2024年北京市中考數(shù)學(xué)一模26題匯編(含解析)

2024北京數(shù)學(xué)一模第26題匯編1.（2024平谷一模）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線．（1）當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)（2,0）時(shí)，求拋物線的解析式；（2）若拋物線上存在兩點(diǎn)和,若對(duì)于都有，求b的取值范圍．2．（2024石景山一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對(duì)稱軸為直線（1）求t的值（用含m的代數(shù)式表示）；（2）點(diǎn)，，在該拋物線上若拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，其中，比較，，的大小，并說(shuō)明理由．（2024燕山一模）在平面直角坐標(biāo)系中，M(m，)，N(m＋2，)是拋物線上兩點(diǎn)．設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸為．(1)若對(duì)于m＝1，有＝，求t的值；(2)若對(duì)于1＜m＜2，都有＜，求t的取值范圍．4．（2024北京匯文中學(xué)）（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2tx+t2﹣t．（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；（2）點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）在拋物線上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t．①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值；②若對(duì)于x1，x2，都有y1＜y2，求出t的取值范圍．5．（2024人大附一模）（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2﹣2mx+m2+1與y軸的交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A作直線l垂直于y軸．（1）求拋物線的對(duì)稱軸（用含m的式子表示）．（2）將拋物線在y軸左側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G．點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）為圖形G上任意兩點(diǎn)．①當(dāng)m＝0時(shí)，若x1＜x2，判斷y1與y2的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若對(duì)于x1＝m﹣2，x2＝m+2，都有y1＞y2，求m的取值范圍．6．（2024北京陳經(jīng)綸一模）（6分）如圖，AB是⊙O的一條弦，E是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EC⊥OA于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）求證：DB＝DE；（2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半徑．7．（2024北京四中一模）（本題9分）如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(1)求證：與的外接圓相切；(2)當(dāng)時(shí)，判斷和有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；(3)在（2）的條件下，求與的比值．8.（2024北京西城一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上．設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=t．（1）若，求t的值；（2）若當(dāng)時(shí)，都有求t的取值范圍．9.（2024北京朝陽(yáng)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上有兩點(diǎn)，它的對(duì)稱軸為直線．（1）若該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求t的值；（2）當(dāng)時(shí)，①若，則0；（填“>”“=”或“<”）②若對(duì)于，都有，求t的取值范圍．10.（2024北京首師大附中一模）如圖，在等邊中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．（1）求證：；（2）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，，①根據(jù)題意將圖補(bǔ)全；②在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，和有什么數(shù)量關(guān)系并證明．11．（2024北京順義一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M，N是拋物線上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為.（1）當(dāng)，，求拋物線的對(duì)稱軸；（2）若對(duì)于，，都有，求t的取值范圍.12．（2024北京豐臺(tái)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，是拋物線上的兩點(diǎn)．（1）直接寫(xiě)出一個(gè)a的值，使得成立；（2）是拋物線上不同于M，N的點(diǎn)，若對(duì)于，都有，求a的取值范圍．13.（2024北京大興一模）在平面直角坐標(biāo)系中，，是拋物線上任意兩點(diǎn)．設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線．（1）若，，求的值；（2）若對(duì)于，，都有，求的取值范圍．14.（2024北京房山一模）在平面直角坐標(biāo)系中，,是拋物線上任意兩點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若對(duì)于，，都有，求的取值范圍．15.（2024北京門(mén)頭溝一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在拋物線上，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線.（1）如果拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值；（2）如果對(duì)于，，都有，求取值范圍；（3）16.（2024北京延慶一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（3，m），點(diǎn)B（5，n）在拋物線上.設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線.（1）若m=n，求的值；（2）點(diǎn)在該拋物線上，若對(duì)于，都有，求的取值范圍.17．（2024北京人朝分校一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上任意兩點(diǎn)．（1）直接寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸；（2）若x1＝a+1，x2＝a+2，比較y1與y2的大小，并說(shuō)明理由；（3）若對(duì)于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，總有y1＜y2，求m的取值范圍．

26題答案解析1.（1）拋物線的對(duì)稱軸為x=b························································1∵拋物線過(guò)點(diǎn)（0,0）和（2,0）∴b=1························································2∴拋物線的解析式為（2）∵拋物線的對(duì)稱軸為x=b，∴（b+2,0）點(diǎn)一定位于對(duì)稱軸的右側(cè)························································3情況1：當(dāng)原點(diǎn)位于對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)此時(shí)，有解得························································4情況2：當(dāng)原點(diǎn)位于對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)此時(shí)，有解得解得························································5綜上，························································62．解：（1）由題意，得，即．…………2分（2）．理由如下：令，得．∴．∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，．∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，其中，∴．∵，∴．∴，．設(shè)點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為．∵點(diǎn)在拋物線上，∴點(diǎn)也在拋物線上．由，得．∴．∴．∵拋物線的解析式為，∴此拋物線開(kāi)口向上．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．∵點(diǎn)，，在拋物線上，且，∴．…………6分2．解：(1)∵對(duì)于m＝1，有＝，∴點(diǎn)M(1，)，N(3，)關(guān)于直線x＝t對(duì)稱，∴t－1＝3－t，∴t＝2．……………2分(2)∵a＞0，∴當(dāng)x≥t時(shí)，y隨x增大而增大，當(dāng)x＜t時(shí)，y隨x增大而減?。佼?dāng)t≤1時(shí)，∵1＜m＜2，∴3＜m＋2＜4，∴t＜m＜m＋2，∴＜，符合題意．②當(dāng)1＜t≤2時(shí)，（i）當(dāng)t≤m＜2時(shí)，∵3＜m＋2＜4，∴t≤m＜m＋2，∴＜，符合題意．（ii）當(dāng)m＜t≤2時(shí)，設(shè)點(diǎn)M(m，)關(guān)于x＝t的對(duì)稱點(diǎn)為M′，則點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(2t－m，)．∵1＜m＜t≤2，∴m＜2t－m＜3．∵3＜m＋2＜4，∴2t－m＜m＋2，∴＜，符合題意．③當(dāng)2＜t＜3時(shí)，令m＝t－1，則m＋2＝t＋1，∴＝，不符合題意．④當(dāng)t≥3時(shí)，令m＝，則m＋2＝，∴＞，不符合題意．綜上所述，t的取值范圍是t≤2．…………6分3．解：(1)∵對(duì)于m＝1，有＝，∴點(diǎn)M(1，)，N(3，)關(guān)于直線x＝t對(duì)稱，∴t－1＝3－t，∴t＝2．……………2分(2)∵a＞0，∴當(dāng)x≥t時(shí)，y隨x增大而增大，當(dāng)x＜t時(shí)，y隨x增大而減?。佼?dāng)t≤1時(shí)，∵1＜m＜2，∴3＜m＋2＜4，∴t＜m＜m＋2，∴＜，符合題意．②當(dāng)1＜t≤2時(shí)，（i）當(dāng)t≤m＜2時(shí)，∵3＜m＋2＜4，∴t≤m＜m＋2，∴＜，符合題意．（ii）當(dāng)m＜t≤2時(shí)，設(shè)點(diǎn)M(m，)關(guān)于x＝t的對(duì)稱點(diǎn)為M′，則點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(2t－m，)．∵1＜m＜t≤2，∴m＜2t－m＜3．∵3＜m＋2＜4，∴2t－m＜m＋2，∴＜，符合題意．③當(dāng)2＜t＜3時(shí)，令m＝t－1，則m＋2＝t＋1，∴＝，不符合題意．④當(dāng)t≥3時(shí)，令m＝，則m＋2＝，∴＞，不符合題意．綜上所述，t的取值范圍是t≤2．…………6分4．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（t，﹣t）；（2）①∵y＝x2﹣3tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝t，∵8＞0，∴拋物線開(kāi)口向上，∵t﹣1≤x4≤t+2，∴當(dāng)x＝t時(shí)，y1的最小值為﹣t，∵y4的最小值是﹣2，∴t＝2，∵|t﹣3﹣t|＝1，|t+2﹣t|＝4，∴當(dāng)x＝t+2時(shí)，y1最大＝（t+3﹣t）2﹣t＝4﹣t＝2﹣2＝2，即y4的最大值為2；②∵點(diǎn)P（x1，y2），Q（x2，y2）在拋物線y＝（x﹣t）8﹣t上，∴y1＝（x1﹣t）7﹣t，y2＝（x2﹣t）6﹣t，∵對(duì)于x1，x2，都有y4＜y2，∴y2﹣y2＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x2﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x5﹣x1）（x2+x2﹣2t）＞0，∴或，Ⅰ、當(dāng)時(shí)，由①知，x5＞x1，∵t﹣1≤x2≤t+2，x2＝5﹣t，∴1﹣t＞t+2，∴t＜﹣，由②知，x2+x8＞2t，∵t﹣1≤x3≤t+2，x2＝6﹣t，∴0≤x2+x8≤3，∴2t＜2，∴t＜0，即t＜﹣；Ⅱ、當(dāng)時(shí)，由③知，x2＜x4，∵t﹣1≤x1≤t+4，x2＝1﹣t，∴6﹣t＜t﹣1，∴t＞1，由④知，x2+x1＜2t，∵t﹣3≤x1≤t+2，x8＝1﹣t，∴0≤x3+x1≤3，∴5t＞3，∴t＞，即t＞；即滿足條件的t的取值范圍為t＜﹣或t＞．5．【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸公式求解即可；（2）①由題意可得出二次函數(shù)解析式是y＝x2+1，對(duì)稱軸為y軸，即可畫(huà)出圖形G，如圖1，得出圖形G上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x和y，滿足y隨x的增大而增大，即可得出結(jié)論；②通過(guò)計(jì)算可知，P（m﹣2，5），Q（m+2，5）為拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸x＝m對(duì)稱的兩點(diǎn)，下面討論當(dāng)m變化時(shí)，y軸于點(diǎn)P，Q的相對(duì)位置：分三種情形：如圖2，當(dāng)y軸在點(diǎn)P左側(cè)時(shí)（含點(diǎn)P），如圖3，當(dāng)y軸在點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)（含點(diǎn)Q），如圖4，當(dāng)y軸在點(diǎn)P，Q之間時(shí)（不含P，Q），分別求解即可．【解答】解：（1）∵該拋物線解析式為y＝x2﹣2mx+m2+1，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線；（2）①y1＜y2．理由：當(dāng)m＝0時(shí)，二次函數(shù)解析式是y＝x2+1，對(duì)稱軸為y軸，∴圖形G大致圖象如下，∴圖形G上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x和y，滿足y隨x的增大而增大．∵x1＜x2，∴y1＜y2；②對(duì)于y＝x2﹣2mx+m2+1，令x＝m﹣2，則y＝（m﹣2）2﹣2m（m﹣2）+m2+1＝5，令x＝m+2，則y＝（m+2）2﹣2m（m+2）+m2+1＝5，∴該拋物線上兩點(diǎn)P（m﹣2，5），Q（m+2，5）為拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸x＝m對(duì)稱的兩點(diǎn)．分類(lèi)討論：如圖2，當(dāng)y軸在點(diǎn)P左側(cè)時(shí)（含點(diǎn)P），經(jīng)翻折后，點(diǎn)P，Q位置不動(dòng)，∴y1＝y(tǒng)2，不符題意；如圖3，當(dāng)y軸在點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)（含點(diǎn)Q），點(diǎn)P，Q經(jīng)翻折之后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，N，∴y1＝y(tǒng)2，不符題意；如圖4，當(dāng)y軸在點(diǎn)P，Q之間時(shí)（不含P，Q），經(jīng)翻折后，點(diǎn)N在l下方，點(diǎn)M，P重合，在l上方，∴y1＞y2，符合題意，此時(shí)有m﹣2＜0＜m+2，即﹣2＜m＜2，綜上所述，m的取值范圍為﹣2＜m＜2．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱翻折變換，函數(shù)的增減性等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，正確作出圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．【分析】（1）欲證明DB＝DE，只要證明∠DEB＝∠DBE；（2）作DF⊥AB于F，連接OE．只要證明∠AOE＝∠DEF，可得sin∠DEF＝sin∠AOE＝＝，由此求出AO即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：∵AO＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵BD是切線，∴OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∴∠OBE+∠EBD＝90°，∵EC⊥OA，∴∠CAE+∠CEA＝90°，∵∠CEA＝∠DEB，∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE．（2）作DF⊥AB于F，連接OE．∵DB＝DE，AE＝EB＝6，∴EF＝BE＝3，OE⊥AB，在Rt△EDF中，DE＝BD＝5，EF＝3，∴DF＝＝4，∵∠AOE+∠A＝90°，∠DEF+∠A＝90°，∴∠AOE＝∠DEF，∴sin∠DEF＝sin∠AOE＝＝，∵AE＝6，∴AO＝．∴⊙O的半徑為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．7．(1)見(jiàn)解析(2)．理由見(jiàn)解析(3)【分析】本題主要考查切線的判定，全等石匠判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)：（1）證明得，由得，取的中點(diǎn)，連接，證明即可得出結(jié)論；（2）證明，得出進(jìn)一步得出結(jié)論；（3）設(shè)，可求出，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，四邊形為正方形，，又，，，取的中點(diǎn)，連接，則為外接圓的半徑，，，，所以與的外接圓相切．（2）解：．理由如下：，，而，．（3）解：設(shè)，則，，由（2）知，．8.【答案】（1）（2）【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式求得，然后利用對(duì)稱軸公式即可求得；（2）由題意可知點(diǎn)在對(duì)稱軸的左側(cè)，在對(duì)稱軸的右側(cè)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，分兩種情況討論，得到關(guān)于的不等式組，解不等式組從而求得的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】解：點(diǎn)在拋物線上，，，；【小問(wèn)2詳解】解：，拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，都有，點(diǎn)在對(duì)稱軸的左側(cè)，在對(duì)稱軸的右側(cè)，點(diǎn)，，在拋物線上，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，則，解得，；當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上所述，t的取值范圍為．9.【答案】（1）（2）①<，②或【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，將點(diǎn)代入拋物線求得，結(jié)合對(duì)稱軸定義即可求得；①根據(jù)題意得拋物線開(kāi)口向上，且過(guò)原點(diǎn)，即可得；②由已知求得，結(jié)合恒成立，則有點(diǎn)在x的同側(cè)即可．【小問(wèn)1詳解】解：將點(diǎn)代入得，解得，∴，則；【小問(wèn)2詳解】①根據(jù)題意得拋物線開(kāi)口向上，且過(guò)原點(diǎn)，∵，，∴；②∵，，∴，∵有恒成立，∴點(diǎn)在x的同側(cè)，則或．26.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①見(jiàn)解析；②，證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)即可得出；（2）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；②根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出，，結(jié)合（1）中結(jié)論可得，即可證明是等邊三角形，可得．【小問(wèn)1詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．【小問(wèn)2詳解】①補(bǔ)全圖形如圖所示：②，理由如下：如①中圖，連接，∵點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，∴，，由（1）知，∴，∵，即，∴，∵，∴是等邊三角形，∴．11．解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)（0，c）和（2，c），∴拋物線對(duì)稱軸為x=1．…………………..…………….2分（2）∴①當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)M對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，…………………..…………….6分12．解：（1）答案不唯一，例如：．（2）∵二次函數(shù)解析式為，∴函數(shù)圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為．①當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)P，M，N均在對(duì)稱軸右側(cè)．∴由二次函數(shù)性質(zhì)，必有，不符題意舍去．②當(dāng)時(shí)，∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)，設(shè)P點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵點(diǎn)，M，N在對(duì)稱軸右側(cè)，且，∴．∴．③當(dāng)時(shí)，∵點(diǎn)P和M在對(duì)稱軸左側(cè)，由函數(shù)性質(zhì)，有，∵點(diǎn)，N在對(duì)稱軸右側(cè)，且，∴．∴．④當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)P，M，N均在對(duì)稱軸左側(cè)．∴由二次函數(shù)性質(zhì)，必有，不符題意舍去．由①②③④可知，．13.【答案】（1）（2）或【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)，（1）將，代入解析式，得出即可得解；（2）分①當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸上或?qū)ΨQ軸右側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸上或?qū)ΨQ軸左側(cè)時(shí)兩種情況討論組成不等式組即可得解；解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【小問(wèn)1詳解】，，，，，【小問(wèn)2詳解】，拋物線開(kāi)口向下，拋物線的對(duì)稱軸為，，點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，①當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸上或?qū)ΨQ軸右側(cè)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，在對(duì)稱軸右側(cè)，隨的增大而減?。?，，，解得，，②當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸上或?qū)ΨQ軸左側(cè)時(shí)，設(shè)拋物線上的點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，，解得，，，，在對(duì)稱軸右側(cè)，隨的增大而減小，由，，，解得，，綜上所述，的取值范圍是或．14.解：（1）令，則.當(dāng)時(shí)，.∴拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；∵，當(dāng)時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）∵,是拋物線上任意兩點(diǎn)，∴，.∴.∵，，∴，.∵，，∴.即.∴.∴.15．（本小題滿分6分）方案2解：（1）由題意知，∴.∴.…………2分（2）∵，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小.點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為……3分=1\