備戰(zhàn)2024高考數(shù)學藝體生一輪復習講義專題13函數(shù)與方程

專題13函數(shù)與方程【考點預料】一、函數(shù)的零點對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.二、方程的根與函數(shù)零點的關系方程有實數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點函數(shù)有零點.三、零點存在性定理假如函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連綿起伏的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得也就是方程的根.四、二分法對于區(qū)間上連綿起伏且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步靠近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點的近似值.五、用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟（1）確定區(qū)間，驗證，給定精度.（2）求區(qū)間的中點.（3）計算.若則就是函數(shù)的零點；若，則令（此時零點）.若，則令（此時零點）（4）推斷是否達到精確度，即若，則函數(shù)零點的近似值為（或）；否則重復第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.【方法技巧與總結】函數(shù)的零點相關技巧:①若連綿起伏的函數(shù)在定義域上是單調函數(shù)，則至多有一個零點.②連綿起伏的函數(shù)，其相鄰的兩個零點之間的全部函數(shù)值同號.③連綿起伏的函數(shù)通過零點時，函數(shù)值不愿定變號.④連綿起伏的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點，不愿定能推出.【典例例題】題型一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間【方法技巧與總結】求函數(shù)零點的方法：（1）代數(shù)法，即求方程的實根，適合于宜因式分解的多項式；（2）幾何法，即利用函數(shù)的圖像和性質找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).例1．（2024·江西鷹潭·高三貴溪市試驗中學校考階段練習）函數(shù)的零點是（

）A． B． C． D．9【答案】B【解析】當時，，解得當時，，解得所以函數(shù)的零點為：故選：B例2．（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)的零點為2，則函數(shù)的零點是（

）A．0， B．0， C．0，2 D．2，【答案】A【解析】因為函數(shù)的零點為2，所以，∵，，∴，∴．令，得或．故選：A.例3．（2024·全國·高三專題練習）若是函數(shù)的一個零點，則的另一個零點為（

）A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）【答案】A【解析】因為是函數(shù)的一個零點，所以，解得．設另一個零點為，則，解得，所以的另一個零點為1．故選：A．變式1．（2024·全國·高三專題練習）在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，因為，，由零點存在定理，故函數(shù)的零點所在的區(qū)間為故選：C變式2．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)在上單調遞增，且在上連續(xù).因為，，所以，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選：B變式3．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的零點在區(qū)間上，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的定義域為，且在上單調遞增，故其至多一個零點；又，，故的零點在區(qū)間，故.故選：．題型二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍【方法技巧與總結】本類問題應細致視察、分析圖像，利用函數(shù)的零點及其他相關性質，建立參數(shù)關系，列關于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.例4．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)．若在內(nèi)恰有一個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，函數(shù)為常函數(shù)，沒有零點，不滿意題意，所以為一次函數(shù)，因為在內(nèi)恰有一個零點，所以，即，解得或.故的取值范圍是.故選：C例5．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，恰有2個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由，得，則直線與的圖象恰有兩個交點，數(shù)形結合得的取值范圍是.故選：B例6．（2024·全國·高三專題練習）若關于x的方程有兩個不相等的實根、，且滿意，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A．（2，5） B．C． D．【答案】B【解析】令，且，所以只需滿意且即可，即且，解得，故選:B.變式4．（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)的零點所在的區(qū)間為，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】易知函數(shù)在上單調遞增，且函數(shù)零點所在的區(qū)間為，所以，解得．故選：C變式5．（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)f（x）＝3ax＋1－2a在區(qū)間（－1，1）內(nèi)存在一個零點，則a的取值范圍是（

）A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪【答案】D【解析】當a＝0時，f（x）＝1與x軸無交點，不合題意，所以a≠0；函數(shù)f（x）＝3ax＋1－2a在區(qū)間（－1，1）內(nèi)是單調函數(shù)，所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，解得a＜－1或a＞.故選：D.變式6．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可知：函數(shù)單調遞增，若一個零點在區(qū)間內(nèi)，則需：，即，解得，故選：C.題型三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題【方法技巧與總結】方程的根或函數(shù)零點的存在性問題，可以依據(jù)區(qū)間端點處函數(shù)值的正負來確定，但是要確定函數(shù)零點的個數(shù)還須要進一步探討函數(shù)在這個區(qū)間的單調性，若在給定區(qū)間上是單調的，則至多有一個零點；假如不是單調的，可接著分出小的區(qū)間，再類似做出推斷.例7．（2024·全國·高三專題練習）若偶函數(shù)滿意，在時，，則關于x的方程在上根的個數(shù)是___．【答案】4【解析】滿意，故可得，所以函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)依據(jù)，得該函數(shù)在[0，4]上的圖象為：再在同一坐標系中做出函數(shù)的圖象，當時，，當時，，而當時，如圖，當時，兩函數(shù)圖象有四個交點．所以方程在[0，4]上有4個根．故答案為：4．例8．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的零點個數(shù)為_________．【答案】1【解析】當時，有一個零點；當時，，無零點，故函數(shù)的零點個數(shù)為1個故答案為：1例9．（2024·全國·高三專題練習）設依次表示函數(shù)的零點，則的大小關系為______．【答案】【解析】函數(shù)的零點，即為方程的解，在坐標系中分別畫出函數(shù)與的圖象，如圖所示，結合圖象，可得.故答案為：.變式7．（2024·重慶璧山·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【解析】當時，由可得，解得（舍去）；當時，由可得，即或，解得或.綜上所述，函數(shù)的零點個數(shù)為.故選：C.變式8．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的零點個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由題意，令，即，則函數(shù)的零點個數(shù)，等價于兩個函數(shù)與的交點個數(shù)，與兩函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖知，兩個函數(shù)有個交點，故函數(shù)的零點個數(shù)是.故選：B．變式9．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)定義在上的奇函數(shù)滿意在，則在上的零點至少有（

）個A．6 B．7C．12 D．13【答案】D【解析】是奇函數(shù)，故，又由得周期為1，故，又，，因此，再由周期為1，總之，有，共13個零點，故選:D．變式10．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)則方程的解的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】令，得，則函數(shù)零點的個數(shù)即函數(shù)與函數(shù)的交點個數(shù)．作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，可知兩個函數(shù)圖像的交點的個數(shù)為2，故方程的解的個數(shù)為2個．故選：C．題型四：分段函數(shù)的零點問題【方法技巧與總結】已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）干脆法：干脆求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解.例10．（2024·河北·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】要使函數(shù)有三個零點，則有三個不相等的實根，即與的圖象有三個交點，當時，在上單調遞減，；當時，在上單調遞增，；當時，在上單調遞增，；由與的圖象有三個交點，結合函數(shù)圖象可得，故選：A.例11．（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)有且只有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依據(jù)題意，時，，此時時，;時，,所以在上單調遞增，在上單調遞減時，所以在上無零點從而時，有2個零點，依據(jù)二次函數(shù)的性質可得故選：D.例12．（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)存在2個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因函數(shù)f(x)在(1，+∞)上單調遞增，且f(2)=0，即f(x)在(1，+∞)上有一個零點，函數(shù)存在2個零點，當且僅當f(x)在(-∞，1]有一個零點，x≤1時，，即函數(shù)在(-∞，1]上的圖象與直線y=m有一個公共點，在同一坐標系內(nèi)作出直線y=m和函數(shù)的圖象，如圖：而在(-∞，1]上單調遞減，且有，則直線y=m和函數(shù)的圖象有一個公共點，.故選：A題型五：等高線問題例13．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)＝，若互不相等的實數(shù)x1，x2，x3滿意f（x1）＝f（x2）＝f（x3），則的取值范圍是（

）A．（） B．（1，4） C．（，4） D．（4，6）【答案】A【解析】畫出分段函數(shù)f(x)＝的圖像如圖：令互不相等的實數(shù)x1，x2，x3滿意f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，t∈（0，），則x1∈，x2∈（0，1），x3∈（1，2），則＝1+t+1﹣t+22t﹣2＝2+22t﹣2，又t∈（0，），∴∈（）．故選：A．例14．（2024·內(nèi)蒙古烏蘭察布·統(tǒng)考一模）函數(shù)f(x)=|x2﹣2x|，x1?x2?x3?x4滿意：f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=m，x1<x2<x3<x4且x2﹣x1=x3﹣x2=x4﹣x3，則m=（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】，由題意有4個實數(shù)根由的圖像可知所以為的兩個實數(shù)根，由求根公式可得則為的兩個實數(shù)根，由求根公式可得由，所以故解得故選：B例15．（2024·四川內(nèi)江·高一統(tǒng)考期末）設函數(shù)f（x）=，若互不相等的實數(shù)x1，x2，x3滿意f（x1）=f（x2）=f（x3），則x1+x2+x3的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)，函數(shù)的圖象如下圖所示：不妨設，則，關于直線對稱，故，，，則的取值范圍是：；即，故選．題型六：二分法例16．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的一個正數(shù)零點旁邊的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下：

那么方程的一個近似解（精確度為0.1）為（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44【答案】C【解析】由所給數(shù)據(jù)可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個根，因為，，所以根在內(nèi)，因為，所以不滿意精確度，接著取區(qū)間中點，因為，，所以根在區(qū)間，因為，所以不滿意精確度，接著取區(qū)間中點，因為，，所以根在區(qū)間內(nèi)，因為滿意精確度，因為，所以根在內(nèi)，所以方程的一個近似解為，故選：C例17．（2024·全國·高三專題練習）用二分法探討函數(shù)的零點時，第一次經(jīng)過計算得，，則其中一個零點所在區(qū)間和其次次應計算的函數(shù)值分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】因為，由零點存在性知：零點，依據(jù)二分法，其次次應計算，即，故選：D.例18．（2024·全國·高三專題練習）若的一個正數(shù)零點旁邊的函數(shù)值用二分法逐次計算，數(shù)據(jù)如下表：那么方程的一個近似根（精確到0.1）為（

）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【答案】C【解析】依據(jù)二分法，結合表中數(shù)據(jù)，由于所以方程的一個近似根所在區(qū)間為所以符合條件的解為1.4故選:C.變式11．（2024·全國·高三專題練習）利用二分法求方程的近似解，可以取的一個區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，當連續(xù)函數(shù)滿意（a）（b）時，在區(qū)間上有零點，即方程在區(qū)間上有解，又（2），（3），故（2）（3），故方程在區(qū)間上有解，即利用二分法求方程的近似解，可以取的一個區(qū)間是.故選：C．變式12．（2024·全國·高三專題練習）用二分法求如圖所示的函數(shù)的零點時，不行能求出的零點是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由二分法的思想可知，零點x1，x2，x4左右兩側的函數(shù)值符號相反，即存在區(qū)間(a，b)，使得x1，x2，x4∈(a，b)，f(a)·f(b)<0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈(a，b)時均有f(a)·f(b)>0，故不行以用二分法求該零點．故選：C變式13．（2024·全國·高三專題練習）已知方程的根在區(qū)間上，第一次用二分法求其近似解時，其根所在區(qū)間應為__________．【答案】【解析】令，其在定義域上單調遞增，且，，，由f（2.5）f（3）＜0知根所在區(qū)間為．故答案為：．【過關測試】一、單選題1．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個零點，則實數(shù)a的值為（

）A．－ B．0 C． D．0或－【答案】D【解析】當時，函數(shù)僅有一個零點，滿意題意；當時，函數(shù)僅有一個零點，可得，解得．故選：D2．（2024·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間上的圖象為一條連綿起伏的曲線，則下列說法中正確的有(

)A．若，則不存在實數(shù)，使得B．若，則存在且只存在一個實數(shù)，使得C．若，則可能存在實數(shù)，使得D．若，則可能不存在實數(shù)，使得【答案】C【解析】對于A：令，區(qū)間取為，滿意，但是在內(nèi)存在兩個零點，，故A錯誤，C正確；對于B：令，區(qū)間取為，滿意，但是在內(nèi)存在三個零點，，，故B錯誤；依據(jù)函數(shù)零點存在定理可知，D錯誤．故選：C3．（2024·全國·高三專題練習）已知且，則的零點個數(shù)為（

）A． B． C． D．不能確定【答案】C【解析】，，又，，二次函數(shù)有個零點.故選：C.4．（2024·全國·高三專題練習）關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則m的值可以是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解析】要使關于x的一元二次方程有實數(shù)根，只需，解得：.比照四個選項，只有A符合題意.故選：A5．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為是上的增函數(shù)，且，所以的零點在區(qū)間內(nèi).故選：B6．（2024·全國·高三專題練習）已知實數(shù)是方程的一個解，是方程的一個解，則可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，，即，，所以，即或，所以或；故選：B7．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．0【答案】C【解析】在上是增函數(shù)，在和上是減函數(shù)，在和上是增函數(shù)，，，，作出函數(shù)的圖像，如圖，由圖像可知它們有4個交點．故選：C．8．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】作出函數(shù)的圖象，令，可得，畫出直線，可得當時，直線和函數(shù)的圖象有兩個交點，則有兩個零點．故選：B．9．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，得，在同一坐標系中作出的圖象，如圖所示：由圖象知：若有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍是，故選：A10．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，的零點分別是a，b，c，則a，b，c的大小依次是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知條件得的零點可以看成與的交點的橫坐標，的零點可以看成與的交點的橫坐標，的零點可以看成與的交點的橫坐標，在同一坐標系分別畫出，，，的函數(shù)圖象，如下圖所示,可知，故選：.11．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的零點的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】由于函數(shù)在上是增函數(shù)，且，故函數(shù)在上有唯一零點，也即在上有唯一零點.故選：B.二、多選題12．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)必有零點（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】，，，，，因為，所以在和內(nèi)存在零點.故選：AD13．（2024·全國·高三專題練習）設函數(shù)，若關于的方程有四個實數(shù)解，且，則的值可能是（

）A．0 B．1 C．99 D．100【答案】BC【解析】如圖所示：因為關于的方程有四個實數(shù)解，且，所以.的對稱軸為，所以.因為，所以，即，.因為，所以.所以，因為，為減函數(shù)，所以.故選：BC14．（2024·全國·高三專題練習）已知方程的兩個根一個大于2，一個小于2，則下列選項中滿意要求的實數(shù)m的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】CD【解析】依據(jù)題意方程的兩個根一個大于2，一個小于2，則對，滿意即可，即，解得.選項中滿意的有或.故選：.15