高中數(shù)學必修三全冊知識點總結(jié)

第1講算法初步

一.算法的概念

1.算法的概念

1、算法定義：在數(shù)學上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，

這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.

2.算法的特點：

(1)有窮性：一個算法在執(zhí)行有限個步驟之后，必須結(jié)束.

(2)確定性：算法的每一個步驟和次序應該是確定的.

(3)可行性：原則上算法能夠精確地元算，而且人們用筆和紙做有限次即可完成.

(4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.

(5)輸出：一個算法有0個或多個輸入，以刻畫運算對象的初始條件.所謂0個輸入是指算法本身已經(jīng)給出

了初始條件.

(6)輸出：一個算法有1個或多個輸出，以反映對輸入數(shù)據(jù)加工后的結(jié)果，沒有輸出的算法是毫無意義的.

3.算法的描述：自然語言、程序框圖、程序語言。

例1、寫出1X2X3X4X5X6的一個算法.

解:按照逐一相乘的程序進行

第一步:計算1X2,得到2；

第二步:將第一步的運算結(jié)果2與3相乘,得到6；

第三步：將第二步的運算結(jié)果6與4相乘，得到24；

第四步：將第三步的運算結(jié)果24與5相乘，得到120；

第五步：將第四的運算結(jié)果120與6相乘，得到720；

第六步:輸出結(jié)果.

例2、寫出按從小到大的順序重新排列x,y,z三個數(shù)值的算法.

解：(1).輸入x,y,z三個數(shù)值；

(2).從三個數(shù)值中挑出最小者并換到x中；

(3).從y,z中挑出最小者并換到y(tǒng)中；

(4).輸出排序的結(jié)果.

二.程序框圖

1、程序框圖基本概念：

(-)程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀

地表示算法的圖形。

一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。

(-)構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用

程序框名稱功能

<---------------------------------------'表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖

起止框

不可少的。

表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算

輸入、輸出框

法中任何需要輸入、輸出的位置。

賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、

—

處理框公式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處

理框內(nèi)。

判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標

判斷框

O明“是”或“Y”；不成立時標明“否”或“N

學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下:

1、使用標準的圖形符號。

2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。

3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。

4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結(jié)果；另一類是多分支判斷,

有幾種不同的結(jié)果。

5、在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。

（三）、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。

1、順序結(jié)構(gòu):

2、條件結(jié)構(gòu):

3、循環(huán)結(jié)構(gòu):

直到型當型

注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包

含條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)”。

2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個計數(shù)變量和累加變量。計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。

計數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計數(shù)一次。

例、設計一個計算1+2+3+……+100的值得算法，并畫出程序框圖。

開始

____I____

i=0:Sum=0

/輸,Sum/

(—1一當型結(jié)構(gòu)崩空儂梅

三.輸入、輸出語句和賦值語句

1、輸入語句

圖形計算器

格式

INPUT"提示內(nèi)容”；變量INPUT"提示內(nèi)容”，變量

2、輸出語句

圖形計算器

格式“提示內(nèi)容”，變量

PRINT"提示內(nèi)容”；表達式Disp

3、賦值語句

圖形計算器

格式表達式—變量

變量=表達式

四.條件語句

1、條件語句的一般格式有兩種：（1）IF—THEN—ELSE語句；（2）IF—THEN語句。

2、IF—THEN—ELSE語句IF—THEN—ELSE語句的一般格式為圖1,對應的程序框圖為圖2。

圖1圖2

3、IF—THEN語句IF—THEN語句的一般格式為圖3,對應的程序框圖為圖4。

五.

循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實現(xiàn)的。對應于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設計語言中也有當型（WHILE

型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結(jié)構(gòu)。即WH租E語句和UNTIL語句。

1、WHILE語句

循環(huán)

WHILE條件

WHILE語句的一般格式是循環(huán)體對應的程序框圖是

WEND

否

2、UNTIL語句

DO

UNTIL語句的一般格式是循環(huán)體對應的程序框圖是

LOOPUNTIL條件

滿足條件2

六.算法案例

1、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)

（1）、輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下:

（1）：給定兩個正整數(shù)m,n；

（2）：計算m除以n所得的余數(shù)r；

（3）：m=n,n=r；

（4）若r=0,則m,n的最大公約數(shù)等于m；否則，返回第二步。

（2）、更相減損術(shù)

我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)

的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母?子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。

翻譯為：（1）：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。

（2）：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個

操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。

例1.用輾轉(zhuǎn)相除法求98與63的最大公約數(shù)：例2.用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù):

???98-63=35，

解：V98=63X1+35，

63-35=28

63=35X1+28?

35=28X1+7,35-28=7

28-7=21

28=7X4.

21-7=14，

二98與63的最大公約數(shù)是7.

14-7=7

???98與63的最大公約數(shù)是7.

2、秦九韶算法與排序

1、秦九韶算法概念：f(x)=anX“+an….+aix+a0求值問題

把一個次多項式nnl改寫成如下形式：

nf(x)=anx+atrIx+-.+aix+ao

f(x)=anX"+an-ix"T+….+aix+a0

vln

=(anx'+an-ix^+---.+ajx+a0

二((n

anX"+anTxrf+….+a2)x+ai)x+a0

=(...(anx+an-i)x+an-2)x+...+ajx+a0

求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)依次多項式的值，即Vi=anX+a『i然后由內(nèi)向外逐層計算一次

多項式的值，即

=

V2—Vix+an-2V3—V2x+an-3...........vnvn-ix+ao

這樣，把n次多項式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個一次多項式的值的問題。

例1、已知一個5次多項式為f(x)=5抽+2x4+3.5V_2.6X2+1.7x-0.8.

用秦九韶算法求這個多項式當x=5時的值.

f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x一().8.

%=5；

V]=5x5+2=27;

v2=27x5+3.5=138.5;

%=138.5x5-2.6=689.9;

v4=689.9x5+1.7=3451.2;

v5=3451.2x5-0.8=17255.2.

所以，當x=5時,多項式的值等于17255.2.

例2、用秦九韶第法求函數(shù)f(x)=1+X+X2+X3+2X\當x=l的值時，V2的結(jié)果是()

A.2B.3C.4D.5

解：vi=2X1+1=3；

V2=3x1+1=4>

故選c.

例3、已知函數(shù)f(x)=X5+2X4+X3-X2+3X-5,用秦九韶算法計算f(5)

解：f(x)=X5+2X4+X3-X2+3X-5=((((x+2)x+1)x-1)x+3)x-5

貝狂(5)=((((5+2)5+1)5-1)5+3)5-5

=4485.

3、進位制

概念：進位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值?？墒褂脭?shù)字符號的個數(shù)稱為

基數(shù)，基數(shù)為n,即可稱n進位制，簡稱n進制。現(xiàn)在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯數(shù)

字0-9進行記數(shù)。對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數(shù)57,可以用二

進制表示為111001,也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39,它們所代表的數(shù)值都是一樣

的。

一般地，若k是一個大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進制可以表示為：

⑷4區(qū)°一M，?4，中

而表示各種進位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001⑵表示二進制數(shù),34⑸表示5進制數(shù)

⑴把十進制轉(zhuǎn)化為別的進制

例、把89化為二進制.

2[\_0

0\

把上式中個步所得的余數(shù)從下到上排列，得到89=1011001.

⑵把別的進制轉(zhuǎn)化為十進制

例、把二進110011⑵制化為十進制.

54,2

110011(2)=1X2+1X2+0X2+0X2+1X2'+1X2°

=32+16+2+1

=51

⑶把別的進制轉(zhuǎn)化為別的進制

別的進制->十進制一別的進制

第2講統(tǒng)計

—?、三種抽樣方法

1、統(tǒng)計的的基本思想是：用樣本的某個量去估計總體的某個量

總體：在統(tǒng)計中，所有考察對象的全體。

個體：總體中的每一個考察對象。

樣本：從總體中抽取的一部分個體叫做這個總體的一個樣本。

樣本容量：樣本中個體的數(shù)目。

2、抽樣方法：要求：總體中每個個體被抽取的機會相等

（1）簡單隨機抽樣：抽簽法和隨機數(shù)表法

簡單隨機抽樣的特點是：不放回、等可能.

抽簽法步驟

（1）先將總體中的所有個體（共有N個）編號（號碼可從1到N）

（2）把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上，號簽可用小球、卡片、紙條等制作

（3）將這些號簽放在同一個箱子里，進行均勻攪拌（4）抽簽時，每次從中抽出一個號簽，連續(xù)抽取n次

（5）抽出樣本

隨機數(shù)表法步驟

（1）將總體中的個體編號（編號時位數(shù)要統(tǒng)一）；（2）選定開始的數(shù)字；（3）按照一定的規(guī)則讀取號碼；（4）

取出樣本

（2）系統(tǒng)抽樣

系統(tǒng)抽樣特點：容量大、等距、等可能.

步驟：

1.編號,隨機剔除多余個體,重新編號

2.分組（段數(shù)等于樣本容量），確定間隔長度k=N/n

3.抽取第一個個體編號為i

4.依預定的規(guī)則抽取余下的個體編號為i+k,i+2k,???

（3）分層抽樣

分層抽樣特點：總體差異明顯、按所占比例抽取、等可能.

步驟：1.將總體按一定標準分層；

2.計算各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比；

3.按比例確定各層應抽取的樣本數(shù)目

4.在每一層進行抽樣（可用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣）

二、用樣本估計總體

1、用樣本的頻率分布估計總體的分布

①作樣本頻率分布直方圖的步驟：

（1）求極差；

（2）決定組距與組數(shù)；（組數(shù)=極差/組距）

（3）將數(shù)據(jù)分組；

（4）列頻率分布表（分組，頻數(shù)，頻率）；

（5）畫頻率分布直方圖。

根據(jù)頻率分布表做頻率分布直方圖應注意兩點：

頻率

⑴縱軸的意義：篇

⑵橫軸的意義：樣本內(nèi)容（每個矩形下面是組距）.

例1、為了了解中學生的身高情況，對育才中學同齡的50名男學生的身高進行了測量，結(jié)果如下:（單位：cm）

175168180176167181162173171177

171171174173174175177166163160

166166163169174165175165170158

174172166172167172175161173167

170172165157172173166177169181

列出樣本的頻率分布表,畫出頻率分布直方圖.

解：在這個樣本中，最大值為181,最小值為157,它們的差是24,可以取組距為4,分成7組,根據(jù)題意列出樣本

的頻率分布表如下:

分組頻數(shù)頻率

156.5?160.530.06

160.5?164.540.08

164.5?168.5120.24

168.5?172.5120.24

172.5?176.5130.26

176.5?180.540.08

180.5?184.520.04

合計501.00

②莖葉圖作圖步驟：

1.將每個數(shù)據(jù)分為莖（高位）和葉（低位）兩部分.

2.將最小莖和最大莖之間的數(shù)按大小順序排成一列,寫在左（右）側(cè)；

3.將各個數(shù)據(jù)的葉按大小次序?qū)懺谄溆遥ㄗ螅﹤?cè).

例、某中學高二（2）班甲、乙兩名同學自高中以來每場數(shù)學考試成績?nèi)缦?

甲的得分：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107；

乙的得分：83,86,93,99,88,130,98,114,98,79,101.

畫出兩人數(shù)學成績莖葉圖，請根據(jù)莖葉圖對兩人的成績進行比較.

解：甲、乙兩人數(shù)學成績的莖葉圖如卜圖:

甲乙

56

56179

89618638

41593988

71031

0114

從這個莖葉圖上可看此乙同學的得分情況是大致對稱的，中位數(shù)是99；甲同學的得分情況除一個特殊得分

外,也大致對稱，中位數(shù)是89.因此乙同學發(fā)揮比較穩(wěn)定,總體得分情況比甲同學好.

2、用樣本的數(shù)據(jù)特征估計總體的數(shù)據(jù)特征

(1)、在頻率直方圖中計算眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)

眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點的橫坐標。

中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等

平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和

(2)、標準差和方差：描述了數(shù)據(jù)的波動范圍，離散程度

標準差S=-+(々一幻？+(%〃-

Vn

i___

方差$2=—[(X—X)~+(%2—尤)~+-x)~]

n

擴展：

①若%,與，x〃的平均數(shù)為％,則g]+4,mx2+〃「??,+。的平均數(shù)為mx+a.

②…,x”的方差為J?,則知+b,ax2+6,+陰勺方差為《2s2.

3.兩變量之間的關(guān)系

（1）相關(guān)關(guān)系一一非確定性關(guān)系

（2）函數(shù)關(guān)系一一確定性關(guān)系

4.回歸直線方程：=bx+a

_〃__/__

AZ（七一x）（y-y）ZXiyt-nxy

1?=旦-----------------------------------

之（若-%）2^x--nx'

i=li=\

A__A—

a=y-bx

說明：回歸直線過定點（7,5）.

例如：某種產(chǎn)品的廣告費支出x與徜售額y（單位：萬元）之間有如下對應數(shù)據(jù):

X24568

y3040605070

（I）畫出散點圖；

（II）求回歸直線方程；

（HD試預測廣告費支出為10萬元時,稍售額多大？

解：（I）根據(jù)表中所列數(shù)據(jù)可得散點圖如下：（111＞根據(jù)上面求得的回歸直線方程，當廣告費支出為10萬元時，

=6.5X10+17.5=82.5《萬元）

70y

60即這種產(chǎn)品的儲售收入大約為82.5萬元

50

40

30

（n）￡=2+4+：+6+8=5,

一30+40+50+60+70

y=50

5

5

又已知=145，XA.=1380.

Z-1

5

Sxy-xy

_z=l1380-5x5x50

于是可得：b=6.5

5、145-5x5x5

V2--2

乙xi~5x

i=l

7=y-^bx=50-6.5X6=17.5

因此，所求回歸直線方程為：5x+17.5

5.回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法。

其基本步驟是：①畫出兩個變量的散點圖;

②求回歸直線方程;

③并用回歸直線方程進行預報。

第3講概率

一.隨機事件的概率

1、基本概念:

(由』事八］不可能事件

事件用確正定田事口件必4然事件

.隨機事件

(1)必然事件：在條件s下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件s的必然事件；

(2)不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；

(3)確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；

(4)隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；

(5)事件：確定事件和隨機事件統(tǒng)稱為事件，一般用大寫字母A,B,C……表示。

2、概率與頻數(shù)、頻率：

在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)n.為事件A出現(xiàn)

的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例f0(A)=2為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定的隨機事件A,如果隨著試驗次數(shù)的

n

增加，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A),稱為事件A的概率。

n

頻率與概率