第一章函數極限和連續(xù)-高數知識點資料文檔

第一章函數、極限和連續(xù)

【考試要求】

一、函數

1.理解函數的概念：函數的定義，函數的表示法，分段函數.

2.理解和掌握函數的簡單性質：有界性，單調性，奇偶性，周期性.

3.了解反函數：反函數的定義，反函數的圖像.

4.掌握函數的四則運算與復合運算.

5.理解和掌握基本初等函數：幕函數，指數函數，對數函數，三角函數，反三角函數.

6.了解初等函數的概念.

二'極限

1.理解數列極限的概念：數列，數列極限的定義.

2.了解數列極限的性質：唯一性，有界性，四則運算定理，夾逼定理，單調有界數列，極

限存在定理，掌握極限的四則運算法則.

3.理解函數極限的概念：函數在一點處極限的定義，左右極限及其與極限的關系，工趨于

無窮（%—>00,x-?+GO,x—時函數的極限.

4.掌握函數極限的定理：唯一性定理，夾逼定理，四則運算定理.

5.理解無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關系，

無窮小量與無窮大量的性質，兩個無窮小量階的比較.

6.熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法.

7.熟練掌握分段函數求極限的方法.

三、連續(xù)

1.理解函數連續(xù)的概念：函數在一點連續(xù)的定義，左連續(xù)和右連續(xù)，函數在一點連續(xù)的充

分必要條件，函數的間斷點及其分類.

2.掌握函數在一點處連續(xù)的性質：連續(xù)函數的四則運算，復合函數的連續(xù)性，反函數的連

續(xù)性，會求函數的間斷點及確定其類型.

3.

掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理(包括零點定

理)，會運用介值定理推證一些簡單命題.

4.理解初等函數在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會利用連續(xù)性求極限.

5.熟練掌握分段函數連續(xù)性的判定方法.

【考試內容】

一'函數

(-)函數的概念

1.函數的定義：設數集OuR,則稱映射fR為定義在。上的函數，通常簡

記為y=/(%),XGD,其中尤稱為自變量，y稱為因變量，。稱為定義域.

說明：表示函數的記號是可以任意選取的，除了常用的/外，還可以用其他的英文字母或

希臘字母，如“g”、“F"、"(p”等，相應的，函數可記作y=g(x),y=F(x),

y=O(%)等.有時還直接用因變量的記號來表示函數，即把函數記作y=y(%),這一

點應特別注意.

2.函數的解析(公式)表示法

(1)函數的顯式表示法(顯函數)：y=/(%)形式的函數，即等號左端是因變量的符號,

ex-1

而右端是含有自變量的式子，如丁=xe'-2cosx,y=3sinx+---------等.

e、+In%

(2)函數的隱式表示法(隱函數)：函數的對應法則由方程/(%,>)=0所確定，即如果

方程/(乂田二。確定了一個函數關系》=/(%),則稱》=/(%)是由方程

廠(",〉)=0所確定的隱函數形式.

說明：把一個隱函數化成顯函數，叫做隱函數的顯化.例如從方程尤+丁3—1=0解出

y=%一%,就把隱函數化成了顯函數.但并非所有的隱函數都能顯化，隱函數的顯化

有時是非常困難的，甚至是不可能的.

(3)分段函數：如果函數的對應法則是由幾個解析式表示的，則稱之為分段函數，如

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x+1,x>0

/(%)=〈是由兩個解析式表示的定義域為(—8,+8)的一個函數.

x-1,%<0

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(4)由參數方程確定的函數：如果自變量％與因變量y的關系是通過第三個變量，聯(lián)系起

來《(，為參變量)，則稱這種函數關系為參數方程所確定的函數.例如：參數

x=2cost

表示的圖形即為圓心在原點，半徑為4的圓.

{y=2sint

(二)函數的幾種特性

1.有界性

設函數/(%)的定義域為。，數集Xu。，如果存在正數M,使得

對任一1eX都成立，則稱函數/(%)在X上有界.如果這樣的M不存在，就稱函數

/(%)在X上無界.

說明：我們這里只討論有界無界的問題而不區(qū)分上界和下界，并且，由上述定義不難看出，

如果正數M是函數/(x)的一個界，則比〃大的數都是函數/(%)的界.

2.單調性

設函數/(%)的定義域為D,區(qū)間/w。.如果對于區(qū)間/上任意兩點%及％2,當

再<%2時，恒有/(西)</(%2)，則稱函數/(X)在區(qū)間/上是單調增加的；如果對

于區(qū)間/上任意兩點再及％2,當不<%2時，恒有/(%)>/(%2)，則稱函數/(X)在

區(qū)間/上是單調減少的.單調增加和單調減少的函數統(tǒng)稱為單調函數.

3.奇偶性

設函數/(%)的定義域。關于原點對稱.如果對于任一XC。，/(一%)=/(%)恒

成立，則稱/(X)為偶函數.如果對于任一XC。，/(一％)=一—(%)恒成立，則稱/(X)

為奇函數.例如：/(1)=cos%、/(x)=%2都是偶函數，/(x)=sinx.

/(%)=arctan%是奇函數，而/(%)=$111%+以光%則為非奇非偶函數.

偶函數的圖形關于y軸對稱，而奇函數的圖形關于原點對稱.

說明：兩個偶函數的和是偶函數，兩個奇函數的和是奇函數；兩個偶函數的乘積是偶函數，

兩個奇函數的乘積是偶函數，偶函數與奇函數的乘積是奇函數.其余結論讀者可自行論證.

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4.周期性

設函數/(%)的定義域為￡>.如果存在一個正數/,使得對于任一X有

(%±/)G。，且/(%+/)=/(%)恒成立，則稱/(%)為周期函數，/稱為/(%)的

周期，通常我們說周期函數的周期是指最小正周期.例如：函數sin%、cos%都是以2%

為周期的周期函數，函數tan%是以乃為周期的周期函數.

(三)函數的運算

1.和差積商運算

設函數/(%)，g(%)的定義域依次為D.,則我們可以

定義這兩個函數的下列運算：

⑴和(差)f+g：(/±g)(%)=/(%)±g(%),xeD；

(2)積7?g：(7?/(%)=/(%>g(%),%e。；

(3)商工：—(%)=/(尤),XGD\{x|g(x)=0,XG￡)}.

g\gjg(%)

2.反函數(函數的逆運算)

對于給定的y是X的函數y=/(x),若將y當作自變量而%當作因變量，則由關系

式》=/(%)所確定的函數8=。(>)稱為函數/(%)的反函數，記為y=(x),

/(X)叫做直接函數.

若直接函數y=/(%)的定義域為Q,值域為則反函數丁=/T(x)的定義域

為M,值域為O.且直接函數的圖像與反函數的圖像關于直線y=%對稱.

3.復合函數(函數的復合運算)

設函數>=/(〃)的定義域為函數〃=g(x)的定義域為。g,且其值域

R&uDf,則由下式確定的函數y=/[g(%)],xwOg稱為由函數〃=g(%)與函

數>=/(〃)構成的復合函數，它的定義域為Og,變量〃稱為中間變量?

說明：g與f能構成復合函數的條件是函數g的值域R,必須含在函數7的定義域。/

內，即RgU。/,否則不能構成復合函數.此外，復合函數可以由多個函數復合而成.

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（四）基本初等函數與初等函數

1.基本初等函數

基函數：y=x"（4eR是常數）；

指數函數：y=Q*（。>0且awl）；

對數函數：y=log（/x（a>0且awl,特別當a=e時記為y=ln%）；

三角函數：y=sin%,y=cos%,y=tan%,y=cotx,y=sec%,y=csc%；

反三角函數：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx.

以上五類函數統(tǒng)稱為基本初等函數.

說明：反三角函數是學習和復習的難點，因此這里重點給出三角函數和反三角函數的關系，

這對于后邊學習極限、漸近線及導數等知識是非常有幫助的，請大家牢記.

（1）反正弦函數y=arcsin%：是由正弦函數y=sin%在區(qū)間上的一段定

義的反函數，故其定義域為［-1,1］,值域為一一，一］.

22

（2）反余弦函數y=arccos%：是由余弦函數丁=cos%在區(qū)間［0,萬］上的一段定義

的反函數，故其定義域為［-1,1］,值域為［（）,〃］.

（3）反正切函數y=arctan%：是由正切函數y=tanx在區(qū)間（-^，^）上的一段定

/、7CTC、

義的反函數，故其定義域為（—8,+8）,值域為（z一,，,）.

（4）反余切函數y=arccot%：是由余切函數y=cot%在區(qū)間（0,萬）上的一段定義

的反函數，故其定義域為（—8,+8）,值域為（0,萬）.

2.初等函數

由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用

一個式子表示的函數，稱為初等函數.例如：y=2sin2xcosx,y=yl2-x2,

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^=ln（A：+VP+1）,y=arccos（%2—1）等都是初等函數.在本課程中所討論

的函數絕大多數都是初等函數.

二、極限

（-）數列的極限

I.數列極限的定義：設｛%”｝為一數列，如果存在常數A,對于任意給定的正數￡（不論

它多么?。?，總存在正整數N,使得當時，不等式一A|<￡都成立，那么就

稱常數A是數列｛怎｝的極限，或者稱數列｛七｝收斂于A,記為11111%“=4或

>00

xn（〃->00）.如果不存在這樣的常數A,就說數列｛%“｝沒有極限，或者說數

歹|」｛七,｝是發(fā)散的，習慣上也說limx”不存在.

〃一>8

說明：數列極限中自變量〃的趨向只有一種，即〃一>8,雖然含義表示正無窮，但不要

寫做“f4W,注意與函數極限的區(qū)別.

2.收斂數列的性質

性質（1）:（極限的唯一性）如果數列｛七』收斂，那么它的極限唯一.

性質（2）：（收斂數列的有界性）如果數列｛%“｝收斂，那么數列｛%｝一定有界.

說明：對于數列｛九,J,如果存在正數〃，使得對一切九都有<M,則稱數列｛七｝

是有界的，否則稱數列｛七』是無界的.

性質（3）：（收斂數列的保號性）如果limx”=A，且A>0（或者A<0）,那么存在

8

正整數N,當〃〉N時，都有％“>0（或%“<0）.

（二）函數的極限

1.函數極限的定義

（1）%—%時函數的極限：設函數/（%）在點％0的某個去心鄰域內有定義.如果存在

常數A,對于任意給定的正數￡（不論它多么小），總存在正數b,使得當%滿足不等式

0<|九一%（）|<5時，對應的函數值/（%）都滿足不等式|/（幻一川<￡,那么常數A

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就叫做函數/(x)當%—%。時的極限，記作limf(x)=A或f(%)fA(當

XT'。

x—>x0).

說明：函數的左極限lim/(%)=A或/■(/-)=A；右極限lim/(x)=4或

X—>XQ"XT城

/(%+)=A；左極限與右極限統(tǒng)稱單側極限.函數/(%)當%一A%。時極限存在的充要

條件是左右極限都存在并且相等，即/(%-)=/(%(:)?

(2)%->8時函數的極限:設函數/(X)當卜|大于某一正數時有定義.如果存在常數A,

對于任意給定的正數￡(不論它多么小)，總存在正數X,使得當%滿足不等式〉X時，

對應的函數值/(%)都滿足不等式|/(%)一川<￡,那么常數A就叫做函數/(%)當

%—>00時的極限，記作lira/(%)=A或/(%)fA(當％,oo).

X—>co

說明：此定義包含lim/(%)=A和lim/(%)=A兩種情況.

Xf+00X—>-00

2.函數極限的性質(以%—%為例)

性質(1)：(函數極限的唯一性)如果limf(%)存在，那么這極限唯一.

?r?o

性質(2)：(函數極限的局部有界性)如果lim/(x)=A,那么存在常數〃>0和

5>0,使得當0<|%—％|<5時，有

性質(3)：(函數極限的局部保號性)如果lim/(%)=A,且A>0(或A<0),那

么存在常數S>0,使得當<3時，有/(%)>0(或/(%)<0).

(三)極限運算法則

1.如果lim/(%)=A,limg(x)=B,則有

X—>XQX—>XQ

(1)lim[/(x)±g(jc)]=limf(x)±limg(%)=A+B；

X->XQ工―沖X—>XQ

(2)lim[/(x)?g(%)]=limf(x)-limg(x)=AB；

X—X—>XQX—>JCQ

f(x\lim/(x)X

(3)lim3=^——=-其中3wO；

fag(x)limg(%)B

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(4)=clim/(x),其中。為常數；

X—>A()X—

/f,,

(5)lim[/(x)]=[lim/(x)])其中〃為正整數.

X—>XQXTQ

2.設有數列｛%“｝和｛y“｝，如果lim%“=A,lim%=3,則有

〃一>8"—>00

(1)lim(x±y)=A±B；

〃一>8n

(2)lim(xz;-yn｝=AB-,

xA

(3)lim—=—,其中)wO(八=1,2,?一)且JBWO.

〃->8/B

3.如果以％)2“(%),而lim0(%)=A,=則AN5.

x—>%0xf%

4.復合函數的極限運算法則：設函數y=/[g(x)]是由函數〃=g(%)與函數

y=/'(〃)復合而成，/[g(%)]在點％°的某去心鄰域內有定義，若limg(%)=〃o，

lim/(〃)=4,且存在d>0,當％eU(%o,今)時，有,則

〃->〃0

lim/[g(x)]=lim/(〃)=A.

W->MQ

說明：本法則以1->%o為例，其他趨向下亦成立.

(四)極限存在準則

1.準則/如果數列｛玉｝、｛券｝及｛z,J滿足下列條件:

從某項起，即當〃>/時，有

(1)wN,yn<xn<Z",

(2)limy=A,limz=A,

n—><x)nw—>oon

那么數列｛七J的極限存在，且limx”=A.

〃一>8

準則/'如果函數/(%)、g(x)及/?(%)滿足下列條件：

⑴當％eU(%o，r)(或國>M)時，g(x)</(x)<h(x),

(2)limg(x)=A,limh｛x)=A,

XfX。JVTXo

(XT8)(X->8)

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那么lim/'(%)存在，且等于A.

?SX。

(Xf8)

說明：準則/及準則/'稱為夾逼準則.

2.準則〃單調有界數列必有極限.

準則〃'單調有界函數必有極限.(函數有界一般是指在某個鄰域內有界)

(五)兩個重要極限

i.hm-----=1,可引申為lim—匕」=1,式中不管自變量工是哪種趨向，只

XTOX奴x)fO夕(%)

要在此趨向下3(%)-?0即可(以％)—》0+或以工)-0一時亦成立).

2.lim(l+xy=e或lim(l+i)'=e,可引申為lim(l+°(x))"=e

x-?Ox->oo%8(x)―>0

(0(%)f(T或0(x)fCT時亦成立)或lim(1+―!—y(x｝=e

以X)fOO9(%)

(0(%)T+8或0(X)-?-00時亦成立).

說明：數列亦有第二種極限形式，即lim(l+')”=e.兩個重要極限是考試的必考內容,

“廿n

請大家務必好好掌握.

(六)無窮小和無窮大

1.定義

(1)無窮小的定義：如果函數/(%)當X—%(或時的極限為零，那么稱函

數/(%)為當(或Xf8)時的無窮小量(簡稱無窮小).特別地，以零為極限

的數列｛%“｝稱為〃一>8時的無窮小.

說明：以后我們再提到無窮小時，把數列｛K〃｝當作特殊的函數來看待，故所謂的無窮小本

質上就是函數，并且一定是在自變量X的某一趨向下才有意義.

(2)無窮大的定義：如果在自變量的某一變化過程中，函數/(%)的絕對值無限增大，則

稱函數/(%)為自變量在此變化過程中的無窮大量(簡稱無窮大).

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說明：在自變量的同一變化過程中，如果/（X）為無窮大，則」一為無窮??；反之，如

/（%）

果/1（%）為無窮小且/1（x）wo,則-----為無窮大.

/（%）

2.無窮小的比較

設。，￡均為自變量同一趨向下的無窮小，且awO,

如果lim2=0,則稱尸是比a高階的無窮小，記作尸=o（a）；

（1）

a

如果則稱是比低階的無窮小;

(2)lim2=8,a

a

(3)如果lim—=cwO,則稱尸與a是同階無窮小;

a

如果lim2=l,則稱尸與a是等價無窮小，記作夕~夕;

(4)

a

如果k>0,則稱￡是關于。的上階無窮小.

(5)lim4=cw0,

a

3.無窮小的性質

（1）有限個無窮小的和是無窮小.

（2）常數與無窮小的乘積是無窮小.

（3）有限個無窮小的乘積是無窮小.

（4）有界函數與無窮小的乘積是無窮小.

（5）求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來替換，即設a,B,a',

，均為自變量同一趨向下的無窮小，且a?/，B~5，limg存在，則

a

lim—=lim—（lim表示自變量的任一趨向下的極限，以后文中出現(xiàn)此符號時均為此

aa'

意，不再解釋）.

說明：等價無窮小非常重要，故將常用的等價無窮小列舉如下，請大家務必牢記.

xf0時sinx?犬，可引申為0時，sin0（%）?0（%）；

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xf0時tanx?％,可引申為°(%)—>0時，tan0(%)?火%)；

%->0時arcsin%?%,可引申為。(％)-?0時，arcsin(p(x)~(p(x)\

1919

%—0時l-cos%?/X,可引申為0(%)->0時，l-cos°(%)~/夕(%)；

x->0時+%—1x,可引申為w(%)一^0時，+v(%)—1----夕(％)；

nn

0時e'-l?％,可引申為e(x)-?0時，e*")-l~o(%)；

%-?0時ln(l+1)?％,可引申為0(x)-?0時，ln(l+0(%))?0(%).

三、連續(xù)

(一)連續(xù)的概念

1.連續(xù)的定義

連續(xù)性定義(1)：設函數/(%)在點/o的某一鄰域內有定義，如果

limAy=lim[/(x+Ax)—f(x)]=0,

Ar70&r->000

則稱函數y=/(%)在點％°連續(xù)(即自變量的變化量趨于零時函數值的變化量也趨于零).

連續(xù)性定義(2)：設函數f(%)在點％的某一鄰域內有定義，如果lim/(%)=/1(%)，

則稱函數y=/(%)在點天連續(xù).

2.左連續(xù)、右連續(xù)及區(qū)間連續(xù)

(1)左連續(xù)：lim/(%)存在且等于/(%),即/(%()-)=/(公)；

X—迎一

(2)右連續(xù):：lim/(尤)存在且等于/(%),即/(%+)=/(%)；

(3)區(qū)間連續(xù)：若函數/(%)在區(qū)間每一點都連續(xù)，則稱/(%)為該區(qū)間上的連續(xù)函數，

或者說函數/(%)在該區(qū)間上連續(xù).如果區(qū)間包括端點，則函數/(%)在右端點連續(xù)是指

左連續(xù)，/(%)在左端點連續(xù)是指右連續(xù).

說明：一切初等函數在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的.

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(二)函數的間斷點

1.定義：設函數/(%)在點％0的某去心鄰域內有定義，如果函數有下列三種情形之一：

(1)在X=%0處沒有定義；

(2)雖在％=七處有定義，但lim/(%)不存在；

Xf和

(3)雖在1=七處有定義，且lim/(%)存在，但lim/(%)w/(x0),

X—X—

則函數/(x)在點％0為不連續(xù)，而點/稱為函數/(%)的不連續(xù)點或間斷點.

2.分類：

(1)第一類間斷點：如果/是函數/(x)的間斷點，但左極限/(%0-)和右極限/(%()+)

都存在，那么％0稱為函數/(x)的第一類間斷點./(4-)=/(%+)時稱％0為可去間

斷點，/(V)。/(V)時稱％o為跳躍間斷點.

(2)第二類間斷點：不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點.常見的第二類

間斷點有無窮間斷點和振蕩間斷點.

(三)閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質

1.有界性與最值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最

大值和最小值.

2.零點定理：設函數/(%)在閉區(qū)間［4,句上連續(xù)，且/(")與/3)異號(即

/(?)-/(/?)＜0),那么在開區(qū)間(。,人)內至少有一點J,使得/'(J)=0.

3.介值定理：設函數/(%)在閉區(qū)間句上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數值

/(Q)=A及/s)=3,那么對于A與3之間的任意一個數C,在開區(qū)間(。力)內

至少有一點使得/(4)=C(a＜匕＜b).

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【典型例題】

【例1-1】求復合函數.

X

I-設=求/"(%)]?

l-2x

解：求/[/(九)]就是用/(%)代替X然后化簡，得

x

1—2%

/"(%)]=

—

i1—cz,---x----12x—2x1—4x

1-2%

x2,0<x<1工,、

2.設/(%)=，g(%)=e，求/[g(%)].

3x,1<x<2

解：當0We*W1即x<0時，/[g(x)]=(e')2=e2x

當1<e*W2即0<%<In2時，/[g(%)]=3ex,

x<0

故J[g(%)]=

0<x<In2

【例1-2】求函數的定義域.

i./(x)=Jarcsin(2x-1)+ln(l-x).

解：由arcsin(2%—1)可得一1<2%—1<1,即由Jarcsin(2%-1)可

得arcsin(2%—1)20,即0<2%—141,,<%<1；由可得1一%>0,

2

即無<1,故原函數的定義域為三部分的交集，即

2./(x)=—7—~~-——Farccos(2-x).

廠-x―2

解：由一%—1可得%—120,即％21；由尤之一%—2。0即(%+1)(%—2)。0可

得工。一1且%。2；由arccos(2—％)可得一1<2—]<1,1<%<3

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故原函數的定義域為三部分的交集，即為[1,2)U(2,3].

【例1-3】判斷函數的奇偶性.

1.設/(X)和g(x)為任意函數，定義域均為(-8,+8),試判定下列函數的奇偶性.

⑴/(%)+/(-%)+g(%)+g(r)

解：由奇偶性的判定可知，/(1)+/(一％)與g(x)+g(一%)均為偶函數，故其和亦為

偶函數.

(2)f(X)-f(-X)+g(X)+g(-X)

解：由奇偶性的判定可知，/(%)一/(一%)為奇函數，g(%)+g(一%)為偶函數，故其

和為非奇非偶函數.

2.判定函數/(%)=ln(%+Jr2+1)的奇偶性.

解：因/(一%)=ln(-x+J(-%)2+1)=In(—％+\lx2+1)

=In/,1：----=-ln(J%2+1+x)=-f(x),故原函數為奇函數.

J/+i+x

【例1-4]計算下列極限.

[./1zn.

i.]im(——H——+???-!——).

…nnnr

解：當〃foo時，此題是無限個無窮小之和，不能直接求極限，先變形化簡再計算:

—n(l+n)

lim(42n.1+2d----vn]_

一)=hm-------；-----=lim-——；——

n~"78-”f8-

”f8nnn2

2.lirn(-1■?+

EV?2+l

并且

.幾.ri

lim—.=1,lim—.=1,故原極限值為1.(夾逼準則)

…6+”…6+]

第14頁，共26頁

22

3.lim(l+-+—/.

5nn

r\r\Q)QQI/〃(2〃+2)

解：lim(l+4+W)”=lim(l+^^)"=lim(l+^^)G^^=e2.

-nn~"-8n~-n~

2?-3

4.lim(-------).

…2〃+l

解：=lim(l+------r=lim(l+——)2n+1=^2.

"T82〃+l"f82〃+l"f82〃+l

【例1-5］計算下列極限.

sinx

i.lim-----.

Xf8X

1

解：當X-?OO時，一為無窮小，sm%雖沒有極限但卻是有界函數，故根據無窮小與有

x

sinx八

界函數的乘積仍為無窮小，可得hm-----=0.

…x

.1

說明：本極限與hmxsm一意義是一樣的.

XT0%

X+廠+??,+x〃一〃

2.lim

x-1

x+x~2+,??+xn—n[.x—1+x2—1+,?,+—1

解：lim=lim-----------------------------

XT1x-13X-1

=lim[l+(x+1)+(%2+x+1)+?,,+(x"?+x"2+???+x+1)]

?-cn(n+\)

—1+2+3+???+〃=---------?

2

說明：此題也可用洛必達法則(見第三章)求解，過程如下:

「x+x~+??,+xn—n

lim----------------------=1叫(1+2%+…+加1)=〃(〃+D

fx-1

第15頁，共26頁

3.lim郊0

x->03%

解：因當xf0時，sin(ev-1)-ex-1,ex-x,

故lim型3=limU

xfO3x3%3

說明：本題可以使用洛必達法則求解如下:

sin(eA-1)cos(^x-1)-ex1

lim------------=lim------------------=—

x->03%xf033

exesinx

4.lim—

xf°x-sinx

xsinxsinxzx-sinx

e_e

解：lim-----------=lim--------------=1(x->0時，e*finx-%—sin%).

i°%—sin%i°x-sinx

3+x

5.lim(

X->cc2+x

3+x11(2+x).尹

解：lim()2%=lim(14)2A=lim(14)2+x—

Xfoo2+xXT82+xx->oo2+x

6.lim(sin—+cos—)'

Xf8XX

A(sin-+cos--l)

XX

sin—+cos——1

x

解：lim(sin—+cos=lim[l+(sin—+cos--1)]xx

X->8XXX->00XX

.11,__1_

sin—4-cos——1sin—cos—1

lim%」lim--^-+lim———1+lim平

*->8]

XT00X—>oo_￡x—><x)_￡

(X(xxx

3

/U)-2x=2,lim^^=3,求/(x).

【例1-6］已知f(%)是多項式,且lim

XTQOxrO%

解：利用前一極限式可令/(%)=2三+2%2+辦+。,

第16頁，共26頁

再利用后一極限式，得3=lim1^=lim(a+2),則a=3,b=0,

A->0%xf0x

故/(x)=2V+2x2*7+3%.

【例1-7】當x-?0時，比較下列無窮小的階.

1.比1-cosX.

fX2

解：因lim-------=lim-——=2,故x?與1-cosX是同階無窮小.

1-cosx1

xf0io——X2

2

2./比Jx+1—1.

解：因lim-=iimJ=0,故「是比J^+l—1高階的無窮小.

Vx+1-l5j_y

2

3.,\/1+%—yj1—%比%.

.J1+%-J1-%.(J1+%-J1—%)(J1+%+J1—%)

解：因hm-------------=lim-----------7?二j_=----------

z%5x(\Jl+x+\Jl-x)

2%________

=lim---,------->----=1,故Vl+x-y11-x與％是等價無窮小.

1。x(vl+x+\/l-x)

2'?

4.x比tan%—sinx.

X~2..X2COSXX2

解：因lim----------=lim-------------=lim——----=oo,

?^0tanx-sinx…sin%(l-cos%)…2

X'1X

7?

故％一是比tan%-sin%低階的無窮小.

說明：本題中的四個題目均可用洛必達法則求解.

【例1-8］討論下列分段函數在指定點處的連續(xù)性.

0<x<l

1./(%)=<1,x=l在X=1處的連續(xù)性.

1+x,%>1

第17頁，共26頁

解:因/⑴=1,f(V)=lim/(x)=lim2Vx=2,

x->rx->r

/(1+)=lim/(x)=lim(l+x)=2,從而lim/(x)=2w/(I),故函數在

Xf+XT1+Xfl

x=\處不連續(xù).

'J

2./(x)=<在x=0處的連續(xù)性.

[ln(l+x),x>0

解：因，(0)=0,/(0~)=limf(x)=limex=0,

xf(rX7(T

/(0+)=limf(x)=limln(l+x)=0,從而lim/(%)=0=/(O),故函數在

X—+X-M+XT0

x=0處連續(xù).

2x-a,x<0

【例1-9】當常數。為何值時，函數/(%)=1ln(l+X)在x=O處連續(xù)？

---------,%〉0

、%

解：因/(O)=-a,/(O-)=lim/(x)=lim(2x-a)=-a,

x-^rx-?o-

/(O')=lim/(x)=limI"[+「).=lim—ln(l+x)=limln(l+x)v=1,

x->0+XTO+XXT。+Xx-?O+

故由連續(xù)性可得，/(O)=/(O')=/(O),即一a=l,故a=-1.

【例i-io]求下列函數的間斷點并判斷其類型.

1.fM=ex.

解：所給函數在x=0處無定義，故％=0是間斷點.又lime，=+oo,limex=0,

10+Xf0一

故％=0是/(1)的第二類間斷點.

、X

2-/(X)=--.

sinx

解：所給函數在％=%〃(4=0,±1,±2,?-)處無定義，故％=0、x=kji

第18頁，共26頁

x

(左=±1,±2,?-)是間斷點.又lim----=1,故犬=0是第一類間斷點，且是可去

sosinx

間斷點；lim----=oo,故兀二是第二類間斷點，且是無窮間斷點.

xfkxsinx

3./(x)=--

ex+1

ex-1

解：所給函數在X=0處無定義，故％=0是間斷點.又/'(()+)=lim1——=1,

x->0+-

ex+1

_e'—1

/(O-)=lim—~-=-1,故％=0是/(%)的第一類間斷點且是跳躍間斷點.

xf(r-

ex+1

1八

arctan-,xwO

4./(%)=<x

0,x=0

解：該題是分段函數的連續(xù)性問題，因％wO時arctan一是初等函數，故arctan一在

xx

Xw0時是連續(xù)的，所以該題主要考慮分界點X=0處的連續(xù)性.

由/(0+)=limarctan—=—,/(0")=limarctan—=—,可知x=0是

D+X2Xf。-%2

/(%)的第一類間斷點且是跳躍間斷點.

【例1-11］證明方程％3—4%2+1=0在區(qū)間(0,1)內至少有一個根.

證：函數/(x)=三一4/+1在閉區(qū)間［0,1］上連續(xù)，又/(0)=1>0,

/(1)=-2<0,根據零點定理，在(0,1)內至少有一點J,使得/(4)=0,即

-4^2+l=0該等式說明方程％3—4/+1=0在區(qū)間(0,1)內

至少有一個根是J.

第19頁，共26頁

【例1-12］證明方程1?2*=1至少有一個小于1的正根.

證：由題意，函數/—1在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，又/（0）=—1<0,

/（I）=1>0,根據零點定理，在（0,1）內至少有一點J,使得/（。）=0,即

^■2^-1=0（0<^<1）,該等式說明方程X?2、=1在區(qū)間（0,1）內至少有一個小

于1的正根J.

【歷年真題】

一、選擇題

r2x+1

i.(2oxx年，1分)函數y一arccos；—的定義域是()

(A)[-3,1](B)[-3,-1](C)[-3,-1)(D)[-1,1]

1-尤-°f-1<X<1-1<X<1

解：因一1(￡±1<1'故1一2<%+”2所以

-3<x<1

-1<X<1,故選(D).

sin3%

2.（2oxx年，1分）極限hm----等于（）

5x

(A)0(B)1(C)-(D)3

3

sin3%3x,

解：lim-----=lim—=3,故選(D).

x-*0%x-?0%

3.(2oxx年，i分)極限hm------------=()

"78n

(A)1(B)0(C)00（D）不存在

第20頁，共26頁

r幾+(—1)〃rri(—1)",(-1)"1c1

解：lim--------=hm[l+-----]=l+hm-----=1+0=1,故選(A).

877—>QO幾W—>00幾

x-1,x<0

4.(20XX年，1分)若/(%)=<0,%=0,則lim/(x)=()

x->0

x+1,x>0

(A)-1(B)0(C)1(D)不存在

解：因lim/(x)=lim(x-l)=-1,lim/(x)=lim(x+l)=1,

x->0-x->0-Xfo+ao+

lim/(x)lim/(x),故lim/(x)不存在，選(D).

x-?0-xf0+zO

JIx

5.（20XX年，1分）%=一是函數丁=------的（）

2tanx

（A）連續(xù)點（B）可去間斷點（C）跳躍間斷點（D）第二類間斷點

X71X

解：因lim----=0,故尤=一是函數）=------的可去間斷點，選（B）.

X—>—tanx2tanx

2

6.(2oxx年，3分)設/(x)=xsin—,則lim/(%)等于()

V-X—>00

(A)0(B)不存在(C)00(D)1

.1

1sin—

解：lim/(%)=limxsin—=lim—產=1,故選(D).

XT8XT8YX->81

X

7.（2oxx年，3分）當x->0時，3/是sin?1的（）

（A）高階無窮小（B）同階無窮小，但不等價

（C）低階無窮小（D）等價無窮小