人教版高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義5.3誘導(dǎo)公式(原卷版+解析)

5．3誘導(dǎo)公式【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一：，，，其中誘導(dǎo)公式二：，，，其中誘導(dǎo)公式三：，，，其中誘導(dǎo)公式四：，．，，其中知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）要化的角的形式為（為常整數(shù)）；（2）記憶方法：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”；（3）必須對(duì)一些特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見角知值，見值知角”；（4）；．知識(shí)點(diǎn)二：誘導(dǎo)公式的記憶誘導(dǎo)公式一～三可用口訣“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”記憶，其中“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名，“符號(hào)”是指等號(hào)右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)，“看象限”是指把看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào)．誘導(dǎo)公式四可用口訣“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限”記憶，“函數(shù)名改變”是指正弦變余弦，余弦變正弦，為了記憶方便，我們稱之為函數(shù)名變?yōu)樵瘮?shù)的余名三角函數(shù)．“符號(hào)看象限”同上．因?yàn)槿我庖粋€(gè)角都可以表示為的形式，所以這六組誘導(dǎo)公式也可以統(tǒng)一用“口訣”：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，意思是說角（為常整數(shù)）的三角函數(shù)值：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變，然后的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)視為銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)．用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡時(shí)的注意點(diǎn)：（1）化簡后項(xiàng)數(shù)盡可能的少；（2）函數(shù)的種類盡可能的少；（3）分母不含三角函數(shù)的符號(hào)；（4）能求值的一定要求值；（5）含有較高次數(shù)的三角函數(shù)式，多用因式分解、約分等．知識(shí)點(diǎn)三：利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟用誘導(dǎo)公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般方向是：①化負(fù)角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù)；②化為內(nèi)的三角函數(shù)；③化為銳角的三角函數(shù)．可概括為：“負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了”（有時(shí)也直接化到銳角求值）．【題型歸納目錄】題型一：利用誘導(dǎo)公式求解給角求值問題題型二：利用誘導(dǎo)公式求解給值求值問題題型三：誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)式化簡中的應(yīng)用題型四：誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)證明中的應(yīng)用題型五：誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用題型六：利用互余互補(bǔ)關(guān)系求值【典型例題】題型一：利用誘導(dǎo)公式求解給角求值問題例1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）______．例2．（2022·全國·高一）______．例3．（2022·西藏拉薩·高一期末）（

）A． B． C． D．1變式1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．變式2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）的值是（

）A． B． C． D．變式3．（2022·廣西桂林·高一期末）（

）A．1 B． C． D．變式4．（2022·云南昆明·高一期末）（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟（1）“負(fù)化正”：用公式一或三來轉(zhuǎn)化．（2）“大化小”：用公式一將角化為到間的角．（3）“小化銳”：用公式二或四將大于的角轉(zhuǎn)化為銳角．（4）“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值．題型二：利用誘導(dǎo)公式求解給值求值問題例4．（2022·安徽阜陽·高一期末）已知，若是第二象限角，則的值為（

）A． B． C．－ D．－例5．（2022·安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試）若且是第二象限角，則（

）A． B． C． D．例6．（2022·廣東·饒平縣第二中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，若則（

）A． B． C． D．變式5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在中，，則的值是（

）A． B． C． D．變式6．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．變式7．（2022·江西上饒·高一階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．變式8．（2022·遼寧·遼師大附中高一階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．2變式9．（2022·河南南陽·高一期中）已知角，且，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】解決條件求值問題的方法（1）解決條件求值問題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系．（2）可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化．題型三：誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)式化簡中的應(yīng)用例7．（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學(xué)高一期末）（1）計(jì)算：；（2）已知，求的值.例8．（2022·西藏拉薩·高一期末）已知為第三象限角，且．(1)化簡；(2)若，求的值．例9．（2022·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)高一期末）（1）化簡；（2）已知關(guān)于的方程的兩根為和，.求實(shí)數(shù)以及的值.變式10．（2022·安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試）已知α是第三象限角，且.(1)化簡；(2)若，求；(3)若，求.變式11．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，為第二象限角.(1)若，求的值；(2)若，求的值.變式12．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知.(1)若角是第三象限角，且，求的值；(2)若，求的值.變式13．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過函數(shù)（且）的定點(diǎn)M.(1)求的值；(2)求的值.【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)式化簡的常用方法（1）合理轉(zhuǎn)化：①將角化成，，的形式．②依據(jù)所給式子合理選用誘導(dǎo)公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)．（2）切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù)．（3）注意“1”的應(yīng)用：．（4）用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡時(shí)，若遇到的形式，需對(duì)k進(jìn)行分類討論，然后再運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡．題型四：誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)證明中的應(yīng)用例10．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）（1）求證：；（2）設(shè)，求證.例11．（2022·全國·高一專題練習(xí)）求證：例12．（2022·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）已知A、B、C是的三個(gè)內(nèi)角，求證；（1）；

（2）.變式14．（2022·上?！じ咭唬┤?，求證：.變式15．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）求證：.【方法技巧與總結(jié)】三角恒等式的證明策略對(duì)于恒等式的證明，應(yīng)遵循化繁為簡的原則，從左邊推到右邊或從右邊推到左邊，也可以用左右歸一、變更論證的方法．常用定義法、化弦法、拆項(xiàng)拆角法、“1”的代換法、公式變形法，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡捷的方法．題型五：誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用例13．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線中，并解答.已知為第一象限角，且___________，求，，的值.例14．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).(1)化簡；(2)若，求的值.例15．（2022·江西上饒·高一階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在第二象限，且，記，滿足．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求的值．變式16．（2022·陜西渭南·高一期末）已知為第二象限角，．(1)求的值；(2)若，求的值．變式17．（2022·陜西渭南·高一期末）已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn).(1)求的值；(2)求的值.變式18．（2022·陜西渭南·高一期末）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn).(1)求的值；(2)求的值.變式19．（2022·廣西·桂林市奎光學(xué)校高一期末）已知點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，且．(1)求的值；(2)求的值．【方法技巧與總結(jié)】解決此類問題時(shí)，可先用誘導(dǎo)公式化簡變形，將三角函數(shù)的角度統(tǒng)一后再用同角三角函數(shù)關(guān)系式，這樣可避免公式交錯(cuò)使用時(shí)導(dǎo)致的混亂．題型六：利用互余互補(bǔ)關(guān)系求值例16．（2022·廣西·桂林市奎光學(xué)校高一期末）已知，則________．例17．（2022·內(nèi)蒙古大學(xué)滿洲里學(xué)院附屬中學(xué)高一期末）已知，則的值是___________.例18．（2022·貴州·遵義四中高一期中）已知，則__________．變式20．（2022·江蘇省灌南高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知cos(45°＋α)＝，則cos(135°－α)＝________.變式21．（2022·江西省萬載中學(xué)高一期中）若，則的值為_____.變式22．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)時(shí)，若，則的值為_________．變式23．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）已知cos＝a(|a|≤1)，則cos＋sin的值是________.【方法技巧與總結(jié)】巧用相關(guān)角的關(guān)系會(huì)簡化解題過程．觀察所求角與已知角是否具有互余、互補(bǔ)等特殊關(guān)系．在轉(zhuǎn)化過程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常見的互余關(guān)系有，；，；，等．常見的互補(bǔ)關(guān)系有，；，等．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，其中，若，則（

）A．4 B．3 C．－5 D．53．（2022·遼寧葫蘆島·高一期末）已知為銳角，，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高一專題練習(xí)）在中，下列等式一定成立的是（

）A． B．C． D．5．（2022·全國·高一單元測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．6．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．7．（2022·陜西渭南·高一期末）若，且是第三象限角，則（

）A． B． C． D．8．（2022·北京市第十九中學(xué)高一期中）若為任意角，則滿足的一個(gè)的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．（2022·新疆·柯坪湖州國慶中學(xué)高一期末）下列與的值一定相等的是（

）A． B．C． D．10．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在中，下列等式一定成立的是（

）A． B．C． D．11．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A． B．C．， D．，12．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）定義：角與都是任意角，若滿足，則稱與“廣義互余”.已知，則下列角中，可能與角“廣義互余”的是（

）A． B． C． D．三、填空題13．（2022·天津·高一期末）已知，則_________．14．（2022·天津·高一期末）已知函數(shù)，若，則_________．15．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則______．16．（2022·北京·牛欄山一中高一階段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，將角的終邊繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則___________.17．（2022·安徽·碭山中學(xué)高一期中）已知，則______．四、解答題18．（2022·江西省萬載中學(xué)高一期中）（1）化簡：（2）已知（n∈Z），求＋＋＋…＋的值.19．（2022·江西省萬載中學(xué)高一階段練習(xí)）已知(1)化簡(2)若，α為第三象限角，求的值.20．（2022·安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試）（1）已知，求的值（2）求值：21．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知、、為的三個(gè)內(nèi)角，求證：22．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)，且．(1)求的值；(2)若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，求的值．5．3誘導(dǎo)公式【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一：，，，其中誘導(dǎo)公式二：，，，其中誘導(dǎo)公式三：，，，其中誘導(dǎo)公式四：，．，，其中知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）要化的角的形式為（為常整數(shù)）；（2）記憶方法：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”；（3）必須對(duì)一些特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見角知值，見值知角”；（4）；．知識(shí)點(diǎn)二：誘導(dǎo)公式的記憶誘導(dǎo)公式一～三可用口訣“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”記憶，其中“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名，“符號(hào)”是指等號(hào)右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)，“看象限”是指把看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào)．誘導(dǎo)公式四可用口訣“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限”記憶，“函數(shù)名改變”是指正弦變余弦，余弦變正弦，為了記憶方便，我們稱之為函數(shù)名變?yōu)樵瘮?shù)的余名三角函數(shù)．“符號(hào)看象限”同上．因?yàn)槿我庖粋€(gè)角都可以表示為的形式，所以這六組誘導(dǎo)公式也可以統(tǒng)一用“口訣”：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，意思是說角（為常整數(shù)）的三角函數(shù)值：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變，然后的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)視為銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)．用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡時(shí)的注意點(diǎn)：（1）化簡后項(xiàng)數(shù)盡可能的少；（2）函數(shù)的種類盡可能的少；（3）分母不含三角函數(shù)的符號(hào)；（4）能求值的一定要求值；（5）含有較高次數(shù)的三角函數(shù)式，多用因式分解、約分等．知識(shí)點(diǎn)三：利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟用誘導(dǎo)公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般方向是：①化負(fù)角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù)；②化為內(nèi)的三角函數(shù)；③化為銳角的三角函數(shù)．可概括為：“負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了”（有時(shí)也直接化到銳角求值）．【題型歸納目錄】題型一：利用誘導(dǎo)公式求解給角求值問題題型二：利用誘導(dǎo)公式求解給值求值問題題型三：誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)式化簡中的應(yīng)用題型四：誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)證明中的應(yīng)用題型五：誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用題型六：利用互余互補(bǔ)關(guān)系求值【典型例題】題型一：利用誘導(dǎo)公式求解給角求值問題例1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）______．【答案】【解析】.故答案為:.例2．（2022·全國·高一）______．【答案】【解析】.故答案為：.例3．（2022·西藏拉薩·高一期末）（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】.故選：B變式1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，，所?故選：C.變式2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C.變式3．（2022·廣西桂林·高一期末）（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】，故選：D變式4．（2022·云南昆明·高一期末）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】故選：B．【方法技巧與總結(jié)】利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟（1）“負(fù)化正”：用公式一或三來轉(zhuǎn)化．（2）“大化小”：用公式一將角化為到間的角．（3）“小化銳”：用公式二或四將大于的角轉(zhuǎn)化為銳角．（4）“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值．題型二：利用誘導(dǎo)公式求解給值求值問題例4．（2022·安徽阜陽·高一期末）已知，若是第二象限角，則的值為（

）A． B． C．－ D．－【答案】C【解析】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，所以．故選：C.例5．（2022·安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試）若且是第二象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，又由為第二象限角，所以．故選：B.例6．（2022·廣東·饒平縣第二中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，若則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，所?故選：C.變式5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在中，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，平方得，，因?yàn)锳為三角形的一個(gè)內(nèi)角，所以，，所以，，所以，結(jié)合，可得，，所以.故選：A.變式6．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∴.故選：A.變式7．（2022·江西上饒·高一階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋裕蔬x：A變式8．（2022·遼寧·遼師大附中高一階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】由誘導(dǎo)公式得：，所以.則.故選：D變式9．（2022·河南南陽·高一期中）已知角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以且，所以，即，所以，所以；故選：A【方法技巧與總結(jié)】解決條件求值問題的方法（1）解決條件求值問題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系．（2）可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化．題型三：誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)式化簡中的應(yīng)用例7．（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學(xué)高一期末）（1）計(jì)算：；（2）已知，求的值.【解析】（1）原式；（2）原式.例8．（2022·西藏拉薩·高一期末）已知為第三象限角，且．(1)化簡；(2)若，求的值．【解析】（1）（2）∵，∴又為第三象限角，∴例9．（2022·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)高一期末）（1）化簡；（2）已知關(guān)于的方程的兩根為和，.求實(shí)數(shù)以及的值.【解析】（1），即.（2）因?yàn)殛P(guān)于的方程的兩根為和，所以，，所以，所以，因?yàn)?，所以，且，所以，變?0．（2022·安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試）已知α是第三象限角，且.(1)化簡；(2)若，求；(3)若，求.【解析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式有：（2）因?yàn)?，α是第三象限角，所以所以?）因?yàn)椋?變式11．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，為第二象限角.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【解析】（1）為第二象限角，則..∵，∴.∴.（2），則.∵為第二象限角，∴，，.∴.變式12．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知.(1)若角是第三象限角，且，求的值；(2)若，求的值.【解析】（1）.因?yàn)?，所以，又角是第三象限角，所以，所?（2）因?yàn)?，所?變式13．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過函數(shù)（且）的定點(diǎn)M.(1)求的值；(2)求的值.【解析】（1）∵函數(shù)（且）的定點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∴角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，∴（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，∴.（2）.【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)式化簡的常用方法（1）合理轉(zhuǎn)化：①將角化成，，的形式．②依據(jù)所給式子合理選用誘導(dǎo)公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)．（2）切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù)．（3）注意“1”的應(yīng)用：．（4）用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡時(shí)，若遇到的形式，需對(duì)k進(jìn)行分類討論，然后再運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡．題型四：誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)證明中的應(yīng)用例10．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）（1）求證：；（2）設(shè)，求證.【解析】（1）左邊=

=右邊，所以原等式成立.（2）方法1：左邊=

===右邊，所以原等式成立.方法2：由，得，所以，等式左邊====右邊，等式成立.例11．（2022·全國·高一專題練習(xí)）求證：【解析】左邊＝＝右邊，所以原等式成立．例12．（2022·上海·高一課時(shí)練習(xí)）已知A、B、C是的三個(gè)內(nèi)角，求證；（1）；

（2）.【解析】(1).

(2).變式14．（2022·上?！じ咭唬┤?，求證：.【解析】證明：若為偶數(shù)，則左邊；若為奇數(shù)，則左邊；左邊=右邊，所以原式成立.變式15．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）求證：.【解析】左邊，右邊，左邊右邊，故原式成立.【方法技巧與總結(jié)】三角恒等式的證明策略對(duì)于恒等式的證明，應(yīng)遵循化繁為簡的原則，從左邊推到右邊或從右邊推到左邊，也可以用左右歸一、變更論證的方法．常用定義法、化弦法、拆項(xiàng)拆角法、“1”的代換法、公式變形法，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡捷的方法．題型五：誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用例13．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線中，并解答.已知為第一象限角，且___________，求，，的值.【解析】若選條件①，由可得，又，所以，得.因?yàn)闉榈谝幌笙藿牵?，所以，所?若選條件②，因?yàn)?，所以，，所以，又，所以，得，因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，所以，所?例14．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).(1)化簡；(2)若，求的值.【解析】（1）（2）因?yàn)椋?，，?例15．（2022·江西上饒·高一階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在第二象限，且，記，滿足．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求的值．【解析】（1）因?yàn)樵诘诙笙?，，所以，所以，又點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以（2）．變式16．（2022·陜西渭南·高一期末）已知為第二象限角，．(1)求的值；(2)若，求的值．【解析】（1），因?yàn)闉榈诙笙藿?，∴．?）∵，∴變式17．（2022·陜西渭南·高一期末）已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn).(1)求的值；(2)求的值.【解析】(1)∵角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，∴，，∴.(2)由（1）知：，，∴，∴.變式18．（2022·陜西渭南·高一期末）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn).(1)求的值；(2)求的值.【解析】(1)由三角函數(shù)的定義可得.(2).變式19．（2022·廣西·桂林市奎光學(xué)校高一期末）已知點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，且．(1)求的值；(2)求的值．【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，且，所以且，解得，即，所以；(2)【方法技巧與總結(jié)】解決此類問題時(shí)，可先用誘導(dǎo)公式化簡變形，將三角函數(shù)的角度統(tǒng)一后再用同角三角函數(shù)關(guān)系式，這樣可避免公式交錯(cuò)使用時(shí)導(dǎo)致的混亂．題型六：利用互余互補(bǔ)關(guān)系求值例16．（2022·廣西·桂林市奎光學(xué)校高一期末）已知，則________．【答案】【解析】由，，所以原式.故答案為：例17．（2022·內(nèi)蒙古大學(xué)滿洲里學(xué)院附屬中學(xué)高一期末）已知，則的值是___________.【答案】【解析】因?yàn)?，故，故答案為：?8．（2022·貴州·遵義四中高一期中）已知，則__________．【答案】【解析】由.故答案為：變式20．（2022·江蘇省灌南高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知cos(45°＋α)＝，則cos(135°－α)＝________.【答案】－【解析】因?yàn)?，所?故答案為：變式21．（2022·江西省萬載中學(xué)高一期中）若，則的值為_____.【答案】【解析】由，則，故答案為：.變式22．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)時(shí)，若，則的值為_________．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴．故答案為：變式23．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）已知cos＝a(|a|≤1)，則cos＋sin的值是________.【答案】0【解析】∵，，.故答案為：0.【方法技巧與總結(jié)】巧用相關(guān)角的關(guān)系會(huì)簡化解題過程．觀察所求角與已知角是否具有互余、互補(bǔ)等特殊關(guān)系．在轉(zhuǎn)化過程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常見的互余關(guān)系有，；，；，等．常見的互補(bǔ)關(guān)系有，；，等．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B.2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，其中，若，則（

）A．4 B．3 C．－5 D．5【答案】C【解析】．故選：C.3．（2022·遼寧葫蘆島·高一期末）已知為銳角，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，又為銳角，所以，故選：C4．（2022·全國·高一專題練習(xí)）在中，下列等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在中，有，，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D錯(cuò)誤．等式一定成立的是C．故選：C．5．（2022·全國·高一單元測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，，所以，故．故選：D6．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，則，則且，所以，，故，因此，.故選：D.7．（2022·陜西渭南·高一期末）若，且是第三象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，又是第三象限角，，.故選：C.8．（2022·北京市第十九中學(xué)高一期中）若為任意角，則滿足的一個(gè)的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即，所以滿足條件的一個(gè)的值為2.故選：B二、多選題9．（2022·新疆·柯坪湖州國慶中學(xué)高一期末）下列與的值一定相等的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】因?yàn)?，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；，C正確；，D正確，故選：CD10．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在中，下列等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】對(duì)于A，，