選修2-1 圓錐曲線公式大全(高中珍藏版)

圓錐曲線公式大全

1、橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的性質(zhì)

橢圓的圖象和性質(zhì)

橢圓定義若Af為橢圓上任意一點(diǎn)，則有|MFi|+|MF2|=2a

焦點(diǎn)位置X軸y軸

Jv

h

圖形VpJx

馬+QVJ?

標(biāo)準(zhǔn)方程R落1

/b2

焦點(diǎn)坐標(biāo)B(-C,0),F2(C,0)Fi(0,-c,),F2(0,c)

焦距|FR|=2c

頂點(diǎn)坐標(biāo)(土a,0),(0,±6)(0,±a),(±6,0)

a,b,c的關(guān)系式a2=b2+c2

長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a,短軸長(zhǎng)二2。，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)二a,短半軸長(zhǎng)二。

長(zhǎng)、短軸

無(wú)論橢圓是x型還是y型，橢圓的焦點(diǎn)總是落在長(zhǎng)軸上

對(duì)稱軸關(guān)于X軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱

離心率e=-(0<e<1),離心率越大，橢圓越扁，反之，越圓

a

范圍-a<x<a,—h<y<b-b<x<b,-a<y<a

2、判斷橢圓是x型還是y型只要看X?對(duì)應(yīng)的分母大還是丁對(duì)應(yīng)的分母大，若/對(duì)應(yīng)的分

母大則x型，若/對(duì)應(yīng)的分母大則y型.

22

3、求橢圓方程一般先判定橢圓是x型還是y型，若為x型則可設(shè)為二+二=1,若為y

a2b2

22

型則可設(shè)為二+j=l,若不知什么型且橢圓過(guò)兩點(diǎn)，則設(shè)為稀里糊涂型：mx2+ny2=l

a2h2

4、雙曲線的定義、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的性質(zhì)

雙曲線的圖象和性質(zhì)

若M為雙曲線上任意一點(diǎn)，則有|-|M以=2a(2a<2c)

雙曲線定義若||M^|-|ME,|=2?=2c,則點(diǎn)M的軌跡為兩條射線

若惘用―|M以=2a>2c,則點(diǎn)M無(wú)軌跡

焦點(diǎn)位置X軸y軸

lw|

圖形lw

A\X

//小N

尤2y2

標(biāo)準(zhǔn)方程kU

焦點(diǎn)坐標(biāo)Fi(-c,0),F2(C,0)Fi(O,-c,),F2(0,c)

焦距|FIF2|=2c

頂點(diǎn)坐標(biāo)(土a,0)(0,±a)

橢圓形狀長(zhǎng)的像a,所以a是老大，a2=b2+c2；

a,h,c的關(guān)系式

雙曲線形狀長(zhǎng)的像c,所以c是老大，=a2+b2

實(shí)軸長(zhǎng)=2々，虛軸長(zhǎng)二26,實(shí)半軸長(zhǎng)二a,虛半軸長(zhǎng)二b

實(shí)軸、虛軸

無(wú)論雙曲線是x型還是y型，雙曲線的焦點(diǎn)總是落在實(shí)軸上

對(duì)稱軸關(guān)于X軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱

離心率e=—(e>1)

a

范圍a<x或x<-a,y￡Ra<y或y<-a,xeR

,b,a

漸近線y=±-xy=±—x

ab

2、判斷雙曲線是x型還是y型只要看一前的符號(hào)是正還是>2前的符號(hào)是正，若一前的符

號(hào)為正則x型，若丫？前的符號(hào)為正則y型，同樣的，哪個(gè)分母前的符號(hào)為正，則哪個(gè)分母

就為"

3、求雙曲線方程一般先判定雙曲線是x型還是y型，若為x型則可設(shè)為二―二=1,若

a2h2

為y型則可設(shè)為與若不知什么型且雙曲線過(guò)兩點(diǎn)，則設(shè)為稀里糊涂型:

ab~

rwc-ny2=1(〃?〃<0)

6、若已知雙曲線一點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程y=s,則可設(shè)雙曲線方程為

22

丁-mx=2(2豐0)，而后把點(diǎn)坐標(biāo)代入求解

7、橢圓、雙曲線、拋物線與直線l:y=kx+b的弦長(zhǎng)公式：

=J(*+D(X—必)2

22

\AB\=7U+I)U,-X2)

8、橢圓、雙曲線、拋物線與直線問(wèn)題出現(xiàn)弦的中點(diǎn)往往考慮用點(diǎn)差法

9、橢圓、雙曲線、拋物線與直線問(wèn)題的解題步驟：

(1)假化成整(把分式型的橢圓方程化為整式型的橢圓方程)，聯(lián)立消y或x

(2)求出判別式，并設(shè)點(diǎn)使用偉大定理

(3)使用弦長(zhǎng)公式

1、拋物線的定義：平面內(nèi)有一定點(diǎn)尸及一定直線/(F不在/上)尸點(diǎn)是該平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

且僅當(dāng)點(diǎn)P到F的距離與點(diǎn)P到直線/距離相等時(shí),那么尸的軌跡是以尸為焦點(diǎn)，/為準(zhǔn)線

的一條拋物線.-------見(jiàn)距離想定義!!!

2、(1)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程左邊一定是x或y的平方(系數(shù)為I),右邊一定是關(guān)于x和y的一

次項(xiàng)，如果拋物線方程不標(biāo)準(zhǔn)，立即化為標(biāo)準(zhǔn)方程！

(2)拋物線的一次項(xiàng)為x即為x型，一次項(xiàng)為y即為y型！

(3)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為一次項(xiàng)系數(shù)的四分之一，準(zhǔn)線與焦點(diǎn)坐標(biāo)互為相反數(shù)！一次項(xiàng)為

x,則準(zhǔn)線為'*=多少”，一次項(xiàng)為y,則準(zhǔn)線為“y=多少”！

(4)拋物線的開(kāi)口看一次項(xiàng)的符號(hào)，一次項(xiàng)為正，則開(kāi)口朝著正半軸，一次項(xiàng)為負(fù)，則開(kāi)

口朝著負(fù)半軸！

(5)拋物線的題目強(qiáng)烈建議畫(huà)圖，有圖有真相，無(wú)圖無(wú)真相！

3、求拋物線方程，如果只知x型，則設(shè)它為>2=ax(aw0),a>o,開(kāi)口朝右；a<0,開(kāi)口朝左；

如果只知y型，則設(shè)它為Y=ay(aw0)聲>o,開(kāi)口朝上；a<0,開(kāi)口朝下。

4、拋物線簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)：

標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點(diǎn)對(duì)稱軸焦點(diǎn)準(zhǔn)線離心率

y

I\朋

T=-之

（0.0）X軸e=l

一

仿》。）。\2

丁=2"

(號(hào)。

(0.0)X軸g,l

仿＞。)12

勺一

（0.0）y軸y=--e=l

AJ2

上>。）。X

----/

/=-2pyX--------1

0（。聞

（0.0）了=巴e=1

y軸Z2

仿)。)/

（尤其對(duì)稱性的性質(zhì)要認(rèn)真研究應(yīng)用，經(jīng)常由線對(duì)稱挖掘出點(diǎn)對(duì)稱，從而推出垂直平分等潛

在條件?。?/p>

1、拋物線的焦點(diǎn)弦，設(shè)P（X1,yJ,Q（X2,%）,且P,Q為拋物線V=2px經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的一條弦:

（1）P（X[J]）,Q（X2J2）兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系:X%=-〃2，％入2=￡-

（2）焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：|尸。=（西+*,）+〃=3—（其中a為直線PQ的傾斜角大?。?/p>

sin-a

（3）垂直于對(duì)稱軸的焦點(diǎn)弦稱為是通徑，通徑長(zhǎng)為2P

5、（1）直線與橢圓一個(gè)交點(diǎn)，則直線與橢圓相切。

（2）直線與雙曲線一個(gè)交點(diǎn)，則考慮兩種情況：第一種是直線與雙曲線相切；第二種是

直線與雙曲線的漸近線平行。

（3）直線與拋物線一個(gè)交點(diǎn)，則考慮兩種情況：第一種是直線與拋物線相切；第二種是

直線與拋物線的對(duì)稱軸平行。

（4）直線與拋物線的位置關(guān)系，理論上由直線方程與拋物線方程的聯(lián)立方程組實(shí)解的情

況來(lái)確定，實(shí)踐中往往歸納為對(duì)相關(guān)一元二次方程的判別式△的考察：直線與拋物線交于不

同兩點(diǎn)OA>0；直線與拋物線交于一點(diǎn)。A=0（相切）或直線平行于拋物線的對(duì)稱軸;

直線與拋物線不相交OA<0

6、判斷點(diǎn)與拋物線、橢圓位置關(guān)系：先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，而后把點(diǎn)代入，若大于，線外,

等于線上，小于線內(nèi)。

7、在研究直線與雙曲線，直線與橢圓，直線與拋物線位置關(guān)系時(shí)，若已知直線過(guò)一個(gè)點(diǎn)

（%,%）時(shí)，往往設(shè)為點(diǎn)斜式：y-%=女（%-%）,但是尤其要注意討論斜率不存在的情

況?。?！斜率不存在則設(shè)為x=

11、用點(diǎn)差法解決雙曲線的弦的中點(diǎn)問(wèn)題，一定要記得把所求出的直線方程與雙曲線方程聯(lián)

立消去y求出判別式，檢驗(yàn)判別式如果小于0,則直線不存在?。。?/p>

1、橢圓上的一點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的最大距離為a+c,最小距離為a-c,橢圓上取得最大

距離和最小距離的點(diǎn)分別為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)。

2、判斷過(guò)已知點(diǎn)的直線與拋物線一個(gè)交點(diǎn)直線條數(shù)：

(1)若已知點(diǎn)在拋物線外，則過(guò)該點(diǎn)的直線與拋物線一個(gè)交點(diǎn)的直線有三條：相

切兩條，與對(duì)稱軸平行一條。

(2)若已知點(diǎn)在拋物線上，則過(guò)該點(diǎn)的直線與拋物線一個(gè)交點(diǎn)的直線有兩條：相

切一條，與對(duì)稱軸平行一條。

(3)若已知點(diǎn)在拋物線內(nèi)，則過(guò)該點(diǎn)的直線與拋物線一個(gè)交點(diǎn)的直線有一條：相

切0條，與對(duì)稱軸平行一條。

(1)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

3、求點(diǎn)的軌跡的五個(gè)步驟：

(1)建立直角坐標(biāo)系(在不知點(diǎn)坐標(biāo)的情況下)。

(2)設(shè)點(diǎn)：求什么點(diǎn)的軌跡就只能把該點(diǎn)設(shè)為(x,y),不能設(shè)為其它形式的坐標(biāo)?。。?/p>

(3)根據(jù)直接法、代入法、定義法列出x和y的關(guān)系式。

(4)化簡(jiǎn)關(guān)系式。

(5)看看題目有沒(méi)有什么限制條件，根據(jù)限制條件寫(xiě)出x或y的范圍?。?！易錯(cuò)?。?！

7、過(guò)橢圓內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)的直線必與橢圓相交，過(guò)雙曲線或拋物線內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)的直線

與雙曲線或拋物線至少有一個(gè)交點(diǎn)：與雙曲線的漸近線平行，一個(gè)交點(diǎn)；不平行，

兩個(gè)交點(diǎn)；與拋物線的對(duì)稱軸平行，一個(gè)交點(diǎn)；不平行，兩個(gè)交點(diǎn)。

探究圓錐曲線中離心率的問(wèn)題

離心率是圓錐曲線中的一個(gè)重要的幾何性

質(zhì)，在高考中頻繁出現(xiàn)，下面給同學(xué)們介紹常用

的四種解法。

一、直接求出a、c,求解e

已知標(biāo)準(zhǔn)方程或a、c易求時(shí)，可利用離心

率公式e，來(lái)求解。

a

例1.過(guò)雙曲線C：x2_1=l(b>0)的左頂點(diǎn)A作

b-

斜率為1的直線/,若/與雙曲線M的兩條漸近線

分別相交于點(diǎn)B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M

的離心率是()

A.癡B.指C.巫D.

3

2

分析：這里的a=l,c=^77,故關(guān)鍵是求出b2,

即可利用定義求解。

解：易知A(-l,0),則直線/的方程為y=x+l。

直線與兩條漸近線產(chǎn)』和丫山的交點(diǎn)分別為

B(-占匕、CQ,2,又|AB|=|BC|,可解得b2=9,

b+1b+lb-1b-1

則。=而故有e、=可，從而選A。

a

二、變用公式，整體求出e

例2.已知雙曲線=l(a>0,b>0)的一條漸近

線方程為廣刎則雙曲套的離心率為()

A.3B.C.2D.3

3342

分析：本題已知工不能直接求出、

ag3,ac,

可用整體代入套用公式。

解：由（其中

aaVa-Vak

為漸近線的斜率）。這里，3則e，=、記"，從

a3aV33

而選Ao

三、第二定義法

由圓錐曲線的統(tǒng)一定義（或稱第二定義）知

離心率e是動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與相應(yīng)準(zhǔn)線的距離

比，特別適用于條件含有焦半徑的圓錐曲線問(wèn)

題。

例3.在給定橢圓中，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸

的弦長(zhǎng)為正，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1,則該

橢圓的離心率為（）

…B.*C.1D.孝

解：由過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦又稱為通

徑，設(shè)焦點(diǎn)為F,則MF_Lx軸，知|MF|是通徑的一

半，則有IMFN4。由圓錐曲線統(tǒng)一定義，得離心

率e=立，從而選B。

d2

四.構(gòu)造a、c的齊次式，解出e——用焦點(diǎn)

三角形求離心率

根據(jù)題設(shè)條件，借助a、b、c之間的關(guān)系，

構(gòu)造出a、c的齊次式，進(jìn)而得到關(guān)于e的方程,

通過(guò)解方程得出離心率e的值，這也是常用的一

種方法。，

例4.已知耳、F2是雙曲線"WTVZ

與一營(yíng)=l（a>0,b>0）的兩焦點(diǎn)，以線段一

F1F2為邊作正AMEB，若邊M耳的中點(diǎn)在雙曲線上，

則雙曲線的離心率是（）

A.4+2gB.V3-1C.sD,6+1

2

解：如圖，設(shè)|OFJ=c,M耳的中點(diǎn)為P,則點(diǎn)P的

橫坐標(biāo)為-f，由|PFJ=g|FEI=c，由焦半徑公式

|PF||=-ex-a，BPc=--x(--)-a9c2—2a2—2ac=0,e?-2e-2=0,

a2

解得e=l+g,e=l一百(舍去)，故選D。

練一練

設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Fi、F2,過(guò)F2作橢

圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,若明PF,為等腰直角

三角形，則橢圓的離心率是（D）

A.孝B.鋁C.2—痣D.

V2-1

解：由沙4=2,

化為齊次式e2+2e-l=0ne=>/2-1

高考試題分析

1.（2009全國(guó)卷I）設(shè)雙曲線￡.1=1（a>0,b>

ab

0）的漸近線與拋物線尸x?+l相切，則該雙曲線

的離心率等于（C）

(A)百(B)2(C)V5

（D）76

解：漸進(jìn)線的斜率與拋物線切線的斜率相等。設(shè)

切點(diǎn)a”。），則切線的斜率為yl『=2x°.由題意有

為=2x°又％=k+1

由題雙曲線,戶1（心。，心。）的一條漸近線方程為

產(chǎn)竺，代入拋物線方程整理得3—Z>x+a=0,因漸近

a

線與拋物線相切，所以方2-442=0,即,2=5/?國(guó)

2.（2009浙江理）過(guò)雙曲線馬一］=1（a>0,Z?>0）的右頂

ab

點(diǎn)A作斜率為一1的直線，該直線與雙曲線的兩條

漸近線的交點(diǎn)分別為及C.若=則雙曲線的

離心率是（）

A.y/2B.g

C.y/sD.Vio

答案：C

【解析】對(duì)于A?。），則直線方程為x+y-a=0,直線

與兩漸近線的交點(diǎn)為B,C,從二，04。（二,一4）,

（Q+匕a+b）a-ba-b

BC=（已=

u,-hQ—h1a+ba+bJ

因止匕2A5=3C,.〔4a2=b\:.e=y/5.

3.（2009浙江文）已知橢圓=1（a>/?>0）的左焦

點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)B在橢圓上，且3fx軸，

直線加交y軸于點(diǎn)P.若4P=2如則橢圓的離心率

是（）

【解析】對(duì)于橢圓，因?yàn)锳P=2PB,則

OA=20F,a=2c,.\e=—

2

4.（2009山東卷理）設(shè)雙曲線=i的一條漸近

線與拋物線y=x^+l只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線

的離心率為（）.

A.2B.5C.正D.V5

42

【解析】：雙曲線馬-4=］的一條漸近線為產(chǎn)砥,由

aba

b

方程組消去y,得d一生+1=0有唯一解，所以△

a

J=X2+1

所以"2,e=￡=亞運(yùn)=\"）2=6,故選D

aaa\a

5.（2009安徽卷理）下列曲線中離心率為理的是

2

（A）《上=i（B）工上=1（C）JJi（D）

244246

Yy2-1

410

［解析］由小奪得展沁斗弓與斗選B

2a22a2

6.（2009江西卷文）設(shè)片和工為雙曲線

￡-1=1（。>0/>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，若與B，P（0,2Q是正三

ab

角形的三個(gè)頂點(diǎn),則雙曲線的離心率為

A.3B.2C.2

22

D.3

【解析】由tan"9由有3c2=4b2=4(c2-a2),則e，=2,故

6263a

選B.

7.(2009江西卷理)過(guò)橢圓m+1=i(a>“o)的左焦

a~b

點(diǎn)片作X軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，鳥(niǎo)為右焦點(diǎn)，若

/月尸舄=60，則橢圓的離心率為

A.正B.且C.1

232

D.1

【解析】因?yàn)镻(-c,±—),再由〃桃=6()有史=2/從而

aa

可得e，=3,故選B

a3

8.(2009全國(guó)卷H理)已知雙曲線。W一￥=1(?！?,“0)

ab"

的右焦點(diǎn)為乙過(guò)/且斜率為目的直線交C于

43兩點(diǎn)，若而=4而，則C的離心率(A)

A.eB.1C.9D.?

5585

9.(2008福建理11)雙曲線營(yíng)=1(a>0,b>0)

的兩個(gè)焦點(diǎn)為￡、尻若P為其上一點(diǎn)，且

I陽(yáng)|二2|陽(yáng)I,則雙曲線離心率的取值范圍為(B)

A.(1,3)B.(i,3]C.(3,+oo)

D.[3,+oo)

利用第二定義及焦半徑判斷公?

10.(2008湖南理8)若雙曲線。[=1(a>0,b

ab

>0)上橫坐標(biāo)為的2的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它

到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是

(B)

A.(1,2)B.(2,+oo)C.(1,5)D.

(5,+J

解析：利用第二定義吟--7)>~2+7-，整理得3e-5e-2>0

11.(2008江西理7)已知小鳥(niǎo)是橢圓的兩個(gè)焦

點(diǎn)，滿足的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓

離心率的取值范圍是(C)

A.(o,i)B.(o,1]C.(0當(dāng)D.吟,i)

解析：滿足何跖=。的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，所

以c<b.

12.(2008全國(guó)二理9)設(shè)心1,則雙曲線/品=i

的離心率e的取值范圍是(B)

A.(0,2)B.(V2，V5)C.(2,5)D.(2,石)

13.(2008陜西理8)雙曲線鳥(niǎo)―1=1(a>0,b>0)

ab

的左、右焦點(diǎn)分別是G，F(xiàn)2,過(guò)々作傾斜角為30的直

線交雙曲線右支于M點(diǎn)，若g垂直于x軸，則雙

曲線的離心率為(B)

A.瓜B.百C.夜D.正

3

14.(2008浙江理7)若雙曲線的兩個(gè)焦

點(diǎn)到一條準(zhǔn)線的距離之比為3：2,則雙曲線的離

心率是(D)

(A)3(B)5(C)6

(D)V5

15.(2008全國(guó)二文11)設(shè)4既是等腰三角形，

4BC=12O,則以AB為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)C的雙曲線的離

心率為(B)

A.B.泊C.i+V2D.1+6

22

16.(2008湖南文10)雙曲線=1(。>O,b>0)的

右支上存在一點(diǎn)，它到右焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線的距

離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是

C

A.（i,V2]B.忘+8）C.（i,V2+i]

D.[V2+1,+OO）

利用焦半徑公式及〃，解不等式即可。

17.（2007全國(guó)2理）設(shè)不工分別是雙曲線.一營(yíng)的

左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)A,使〃A6=90且

|叫=3席則雙曲線的離心率為（B）

A.近B.巫C.史D.石

222

解產(chǎn)一整=2卷=2%0竿？e叵

t（AK）2+（AK）2=（2C）2M2

18（07全國(guó)2文）.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)

的2倍，則橢圓的離心率等于（D）

A1@C1@

32

*3-B.*2-D.

19（07江蘇理3）.在平面直角坐標(biāo)系g中，雙

曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，一條漸近線方

程為x-2y=（）,則它的離心率為（A）

A.6B.亞

2

C.V3D.2

（注意焦點(diǎn)在y軸上）

20.設(shè)用居分別是橢圓￡+1=1仁＞。＞。）的左、右

焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在P,使線段"的中垂線

過(guò)點(diǎn)工，則橢圓離心率的取值范圍是（D）

A.卜當(dāng)B."C.g1]D.⑼

I2」I3][2）[3J

O2出

&一=2c?巴3c?e史

2c3

21（07湖南文）.設(shè)與居分別是橢圓1+I=i（a>o>o）

ab

的左、右焦點(diǎn)，P是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為Gc（C為

半焦距）的點(diǎn),且咯H&P，則橢圓的離心率是

（D）

A.巫B.1C.旦D.克

2222

22（07北京文4）.橢圓與1=1（”〃>0）的焦點(diǎn)為

ab~

F2,兩條準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)分別為若

|MN|W2閨用，則該橢圓離心率的取值范圍是

（D）

A.riiB.fo出]c.ri.il

I0,2」I2JL2）

D.臼

L2

23.（2009重慶卷文）已知橢圓!+小=1（?>&>0）的左、

右焦點(diǎn)分別為61,。）,口c,。），若橢圓上存在一點(diǎn)P使

則該橢圓的離心率的取值范圍

為.

【答案】(顯川)

.解法1，因?yàn)樵谥校烧叶ɡ淼?/p>

PF2_PF.

sinPFiF2sinPF2F1

則由已知,得會(huì)備即…

設(shè)點(diǎn)(%，》0)由焦點(diǎn)半徑公式，得

】=a+Uc(?-ex)

PFex(),PF2-a-ex()貝a(a+ex())=0

記得/=I="由橢圓的幾何性質(zhì)知

e(c-a)e(e+l)

%>一〃則3>/,整理得

e(e+1)

e2+2e—l>0,解得e〈一收一1或e<0一1,又ee(O,l),故橢

圓的離心率ee(afl)

24.(2009湖南卷理)已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)

及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為原點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)

角為60",則雙曲線C的離心率為半

【解析】連虛軸一個(gè)端點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)及原點(diǎn)的三

角形，由條件知，這個(gè)三角形的兩邊直角分別是

》,cQ是虛半軸長(zhǎng)，c是焦半距)，且一個(gè)內(nèi)角是30。，

即得2=tan30。，所以c=6b,所以a=6b,后心率

C

cg展

P-__=,—______

一。一夜一2

25.(2008全國(guó)一理15)在中，AB=BC,

COSB-2.若以4B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,則該橢

=Io

圓的離心率e=.1

O

26(2010遼寧文數(shù))設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為八

虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為5,如果直線即與該雙曲

線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離

心率為

(A)&(B)6(C)小1(D)

2

V5+1

2

解析：選D.不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，

設(shè)其方程為：3=1(。>03>0)，

a"b~

則一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,O),B(O^)

一條漸近線斜率為：3直線用的斜率為：

ac

/.—?(--)=-1,/.b1=ac

ac

。2一人四=0,解得e=￡=^.

a2

27(2010四川理數(shù))(9)橢圓5+方=l(a>b>0)的右

焦點(diǎn)F,其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A,在橢圓上存

在點(diǎn)尸滿足線段AP的垂直平分線過(guò)點(diǎn)?則橢

圓離心率的取值范圍是

（A）[，用（5）（o,；（C）

（。）刖

解析：由題意，橢圓上存在點(diǎn)P,使得線段AP

的垂直平分線過(guò)點(diǎn)?

即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等

ffi|M|=—-C=—,\PF\\_a-ca+c\,于

ccy

是貴

cG[a—c,a-\-c]

BP6ZC-c2^Z?2^tzc+c2

c

???[""2W22n卜—一41,又e￡（o,1）故

[a—Yac+c￡<_i或g—

a2

答案：D

OQ（2010廣東文數(shù)）7.若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、

Zo

短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心

率是

A.aB.3C.2

555

D.1

5

解：設(shè)長(zhǎng)軸為2a,短軸為26,焦距為二，則2a+M=2x2i

即a+c=26=（.+c）*=4b*=4（a-c2）

整理得：5c，+2ac-3a，=0,即5e，+2e-3=0ne=g或e=-l（舍），選B

（2010全國(guó)卷1文數(shù)）（16）已知F是橢圓c的一

個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延

長(zhǎng)線交C于點(diǎn)D,且馀=2器，則C的離心率

為.

f【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾

何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識(shí)，考查了數(shù)形

結(jié)合思想、方程思想,本題凸顯解析幾何的特點(diǎn):

“數(shù)研究形，形助數(shù)”，利1

用幾何性質(zhì)可尋求到簡(jiǎn)化

問(wèn)題的捷徑.[o'C

22

【解析1】如圖y\BF\=y/b+c=a,

作即”軸于點(diǎn)Di,則由

UUUUL4日

BF=2FD,倚

\OF\\BF\

=g,所以31=||"1=3

\DD}\\BD\

即夕與由橢圓的第二定義得3…得

又由IS=2|EDI,a=2。一^^,=e=

a3

【解析2]設(shè)橢圓方程為第一標(biāo)準(zhǔn)形式

設(shè)°仁,%），F(xiàn)分BD所成的比為2,

0+2x,33b+2y3y-b30-b

—Xy——x——c;y—2—==I,代入

1+2~2°2°1+2222

6

綏+駕=1,e=——

4/4b23

（2010全國(guó)卷1理數(shù)）

解法二設(shè)/"。=。，則5=7,由靛=2板可知圈=匿*片=2,解得一當(dāng)

（2010遼寧理數(shù)）（20）（本小題滿分12分）

設(shè)橢圓C：與+]=1（。>1>0）的左焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F

ab

的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，直線1的傾