人教版高一數(shù)學新教材同步配套教學講義專題01含參數(shù)與新定義的集合問題(原卷版+解析)

專題01含參數(shù)與新定義的集合問題【技巧總結】一．解決與集合有關的創(chuàng)新題的對策：（1）分析含義，合理轉化，準確提取信息是解決此類問題的前提．剝去新定義、新法則的外表，利用我們所學集合的性質將陌生的集合轉化為我們所熟悉的集合，陌生的運算轉化為我們熟悉的運算，是解決這類問題的突破口，也是解決此類問題的關鍵．（2）根據(jù)新定義（新運算、新法則）的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證和運算，其中要注意應用集合的有關性質．（3）對于選擇題，可結合選項，通過驗證、排除、對比、特值法等進行求解或排除錯淏選項，當不滿足新定義的要求時，只需通過舉反例來說明，以達到快速判斷結果的目的．二．解決與集合有關的參數(shù)問題的對策（1）如果是離散型集合，要逐個分析集合的元素所滿足的條件，或者畫韋恩圖分析．（2）如果是連續(xù)型集合，要數(shù)形結合，注意端點能否取到．（3）在解集合的含參問題時，一定要注意空集和元素的互異性．（4）由集合間關系求解參數(shù)的步驟：①弄清兩個集合之間的關系，誰是誰的子集；②看集合中是否含有參數(shù)，若，且A中含參數(shù)應考慮參數(shù)使該集合為空集的情形；③將集合間的包含關系轉化為不等式（組）或方程（組），求出相關的參數(shù)的取值范圍或值．（5）經常采用數(shù)形結合的思想，借助數(shù)軸巧妙解答．【題型歸納目錄】題型一：根據(jù)元素與集合的關系求參數(shù)題型二：根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)題型三：根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)題型四：根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)題型五：根據(jù)集合的交、并、補求參數(shù)題型六：集合的創(chuàng)新定義【典型例題】題型一：根據(jù)元素與集合的關系求參數(shù)例1．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，，則（

）A． B．或 C． D．例2．（2022·全國·高一專題練習）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三個元素組成的集合，且2∈A，則實數(shù)m為（）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可例3．（2022·全國·高一課時練習）設全集，，若，則B等于（

）A． B． C． D．例4．（多選題）（2022·江蘇·揚中市第二高級中學高一開學考試）已知，且，，，則取值可能為（

）A． B． C． D．題型二：根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)例5．（2022·江蘇·高一單元測試）已知集合有兩個子集，則m的值是__________．例6．（2022·江蘇·高一）已知，若集合A中恰好有5個元素，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．例7．（2022·全國·高一課時練習）已知，集合．（1）若A是空集，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若集合A中只有一個元素，求集合A；（3）若集合A中至少有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍．例8．（2022·江蘇·高一單元測試）已知集合，（1）若是空集，求的取值范圍；（2）若中至多有一個元素，求的值，并寫出此時的集合；（3）若中至少有一個元素，求的取值范圍．題型三：根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)例9．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習）集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B?A，則實數(shù)a的值為（

）A．1 B．-1 C．±1 D．0或±1例10．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，，若，則實數(shù)組成的集合為（

）A． B． C． D．例11．（多選題）（2022·全國·高一單元測試）設，，若，則實數(shù)的值可以為（

）A．2 B． C． D．0例12．（2022·湖南·株洲二中高一開學考試）已知集合，若，則實數(shù)___________．例13．（2022·全國·高一專題練習）集合，，若，則由實數(shù)組成的集合為____例14．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習）集合，則m＝___．例15．（2022·全國·高一專題練習）已知集合，，且，則實數(shù)a的值為___________．例16．（2022·江蘇·高一單元測試）已知集合或，，若，則實數(shù)的取值范圍_________．例17．（2022·全國·高一課時練習）已知為實數(shù)，，．（1）當時，求的取值集合；（2）當時，求的取值集合．例18．（2022·全國·高一專題練習）已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．（1）若M?N，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若M?N，求實數(shù)a的取值范圍．例19．（2022·全國·高一）已知集合，集合．（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍例20．（2022·福建省龍巖第一中學高一開學考試）設集合，．（1）若，試求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．例21．（2022·江蘇·高一）已知集合．（1）若，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若，求實數(shù)a的取值范圍．例22．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，，若滿足的所有實數(shù)構成集合，則____，的子集有____個．題型四：根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)例23．（2022·全國·高一課時練習）已知，，若，則（

）A．0 B．1 C． D．例24．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，則______．例25．（2022·全國·高一課時練習）已知，．若，則______．例26．（2022·浙江麗水·高一期末）已知集合，，若，則實數(shù)_______題型五：根據(jù)集合的交、并、補求參數(shù)例27．（2022·全國·高一課時練習）設，，全集，，或，則______．例28．（2022·全國·高一專題練習）已知集合M={1，2，3}，，若，則a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．1或2例29．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例30．（2022·全國·高一）設全集，集合，，則實數(shù)的值為（

）A．0 B．-1 C．2 D．0或2例31．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，或，若，求實數(shù)a的取值范圍．例32．（2022·全國·高一課時練習）設集合，，或．（1）若，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若中只有一個整數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．例33．（2022·全國·高一課時練習）設集合，．（1）若，求實數(shù)m的取值范圍；（2）當集合A中的時，求集合A的非空真子集的個數(shù)；（3）若，且不存在元素x，使得與同時成立，求實數(shù)m的取值范圍．例34．（2022·全國·高一課時練習）已知集合．（1）若，，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若或，，求實數(shù)m的取值范圍．例35．（2022·全國·高一課時練習）已知集合．（1）若集合，且，求的值；（2）若集合，且A∩C＝C，求a的取值范圍．例36．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，，或．（1）若，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍．例37．（2022·江蘇·高一單元測試）已知集合，．（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．例38．（2022·全國·高一課時練習）若集合，，且，則______，______．題型六：集合的創(chuàng)新定義例39．（2022·全國·高一課時練習）已知A，B都是非空集合，且．若，，則（

）A． B．C．或 D．或例40．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，，則集合B中元素的個數(shù)為______．例41．（2022·全國·高一課時練習）戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空子集A與B，且滿足Q，，A中的每一個元素都小于B中的每一個元素．請給出一組滿足A中無最大元素且B中無最小元素的戴德金分割______．例42．（2022·全國·高一課時練習）已知集合A中的元素全為實數(shù)，且滿足：若，則．（1）若，求出A中其他所有元素．（2）0是不是集合A中的元素？請你取一個實數(shù)，再求出A中的元素．（3）根據(jù)（1）（2），你能得出什么結論？例43．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習）已知集合為非空數(shù)集，定義：，．（1）若集合，求證：，并直接寫出集合；（2）若集合，，且，求證：．例44．（2022·全國·高一單元測試）給定數(shù)集A，若對于任意a，，有，，則稱集合A為閉集合．（1）判斷集合，是否為閉集合，并給出證明；（2）若集合C，D為閉集合，則是否一定為閉集合？請說明理由；（3）若集合C，D為閉集合，且，，證明：．專題01含參數(shù)與新定義的集合問題【技巧總結】一．解決與集合有關的創(chuàng)新題的對策：（1）分析含義，合理轉化，準確提取信息是解決此類問題的前提．剝去新定義、新法則的外表，利用我們所學集合的性質將陌生的集合轉化為我們所熟悉的集合，陌生的運算轉化為我們熟悉的運算，是解決這類問題的突破口，也是解決此類問題的關鍵．（2）根據(jù)新定義（新運算、新法則）的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證和運算，其中要注意應用集合的有關性質．（3）對于選擇題，可結合選項，通過驗證、排除、對比、特值法等進行求解或排除錯淏選項，當不滿足新定義的要求時，只需通過舉反例來說明，以達到快速判斷結果的目的．二．解決與集合有關的參數(shù)問題的對策（1）如果是離散型集合，要逐個分析集合的元素所滿足的條件，或者畫韋恩圖分析．（2）如果是連續(xù)型集合，要數(shù)形結合，注意端點能否取到．（3）在解集合的含參問題時，一定要注意空集和元素的互異性．（4）由集合間關系求解參數(shù)的步驟：①弄清兩個集合之間的關系，誰是誰的子集；②看集合中是否含有參數(shù)，若，且A中含參數(shù)應考慮參數(shù)使該集合為空集的情形；③將集合間的包含關系轉化為不等式(組)或方程(組)，求出相關的參數(shù)的取值范圍或值.（5）經常采用數(shù)形結合的思想，借助數(shù)軸巧妙解答.【題型歸納目錄】題型一：根據(jù)元素與集合的關系求參數(shù)題型二：根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)題型三：根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)題型四：根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)題型五：根據(jù)集合的交、并、補求參數(shù)題型六：集合的創(chuàng)新定義【典型例題】題型一：根據(jù)元素與集合的關系求參數(shù)例1．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，，則（

）A． B．或 C． D．【答案】D【解析】∵，∴或．若，解得或．當時，，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當時，集合，滿足題意，故成立．若，解得，由上述討論可知，不滿足題意，故舍去．綜上所述，．故選：D．例2．（2022·全國·高一專題練習）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三個元素組成的集合，且2∈A，則實數(shù)m為（）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【答案】B【解析】∵2∈A，∴m＝2或m2﹣3m+2＝2．當m＝2時，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合題意，舍去；當m2﹣3m+2＝2時，m＝0或m＝3，但m＝0不合題意，舍去．綜上可知，m＝3．故選：B．例3．（2022·全國·高一課時練習）設全集，，若，則B等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，解得，所以，故選：C.例4．（多選題）（2022·江蘇·揚中市第二高級中學高一開學考試）已知，且，，，則取值可能為（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】選項A：當時，，，故，A錯誤；選項B：當時，，，故，B正確；選項C：當時，，，故，C正確；選項D：當時，，，故，D正確.故答案為：BCD.題型二：根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)例5．（2022·江蘇·高一單元測試）已知集合有兩個子集，則m的值是__________．【答案】0或4【解析】當時，，滿足題意當時，由題意得，綜上，或故答案為：0或4例6．（2022·江蘇·高一）已知，若集合A中恰好有5個元素，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可知，可得.故選：D例7．（2022·全國·高一課時練習）已知，集合.(1)若A是空集，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若集合A中只有一個元素，求集合A；(3)若集合A中至少有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）若A是空集，則關于x的方程無解，此時，且，所以，即實數(shù)a的取值范圍是.（2）當時，，符合題意；當時，關于x的方程應有兩個相等的實數(shù)根，則，得，此時，符合題意.綜上，當時；當時.（3）當時，，符合題意；當時，要使關于x的方程有實數(shù)根，則，得.綜上，若集合A中至少有一個元素，則實數(shù)a的取值范圍為.例8．（2022·江蘇·高一單元測試）已知集合，(1)若是空集，求的取值范圍；(2)若中至多有一個元素，求的值，并寫出此時的集合；(3)若中至少有一個元素，求的取值范圍.【解析】(1)若是空集，則，解得；(2)若中至多有一個元素當時，，符合當時，若，解得，此時

若，得，此時.綜合得：當時，；當，；當，.(3)若中至少有一個元素當時，，符合當時，若，解得且綜合得.題型三：根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)例9．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習）集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B?A，則實數(shù)a的值為（

）A．1 B．-1 C．±1 D．0或±1【答案】D【解析】A={x|x2=1}={1，-1}.當a=0時，，滿足B?A；當a≠0時，B=，因為B?A，所以=1或=-1，即a=±1.綜上所述，a=0或a=±1.故選：D例10．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，，若，則實數(shù)組成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，解得，或，解得，當時，，，，滿足題意.當時，，不滿足集合的互異性.當時，，，若，滿足題意.當時，，，若，滿足題意.故選：C.例11．（多選題）（2022·全國·高一單元測試）設，，若，則實數(shù)的值可以為（

）A．2 B． C． D．0【答案】BCD【解析】集合，，，又，所以，當時，，符合題意，當時，則，所以或，解得或，綜上所述，或或,故選：例12．（2022·湖南·株洲二中高一開學考試）已知集合，若，則實數(shù)___________.【答案】或3【解析】，∴或，解得或或，將的值代入集合、驗證，知不符合集合的互異性，故或3.故答案為：或3.例13．（2022·全國·高一專題練習）集合，，若，則由實數(shù)組成的集合為____【答案】.【解析】集合，，且，或或，．則實數(shù)組成的集合為.故答案為：.例14．（2022·上海·高一專題練習）集合，則m＝___．【答案】【解析】∵集合，∴，解得．故答案為：±2．例15．（2022·全國·高一專題練習）已知集合，，且，則實數(shù)a的值為___________.【答案】或或0【解析】已知集合，，當，滿足；當時，，因為，故得到或，解得或；故答案為：或或0.例16．（2022·江蘇·高一單元測試）已知集合或，，若，則實數(shù)的取值范圍_________．【答案】或【解析】用數(shù)軸表示兩集合的位置關系，如上圖所示，或要使，只需或，解得或．所以實數(shù)的取值范圍或.故答案為：或例17．（2022·全國·高一課時練習）已知為實數(shù)，，．(1)當時，求的取值集合；(2)當時，求的取值集合.【解析】（1）因為，所以當時，，當時，．又，所以，此時，滿足．所以當時，的取值集合為．（2）當時，，不成立；當時，，，成立；當且時，，，由，得，所以．綜上，的取值集合為．例18．（2022·全國·高一專題練習）已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．(1)若M?N，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若M?N，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)∵M?N，∴，∴a∈?；(2)①若N＝?，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2時，滿足M?N．②若N≠?，即a≥2時，要使M?N成立，則，解得1≤a≤3，此時2≤a≤3．綜上a≤3．例19．（2022·全國·高一）已知集合，集合．(1)當時，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍【解析】(1)當時，，；(2)由，則有：，解得：，即，實數(shù)的取值范圍為．例20．（2022·福建省龍巖第一中學高一開學考試）設集合，.(1)若，試求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由，解得或，.當時，得解得或；∴.（2）由（1）知，，，于是可分為以下幾種情況．當時，，此時方程有兩根為，，則，解得.當時，又可分為兩種情況．當時，即或，當時，此時方程有且只有一個根為，則，解得，當時，此時方程有且只有一個根為，則，此時方程組無解，當時，此時方程無實數(shù)根，則，解得.綜上所述，實數(shù)a的取值為.例21．（2022·江蘇·高一）已知集合．(1)若，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)，；(2)，；(3)，，，，且，．例22．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，，若滿足的所有實數(shù)構成集合，則____，的子集有____個．【答案】

8【解析】由得，而，當時，符合題意；當時，或，∴或，∴，∴的子集個數(shù)為.故答案為：；8.題型四：根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)例23．（2022·全國·高一課時練習）已知，，若，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【解析】因為，所以或，解得或或，又集合中的元素需滿足互異性，所以，則．故選：C.例24．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，則______．【答案】1【解析】易知．∵，∴，即，∴，．又由集合中元素的互異性，知，∴，故．故答案為：1例25．（2022·全國·高一課時練習）已知，.若，則______.【答案】【解析】因為所以解之得：故答案為：例26．（2022·浙江麗水·高一期末）已知集合，，若，則實數(shù)_______【答案】【解析】因為，所以方程有且只有一個實數(shù)根，所以，解得.所以故答案為：題型五：根據(jù)集合的交、并、補求參數(shù)例27．（2022·全國·高一課時練習）設，，全集，，或，則______.【答案】1【解析】因為，，所以或.又或，所以，，所以.故答案為：1.例28．（2022·全國·高一專題練習）已知集合M={1，2，3}，，若，則a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．1或2【答案】C【解析】當時，由，得，即，不滿足題意；當時，由，得，即，不滿足題意；當時，由，得或，即，滿足題意.故選：C例29．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，又，所以當時，，要使，則，即．故選：A．例30．（2022·全國·高一）設全集，集合，，則實數(shù)的值為（

）A．0 B．-1 C．2 D．0或2【答案】A【解析】由集合知，，即，而，全集，因此，，解得，經驗證滿足條件，所以實數(shù)的值為0.故選：A例31．（2022·全國·高一課時練習）已知集合,或，若，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】由，得，從而．①若，則，解得；②若，在數(shù)軸上標出集合A，B，如圖所示，則，解得．綜上，實數(shù)a的取值范圍是．例32．（2022·全國·高一課時練習）設集合，，或．(1)若，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若中只有一個整數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）因為，所以．①當時，由，得，解得；②當，即時，成立．綜上，實數(shù)m的取值范圍是．（2）因為中只有一個整數(shù)，所以，且，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是．例33．（2022·全國·高一課時練習）設集合，．(1)若，求實數(shù)m的取值范圍；(2)當集合A中的時，求集合A的非空真子集的個數(shù)；(3)若，且不存在元素x，使得與同時成立，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）當，即時，，滿足．當，即時，要使，只需，即．綜上，實數(shù)m的取值范圍是．（2）當時，，共個元素，所以集合A的非空真子集的個數(shù)為．（3）由，得，即．又不存在元素x，使得與同時成立，所以或，即或．所以實數(shù)m的取值范圍是．例34．（2022·全國·高一課時練習）已知集合．(1)若，，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若或，，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）由，知，所以，即實數(shù)m的取值范圍為．（2）由題意，得，解得，即實數(shù)m的取值范圍為．例35．（2022·全國·高一課時練習）已知集合.(1)若集合，且，求的值；(2)若集合，且A∩C＝C，求a的取值范圍.【解析】（1）由x2﹣8x+12＝0得x＝2或x＝6，∴A＝{2，6}，因為A＝B，所以，解得，故a＝5.（2）因為A∩C＝C，所以C?A.當C＝?時，△＝1﹣24a＜0，解得a；當C＝{2}時，1﹣24a＝0且22a﹣2+6＝0，此時無解；當C＝{6}時，1﹣24a＝0.且62a﹣6+6＝0，此時無解或a＝0.綜上，a的取值范圍為.例36．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，，或．(1)若，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）∵，∴．在數(shù)軸上標出集合A，B，如圖1所示，則由圖1可知，解得．∴實數(shù)m的取值范圍為．（2）∵，∴．當，即，即時，滿足．當，即時，在數(shù)軸上標出集合B，C，若，則有兩種情況，如圖2、圖3所示．由圖2可知，解得，又，∴無解；由圖3可知，解得．綜上，實數(shù)m的取值范圍是或．例37．（2022·江蘇·高一單元測試）已知集合，.(1)當時，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當時，，.（2）{或，當時，，此時，解得；當時，若，則解得.綜上，實數(shù)的取值范圍為.例38．（2022·全國·高一課時練習）若集合，，且，則______，______．【答案】

4

0【解析】若，則，顯然不成立，所以；所以，即，得，此時，所以，即，得．故答案為：4；0題型六：集合的創(chuàng)新定義例39．（2022·全國·高一課時練習）已知A，B都是非空集合，且．若，，則（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】由題意，得，，故或．故選：D例40．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，，則集合B中元素的個數(shù)為______.【答案】6【解析】因為，，，所以時，；時，或，時，或3或4.，所以集合B中元素的個數(shù)為6.故答案為：6.例41．