人教版數(shù)學(xué)高二-新人教 《函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)》 同步學(xué)案

3.3.2《函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)》導(dǎo)學(xué)案

編寫：張海軍審核：祝永剛時(shí)間：2011.2.26.

姓名班級組別組名

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解極大值、極小值的概念；

2.能夠運(yùn)用判別極大值、極小值的方法來求函數(shù)的極值；

3.掌握求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟.

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

▲重點(diǎn)：能夠運(yùn)用判別極大值、極小值的方法來求函數(shù)的極值；

▲難點(diǎn)：理解極大值、極小值的概念；

【學(xué)法指導(dǎo)】

觀察、探究、數(shù)形結(jié)合。

【知識鏈接】

復(fù)習(xí)1：設(shè)函數(shù))，M用在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)y'>0,那么函數(shù)yMM在

這個(gè)區(qū)間內(nèi)為_____函數(shù)；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)y'<0,那么函數(shù)yd劃在為這個(gè)區(qū)

間內(nèi)的________函數(shù).

復(fù)習(xí)2：用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：①求函數(shù)兀0的導(dǎo)數(shù)/'(X).②令解不

等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令解不等式，得x的范圍，就是遞

減區(qū)間.

【學(xué)習(xí)過程】

知識點(diǎn)1:函數(shù)的極值的概念

仔細(xì)閱讀課本第93-94頁內(nèi)容，嘗試解答下列問題：

問題1：如下圖，函數(shù)y=/(x)在〃，"。/?/超小等點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什

么關(guān)系？y=/(x)在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)附近，y=/(x)的導(dǎo)數(shù)的符號有什么

規(guī)律？

看出，函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值/(a)比它在點(diǎn)x=〃附近其它點(diǎn)的函數(shù)值都—，

/'(〃)=_；且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè);(幻_0,右側(cè)尸(x)—0.類似地，函數(shù)

y=/(x)在點(diǎn)x的函數(shù)值/⑸比它在點(diǎn)X=附近其它點(diǎn)的函數(shù)值都，/'S)=_；

而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f\x)___0,右側(cè)f\x)____0.

問題2：函數(shù)的極值的概念

我們把點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，/(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值：點(diǎn)b叫

做函數(shù)y=/(x)的極大值點(diǎn)，人刀叫做函數(shù)丫=/(x)的極大值.

極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.

極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的,刻畫的是函數(shù)的.

知識點(diǎn)2：知識點(diǎn)的應(yīng)用

題型一：可導(dǎo)函數(shù)八x)的極值的概念

例1.(1)函數(shù)的極值______(填是，不是)唯一的.

(2)一個(gè)函數(shù)的極大值是否一定大于極小值.

(3)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的―(內(nèi)，外)部，區(qū)間的端點(diǎn)(能，不能)

成為極值點(diǎn).

反思：極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的關(guān)系：

導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)是否一定是極值點(diǎn).

比如：函數(shù)/(x)=V在x=0處的導(dǎo)數(shù)為，但它(是或不是)極值點(diǎn).即：

導(dǎo)數(shù)為0是點(diǎn)為極值點(diǎn)的條件.

題型二：求函數(shù)的極值

仔細(xì)閱讀課本第94頁例4,嘗試解答下列問題：

例2.已知函數(shù);?(x)=d-3/—9x+n.

(1)寫出函數(shù)的遞減區(qū)間；

(2)討論函數(shù)的極大值和極小值，如有，試寫出極值；(3)畫出它的大致圖象.

題型二：已知函數(shù)的極值逆向求參數(shù)

例3.已知函數(shù)/(x)=ar'+6W+5在點(diǎn)與處取得極大值5,其導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的圖象經(jīng)過

點(diǎn)(1,0),(2,0),如圖所示，求(1)%的值(2%,b,c的值.

小結(jié)：求可導(dǎo)函數(shù)人幻的極值的步驟:

(1)確定函數(shù)的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)(x)；

(3)求方程(x)=0的根.

(4)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查

f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么人用在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)

右正，那么氏r)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么/U)在這個(gè)根處無極值.

【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)】

11.求下列函數(shù)的極值：

3

(1)/(x)=6x2-x-2；(2)/(X)=X-27X；

>

(3)/(x)=6+12x-d；(4)f(x)=3x-x.

2,下圖是導(dǎo)函數(shù)y=_f(x)的圖象，試找出函數(shù)y=/(x)的極值點(diǎn)，并指出哪些是極大值點(diǎn),

哪些是極小值點(diǎn).

3.如圖是導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的圖象，在標(biāo)記的點(diǎn)中，在哪一點(diǎn)處(1)導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)有極大

值？

(2)導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)有極小值？(3)函數(shù)y=/(x)有極大值？(4)導(dǎo)函數(shù)y=/(x)有極

小值?

【歸納小結(jié)】

1.求可導(dǎo)函數(shù)凡X）的極值的步驟；

2.由導(dǎo)函數(shù)圖象畫出原函數(shù)圖象；由原函數(shù)圖象畫導(dǎo)函數(shù)圖象.

【知識拓展】

函數(shù)在某點(diǎn)處不可導(dǎo)，但有可能是該函數(shù)的極值點(diǎn).

由些可見：“有極值但不一定可導(dǎo)”

【當(dāng)堂檢測】

1.函數(shù)y=2—丁-丁的極值情況是（）

A.有極大值，沒有極小值

B.有極小值，沒有極大值

C.既有極大值又有極小值

D.既無極大值也極小值

2.三次函數(shù)當(dāng)x=l時(shí)，有極大值4；當(dāng)x=3時(shí)，有極小值0,且函數(shù)過原點(diǎn)，則此函數(shù)是

（）

A.y=丁+6x2+9xB.y=x3—6x2+9x

C.y=x3-6x2-9xD.y=x3+6x2-9x

3.函數(shù)/（幻=丁一以2-瓜+。2在x=l時(shí)有極值10,貝I」匕的值為（）

A.。=3力=一3或。=~=11

B.a=—4,6=1或a=—4,/?=11

C.a——\,b=5D.以上都不正確

4.函數(shù)/。）=/+如2+3*-9在x=-3時(shí)有極值10,則。的值為

5.函數(shù)/（x）=V-3奴2+43＞（））的極大值為正數(shù)