高中數(shù)學(xué)必修3第三章概率

第三章概率

§1隨機事件的概率

1.1頻率與概率

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和概率的穩(wěn)定性（重點）.2.正確理解概

率的含義，理解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系（重點）.3.會初步列舉出重復(fù)試驗的結(jié)果

（重、難點）.

|課前預(yù)習(xí)：自主學(xué)習(xí)，積淀基礎(chǔ)

預(yù)習(xí)教材PU9-123完成下列問題：

知識點1必然事件'不可能事件與隨機事件

事件類型定義

在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫作相對于條件S的必然事件，

必然事件

簡稱必然事件

在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫作相對于條件S的不可能事

不可能事件

件，簡稱不可能事件

必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件，簡稱確定

確定事件

事件

在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫作相對于條件S的

隨機事件

隨機事件，簡稱隨機事件

確定事件與隨機事件統(tǒng)稱為事件，一般用大寫字母A，8，C，……

事件

表示

【預(yù)習(xí)評價】

隨機事件概念中的“在條件S下能否去掉？”

提示不能，事件是試驗的結(jié)果，而在不同條件下試驗的結(jié)果往往是不一樣的.

如常溫下水是液態(tài)的，能流動，若在零下10°C,就是不可能事件，在零上5°C,

就是必然事件.

知識點2隨機事件的頻率

1.隨機試驗

(1)試驗可以在相同的條件下重復(fù)進行；

(2)試驗的結(jié)果都明確可知，但不止一種；

⑶每次試驗總是出現(xiàn)這些結(jié)果中的一種，但在一次試驗之前卻不能確定這次試

驗會出現(xiàn)哪一種結(jié)果.

稱這樣的試驗是一種隨機試驗，簡稱試驗.

2.隨機事件的頻率

在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱〃次試驗中事

件A出現(xiàn)的次數(shù)〃人為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例啟4)=詈為事件

A出現(xiàn)的頻率.

【預(yù)習(xí)評價】

兩位同學(xué)在相同的條件下，都拋擲一枚硬幣100次，得到正面向上的頻率一定相

同嗎？

提示不一定相同.

知識點3隨機事件的概率

對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率以A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定

在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，則P(A)稱為事件A的概率，簡稱為A的

概率.

【預(yù)習(xí)評價】

1.頻率就是概率，這種說法正確嗎？

提示這種說法不正確，頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，但頻率是隨

機的；而概率是一個確定的值，通常通過大量的重復(fù)的試驗，用隨機事件發(fā)生的

頻率作為它的概率的估計值.

2.(1)天氣預(yù)報中“明天北京降水的概率是60%,上海降水的概率是70%”，有

沒有可能北京降雨了，上海沒有降雨？試從概率的角度加以分析.

⑵連續(xù)擲硬幣100次，結(jié)果100次全部是正面朝上，出現(xiàn)這樣的結(jié)果，你會怎

么想？原因何在？

提示⑴“降水的概率”說明了北京與上海降雨這個隨機事件發(fā)生的可能性.上

海降雨的可能性比北京大，并不能說北京降雨了，上海就一定降雨，完全有可能

北京降雨，而上海沒有降雨.

(2)出現(xiàn)這樣的情況，我們可以認(rèn)為該硬幣的質(zhì)地是不均勻的，如果拋硬幣試驗

中，該硬幣是質(zhì)地均勻的，則出現(xiàn)正面朝上和出現(xiàn)反面朝上的機率是一樣的，即

出現(xiàn)正面向上與出現(xiàn)反面向上的次數(shù)不會相差太大.

I課堂互和一題型剖析；:互動探究

題型一必然事件'不可能事件與隨機事件的判斷

【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件，還是隨機事件：

(1)中國體操運動員將在下一屆奧運會上獲得全能冠軍；

(2)出租車司機小李駕車通過4個十字路口都將遇到綠燈；

(3)若xGR，則f+12；

(4)小紅書包里只有數(shù)學(xué)書、語文書、地理書、政治書，她隨意拿出一本，是漫

畫書.

解(1)(2)中的事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以是隨機事件.

(3)中的事件一定會發(fā)生，所以是必然事件.

(4)小紅書包里沒有漫畫書，所以是不可能事件.

規(guī)律方法要判斷事件是何種事件，首先要看清條件，因為事件都是相對于一定

條件而言的，然后看它是一定發(fā)生，還是不一定發(fā)生，還是一定不發(fā)生.一定發(fā)

生的是必然事件，不一定發(fā)生的是隨機事件，一定不發(fā)生的是不可能事件.

【訓(xùn)練1】下列事件中的隨機事件為()

A.若a，8，c都是實數(shù)，則a(bc)={ab)c

B,沒有水和空氣，人也可以生存下去

C.拋擲一枚硬幣，反面向上

D.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，溫度達到60℃時水沸騰

解析A中的等式是實數(shù)乘法的結(jié)合律，對任意實數(shù)a,b,c是恒成立的，故A

是必然事件.在沒有空氣和水的條件下，人是絕對不能生存下去的，故B是不可

能事件.拋擲一枚硬幣時，在沒得到結(jié)果之前，并不知道會是正面向上還是反面

向上，故C是隨機事件.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓的條件下，只有溫度達到100C,水才會

沸騰，當(dāng)溫度是60℃時，水是絕對不會沸騰的，故D是不可能事件.

答案c

題型二試驗與重復(fù)試驗的結(jié)果分析

[例2]下列隨機事件中，一次試驗各指什么？試寫出試驗的所有結(jié)果.

（1）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣；

⑵從集合A=僅，人，c，町中任取3個元素組成集合A的子集.

解（1）一次試驗是指“拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次"，試驗的可能結(jié)果有4

個：（正，反），（正，正），（反，反），（反，正）.

⑵一次試驗是指“從集合A中一次選取3個元素組成集合A的一個子集”，試

驗的結(jié)果共有4個：{a,b,c},{a,b,d],{a,c,d],{b,c,d].

規(guī)律方法1.準(zhǔn)確理解隨機試驗的條件、結(jié)果等有關(guān)定義，并能使用它們判斷一

些事件，指出試驗結(jié)果，這是求概率的基礎(chǔ).

2.在寫試驗結(jié)果時，一般采用列舉法寫出，必須首先明確事件發(fā)生的條件，根據(jù)

日常生活經(jīng)驗，按一定次序列舉，才能保證所列結(jié)果沒有重復(fù)，也沒有遺漏.

【訓(xùn)練2】袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑4個球，分別寫出以下隨機試

驗的條件和結(jié)果.

（1）從中任取1球；（2）從中任取2球.

解⑴條件為：從袋中任取1球.結(jié)果為：紅、白、黃、黑4種.

（2）條件為：從袋中任取2球.若記（紅，白）表示一次試驗中取出的是紅球與白球,

結(jié)果為：（紅，白），（紅，黃），（紅，黑），（白，黃），（白，黑），（黃，黑）6種.

互動

題型三頻率與概率的關(guān)系及求法

探究

【探究1】給出下列三個命題，其中正確的命題有個.

①有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；②

3

做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是條③隨機事

件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率.

解析①錯，不一定是10件次品；②錯，]是頻率而非概率；③錯，頻率不等于

概率，這是兩個不同的概念.

答案0

【探究2]我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，

有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，

則這批米內(nèi)夾谷約為()

A.134石B.169石

C.338石D.1365石

OR

解析因為樣品中米內(nèi)夾谷的比為翁，所以這批米內(nèi)夾谷為1534X翁

弋169(石).

答案B

【探究3】某商場設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤(如圖所

示)，并規(guī)定：顧客購物10元以上就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機(

鉛筆《可樂

會，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎品，\

下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù).又一V

轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)〃1001502005008001000

落在“鉛筆”區(qū)域的次

68111136345564701

數(shù)m

落在“鉛筆”區(qū)域的頻

率%

n

(1)計算并完成表格;

(2)請估計，當(dāng)〃很大時，落在“鉛筆”區(qū)域的頻率將會接近多少？

(3)假如你去轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，你獲得鉛筆的概率約是多少？

解⑴

轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)〃1001502005008001000

落在“鉛筆”區(qū)域的次數(shù)〃268111136345564701

落在“鉛筆”區(qū)域的頻率?0.680.740.680.690.7050.701

⑵當(dāng)〃很大時，落在“鉛筆”區(qū)域的頻率將會接近07

(3)獲得鉛筆的概率約是07

規(guī)律方法1.頻率是事件A發(fā)生的次數(shù)也與試驗總次數(shù)〃的比值，利用此公式可

求出它們的頻率.頻率本身是隨機變量，當(dāng)〃很大時，頻率總是在一個穩(wěn)定值附

近擺動，這個穩(wěn)定值就是概率.

2.解此類題目的步驟：先利用頻率的計算公式依次計算頻率，然后用頻率估計概

率.

|課堂反饋，自主反饋，檢測成效

課堂達標(biāo)

1.下列事件：①明天下雨；②3〉2；③某國發(fā)射航天飛機成功；④xGR，/+2

<0；⑤某商船航行中遭遇海盜；⑥任給xWR，x+2=0.

其中隨機事件的個數(shù)為（）

A.lB.2

C.3D.4

解析①③⑤⑥是隨機事件，②是必然事件，④是不可能事件.

答案D

2.從6名男生、2名女生中任選3人，則下列事件中，必然事件是（）

A.3人都是男生B.至少有1名男生

C.3人都是女生D.至少有1名女生

解析由于女生只有2人，而現(xiàn)在選擇3人，故至少要有1名男生.

答案B

3.從裝有3個紅球、2個綠球的袋子中任取兩個小球，這兩個小球都是綠色的.

這一事件是事件（填“必然”、“不可能”或“隨機”）.

解析因為取到的兩個小球可能都是紅球，也可能是一個紅球和一個綠球或兩個

都是綠球，故“兩個小球都是綠色的”這一事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，所以

是隨機事件.

答案隨機

4.從100個同類產(chǎn)品（其中有2個次品）中任取3個.

①三個正品；②兩個正品，一個次品；③一個正品，兩個次品；④三個次品；⑤

至少一個次品；⑥至少一個正品.

其中必然事件是，不可能事件是，

隨機事件是.

解析從100個產(chǎn)品（其中2個次品）中任取3個可能結(jié)果是：“三個全是正品”，

“兩個正品一個次品”，“一個正品兩個次品”.

答案⑥④①②③⑤

5.為了測試貧困地區(qū)和發(fā)達地區(qū)同齡兒童的智力，出了10個智力題，每個題10

分.然后作了統(tǒng)計，下表是統(tǒng)計結(jié)果.

貧困地區(qū)：

參加測試的人數(shù)3050100200500800

得60分以上的人數(shù)162752104256402

得60分以上的頻率

發(fā)達地區(qū):

參加測試的人數(shù)3050100200500800

得60分以上的人數(shù)172956111276440

得60分以上的頻率

（1）利用計算器計算兩地區(qū)參加測試的兒童中得60分以上的頻率;

（2）求兩個地區(qū)參加測試的兒童得60分以上的概率.

解（1）貧困地區(qū)：

參加測試的人數(shù)3050100200500800

得60分以上的人數(shù)162752104256402

得60分以上的頻率0.5330.5400.5200.5200.5120.503

發(fā)達地區(qū):

參加測試的人數(shù)3050100200500800

得60分以上的人數(shù)172956111276440

得60分以上的頻率0.5670.5800.5600.5550.5520.550

（2）隨著測試人數(shù)增加，貧困地區(qū)和發(fā)達地區(qū)得60分以上的頻率逐漸趨于0.5和

0.55,故概率分別為0.5和0.55.

課堂小結(jié)

1.辨析隨機事件、必然事件、不可能事件時要注意看清條件，在給定的條件下判

斷是一定發(fā)生（必然事件），還是不一定發(fā)生（隨機事件），還是一定不發(fā)生（不可能

事件）.

2.隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重復(fù)試驗的情

況下，隨機事件的發(fā)生呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，因而，可以從統(tǒng)計的角度，通過計算

事件發(fā)生的頻率去估算概率.

3.寫試驗結(jié)果時，要按順序?qū)?，特別要注意題目中的有關(guān)字眼，如“先后”“依

次”“順序”“放回”“不放回”等.

|課后作業(yè)強化訓(xùn)練，鞏固提升

基礎(chǔ)過關(guān)

1.下列事件中，是隨機事件的有（）

①在一條公路上，交警記錄某一小時通過的汽車超過300輛；

②若。為整數(shù)，則為整數(shù)；

③發(fā)射一顆炮彈，命中目標(biāo)；

④檢查流水線上一件產(chǎn)品是合格品.

A.1個B.2個

C.3個D.4個

解析當(dāng)a為整數(shù)時，a+1一定為整數(shù)，是必然事件，其余3個均為隨機事件.

答案C

2.下列事件中，不可能事件為（）

A.三角形內(nèi)角和為180°

B.三角形中大邊對大角，大角對大邊

C.銳角三角形中兩個內(nèi)角和小于90°

D.三角形中任意兩邊的和大于第三邊

解析若兩內(nèi)角的和小于90。，則第三個內(nèi)角必大于90。，故不是銳角三角形，

，C為不可能事件，而A,B,D均為必然事件.

答案C

3.下列說法正確的是（）

A.一個人打靶，打了10發(fā)子彈，有7發(fā)子彈中靶，因此這個人中靶的概率是去

B.一個同學(xué)做擲硬幣試驗，擲了6次，一定有3次正面向上

C.某地發(fā)行彩票，其回報率為47%，有人花了100元錢買彩票，一定會有47元

的回報

D.大量試驗后，可以用頻率近似估計概率

解析注意頻率與概率的區(qū)別及正確理解概率的含義是解題的關(guān)鍵.A的結(jié)果是

頻率，不是概率；B,C都沒有正確理解概率的含義，D正確.

答案D

4.已知隨機事件A發(fā)生的頻率是0.02，事件A出現(xiàn)了10次，那么大約進行了

次試驗.

解析設(shè)進行了〃次試驗，則有￥=0.02,得〃=500,故進行了500次試驗.

答案500

5.某人撿到不規(guī)則形狀的五面體石塊，他在每個面上用數(shù)字1?5進行了標(biāo)記，

投擲100次，記錄下落在桌面上的數(shù)字，得到如下頻數(shù)表：

落在桌面的數(shù)字12345

頻數(shù)3218151322

則落在桌面的數(shù)字不小于4的頻率為.

解析落在桌面的數(shù)字不小于4,即4,5的頻數(shù)共13+22=35.所以頻率為禍35=

0.35.

答案0.35

6.一個袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑4個球.從中先后取出2個球，共有

多少種不同的結(jié)果？

解方法一從袋中先后取出2個球，如記（紅，白）表示從袋中先取出紅球，再

取出白球，則所有的結(jié)果為：

紅白黃黑

紅（紅，白）（紅，黃）（紅，黑）

白（白，紅）一（白，黃）（白，黑）

黃（黃，紅）（黃，白）（黃，黑）

黑（黑，紅）（黑，白）（黑，黃）

共有12種不同的結(jié)果.

方法二如圖.

白紅

紅黃黃

黑黑

紅紅

黃白白

黑黃

果.

的結(jié)

不同

12種

共有

，根

魚苗

13尾

出85

能孵

魚卵

00個

，100

孵化

人工

魚的

某種

實行

驗廠

產(chǎn)試

某水

7.

問題：

答下列

定義解

的統(tǒng)計

據(jù)概率

率)；

(孵化

化概率

卵的孵

這種魚

(1)求

苗？

少尾魚

化多

能孵

大約

魚卵

00個

(2)300

卵？

個魚

多少

得備

，大概

魚苗

00尾

化50

(3)要孵

1a

oc

.

化概率

似的蜉

它為近

13,

0.85

而=

率為而

孵化頻

魚卵的

1)這種

解(

I

Sc

539,

=25

,，x

000

=]0

o0o

則30

個，

孵化x

(2)設(shè)能

魚苗.

39尾

255

孵化

約能

卵大

個魚

000

即30

513

08

-,500

4公

4人

卅而

//、、〃

-

前，

=而

I

卵，則

y個魚

要備

(3)設(shè)需

魚卵.

73個

備58

得準(zhǔn)

大概

73,即

七58

...)

升

能力提

批電視

關(guān)于這

品，則

臺次

有1

，其中