2025屆高考數(shù)學一輪復習專項練習課時規(guī)范練56離散型隨機變量的數(shù)字特征

課時規(guī)范練56離散型隨機變量的數(shù)字特征基礎鞏固組1.設隨機變量X的分布列如下:X0123P0.1α0.30.4則方差D(X)=()A.0 B.1C.2 D.32.口袋中有編號分別為1,2,3的三個大小和形態(tài)完全相同的小球,從中任取2個,則取出的球的最大編號X的期望為()A.13 B.C.2 D.83.設隨機變量X~B(2,p),隨機變量Y~B(3,p),若P(X≥1)=59,則D(3Y+1)=(A.2 B.3C.6 D.74.隨機變量ξ的分布列如下表,則p在(0,0.5)上增大時,D(ξ)的變更狀況是()ξ1234Pp0.5-p0.5-ppA.始終增大 B.始終減小C.先增大后減小 D.先減小后增大5.(多選)袋內(nèi)有形態(tài)、大小完全相同的2個黑球和3個白球,從中不放回地每次任取1個小球,直至取到白球后停止取球,則下列說法正確的是 ()A.抽取2次后停止取球的概率為3B.停止取球時,取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為9C.取球次數(shù)ξ的期望為2D.取球次數(shù)ξ的方差為96.某籃球隊對隊員進行考核,規(guī)則是:①每人進行3個輪次的投籃;②每個輪次每人投籃2次,若至少投中1次,則本輪通過,否則不通過.已知隊員甲投籃1次投中的概率為23,假如甲各次投籃投中與否互不影響,那么甲3個輪次通過的次數(shù)X的期望是(A.3 B.83C.2 D.57.已知5臺機器中有2臺存在故障,現(xiàn)須要通過逐臺檢測直至區(qū)分出2臺故障機器為止.若檢測一臺機器的費用為1000元,則所需檢測費的均值為()A.3200 B.3400C.3500 D.36008.隨機變量X的取值為0,1,2,P(X=0)=0.2,D(X)=0.4,則E(X)=.

9.已知隨機變量X聽從二項分布B(n,p),若E(X)=3,D(X)=2,則p=,P(X=1)=.

綜合提升組10.(多選)某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個五位二進制數(shù)A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中A的各位數(shù)中ak(k=2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為13,出現(xiàn)1的概率為23,記X=a2+a3+a4+a5,則下列說法正確的是(A.X聽從二項分布 B.P(X=1)=881C.X的期望E(X)=83D.X的方差D(X)=811.一個袋中放有大小、形態(tài)均相同的小球,其中紅球1個、黑球2個,現(xiàn)隨機等可能取出小球,當有放回依次取出兩個小球時,記取出的紅球數(shù)為ξ1;當無放回依次取出兩個小球時,記取出的紅球數(shù)為ξ2,則下列式子正確的是()A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)12.(多選)已知隨機變量ξ的分布列是ξ-101P11p隨機變量η的分布列是η123P11p則當p在(0,1)內(nèi)增大時,下列選項中正確的是()A.E(ξ)=E(η) B.D(ξ)=D(η)C.E(ξ)增大 D.D(η)先增大后減小13.如表是隨機變量ξ0<a<12的分布列,E(ξ)=,D(ξ012Pa1-2aa創(chuàng)新應用組14.已知隨機變量X,Y的分布列如下表所示,其中a,b∈(0,1).X-11Pa1-aY-11Pb1-b若D(XY)=1,則()A.E(X)·E(Y)>0 B.E(X)·E(Y)<0C.D(X)+D(Y)>1 D.D(X)+D(Y)<115.甲、乙兩家外賣公司,其送餐員的日工資方案如下:甲公司,底薪80元,每單送餐員抽成4元;乙公司,無底薪,40單以內(nèi)(含40單)的部分送餐員每單抽成6元,超出40單的部分送餐員每單抽成7元.假設同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同,現(xiàn)從這兩家公司各隨機選取一名送餐員,并分別記錄其50天的送餐單數(shù),得到如下頻數(shù)表:甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205(1)現(xiàn)從記錄甲公司送餐員的50天送餐單數(shù)中隨機抽取3天的送餐單數(shù),求這3天送餐單數(shù)都不小于40的概率.(2)若將頻率視為概率,回答下列兩個問題:①記乙公司送餐員日工資為X(單位:元),求X的分布列和數(shù)學期望E(X);②小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員,假如僅從日平均工資的角度考慮,請利用所學的統(tǒng)計學學問為小王作出選擇,并說明理由.參考答案課時規(guī)范練56離散型隨機變量的數(shù)字特征1.Ba=1-0.1-0.3-0.4=0.2,E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4=2,E(X2)=1×0.2+4×0.3+9×0.4=5,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=5-4=1,故選B.2.D因為口袋中有編號分別為1,2,3的三個大小和形態(tài)完全相同的小球,從中任取2個,所以取出的球的最大編號X的可能取值為2,3,所以P(X=2)=1C32=13,P(X=3)=C21C113.C∵隨機變量X~B(2,p),∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C20(1-p)2=59,解得p=13,p=53舍去,∴D(Y)=3×13×23=23,∴D(3Y+4.A由題意可得E(ξ)=1×p+2×(0.5-p)+3×(0.5-p)+4×p=2.5,D(ξ)=(1-2.5)2×p+(2-2.5)2×(0.5-p)+(3-2.5)2×(0.5-p)+(4-2.5)2×p=4p+14,則D(ξ)在(0,0.5)上單調(diào)遞增,故p在(0,0.5)上增大時,D(ξ)的變更狀況是始終增大故選A.5.BD設取球次數(shù)為ξ,可知隨機變量ξ的可能取值有1,2,3,則P(ξ=1)=35,P(ξ=2)=25×34=310,P(ξ=3)=25×14=110.對于A選項,抽取2次后停止取球的概率為P(ξ=2)=310,A選項錯誤;對于B選項,停止取球時,取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為P(ξ=1)+P(ξ=2)=35+310=910,B選項正確;對于C選項,取球次數(shù)ξ的期望為6.B在一輪投籃中,甲通過的概率為P=2×13×23+23×23=89,未通過的概率為197.C設檢測的機器的臺數(shù)為x,則x的全部可能取值為2,3,4.P(x=2)=A22A52=110,P(x=3)=A21C31A22+A33A53=310,P(x=8.1設P(X=2)=x,其中0≤x≤0.8,可得出P(X=1)=0.8-x,所以E(X)=0×0.2+1×(0.8-x)+2x=x+0.8,D(X)=(x+0.8)2×0.2+(x-0.2)2×(0.8-x)+(x-1.2)2×x=0.4,解得x=0.2,x=1.2舍去.因此,E(X)=0.2+0.8=1.9.132562187因為隨機變量X聽從二項分布B(n,p),若E(X)=3,D則np=3,np(1-p)=2,解得P(X=1)=C10.ABC由二進制數(shù)A的特點知每一個數(shù)位上的數(shù)字只能填0或1,且每個數(shù)位上的數(shù)字在填時互不影響,故A中后4位的全部結果有4類:①后4個數(shù)位上都出現(xiàn)0,X=0,記其概率為P(X=0)=134=181;②后4個數(shù)位只出現(xiàn)1個1,X=1,記其概率為P(X=1)=C4123133=881;③后4位數(shù)位出現(xiàn)2個1,X=2,記其概率為P(X=2)=C42232132=2481;④后4個數(shù)位上出現(xiàn)3個1,記其概率為P(X=3)=C4323313=3281;⑤后4個數(shù)位都出現(xiàn)1,X=4,記其概率為P(X=4)=∵X~B4,23,∴X的方差D(X)=4×23×11.Bξ1可能的取值為0,1,2;ξ2可能的取值為0,1,P(ξ1=0)=49,P(ξ1=2)=19,P(ξ1=1)=1-49-19=49,故E(ξ1)=23,D(ξ1)=0-232×49+1-232×49+2-232×19=49.P(ξ2=0)=2×13×2=13,P(ξ2=1)=2×1×23×2=23,故E(ξ2)=23,D(ξ2)=0-212.BC對于A,∵η=ξ+2,∴E(η)=E(ξ)+2,故A錯誤;對于B,∵η=ξ+2,∴D(ξ)=D(η),故B正確;對于C,∵E(ξ)=-12+12p,∴當p在(0,1)內(nèi)增大時,E(ξ)增大,故C正確;對于D,∵E(η)=12+2×1-p2+3×p2=32+p2,∴D(η)=-12-p22×12+12-p221-13.1(0,4)由題意得,E(ξ)=0·a+1-2a+2a=1;E(ξ4)=04·a+14·(1-2a)+24·a=1+14a,E(ξ2)=02·a+12·(1-2a)+22·a=1+2a,則D(ξ2)=E(ξ4)-[E(ξ2)]2=1+14a-(1+2a)2=-4a2+10a,a∈0令f(a)=-4a2+10a,a∈0,12,則f(a)在a∈0,12遞增,得f(a)∈(0,4),故14.C由分布列知,E(X)=-1×a+1×(1-a)=1-2a,E(Y)=-1×b+1×(1-b)=1-2b,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=a+(1-a)-(1-2a)2=4a(1-a),D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=b+(1-b)-(1-2b)2=4b(1-b),∵D(X)=∑[Xi-E(X)]2Pi=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2,∴D(XY)=E[XY-E(XY)]2=E[X2Y2-2XYE(XY)+E2(XY)]=E(X)2E(Y)2-2E2(X)E2(Y)+E2(X)E2(Y)=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y),∴D(XY)=E(X2)E(Y2)-[E(X)]2[E(Y)]2=1-(1-2a)·(1-2b)=1,即-(1-2a)(1-2b)=0,∴1-2a=1-2b=0,即a=b=12,所以E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=E(X)E(Y)=0,D(X)+D(Y)=2.15.解(1)記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事務M,則P(M)=C(2)①設乙公司送餐員的送餐單數(shù)為a,當a=38時,X=38×6=228,當a=39時,X=39×6=234,當a=40時,X=40×6=240,當a=41時,X=40×6+1×7=247,當a=42時,X=40×6+2×7=254.所以X的全部可能取值