19.百師聯(lián)盟2021屆高三一輪復習聯(lián)考(一)理數(shù)全國卷III試題【解析版】

試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁百師聯(lián)盟2021屆高三一輪復習聯(lián)考（一）理數(shù)全國卷III試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．設，其中是虛數(shù)單位，則（）A． B．2 C．1 D．【答案】C【分析】先根據(jù)完全平方公式和復數(shù)的運算計算出，再根據(jù)復數(shù)的模的求法解出即可.【詳解】解：因為，所以.故選：C.【點睛】本題考查復數(shù)的運算和復數(shù)的模的求法，屬于基礎題.2．已如集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出集合，再利用集合的交運算即可求解.【詳解】解：集合或，所以，故選：A.【點睛】本題考查了集合的基本運算、對數(shù)型復合函數(shù)的定義域，考查了基本運算能力，屬于基礎題.3．已知向量，，若，，則在上的投影為（）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】先由題意，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示，求出，再由向量投影的計算公式，即可得出結果.【詳解】因為，，，所以，解得，所以，，所以在上的投影為.故選：A.【點睛】本題主要考查求向量在另一個向量上的投影，熟記向量數(shù)量積的坐標表示，以及向量數(shù)量積的幾何意義即可，屬于基礎題型.4．方程所表示曲線的大致形狀為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】取，解得，令，解得，故排除C、D選項，又函數(shù)圖象不是圓，從而得出答案.【詳解】解：令，解得，令，解得，故排除C、D選項；易知該函數(shù)圖象不是圓，排除B選項，又因為點滿足條件，故選：A.【點睛】本題考查根據(jù)曲線方程選擇曲線的圖形，屬于基礎題.5．命題：“，”的否定形式為（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)含一個量詞的命題的否定方法直接得到結果.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題：“，”的否定形式為：，，故選：D.【點睛】本題考查全稱命題的否定，難度容易.含一個量詞的命題的否定方法：修改量詞，否定結論.6．已知某函數(shù)的圖象如圖所示，則其解析式可以是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的奇偶性，特殊值，及函數(shù)的取值范圍依次判斷，利用排除法，即可得出結果.【詳解】解：由圖象知，該函數(shù)為偶函數(shù)，排除B選項；當時，，而，排除A選項；令，所以，排除C選項，故選:D.【點睛】本題考查正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖像和性質，考查數(shù)形結合的能力，屬于中檔題.7．設函數(shù)與的圖象關于直線對稱，其中，且.則，滿足（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知函數(shù)圖象上任意一點關于對稱點在函數(shù)的圖象上，代入利用對數(shù)的運算性質即可求解.【詳解】解：設是函數(shù)圖象上任意一點，則它關于直線對稱的點在函數(shù)的圖象上，所以，即，故選：C.【點睛】本題考查了互為反函數(shù)的性質，考查了基本知識的掌握情況以及基本運算能力，屬于基礎題.8．如圖所示是某彈簧振子做簡諧運動的部分圖象，則下列判斷正確的是（）A．該彈簧振子的振幅為B．該彈簧振子的振動周期為C．該彈簧振子在，和時的振動速度最大D．該彈簧振子在和時的位移不為零【答案】B【分析】周期是振子完成一次全振動的時間，振幅是振子離開平衡位置的最大距離，由圖象直接讀出周期和振幅，根據(jù)振子的位置分析其速度和加速度大小，振子處于平衡位置時速度最大，在最大位移處時，加速度最大.【詳解】由圖象及簡諧運動的有關知識知，設其振動周期為T，則，解得，振幅，當或時，振動速度為零；該彈簧振子在和時的位移為零，故選：B【點睛】本題結合振動圖象考查了振幅和周期的概念以及質點振動的速度，位移，要能結合x-t圖象進行分析，屬于中檔題.9．歷史上第一個給出函數(shù)一般定義的是19世紀德國數(shù)學家狄利克雷（Dirichlet），當時數(shù)學家們處理的大部分數(shù)學對象都沒有完全的嚴格的定義，數(shù)學家們習慣借助于直覺和想象來描述數(shù)學對象，狄利克雷在1829年給出了著名函數(shù)：（其中為有理數(shù)集，為無理數(shù)集），狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)表示數(shù)學家們對數(shù)學的理解發(fā)生了深刻的變化，數(shù)學的一些“人造”特征開始展現(xiàn)出來，這種思想也標志著數(shù)學從研究“算”轉變到了研究“概念、性質、結構”.一般地，廣義的狄利克雷函數(shù)可定義為：（其中，且），以下對說法錯誤的是（）A．任意非零有理數(shù)均是的周期，但任何無理數(shù)均不是的周期B．當時，的值域為；當時，的值域為C．為偶函數(shù)D．在實數(shù)集的任何區(qū)間上都不具有單調性【答案】B【分析】設任意，，利用周期的定義可判斷A；根據(jù)值域的定義可判斷B；利用偶函數(shù)的定義可判斷C；實數(shù)的稠密性，函數(shù)值在和之間無間隙轉換可判斷D.【詳解】解：設任意，，則，，A選項正確；易知的值域為，B選項錯誤；若，則，所以，若，則，所以，C選項正確；由于實數(shù)的稠密性，任意兩個有理數(shù)之間都有無理數(shù)，兩個無理數(shù)之間也有有理數(shù)，其函數(shù)值在和之間無間隙轉換，所以無單調性；綜上，故選：B.【點睛】本題考查了函數(shù)的基本性質，考查了基本知識的掌握情況，同時考查了分析能力、理解能力，屬于基礎題.10．設銳角三角形三個內角，，所對的邊分別為，，，若，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由余弦定理知，即，則，化簡可得，再根據(jù)角的范圍可求出答案.【詳解】解：因為，即，由余弦定理知，因為三角形為銳角三角形，所以，結合正弦定理得，，則，化簡得：；因為，，所以，，即，故選：D.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，利用正弦定理進行邊角的互化，求邊的范圍，屬于中檔題.11．若函數(shù)在上有且僅有3個零點和2個極小值點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得做出函數(shù)簡圖，數(shù)形結合得，設函數(shù)的最小正周期為，由于，故，，再解不等式即可得答案.【詳解】如圖作出簡圖，由題意知，，設函數(shù)的最小正周期為，因為，則，，結合有且，解得.故選：B．【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質，考查數(shù)形結合思想與推理運算能力，是中檔題.12．已知函數(shù)的導函數(shù)為，任意均有，且，若函數(shù)在上有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】構造函數(shù)，求出導數(shù)，利用可得，進而可得，即得，利用導數(shù)討論的變化情況，即可求出t的范圍.【詳解】設函數(shù)，則，因為，則，設，則，所以，即，，，則在單調遞減，在單調遞增，，又要使函數(shù)有兩個零點，等價于曲線與有兩個交點，所以實數(shù)的取值范圍為故選:D．【點睛】本題考查構造函數(shù)，利用導數(shù)研究零點問題，屬于中檔題.二、填空題13．已知復數(shù)的虛部為零，為虛數(shù)單位，則實數(shù)________.【答案】【分析】先對復數(shù)化簡，再由復數(shù)的虛部為零，列方程可求得結果【詳解】解：，因為其虛部為零，所以，.故答案為：.【點睛】此題考查復數(shù)的除法運算，考查復數(shù)的有關概念，屬于基礎題14．已知，且，則________.【答案】【分析】由已知條件，結合同角正余弦的關系可求，又由誘導公式知即可求值.【詳解】由，∴，又，即，，∴結合，解得，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了同角的三角函數(shù)關系，結合誘導公式求三角函數(shù)值，屬于基礎題.15．函數(shù)，的最小值為________.【答案】【分析】令，可得，根據(jù)對勾函數(shù)的性質可得在單調遞減，由函數(shù)的單調性即可求解.【詳解】解：令，因為，所以，，令，由對勾函數(shù)的性質易知，在單調遞減，即，所以函數(shù)在上的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查了對數(shù)型復合函數(shù)的最值、利用函數(shù)的單調性求最值，考查了基本運算能力，屬于基礎題.16．設函數(shù)，若關于的方程有且僅有個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】作出函數(shù)的圖象，設，設關于有兩個不同的實數(shù)根、，可得知、，進而可知關于的二次方程在區(qū)間內有兩個不等的實根，利用二次方程根的分布可得出關于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的簡圖如圖，令，要使關于的方程有且僅有個不同的實根，則方程有兩個不同的實數(shù)根、，且由圖知、，設，則有，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查利用復合型二次函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)，考查數(shù)形結合思想的應用，屬于難題.三、解答題17．已知頂點在坐標原點，始邊在軸正半軸上的銳角的終邊與單位圓交于點，將角的終邊繞著原點逆時針旋轉得到角的終邊.（1）求的值；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義可得，，再利用二倍角的正弦公式即可求解.（2）由，利用兩角和的余弦公式可得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質即可求解.【詳解】解：（1）由題意得，，所以，.（2），化簡得，因為，所以，，.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義、三角恒等變換、正弦函數(shù)的性質，需熟記公式，屬于基礎題.18．已知函數(shù)，.（1）若是函數(shù)的零點，求的值；（2）討論函數(shù)的單調性.【答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見解析.【分析】（1）由，代入計算即可求得的值；（2）令，討論的取值范圍，結合定義域及復合函數(shù)的單調性依次討論，,,,即可得出結果.【詳解】解：（1）要使為函數(shù)的零點，即有，解得.（2）令，①當時，函數(shù)的定義域為，，因為在單調遞減，由復合函數(shù)的單調性知，在上單調遞減；②當時，由解得，，（i）當時，函數(shù)的定義域為，因為在單調遞增，在單調遞減，由復合函數(shù)的單調性知，在單調遞增，在單調遞減；（ii）當時，函數(shù)的定義域為，因為在單調遞增，在單調遞減，由復合函數(shù)的單調性知，在單調遞增，在單調遞減；（iii）當時，，不滿足題意，無意義；（iv）當時，函數(shù)的定義域為，因為在單調遞減，在單調遞增，由復合函數(shù)的單調性知，在單調遞減，在單調遞增.【點睛】本題考查函數(shù)的零點，考查含有參數(shù)的復合函數(shù)的單調性的問題，考查分類討論的思想，屬于中檔題.19．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且相鄰的兩個最值點間的距離為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變）得到函數(shù)的圖象，關于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設函數(shù)的最小正周期為，根據(jù)可求出，，根據(jù)可求出；（2）根據(jù)周期變換得到，然后求出在上的最小值，將不等式有解化為，再解關于的一元二次不等式可得解.【詳解】（1）由題意得的最大值為2，最小值為，設函數(shù)的最小正周期為，則，解得，所以，，因為的圖象過點，所以，即，因為，所以，.（2）因為將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變）得到函數(shù)的圖象，所以，當時，，則，因為不等式在上有解，即有，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查了根據(jù)三角函數(shù)的圖象求解析式，考查了由圖象變換求解析式，考查了不等式有解問題，屬于中檔題.20．2020年5月政府工作報告提出，通過穩(wěn)就業(yè)促增收保民生，提高居民消費意愿和能力．近日，多省市為流動商販經(jīng)營提供便利條件，放開“地攤經(jīng)濟”，但因其露天經(jīng)營的特殊性，易受到天氣的影響，一些平臺公司紛紛推出幫扶措施，賦能“地攤經(jīng)濟”．某平臺為某銷售商“地攤經(jīng)濟”的發(fā)展和規(guī)范管理投入萬元的贊助費，已知該銷售商出售的商品為每件元，在收到平臺投入的萬元贊助費后，商品的銷售量將增加到萬件，為氣象相關系數(shù)，若該銷售商出售萬件商品還需成本費萬元．（1）求收到贊助后該銷售商所獲得的總利潤萬元與平臺投入的贊助費萬元的關系式；（注：總利潤=贊助費+出售商品利潤）（2）若對任意萬元，當入滿足什么條件時，該銷售商才能不虧損？【答案】（1），；（2）當滿足時，該銷售商才能不虧損．【分析】（1）根據(jù)總利潤=贊助費+出售商品利潤和已知得解；（2）由題得在上恒成立，設，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得解.【詳解】（1）由題意得，．（2）要使對任意（萬元）時，該銷售商才能不虧損，即有，變形得在上恒成立，而，設，，令解得，所以函數(shù)在單調遞減，在單調遞增，，因為，所以有，解得，即當滿足時，該銷售商才能不虧損．【點睛】本題主要考查函數(shù)和不等式的應用，考查導數(shù)的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.21．已知函數(shù)，，.（1）若函數(shù)在處的切線斜率為，求的值；（2）若任意，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出，根據(jù)題意，解方程即可求解.（2）求出，，令解得，，討論或或或，求出函數(shù)的單調區(qū)間，將不等式恒成立轉化為求函數(shù)的最值問題即可.【詳解】解：（1）因為，所以，因為函數(shù)在處的切線斜率為，所以，解得.（2）由（1）知，，，令解得，，①當時，，在上，，所以，單調遞減；在上，，所以，單調遞增；要使任意，恒成立，即有，解得，不滿足；②當時，在上，，，所以，單調遞增；在上，，，所以，單調遞減；在上，，，所以，單調遞增；要使任意，恒成立，即有，解得，不滿足；③當時，結合②易知，在單調遞增；在單調遞減；在單調遞增；要使任意，恒成立，即有，解得，所以，滿足；④當時，在單調遞增；在單調遞減；要使任意，恒成立，即有，解得，所以，滿足；綜上：的取值范圍為.）【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義、根據(jù)函數(shù)的斜率求參數(shù)值、利用導數(shù)研究不等式恒成立，考查了轉化與劃歸的思想以及分類討論