋C

A·(B·C)＝(A·B)·C

分配律：A＋B·C＝(A＋B)·(A＋C)

***

A·(B＋C)＝A·B＋A·C2.2邏輯代數(shù)的基本公式、規(guī)則一、基本公式重疊律：A＋A＝A

A·A＝A反演律：***還原（對合）律：包含律：吸收律：A＋A·B＝A

A·(A＋B)＝A

公式A+BC=(A+B)(A+C)

的證明（公式推演法）：公式A+BC=(A+B)(A+C)的證明（真值表法）：ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)0000000000100010010001000111111110001111101011111100111111111111二、邏輯代數(shù)的重要規(guī)則1．代入規(guī)則將邏輯等式中的一個邏輯變量用一個邏輯函數(shù)代替，則邏輯等式仍然成立。

邏輯代數(shù)有三個重要的運(yùn)算規(guī)則，即代入規(guī)則、反演規(guī)則和對偶規(guī)則。

例見下頁例：已知等式，試用F＝B＋C代替等式中的B。反演律應(yīng)用于三個變量解：用F代替B，則等式變?yōu)椋?．反演規(guī)則如果將邏輯函數(shù)F表達(dá)式中所有的“·”與“＋”互換，常量“1”與“0”互換，原變量與反變量互換，所得到的邏輯函數(shù)就是原邏輯函數(shù)F的非。

反演規(guī)則實(shí)際上是反演律的推廣，利用反演規(guī)則可以很容易地寫出一個邏輯函數(shù)的非。例：3．對偶規(guī)則如果將邏輯函數(shù)F表達(dá)式中所有的“·”與“＋”互換，常量“1”與“0”互換，而變量都保持不變，所得到的邏輯函數(shù)是原邏輯函數(shù)F的對偶式，記為F*。

利用對偶規(guī)則，很容易寫出一個邏輯函數(shù)的對偶式。如果證明了某邏輯表達(dá)式是正確的，其對偶式的正確性，就不用再證明了。由于邏輯代數(shù)的基本公式除還原律外都是成對出現(xiàn)的，且互為對偶式，使用對偶規(guī)則可以使基本公式的證明減少一半。一、邏輯函數(shù)Y=F(A,B,C,······)若以邏輯變量為輸入，運(yùn)算結(jié)果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定。輸入/輸出之間是一種函數(shù)關(guān)系。注：在二值邏輯中， 輸入/輸出都只有兩種取值0/1。2.3邏輯函數(shù)及其表示方法二、邏輯函數(shù)的表示方法真值表邏輯函數(shù)表達(dá)式（邏輯式）邏輯圖波形圖卡諾圖（第五節(jié)）計(jì)算機(jī)軟件中的描述方式（EDA）真值表輸入變量ABC····輸出Y1Y2

····遍歷所有可能的輸入變量的取值組合輸出對應(yīng)的取值邏輯式將輸入/輸出之間的邏輯關(guān)系用與/或/非的運(yùn)算式表示就得到邏輯式。邏輯圖用邏輯圖形符號表示邏輯運(yùn)算關(guān)系，與邏輯電路的實(shí)現(xiàn)相對應(yīng)。波形圖將輸入變量所有取值可能與對應(yīng)輸出按時間順序排列起來畫成時間波形。（如下圖）舉例：舉重裁判電路(目前左中右三裁判同等權(quán)利)ABCY00000010010001101000101111011111真值表邏輯式例：奇偶判別函數(shù)的真值表(偶數(shù)為1)A=0,B=1,C=1使

A=1,B=0,C=1使A=1,B=1,C=0使這三種取值的任何一種都使Y=1,所以Y=?各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換：ABCY00000010010001111000101111011110真值表邏輯式：找出真值表中使Y=1的輸入變量取值組合。每組輸入變量取值對應(yīng)一個乘積項(xiàng)，其中取值為1的寫原變量，取值為0的寫反變量。將這些變量相加即得Y。1.把輸入變量取值的所有組合逐個代入邏輯式中求出Y。

對兩個變量A、B來說，可以構(gòu)成四個最小項(xiàng)：；記為。對n個變量來說，可以構(gòu)成

個最小項(xiàng)。一、最小項(xiàng)如果一個具有n個變量的邏輯函數(shù)的“與項(xiàng)”包含全部n個變量，每個變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這種“與項(xiàng)”被稱為最小項(xiàng)。2.4邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式

邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)構(gòu)成的與或表達(dá)式

邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)構(gòu)成的或與表達(dá)式

二、最小項(xiàng)表達(dá)式

如果一個邏輯函數(shù)表達(dá)式是由最小項(xiàng)構(gòu)成的與或式，則這種表達(dá)式稱為邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。任何一個n變量的函數(shù)都有一個且僅有一個最小項(xiàng)表達(dá)式，也叫標(biāo)準(zhǔn)與或式。例：最小項(xiàng)性質(zhì)：1、有且只有一組變量取值組合，使其值為1。2、3、（n個變量的所有最小項(xiàng)之和為1）4、n個變量的每個最小項(xiàng)都有n個相鄰項(xiàng)。（相鄰項(xiàng)是指兩個最小項(xiàng)僅有一個變量互為相反變量，其余變量都相同。）（舉例說明、及應(yīng)用；引出下節(jié)內(nèi)容，邏輯函數(shù)化簡）2.5邏輯函數(shù)的化簡

邏輯代數(shù)化簡法就是利用邏輯代數(shù)的基本公式和規(guī)則對給定的邏輯函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行化簡。一般為最簡與或表達(dá)式。采用邏輯代數(shù)法化簡，不受邏輯變量個數(shù)的限制，要求能熟練掌握邏輯代數(shù)的公式和規(guī)則，具有較強(qiáng)的化簡技巧。常用的邏輯代數(shù)化簡法有吸收法、消去法、并項(xiàng)法、配項(xiàng)法等。一、邏輯代數(shù)化簡法1、并項(xiàng)法2、吸收法A＋AB＝A

3、消去法4、配項(xiàng)法

或者使用反演律（規(guī)則），情況如何？卡諾圖，簡稱K圖。是根據(jù)最小項(xiàng)之間相鄰關(guān)系畫出的一種方格圖，每個小方格代表邏輯函數(shù)的一個最小項(xiàng)。適用于變量少于五個時，用來化簡邏輯函數(shù)。1、卡諾圖的構(gòu)成卡諾圖是由表示邏輯變量的所有可能取值組合的小方格所構(gòu)成的圖形，是真值表的一種特殊形式。二、卡諾圖化簡法二變量卡諾圖兩個變量A、B可構(gòu)成四個最小項(xiàng)，用四個相鄰的小方格表示。相鄰的小方格代表的最小項(xiàng)都是相鄰項(xiàng)。

三變量卡諾圖三個變量A、B、C可構(gòu)成八個最小項(xiàng)，用八個相鄰的小方格表示。

（注意第二列、第三列的位置，保證相鄰；且第一列與第四列也是相鄰的。）

四變量卡諾圖四個變量A、B、C、D可構(gòu)成十六個最小項(xiàng)，用十六個相鄰的小方格表示。

（注意第二行、第三行的位置，保證相鄰；且第一行與第四行也是相鄰的。）

2、邏輯函數(shù)的卡諾圖填寫

由真值表畫出卡諾圖ABCF00010010010101101001101111001110

由最小項(xiàng)表達(dá)式畫出卡諾圖

由一般與或式畫出卡諾圖

3、用卡諾圖化簡

化簡依據(jù)是，相鄰兩個小方格間只有一個變量不同。兩項(xiàng)合并時，可消去一個取值不同的變量。例：已知邏輯函數(shù)的真值表，寫出邏輯函數(shù)的最簡與或表達(dá)式。（板書求解）P/38注意事項(xiàng)(作業(yè)舉例)ABCF00000011010001111001101111001110

三、包含無關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)化簡例：設(shè)計(jì)一個邏輯函數(shù)，用來判斷一個8421碼表示的一位十進(jìn)制數(shù)是否大于等于5。如果大于等于5，F(xiàn)＝1，否則，F(xiàn)＝0。解：ABCD表示四位編碼，列出真值表，由真值表填寫卡諾圖。分析8421碼表示的十進(jìn)制數(shù)，不會出現(xiàn)真值表中最后六個最小項(xiàng)。這六個最小項(xiàng)就成為約束項(xiàng)(無關(guān)項(xiàng))，表示為ABCDF000000001000100001100100001011011010111110001100111010X1011X1100X1101X1110X1111X00000111xxxx11xx0001111000011110ABCD填寫卡諾圖00000111xxxx11xx0001111000011110ABCD作業(yè)：2(1)(2),3(1)(3),4(1)(2),5(3),9(1)(2)(6)(7)(8),