第一章函數(shù)極限和連續(xù)-高數(shù)知識點(diǎn)資料文檔

第一章函數(shù)、極限和連續(xù)

【考試要求】

一、函數(shù)

1.理解函數(shù)的概念：函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法，分段函數(shù).

2.理解和掌握函數(shù)的簡單性質(zhì)：有界性，單調(diào)性，奇偶性，周期性.

3.了解反函數(shù)：反函數(shù)的定義，反函數(shù)的圖像.

4.掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算.

5.理解和掌握基本初等函數(shù)：幕函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù).

6.了解初等函數(shù)的概念.

二'極限

1.理解數(shù)列極限的概念：數(shù)列，數(shù)列極限的定義.

2.了解數(shù)列極限的性質(zhì)：唯一性，有界性，四則運(yùn)算定理，夾逼定理，單調(diào)有界數(shù)列，極

限存在定理，掌握極限的四則運(yùn)算法則.

3.理解函數(shù)極限的概念：函數(shù)在一點(diǎn)處極限的定義，左右極限及其與極限的關(guān)系，工趨于

無窮（%—>00,x-?+GO,x—時(shí)函數(shù)的極限.

4.掌握函數(shù)極限的定理：唯一性定理，夾逼定理，四則運(yùn)算定理.

5.理解無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關(guān)系，

無窮小量與無窮大量的性質(zhì)，兩個(gè)無窮小量階的比較.

6.熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法.

7.熟練掌握分段函數(shù)求極限的方法.

三、連續(xù)

1.理解函數(shù)連續(xù)的概念：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，左連續(xù)和右連續(xù)，函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充

分必要條件，函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類.

2.掌握函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)：連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連

續(xù)性，會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)及確定其類型.

3.

掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理(包括零點(diǎn)定

理)，會(huì)運(yùn)用介值定理推證一些簡單命題.

4.理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會(huì)利用連續(xù)性求極限.

5.熟練掌握分段函數(shù)連續(xù)性的判定方法.

【考試內(nèi)容】

一'函數(shù)

(-)函數(shù)的概念

1.函數(shù)的定義：設(shè)數(shù)集OuR,則稱映射fR為定義在。上的函數(shù)，通常簡

記為y=/(%),XGD,其中尤稱為自變量，y稱為因變量，。稱為定義域.

說明：表示函數(shù)的記號是可以任意選取的，除了常用的/外，還可以用其他的英文字母或

希臘字母，如“g”、“F"、"(p”等，相應(yīng)的，函數(shù)可記作y=g(x),y=F(x),

y=O(%)等.有時(shí)還直接用因變量的記號來表示函數(shù)，即把函數(shù)記作y=y(%),這一

點(diǎn)應(yīng)特別注意.

2.函數(shù)的解析(公式)表示法

(1)函數(shù)的顯式表示法(顯函數(shù))：y=/(%)形式的函數(shù)，即等號左端是因變量的符號,

ex-1

而右端是含有自變量的式子，如丁=xe'-2cosx,y=3sinx+---------等.

e、+In%

(2)函數(shù)的隱式表示法(隱函數(shù))：函數(shù)的對應(yīng)法則由方程/(%,>)=0所確定，即如果

方程/(乂田二。確定了一個(gè)函數(shù)關(guān)系》=/(%),則稱》=/(%)是由方程

廠(",〉)=0所確定的隱函數(shù)形式.

說明：把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)，叫做隱函數(shù)的顯化.例如從方程尤+丁3—1=0解出

y=%一%,就把隱函數(shù)化成了顯函數(shù).但并非所有的隱函數(shù)都能顯化，隱函數(shù)的顯化

有時(shí)是非常困難的，甚至是不可能的.

(3)分段函數(shù)：如果函數(shù)的對應(yīng)法則是由幾個(gè)解析式表示的，則稱之為分段函數(shù)，如

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x+1,x>0

/(%)=〈是由兩個(gè)解析式表示的定義域?yàn)?—8,+8)的一個(gè)函數(shù).

x-1,%<0

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(4)由參數(shù)方程確定的函數(shù)：如果自變量％與因變量y的關(guān)系是通過第三個(gè)變量，聯(lián)系起

來《(，為參變量)，則稱這種函數(shù)關(guān)系為參數(shù)方程所確定的函數(shù).例如：參數(shù)

x=2cost

表示的圖形即為圓心在原點(diǎn)，半徑為4的圓.

{y=2sint

(二)函數(shù)的幾種特性

1.有界性

設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?。，?shù)集Xu。，如果存在正數(shù)M,使得

對任一1eX都成立，則稱函數(shù)/(%)在X上有界.如果這樣的M不存在，就稱函數(shù)

/(%)在X上無界.

說明：我們這里只討論有界無界的問題而不區(qū)分上界和下界，并且，由上述定義不難看出，

如果正數(shù)M是函數(shù)/(x)的一個(gè)界，則比〃大的數(shù)都是函數(shù)/(%)的界.

2.單調(diào)性

設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镈,區(qū)間/w。.如果對于區(qū)間/上任意兩點(diǎn)%及％2,當(dāng)

再<%2時(shí)，恒有/(西)</(%2)，則稱函數(shù)/(X)在區(qū)間/上是單調(diào)增加的；如果對

于區(qū)間/上任意兩點(diǎn)再及％2,當(dāng)不<%2時(shí)，恒有/(%)>/(%2)，則稱函數(shù)/(X)在

區(qū)間/上是單調(diào)減少的.單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).

3.奇偶性

設(shè)函數(shù)/(%)的定義域。關(guān)于原點(diǎn)對稱.如果對于任一XC。，/(一%)=/(%)恒

成立，則稱/(X)為偶函數(shù).如果對于任一XC。，/(一％)=一—(%)恒成立，則稱/(X)

為奇函數(shù).例如：/(1)=cos%、/(x)=%2都是偶函數(shù)，/(x)=sinx.

/(%)=arctan%是奇函數(shù)，而/(%)=$111%+以光%則為非奇非偶函數(shù).

偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱，而奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱.

說明：兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，

兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù).其余結(jié)論讀者可自行論證.

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4.周期性

設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)椤?gt;.如果存在一個(gè)正數(shù)/,使得對于任一X有

(%±/)G。，且/(%+/)=/(%)恒成立，則稱/(%)為周期函數(shù)，/稱為/(%)的

周期，通常我們說周期函數(shù)的周期是指最小正周期.例如：函數(shù)sin%、cos%都是以2%

為周期的周期函數(shù)，函數(shù)tan%是以乃為周期的周期函數(shù).

(三)函數(shù)的運(yùn)算

1.和差積商運(yùn)算

設(shè)函數(shù)/(%)，g(%)的定義域依次為D.,則我們可以

定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算：

⑴和(差)f+g：(/±g)(%)=/(%)±g(%),xeD；

(2)積7?g：(7?/(%)=/(%>g(%),%e。；

(3)商工：—(%)=/(尤),XGD\{x|g(x)=0,XG￡)}.

g\gjg(%)

2.反函數(shù)(函數(shù)的逆運(yùn)算)

對于給定的y是X的函數(shù)y=/(x),若將y當(dāng)作自變量而%當(dāng)作因變量，則由關(guān)系

式》=/(%)所確定的函數(shù)8=。(>)稱為函數(shù)/(%)的反函數(shù)，記為y=(x),

/(X)叫做直接函數(shù).

若直接函數(shù)y=/(%)的定義域?yàn)镼,值域?yàn)閯t反函數(shù)丁=/T(x)的定義域

為M,值域?yàn)镺.且直接函數(shù)的圖像與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=%對稱.

3.復(fù)合函數(shù)(函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算)

設(shè)函數(shù)>=/(〃)的定義域?yàn)楹瘮?shù)〃=g(x)的定義域?yàn)?。g,且其值域

R&uDf,則由下式確定的函數(shù)y=/[g(%)],xwOg稱為由函數(shù)〃=g(%)與函

數(shù)>=/(〃)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，它的定義域?yàn)镺g,變量〃稱為中間變量?

說明：g與f能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件是函數(shù)g的值域R,必須含在函數(shù)7的定義域。/

內(nèi)，即RgU。/,否則不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).此外，復(fù)合函數(shù)可以由多個(gè)函數(shù)復(fù)合而成.

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（四）基本初等函數(shù)與初等函數(shù)

1.基本初等函數(shù)

基函數(shù)：y=x"（4eR是常數(shù)）；

指數(shù)函數(shù)：y=Q*（。>0且awl）；

對數(shù)函數(shù)：y=log（/x（a>0且awl,特別當(dāng)a=e時(shí)記為y=ln%）；

三角函數(shù)：y=sin%,y=cos%,y=tan%,y=cotx,y=sec%,y=csc%；

反三角函數(shù)：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx.

以上五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).

說明：反三角函數(shù)是學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)的難點(diǎn)，因此這里重點(diǎn)給出三角函數(shù)和反三角函數(shù)的關(guān)系，

這對于后邊學(xué)習(xí)極限、漸近線及導(dǎo)數(shù)等知識是非常有幫助的，請大家牢記.

（1）反正弦函數(shù)y=arcsin%：是由正弦函數(shù)y=sin%在區(qū)間上的一段定

義的反函數(shù)，故其定義域?yàn)椋?1,1］,值域?yàn)橐灰?，一?

22

（2）反余弦函數(shù)y=arccos%：是由余弦函數(shù)丁=cos%在區(qū)間［0,萬］上的一段定義

的反函數(shù)，故其定義域?yàn)椋?1,1］,值域?yàn)椋郏ǎ?〃］.

（3）反正切函數(shù)y=arctan%：是由正切函數(shù)y=tanx在區(qū)間（-^，^）上的一段定

/、7CTC、

義的反函數(shù)，故其定義域?yàn)椋ā?,+8）,值域?yàn)椋▃一,，,）.

（4）反余切函數(shù)y=arccot%：是由余切函數(shù)y=cot%在區(qū)間（0,萬）上的一段定義

的反函數(shù)，故其定義域?yàn)椋ā?,+8）,值域?yàn)椋?,萬）.

2.初等函數(shù)

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用

一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).例如：y=2sin2xcosx,y=yl2-x2,

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^=ln（A：+VP+1）,y=arccos（%2—1）等都是初等函數(shù).在本課程中所討論

的函數(shù)絕大多數(shù)都是初等函數(shù).

二、極限

（-）數(shù)列的極限

I.數(shù)列極限的定義：設(shè)｛%”｝為一數(shù)列，如果存在常數(shù)A,對于任意給定的正數(shù)￡（不論

它多么?。偞嬖谡麛?shù)N,使得當(dāng)時(shí)，不等式一A|<￡都成立，那么就

稱常數(shù)A是數(shù)列｛怎｝的極限，或者稱數(shù)列｛七｝收斂于A,記為11111%“=4或

>00

xn（〃->00）.如果不存在這樣的常數(shù)A,就說數(shù)列｛%“｝沒有極限，或者說數(shù)

歹|」｛七,｝是發(fā)散的，習(xí)慣上也說limx”不存在.

〃一>8

說明：數(shù)列極限中自變量〃的趨向只有一種，即〃一>8,雖然含義表示正無窮，但不要

寫做“f4W,注意與函數(shù)極限的區(qū)別.

2.收斂數(shù)列的性質(zhì)

性質(zhì)（1）:（極限的唯一性）如果數(shù)列｛七』收斂，那么它的極限唯一.

性質(zhì)（2）：（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列｛%“｝收斂，那么數(shù)列｛%｝一定有界.

說明：對于數(shù)列｛九,J,如果存在正數(shù)〃，使得對一切九都有<M,則稱數(shù)列｛七｝

是有界的，否則稱數(shù)列｛七』是無界的.

性質(zhì)（3）：（收斂數(shù)列的保號性）如果limx”=A，且A>0（或者A<0）,那么存在

8

正整數(shù)N,當(dāng)〃〉N時(shí)，都有％“>0（或%“<0）.

（二）函數(shù)的極限

1.函數(shù)極限的定義

（1）%—%時(shí)函數(shù)的極限：設(shè)函數(shù)/（%）在點(diǎn)％0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義.如果存在

常數(shù)A,對于任意給定的正數(shù)￡（不論它多么?。?，總存在正數(shù)b,使得當(dāng)%滿足不等式

0<|九一%（）|<5時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值/（%）都滿足不等式|/（幻一川<￡,那么常數(shù)A

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就叫做函數(shù)/(x)當(dāng)%—%。時(shí)的極限，記作limf(x)=A或f(%)fA(當(dāng)

XT'。

x—>x0).

說明：函數(shù)的左極限lim/(%)=A或/■(/-)=A；右極限lim/(x)=4或

X—>XQ"XT城

/(%+)=A；左極限與右極限統(tǒng)稱單側(cè)極限.函數(shù)/(%)當(dāng)%一A%。時(shí)極限存在的充要

條件是左右極限都存在并且相等，即/(%-)=/(%(:)?

(2)%->8時(shí)函數(shù)的極限:設(shè)函數(shù)/(X)當(dāng)卜|大于某一正數(shù)時(shí)有定義.如果存在常數(shù)A,

對于任意給定的正數(shù)￡(不論它多么小)，總存在正數(shù)X,使得當(dāng)%滿足不等式〉X時(shí)，

對應(yīng)的函數(shù)值/(%)都滿足不等式|/(%)一川<￡,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)/(%)當(dāng)

%—>00時(shí)的極限，記作lira/(%)=A或/(%)fA(當(dāng)％,oo).

X—>co

說明：此定義包含lim/(%)=A和lim/(%)=A兩種情況.

Xf+00X—>-00

2.函數(shù)極限的性質(zhì)(以%—%為例)

性質(zhì)(1)：(函數(shù)極限的唯一性)如果limf(%)存在，那么這極限唯一.

?r?o

性質(zhì)(2)：(函數(shù)極限的局部有界性)如果lim/(x)=A,那么存在常數(shù)〃>0和

5>0,使得當(dāng)0<|%—％|<5時(shí)，有

性質(zhì)(3)：(函數(shù)極限的局部保號性)如果lim/(%)=A,且A>0(或A<0),那

么存在常數(shù)S>0,使得當(dāng)<3時(shí)，有/(%)>0(或/(%)<0).

(三)極限運(yùn)算法則

1.如果lim/(%)=A,limg(x)=B,則有

X—>XQX—>XQ

(1)lim[/(x)±g(jc)]=limf(x)±limg(%)=A+B；

X->XQ工―沖X—>XQ

(2)lim[/(x)?g(%)]=limf(x)-limg(x)=AB；

X—X—>XQX—>JCQ

f(x\lim/(x)X

(3)lim3=^——=-其中3wO；

fag(x)limg(%)B

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(4)=clim/(x),其中。為常數(shù)；

X—>A()X—

/f,,

(5)lim[/(x)]=[lim/(x)])其中〃為正整數(shù).

X—>XQXTQ

2.設(shè)有數(shù)列｛%“｝和｛y“｝，如果lim%“=A,lim%=3,則有

〃一>8"—>00

(1)lim(x±y)=A±B；

〃一>8n

(2)lim(xz;-yn｝=AB-,

xA

(3)lim—=—,其中)wO(八=1,2,?一)且JBWO.

〃->8/B

3.如果以％)2“(%),而lim0(%)=A,=則AN5.

x—>%0xf%

4.復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則：設(shè)函數(shù)y=/[g(x)]是由函數(shù)〃=g(%)與函數(shù)

y=/'(〃)復(fù)合而成，/[g(%)]在點(diǎn)％°的某去心鄰域內(nèi)有定義，若limg(%)=〃o，

lim/(〃)=4,且存在d>0,當(dāng)％eU(%o,今)時(shí)，有,則

〃->〃0

lim/[g(x)]=lim/(〃)=A.

W->MQ

說明：本法則以1->%o為例，其他趨向下亦成立.

(四)極限存在準(zhǔn)則

1.準(zhǔn)則/如果數(shù)列｛玉｝、｛券｝及｛z,J滿足下列條件:

從某項(xiàng)起，即當(dāng)〃>/時(shí)，有

(1)wN,yn<xn<Z",

(2)limy=A,limz=A,

n—><x)nw—>oon

那么數(shù)列｛七J的極限存在，且limx”=A.

〃一>8

準(zhǔn)則/'如果函數(shù)/(%)、g(x)及/?(%)滿足下列條件：

⑴當(dāng)％eU(%o，r)(或國>M)時(shí)，g(x)</(x)<h(x),

(2)limg(x)=A,limh｛x)=A,

XfX。JVTXo

(XT8)(X->8)

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那么lim/'(%)存在，且等于A.

?SX。

(Xf8)

說明：準(zhǔn)則/及準(zhǔn)則/'稱為夾逼準(zhǔn)則.

2.準(zhǔn)則〃單調(diào)有界數(shù)列必有極限.

準(zhǔn)則〃'單調(diào)有界函數(shù)必有極限.(函數(shù)有界一般是指在某個(gè)鄰域內(nèi)有界)

(五)兩個(gè)重要極限

i.hm-----=1,可引申為lim—匕」=1,式中不管自變量工是哪種趨向，只

XTOX奴x)fO夕(%)

要在此趨向下3(%)-?0即可(以％)—》0+或以工)-0一時(shí)亦成立).

2.lim(l+xy=e或lim(l+i)'=e,可引申為lim(l+°(x))"=e

x-?Ox->oo%8(x)―>0

(0(%)f(T或0(x)fCT時(shí)亦成立)或lim(1+―!—y(x｝=e

以X)fOO9(%)

(0(%)T+8或0(X)-?-00時(shí)亦成立).

說明：數(shù)列亦有第二種極限形式，即lim(l+')”=e.兩個(gè)重要極限是考試的必考內(nèi)容,

“廿n

請大家務(wù)必好好掌握.

(六)無窮小和無窮大

1.定義

(1)無窮小的定義：如果函數(shù)/(%)當(dāng)X—%(或時(shí)的極限為零，那么稱函

數(shù)/(%)為當(dāng)(或Xf8)時(shí)的無窮小量(簡稱無窮小).特別地，以零為極限

的數(shù)列｛%“｝稱為〃一>8時(shí)的無窮小.

說明：以后我們再提到無窮小時(shí)，把數(shù)列｛K〃｝當(dāng)作特殊的函數(shù)來看待，故所謂的無窮小本

質(zhì)上就是函數(shù)，并且一定是在自變量X的某一趨向下才有意義.

(2)無窮大的定義：如果在自變量的某一變化過程中，函數(shù)/(%)的絕對值無限增大，則

稱函數(shù)/(%)為自變量在此變化過程中的無窮大量(簡稱無窮大).

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說明：在自變量的同一變化過程中，如果/（X）為無窮大，則」一為無窮?。环粗?/p>

/（%）

果/1（%）為無窮小且/1（x）wo,則-----為無窮大.

/（%）

2.無窮小的比較

設(shè)。，￡均為自變量同一趨向下的無窮小，且awO,

如果lim2=0,則稱尸是比a高階的無窮小，記作尸=o（a）；

（1）

a

如果則稱是比低階的無窮小;

(2)lim2=8,a

a

(3)如果lim—=cwO,則稱尸與a是同階無窮小;

a

如果lim2=l,則稱尸與a是等價(jià)無窮小，記作夕~夕;

(4)

a

如果k>0,則稱￡是關(guān)于。的上階無窮小.

(5)lim4=cw0,

a

3.無窮小的性質(zhì)

（1）有限個(gè)無窮小的和是無窮小.

（2）常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

（3）有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小.

（4）有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

（5）求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無窮小來替換，即設(shè)a,B,a',

，均為自變量同一趨向下的無窮小，且a?/，B~5，limg存在，則

a

lim—=lim—（lim表示自變量的任一趨向下的極限，以后文中出現(xiàn)此符號時(shí)均為此

aa'

意，不再解釋）.

說明：等價(jià)無窮小非常重要，故將常用的等價(jià)無窮小列舉如下，請大家務(wù)必牢記.

xf0時(shí)sinx?犬，可引申為0時(shí)，sin0（%）?0（%）；

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xf0時(shí)tanx?％,可引申為°(%)—>0時(shí)，tan0(%)?火%)；

%->0時(shí)arcsin%?%,可引申為。(％)-?0時(shí)，arcsin(p(x)~(p(x)\

1919

%—0時(shí)l-cos%?/X,可引申為0(%)->0時(shí)，l-cos°(%)~/夕(%)；

x->0時(shí)+%—1x,可引申為w(%)一^0時(shí)，+v(%)—1----夕(％)；

nn

0時(shí)e'-l?％,可引申為e(x)-?0時(shí)，e*")-l~o(%)；

%-?0時(shí)ln(l+1)?％,可引申為0(x)-?0時(shí)，ln(l+0(%))?0(%).

三、連續(xù)

(一)連續(xù)的概念

1.連續(xù)的定義

連續(xù)性定義(1)：設(shè)函數(shù)/(%)在點(diǎn)/o的某一鄰域內(nèi)有定義，如果

limAy=lim[/(x+Ax)—f(x)]=0,

Ar70&r->000

則稱函數(shù)y=/(%)在點(diǎn)％°連續(xù)(即自變量的變化量趨于零時(shí)函數(shù)值的變化量也趨于零).

連續(xù)性定義(2)：設(shè)函數(shù)f(%)在點(diǎn)％的某一鄰域內(nèi)有定義，如果lim/(%)=/1(%)，

則稱函數(shù)y=/(%)在點(diǎn)天連續(xù).

2.左連續(xù)、右連續(xù)及區(qū)間連續(xù)

(1)左連續(xù)：lim/(%)存在且等于/(%),即/(%()-)=/(公)；

X—迎一

(2)右連續(xù):：lim/(尤)存在且等于/(%),即/(%+)=/(%)；

(3)區(qū)間連續(xù)：若函數(shù)/(%)在區(qū)間每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱/(%)為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，

或者說函數(shù)/(%)在該區(qū)間上連續(xù).如果區(qū)間包括端點(diǎn)，則函數(shù)/(%)在右端點(diǎn)連續(xù)是指

左連續(xù)，/(%)在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù).

說明：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.

第11頁，共26頁

(二)函數(shù)的間斷點(diǎn)

1.定義：設(shè)函數(shù)/(%)在點(diǎn)％0的某去心鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)有下列三種情形之一：

(1)在X=%0處沒有定義；

(2)雖在％=七處有定義，但lim/(%)不存在；

Xf和

(3)雖在1=七處有定義，且lim/(%)存在，但lim/(%)w/(x0),

X—X—

則函數(shù)/(x)在點(diǎn)％0為不連續(xù)，而點(diǎn)/稱為函數(shù)/(%)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn).

2.分類：

(1)第一類間斷點(diǎn)：如果/是函數(shù)/(x)的間斷點(diǎn)，但左極限/(%0-)和右極限/(%()+)

都存在，那么％0稱為函數(shù)/(x)的第一類間斷點(diǎn)./(4-)=/(%+)時(shí)稱％0為可去間

斷點(diǎn)，/(V)。/(V)時(shí)稱％o為跳躍間斷點(diǎn).

(2)第二類間斷點(diǎn)：不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn).常見的第二類

間斷點(diǎn)有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn).

(三)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1.有界性與最值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最

大值和最小值.

2.零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)/(%)在閉區(qū)間［4,句上連續(xù)，且/(")與/3)異號(即

/(?)-/(/?)＜0),那么在開區(qū)間(。,人)內(nèi)至少有一點(diǎn)J,使得/'(J)=0.

3.介值定理：設(shè)函數(shù)/(%)在閉區(qū)間句上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值

/(Q)=A及/s)=3,那么對于A與3之間的任意一個(gè)數(shù)C,在開區(qū)間(。力)內(nèi)

至少有一點(diǎn)使得/(4)=C(a＜匕＜b).

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【典型例題】

【例1-1】求復(fù)合函數(shù).

X

I-設(shè)=求/"(%)]?

l-2x

解：求/[/(九)]就是用/(%)代替X然后化簡，得

x

1—2%

/"(%)]=

—

i1—cz,---x----12x—2x1—4x

1-2%

x2,0<x<1工,、

2.設(shè)/(%)=，g(%)=e，求/[g(%)].

3x,1<x<2

解：當(dāng)0We*W1即x<0時(shí)，/[g(x)]=(e')2=e2x

當(dāng)1<e*W2即0<%<In2時(shí)，/[g(%)]=3ex,

x<0

故J[g(%)]=

0<x<In2

【例1-2】求函數(shù)的定義域.

i./(x)=Jarcsin(2x-1)+ln(l-x).

解：由arcsin(2%—1)可得一1<2%—1<1,即由Jarcsin(2%-1)可

得arcsin(2%—1)20,即0<2%—141,,<%<1；由可得1一%>0,

2

即無<1,故原函數(shù)的定義域?yàn)槿糠值慕患?，?/p>

2./(x)=—7—~~-——Farccos(2-x).

廠-x―2

解：由一%—1可得%—120,即％21；由尤之一%—2。0即(%+1)(%—2)。0可

得工。一1且%。2；由arccos(2—％)可得一1<2—]<1,1<%<3

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故原函數(shù)的定義域?yàn)槿糠值慕患?，即為[1,2)U(2,3].

【例1-3】判斷函數(shù)的奇偶性.

1.設(shè)/(X)和g(x)為任意函數(shù)，定義域均為(-8,+8),試判定下列函數(shù)的奇偶性.

⑴/(%)+/(-%)+g(%)+g(r)

解：由奇偶性的判定可知，/(1)+/(一％)與g(x)+g(一%)均為偶函數(shù)，故其和亦為

偶函數(shù).

(2)f(X)-f(-X)+g(X)+g(-X)

解：由奇偶性的判定可知，/(%)一/(一%)為奇函數(shù)，g(%)+g(一%)為偶函數(shù)，故其

和為非奇非偶函數(shù).

2.判定函數(shù)/(%)=ln(%+Jr2+1)的奇偶性.

解：因/(一%)=ln(-x+J(-%)2+1)=In(—％+\lx2+1)

=In/,1：----=-ln(J%2+1+x)=-f(x),故原函數(shù)為奇函數(shù).

J/+i+x

【例1-4]計(jì)算下列極限.

[./1zn.

i.]im(——H——+???-!——).

…nnnr

解：當(dāng)〃foo時(shí)，此題是無限個(gè)無窮小之和，不能直接求極限，先變形化簡再計(jì)算:

—n(l+n)

lim(42n.1+2d----vn]_

一)=hm-------；-----=lim-——；——

n~"78-”f8-

”f8nnn2

2.lirn(-1■?+

EV?2+l

并且

.幾.ri

lim—.=1,lim—.=1,故原極限值為1.(夾逼準(zhǔn)則)

…6+”…6+]

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22

3.lim(l+-+—/.

5nn

r\r\Q)QQI/〃(2〃+2)

解：lim(l+4+W)”=lim(l+^^)"=lim(l+^^)G^^=e2.

-nn~"-8n~-n~

2?-3

4.lim(-------).

…2〃+l

解：=lim(l+------r=lim(l+——)2n+1=^2.

"T82〃+l"f82〃+l"f82〃+l

【例1-5］計(jì)算下列極限.

sinx

i.lim-----.

Xf8X

1

解：當(dāng)X-?OO時(shí)，一為無窮小，sm%雖沒有極限但卻是有界函數(shù)，故根據(jù)無窮小與有

x

sinx八

界函數(shù)的乘積仍為無窮小，可得hm-----=0.

…x

.1

說明：本極限與hmxsm一意義是一樣的.

XT0%

X+廠+??,+x〃一〃

2.lim

x-1

x+x~2+,??+xn—n[.x—1+x2—1+,?,+—1

解：lim=lim-----------------------------

XT1x-13X-1

=lim[l+(x+1)+(%2+x+1)+?,,+(x"?+x"2+???+x+1)]

?-cn(n+\)

—1+2+3+???+〃=---------?

2

說明：此題也可用洛必達(dá)法則(見第三章)求解，過程如下:

「x+x~+??,+xn—n

lim----------------------=1叫(1+2%+…+加1)=〃(〃+D

fx-1

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3.lim郊0

x->03%

解：因當(dāng)xf0時(shí)，sin(ev-1)-ex-1,ex-x,

故lim型3=limU

xfO3x3%3

說明：本題可以使用洛必達(dá)法則求解如下:

sin(eA-1)cos(^x-1)-ex1

lim------------=lim------------------=—

x->03%xf033

exesinx

4.lim—

xf°x-sinx

xsinxsinxzx-sinx

e_e

解：lim-----------=lim--------------=1(x->0時(shí)，e*finx-%—sin%).

i°%—sin%i°x-sinx

3+x

5.lim(

X->cc2+x

3+x11(2+x).尹

解：lim()2%=lim(14)2A=lim(14)2+x—

Xfoo2+xXT82+xx->oo2+x

6.lim(sin—+cos—)'

Xf8XX

A(sin-+cos--l)

XX

sin—+cos——1

x

解：lim(sin—+cos=lim[l+(sin—+cos--1)]xx

X->8XXX->00XX

.11,__1_

sin—4-cos——1sin—cos—1

lim%」lim--^-+lim———1+lim平

*->8]

XT00X—>oo_￡x—><x)_￡

(X(xxx

3

/U)-2x=2,lim^^=3,求/(x).

【例1-6］已知f(%)是多項(xiàng)式,且lim

XTQOxrO%

解：利用前一極限式可令/(%)=2三+2%2+辦+。,

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再利用后一極限式，得3=lim1^=lim(a+2),則a=3,b=0,

A->0%xf0x

故/(x)=2V+2x2*7+3%.

【例1-7】當(dāng)x-?0時(shí)，比較下列無窮小的階.

1.比1-cosX.

fX2

解：因lim-------=lim-——=2,故x?與1-cosX是同階無窮小.

1-cosx1

xf0io——X2

2

2./比Jx+1—1.

解：因lim-=iimJ=0,故「是比J^+l—1高階的無窮小.

Vx+1-l5j_y

2

3.,\/1+%—yj1—%比%.

.J1+%-J1-%.(J1+%-J1—%)(J1+%+J1—%)

解：因hm-------------=lim-----------7?二j_=----------

z%5x(\Jl+x+\Jl-x)

2%________

=lim---,------->----=1,故Vl+x-y11-x與％是等價(jià)無窮小.

1。x(vl+x+\/l-x)

2'?

4.x比tan%—sinx.

X~2..X2COSXX2

解：因lim----------=lim-------------=lim——----=oo,

?^0tanx-sinx…sin%(l-cos%)…2

X'1X

7?

故％一是比tan%-sin%低階的無窮小.

說明：本題中的四個(gè)題目均可用洛必達(dá)法則求解.

【例1-8］討論下列分段函數(shù)在指定點(diǎn)處的連續(xù)性.

0<x<l

1./(%)=<1,x=l在X=1處的連續(xù)性.

1+x,%>1

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解:因/⑴=1,f(V)=lim/(x)=lim2Vx=2,

x->rx->r

/(1+)=lim/(x)=lim(l+x)=2,從而lim/(x)=2w/(I),故函數(shù)在

Xf+XT1+Xfl

x=\處不連續(xù).

'J

2./(x)=<在x=0處的連續(xù)性.

[ln(l+x),x>0

解：因，(0)=0,/(0~)=limf(x)=limex=0,

xf(rX7(T

/(0+)=limf(x)=limln(l+x)=0,從而lim/(%)=0=/(O),故函數(shù)在

X—+X-M+XT0

x=0處連續(xù).

2x-a,x<0

【例1-9】當(dāng)常數(shù)。為何值時(shí)，函數(shù)/(%)=1ln(l+X)在x=O處連續(xù)？

---------,%〉0

、%

解：因/(O)=-a,/(O-)=lim/(x)=lim(2x-a)=-a,

x-^rx-?o-

/(O')=lim/(x)=limI"[+「).=lim—ln(l+x)=limln(l+x)v=1,

x->0+XTO+XXT。+Xx-?O+

故由連續(xù)性可得，/(O)=/(O')=/(O),即一a=l,故a=-1.

【例i-io]求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并判斷其類型.

1.fM=ex.

解：所給函數(shù)在x=0處無定義，故％=0是間斷點(diǎn).又lime，=+oo,limex=0,

10+Xf0一

故％=0是/(1)的第二類間斷點(diǎn).

、X

2-/(X)=--.

sinx

解：所給函數(shù)在％=%〃(4=0,±1,±2,?-)處無定義，故％=0、x=kji

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x

(左=±1,±2,?-)是間斷點(diǎn).又lim----=1,故犬=0是第一類間斷點(diǎn)，且是可去

sosinx

間斷點(diǎn)；lim----=oo,故兀二是第二類間斷點(diǎn)，且是無窮間斷點(diǎn).

xfkxsinx

3./(x)=--

ex+1

ex-1

解：所給函數(shù)在X=0處無定義，故％=0是間斷點(diǎn).又/'(()+)=lim1——=1,

x->0+-

ex+1

_e'—1

/(O-)=lim—~-=-1,故％=0是/(%)的第一類間斷點(diǎn)且是跳躍間斷點(diǎn).

xf(r-

ex+1

1八

arctan-,xwO

4./(%)=<x

0,x=0

解：該題是分段函數(shù)的連續(xù)性問題，因％wO時(shí)arctan一是初等函數(shù)，故arctan一在

xx

Xw0時(shí)是連續(xù)的，所以該題主要考慮分界點(diǎn)X=0處的連續(xù)性.

由/(0+)=limarctan—=—,/(0")=limarctan—=—,可知x=0是

D+X2Xf。-%2

/(%)的第一類間斷點(diǎn)且是跳躍間斷點(diǎn).

【例1-11］證明方程％3—4%2+1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)根.

證：函數(shù)/(x)=三一4/+1在閉區(qū)間［0,1］上連續(xù)，又/(0)=1>0,

/(1)=-2<0,根據(jù)零點(diǎn)定理，在(0,1)內(nèi)至少有一點(diǎn)J,使得/(4)=0,即

-4^2+l=0該等式說明方程％3—4/+1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)

至少有一個(gè)根是J.

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【例1-12］證明方程1?2*=1至少有一個(gè)小于1的正根.

證：由題意，函數(shù)/—1在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，又/（0）=—1<0,

/（I）=1>0,根據(jù)零點(diǎn)定理，在（0,1）內(nèi)至少有一點(diǎn)J,使得/（。）=0,即

^■2^-1=0（0<^<1）,該等式說明方程X?2、=1在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有一個(gè)小

于1的正根J.

【歷年真題】

一、選擇題

r2x+1

i.(2oxx年，1分)函數(shù)y一arccos；—的定義域是()

(A)[-3,1](B)[-3,-1](C)[-3,-1)(D)[-1,1]

1-尤-°f-1<X<1-1<X<1

解：因一1(￡±1<1'故1一2<%+”2所以

-3<x<1

-1<X<1,故選(D).

sin3%

2.（2oxx年，1分）極限hm----等于（）

5x

(A)0(B)1(C)-(D)3

3

sin3%3x,

解：lim-----=lim—=3,故選(D).

x-*0%x-?0%

3.(2oxx年，i分)極限hm------------=()

"78n

(A)1(B)0(C)00（D）不存在

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r幾+(—1)〃rri(—1)",(-1)"1c1

解：lim--------=hm[l+-----]=l+hm-----=1+0=1,故選(A).

877—>QO幾W—>00幾

x-1,x<0

4.(20XX年，1分)若/(%)=<0,%=0,則lim/(x)=()

x->0

x+1,x>0

(A)-1(B)0(C)1(D)不存在

解：因lim/(x)=lim(x-l)=-1,lim/(x)=lim(x+l)=1,

x->0-x->0-Xfo+ao+

lim/(x)lim/(x),故lim/(x)不存在，選(D).

x-?0-xf0+zO

JIx

5.（20XX年，1分）%=一是函數(shù)丁=------的（）

2tanx

（A）連續(xù)點(diǎn)（B）可去間斷點(diǎn)（C）跳躍間斷點(diǎn)（D）第二類間斷點(diǎn)

X71X

解：因lim----=0,故尤=一是函數(shù)）=------的可去間斷點(diǎn)，選（B）.

X—>—tanx2tanx

2

6.(2oxx年，3分)設(shè)/(x)=xsin—,則lim/(%)等于()

V-X—>00

(A)0(B)不存在(C)00(D)1

.1

1sin—

解：lim/(%)=limxsin—=lim—產(chǎn)=1,故選(D).

XT8XT8YX->81

X

7.（2oxx年，3分）當(dāng)x->0時(shí)，3/是sin?1的（）

（A）高階無窮?。˙）同階無窮小，但不等價(jià)

（C）低階無窮小（D）等價(jià)無窮小