高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第3部分 考前增分策略 1 考前教材重溫學(xué)案 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)學(xué)案

專題一考前教材重溫

1.三角函數(shù)與平面向量

1.a終邊與。終邊相同(。的終邊在。終邊所在的射線上)0。=JWZ),注意：

相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.

任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)a是任意一個(gè)角，尸(x,y)是a的終邊上的任意一點(diǎn)(異

于原點(diǎn))，它與原點(diǎn)的距離是「=#*2+y>0,那么sina=Acosa=ptana=十

(xWO),三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點(diǎn)。的位置無關(guān).

［應(yīng)用1］已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3,-4),則sina+cos。的值為.

［答案］

0

2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式.

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2。=1.

/八\、，一wsin4

(2)商數(shù)關(guān)系：tana=---------

cosa

(3)誘導(dǎo)公式記憶口訣：奇變偶不變、符號(hào)看象限.

JI

角—aJI-aJl+Q2兀一。------a

2

正弦—sinasina一sinQ—sinacosa

余弦cosa—cosa—cosQcosasina

9n(7冗、

[應(yīng)用2]cos——Ftanl—~丁J+sin21Jt的值為—

3.正弦、余弦和正切函數(shù)的常用性質(zhì).

ji

定義域RR

+A兀，A￡Z))

值域3—3—R

續(xù)表

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

在

JlJI

一萬+24兀，—+2^n在--+kJi,

在［(2斤-Dn,2"］,k

單調(diào)性,在￡2上遞增；在GZ上遞增；在［2A”,(2kJI

—+kn,AeZ

"n3n-+1)n］,上遞減

—+2An,裝一+24兀

上遞增

,A￡Z上遞減

%=—+2An(4WZ)時(shí)，

x=2k^(4￡Z)時(shí)，-=

最值兀1；x—叮+24n(4eZ)無最值

%x=l；x=-■—+

時(shí)，Nin=-1

2kM(4&Z)時(shí)，%m=—1

奇偶性奇偶奇

對稱中心：［兀+5，0)對稱中心：

對稱中心：(攵兀，0),k

等,o),k&l

ez

Aez1

對稱性

對稱軸：x=k八+—,k對稱軸：

無

x=kb,k^Z

GZ

周期性2n2nJT

［應(yīng)用3］函數(shù)y=sin(—2x+*|)的遞減區(qū)間是—

n5

［答案］kstAn+—Jt(AeZ)

4.三角函數(shù)化簡與求值的常用技巧.

解答三角變換類問題要靈活地正用、逆用，變形運(yùn)用和、差、倍角公式和誘導(dǎo)公式,

進(jìn)行化簡、求值.常用到切割化弦、降嘉、拆角拼角等技巧.如：

。=(。+萬)一￡,2。=(a+￡)+(。一萬)，

a=g[(8)+(a—萬)].

a+A(°+￡)一("?),a=^+T)-T-

A3nA3，吟12

[應(yīng)用4]已知a,nI,sin(a+￡)=—『sin^——J=—,則

56

［答案］一而

5.解三角形.

⑴正弦定理：缶("為三角形外接圓的半徑).注意：①正弦

定理的一些變式:(i)a\b\c=sinA:sinB：sinC；(ii)sinsinQ市

sin。=合(iii)a=2RsinA,6=27feinB,c=27?sinC；②已知三角形兩邊及一對

角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解，要結(jié)合具體情況進(jìn)行

取舍.在△49C中，給gsinA>sinB.

A2I2_2

(2)余弦定理：a=tf+c2—2Z?ccosA,cosA-'等，常選用余弦定理判定三

2be

角形的形狀.

［應(yīng)用5］在△/比1中，a=木,b=小,4=60。，則/.

［答案］45°

6.求三角函數(shù)最值的常見類型、方法.

(l)y=asinx+6(或acosx+6)型，利用三角函數(shù)的值域，須注意對字母a的討論.

(2)y=asinx+6sinx型，借助輔助角公式化成尸=，？T^sin(x+。)的形式，再利

用三角函數(shù)有界性解決.

(3)y=asini+6sinx+c型，配方后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，應(yīng)注意|sin的

約束.

/、asinx+b^.

⑷反解出sinx,化歸為|sinx|Wl解決.

⑸尸一：,二型,化歸為的inx+Bcos型或用數(shù)形結(jié)合法(常用到直線斜率

csmx十d

的幾何意義)求解.

(6)y=a(sin%+cosx)+Z?sinx?cosx+c型，常令t=sin%+cosx,換元后求

解(㈤w?

［應(yīng)用6］函數(shù)y=sii?x+sinx—1的值域?yàn)開_______.

~5-

［答案］一w，1

7.向量的平行與平面向量的數(shù)量積.

(1)向量平行(共線)的充要條件：a〃從bW0)oa=4b=>(a?，”=(|)~=小%—

yiA2=0.

(2)a?b—a//bcos夕，

a.b

變形：a—st—Q?a,cos=|a//b'

a?b

a在6上的投影(正射影的數(shù)量)=下.

注意：〈a,6〉為銳角0a?/>>()且a,6不同向；

〈a,t>)為鈍角Qa?/><()且a,6不反向.

［應(yīng)用7］已知圓。為的外接圓，半徑為2,若孤元'=2拓，且0|=|商,

則向量拓I在向量反方向上的投影為.

［答案］3

8.向量中常用的結(jié)論.

(1)^1=AOB+POC(A,。為實(shí)數(shù))，若4+“=1,則三點(diǎn)4,B,C共線；

(2)在中，若〃是a'邊的中點(diǎn)，則法=女法+元)；

(3)已知aN,尸在△屈7所在平面內(nèi).若|而|=|為=|而，則。為△?!比1的外心；

若法+通+應(yīng)-O,則“為△力6C的重心；若后?麗=法?麗=元'?詼，則P為

的垂心.

［應(yīng)用8］在△/笈中，〃是的中點(diǎn)，￡是熊的中點(diǎn)，切與應(yīng)■交于點(diǎn)八設(shè)拓=a,

AC—b,AF—xa+yb,則(x,1)為(

-22'

于3

21

『2

2.數(shù)列、不等式

1.等差數(shù)列及其性質(zhì).

(1)等差數(shù)列的判定：a“+i—a〃=d(d為常數(shù))或a,rn—a?—a—a,,-i(n^2).

(2)等差數(shù)列的性質(zhì)

①當(dāng)公差片。時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式&,=a+(〃-1)?(/=而+&-d是關(guān)于〃的一

次函數(shù)，且斜率為公差d前〃項(xiàng)和￡=3為"一"I1~4=1+(4—凝是關(guān)于〃的

二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.

②若公差d>0,則為遞增等差數(shù)列；若公差次0,則為遞減等差數(shù)列；若公差d=0,

則為常數(shù)列.

③當(dāng)/+〃=°+<7時(shí)，則有a.+a?=aP+aq,特別地，當(dāng)卬+〃=2P時(shí)，則有asl+a?=2aP.

④S”Sin—Sn,W〃一S”成等差數(shù)列.

［應(yīng)用1］已知等差數(shù)列｛a｝的前"項(xiàng)和為￡,且So=12,￡o=17,則&。為()

A.15B.20

C.25D.30

［答案］A

2.等比數(shù)列及其性質(zhì).

(1)等比數(shù)列的判定：吧=q(q為常數(shù)，(?￥())或理=旦(〃》2).

&Qna“-1

(2)等比數(shù)列的性質(zhì)：

當(dāng))+〃=p+g時(shí)，則有ajaLa〉。a”特別地，當(dāng)z?+〃=2p時(shí)，則有a「a”=a；

［應(yīng)用2］⑴在等比數(shù)列｛&｝中，as+金=124,&&=-512,公比0是整數(shù)，則&產(chǎn)

(2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛a,,｝中，若as,a6=9,則log3a】+log332T---Hog3aK)=

［答案］(1)512(2)10

3.求數(shù)列通項(xiàng)的常見類型及方法.

(1)已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可采用歸納、猜想法.

(2)如果給出的遞推關(guān)系式符合等差或等比數(shù)列的定義，可直接利用等差或等比數(shù)列

的公式寫出通項(xiàng)公式.

(3)若己知數(shù)列的遞推公式為a“+尸a“+f(n),可采用累加法.

(4)數(shù)列的遞推公式為a.+i=a“?/1(〃)，則采用累乘法.

［S71=1,

(5)已知S,與&的關(guān)系，利用關(guān)系式&=?、求a”.

IS,—層2,

(6)構(gòu)造轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求通項(xiàng)公式.

［應(yīng)用3］已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對于任意的x,yWR,都有f〈x負(fù)

=xF(y)+”(x)成立.數(shù)列｛a.｝滿足&=F(2")(〃CN*),且a=2,則數(shù)列｛a〃｝的通項(xiàng)

公式為a?—.

［答案］/7-2-

4.數(shù)列求和的方法.

(1)公式法：等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式；

(2)分組求和法；

(3)倒序相加法；

(4)錯(cuò)位相減法；

(5)裂項(xiàng)法;

11___1_1_lpi\

口，n〃+1nn-\-1'nn+kA/?n+k>

(6)并項(xiàng)法;

數(shù)列求和時(shí)要明確項(xiàng)數(shù)、通項(xiàng)，并注意根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選取合適的方法.

［應(yīng)用4］數(shù)列｛a｝滿足aJ+a,,+i=1'(〃GN,“ND,若a=1,S,是｛a0｝的前〃項(xiàng)和，

則的的值為.

9

［答案］2

5.如何解含參數(shù)的一元二次不等式.

解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個(gè)方面來考慮：①二次

項(xiàng)系數(shù)，它決定二次函數(shù)的開口方向；②判別式4,它決定根的情形，一般分4〉0、

4=0、4〈0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大小，也是分大于、等于、

小于三種情況.在解一元二次不等式時(shí)，一定要畫出二次函數(shù)的圖象，注意數(shù)形結(jié)合.

［應(yīng)用5］解關(guān)于x的不等式ax-Q+l)x+l<0(a>0).

［解］原不等式化為

(x-Jx-1)<0.

???當(dāng)OVaVl時(shí)，不等式的解集為

1

\xl<x<-f;

a

當(dāng)a>l時(shí)，不等式的解集為

1

卜

當(dāng)a=l時(shí)，不等式的解集為。.

6.處理二次不等式恒成立的常用方法.

(1)結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)用判別式法，當(dāng)x的取值為全體實(shí)數(shù)時(shí)，一般應(yīng)用此

法.

(2)從函數(shù)的最值入手考慮，如大于零恒成立可轉(zhuǎn)化最小值大于零.

(3)能分離變量的，盡量把參變量和變量分離出來.

(4)數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形進(jìn)行分析，從整體上把握圖形.

［應(yīng)用6］如果4產(chǎn)+2履一(4+2)<0恒成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是()

A.—1WAW0B.-1WK0

C.一1<ZOD.-1<A<O

［答案］C

7.利用基本不等式求最值必須滿足三個(gè)條件才可以進(jìn)行，即“一正，二定，三相等”.

常用技巧：(1)對不能出現(xiàn)定值的式子進(jìn)行適當(dāng)配湊.

(2)對已知條件的最值可代入(常數(shù)代換法)或消元.

(3)當(dāng)題中等號(hào)條件不成立時(shí)，可考慮從函數(shù)的單調(diào)性入手求最值.

［應(yīng)用7］logi(3a+4A)-］.og--\［ab,則a+b的最小值是()

A.6+273B.7+24

C.6+4^3D.7+473

［答案］D

8.解決線性規(guī)劃問題有三步.

(1)畫：畫出可行域(有圖象).

(2)變：將目標(biāo)函數(shù)變形，從中抽象出截距或斜率或距離.

(3)代：將合適的點(diǎn)代到原來目標(biāo)函數(shù)中求最值.

利用線性規(guī)劃思想能解決的幾類值域(最值)問題：

(1)截距型：如求z=y—x的取值范圍.

(2)條件含參數(shù)型：

，一2W0,

①已知x,y滿足約束條件,y—1W0,且2=了一%的最小值是一4,則實(shí)數(shù)A

.x+2y+A20,

=-2,

x—2W0,

②已知x,y滿足約束條件,J—1W0,且存在無數(shù)組(*,y)使得z=y+ax

、x+2y+0,

取得最小值，則實(shí)數(shù)a=g.

(3)斜率型：如求牛的取值范圍.

x-va

(4)距離型(圓半徑平方型1)：如求(x—a)2+(x—6)②的取值范圍.

x—y^O,

［應(yīng)用8］已知x,y滿足約束條件若2=打+了的最大值為4,則a

、后0.

等于()

A.3B.2

C.-2D.-3

［答案］B

3.概率與統(tǒng)計(jì)

1.隨機(jī)抽樣方法.

簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的共同點(diǎn)是抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)相

等，且是不放回抽樣.

［應(yīng)用1］某社區(qū)現(xiàn)有480個(gè)住戶，其中中等收入家庭200戶、低收入家庭160戶，

其他為高收入家庭.在建設(shè)幸福社區(qū)的某次分層抽樣調(diào)查中，高收入家庭被抽取了6

戶，則該社區(qū)本次抽取的總戶數(shù)為_______.

［答案］24

2.對于統(tǒng)計(jì)圖表問題，求解時(shí)，最重要的就是認(rèn)真觀察圖表，從中提取有用信息和數(shù)據(jù).對

于頻率分布直方圖，應(yīng)注意的是圖中的每一個(gè)小矩形的面積是數(shù)據(jù)落在該區(qū)間上的頻

率.莖葉圖沒有原始數(shù)據(jù)信息的缺失，但數(shù)據(jù)很大或有多組數(shù)據(jù)時(shí)，莖葉圖就不那么直

觀、清晰了.

［應(yīng)用2］在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績（單位：分鐘）的莖葉圖如圖1所

示：

13（）0345668889

141I122233445556678

150122333

圖I

若將運(yùn)動(dòng)員按成績由好到差編為1?35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中

成績在區(qū)間［139,151］上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是一

［答案］4

3.在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的

值.平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐

標(biāo)之和，眾數(shù)是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

［應(yīng)用3］某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶，根據(jù)用戶滿

意度的評分制成頻率分布直方圖（如圖2）,則該地區(qū)滿意度評分的平均值為.

圖2

［答案］77.5

4.變量間的相關(guān)關(guān)系.

假設(shè)我們有如下一組數(shù)據(jù)：(汨，必)，(曲口，…，5%).線性回歸方程尸"十

a,

n——n一一

X(-V.-x)(y.-y)Yx.y.-nxy

［)_e'.'._i=i-'.

2

其中＜Z(.E.-％)2Z.v2-nx

(=1Ii=1'

7z=y-1)x-

［應(yīng)用4］回歸直線/="+苫必經(jīng)過點(diǎn).

［答案］(:，7)

5.互斥事件的概率公式pa+與nN/o+p(歷.

(1)公式適合范圍：事件力與8互斥.

⑵產(chǎn)(刀=1一戶(力.

［應(yīng)用5］拋擲一枚骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件/為出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件8為出現(xiàn)

2點(diǎn)，已知P(4)=；,。(0=(，則出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)的概率之和為.

2

［答案］z

6.古典概型.

2(4)=々其中，〃為一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，m為事件"在試驗(yàn)中包含的基

n

本事件個(gè)數(shù)).

［應(yīng)用6］已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,

恰有一件次品的概率為()

A.0.4B.0.6

C.0.8D.1

［答案］B

7.幾何概型.

一般地，在幾何區(qū)域〃內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事

件4則事件A發(fā)生的概率為以⑷=湍就?此處D的度量不為0,其中“度量”的

意義依〃確定，當(dāng)〃分別是線段、平面圖形和立體圖形時(shí)，相應(yīng)的度量分別為長度、

面積和體積等.

構(gòu)成事件加勺區(qū)域長度面積或體積

試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積

［應(yīng)用7］在棱長為2的正方體4684AG4中，點(diǎn)。為底面46制的中心,在正方體

/8力-45G4內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)只則點(diǎn)P到點(diǎn)。的距離大于1的概率為()

JCJI

A?適B.1一誦

JI

C-~6D.1—E

［答案］B

4.立體幾何

1.幾何體的三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正視圖下面，側(cè)視圖放在正視圖右面,“長對正,

高平齊，寬相等."

由幾何體的三視圖確定幾何體時(shí)，要注意以下幾點(diǎn):

(1)還原后的兒何體--般為較熟悉的柱、錐、臺(tái)、球的組合體.

(2)注意圖中實(shí)、虛線，實(shí)際是原幾何體中的可視線與被遮擋線.

(3)想象原形，并畫出草圖后進(jìn)行三視圖還原，把握三視圖和幾何體之間的關(guān)系，與

所給三視圖比較，通過調(diào)整準(zhǔn)確畫出原幾何體.

［應(yīng)用1］如圖3,若一個(gè)幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均為面積等于2的等腰

直角三角形,

4

［答案］T

2.空間幾何體表面積和體積的求法：幾何體的表面積是各個(gè)面的面積之和，組合體的表面

積應(yīng)注意重合部分的處理，求幾何體的體積常用公式法、割補(bǔ)法、等積變換法.

［應(yīng)用2］如圖4所示，一個(gè)空間幾何體的正視圖和俯視圖都是邊長為1的正方形,

側(cè)視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的表面積為()

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

圖4

A.4nB.3n

3

C.2nD.-n

［答案］D

3.空間平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系.

圖5

平行問題的核心是線線平行，證明線線平行的常用方法有：三角形的中位線、平行線

分線段成比例(三角形相似)、平行四邊形等.

［應(yīng)用3］判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“V”號(hào)，錯(cuò)誤的畫“X”號(hào).

(1)如果a,6是兩條直線，且&〃6,那么a平行于經(jīng)過6的任何平面.()

(2)如果直線a和平面"滿足a〃*那么a與"內(nèi)的任何直線平行.()

(3)如果直線a,6和平面。滿足a〃a,b//a,那么a〃6.()

(4)如果直線a,6和平面a滿足a〃方，a//a,ga,那么b//a)

［答案］(1)X(2)X(3)X(4)J

4.空間垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系.

線面垂直的判定面面垂直的判定

線線垂直線面垂直

線面垂直的定義面面垂直的性質(zhì)

面面垂直

垂直問題的核心是線線垂直，證明線線垂直的常用方法有：等腰三角形底邊上的中線、

勾股定理、平面幾何方法等.

［應(yīng)用4］已知兩個(gè)平面垂直，下列命題：

①一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線；

②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無數(shù)條直線；

③一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面；

④過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.3B.2

C.1D.0

［答案］C

5.多面體與球接、切問題的求解策略.

(1)涉及球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、

切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中

元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)接、外切的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半

徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.

(2)若球面上四點(diǎn)尺A,B,C構(gòu)成的三條線段為，PB,小兩兩互相垂直，且序=a,

PB=b,PC=c,一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體，則4小=才+4+。2

求解.

［應(yīng)用5］一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積

是胃，那么這個(gè)三棱柱的體積是()

A.96mB.16^3

C.24小D.48-73

［答案］D

5.平面解析幾何

1.直線的傾斜角與斜率.

(1)傾斜角的范圍為［0,n).

(2)直線的斜率.

①定義：傾斜角不是90。的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率％,即4=

tana(aW90°)；傾斜角為90°的直線沒有斜率；②斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)

%)，月(即⑥的直線的斜率為4=型二々為金3；③直線的方向向量a=(l,A)；④

XLE

應(yīng)用：證明二點(diǎn)共線：Aj//=k/ic.

［應(yīng)用1］直線xcos。+/y—2=0的傾斜角的范圍是.

-Ji1「5冗A

［答案］［o,nJ

2.直線方程的五種形式.

(1)點(diǎn)斜式：已知直線過點(diǎn)(劉，為),其斜率為上則直線方程為/一%=4(*一照)，它

不包括垂直于x軸的直線.

(2)斜截式：已知直線在y軸上的截距為6,斜率為A,則直線方程為y=Ax+6,它不

包括垂直于x軸的直線.

(3)兩點(diǎn)式：已知直線經(jīng)過月(汨，％),8(及，㈤兩點(diǎn)，則直線方程為匚巴=三:，

y2-yiX2一小

它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線.

(4)截距式：已知直線在x軸和y軸上的截距為a,6,則直線方程為/+5=1,它不包

括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過原點(diǎn)的直線.

(5)一般式：任何直線均可寫成/x+敵+。=0(4,6不同時(shí)為0)的形式.

［應(yīng)用2］已知直線過點(diǎn)。(1,5),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則此直線的方程為

［答案］5x-y=0或x+y-6=0

3.兩條直線的位置關(guān)系.

(1)若已知直線的斜截式方程，7i：lr.y—kzx-Vbi,則：

①)h〃hok\=ki,且61#質(zhì)；②J」?%=-1；

③人與心相交

(2)若已知直線的一般方程小4x+Ay+G=0與&：Ax+員y+C=O,則：

①A〃4=4員-4A=0且AC—氏GWO；

(2)7iJ-，2=44+B\Bi=Q；

③人與A相交=4與一4旦*0；

④人與人重合04氏一也5=0且BG—BQ=Q.

［應(yīng)用3］設(shè)直線/：x+/y+6=0和4(而-2)x+3y+2〃=0,當(dāng)m=時(shí)，

卜"M當(dāng)/片時(shí)，7I±/2；當(dāng)時(shí)乙與4相交；當(dāng)加=時(shí)，

1與1重合.

加W3且歷W—13

4?點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離.

IAXQ+ByQ-\~C\

⑴點(diǎn)P(XQ，%)到直線Ax+By+C=Q的距離為d=

Ir-rI

(2)兩平行線/i：4r+6y+G=0,72：4x+"+C=0間的距離為

［應(yīng)用4］兩平行直線3x+2y—5=0與6x+4y+5=0間的距離為.

［答案］嗯^

5.圓的方程.

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x—a)'+5—6)2=/.

(2)圓的一般方程：x+y+Dx+Ey+F=0(/)f+Ei-4F>0),只有當(dāng)力+/-4Q0時(shí)，

方程/+/+〃*+0+QO才表示圓心為(一宗一9,半徑為3/萬+片一4/的圓.

［應(yīng)用5］若方程/系+(a+2)/+2ax+a=0表示圓，貝！Ia=.

［答案］—1

6.直線與圓的位置關(guān)系的判斷.

(1)幾何法：根據(jù)圓心到直線的距離d與圓半徑r的大小關(guān)系來判定.

(2)代數(shù)法：將直線方程代入圓的方程消元得一元二次方程，根據(jù)/的符號(hào)來判斷.

［應(yīng)用6］已知圓C：(x—a)2+(y—6)2=/的圓心為拋物線/=4x的焦點(diǎn)，直線3/

+4y+2=0與圓。相切，則該圓的方程為()

A.(X—1)2+/=祟B.f+(y-

ZDZo

C.(X-l)2+y=lD.7+(y-l)2=l

［答案］C

7.圓錐曲線的定義和性質(zhì).

名稱橢圓雙曲線拋物線

例=1掰1，點(diǎn)廠不

|冏|+|附=2a(2a1\PFx\~\PFi\\=

定義在直線/上，PML1

>1^1)2a(2a<|E&)

J-1/

22x2y2/

3+方=1-7—72=1(a>0,b>

abab

標(biāo)準(zhǔn)方程y=2px(p>0)

(a>A>0)0)

ML

圖形

bkFx

范圍|x|Wa,|yWb2ax20

頂點(diǎn)(±a,0),(0,±6)(±20)(0,0)

對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱關(guān)于X軸對稱

()

焦點(diǎn)(土c,0)2'°

軸長軸長2a,短軸長2b實(shí)軸長2a,虛軸長2b

C11)c1b2

e千寸一了e=_=\/1+-

離心率a\lae=l

(0<e<l)(e>l)

P

準(zhǔn)線Y=--

2

|陽=空

通徑|畫=2p

a

漸近線y^±~x

a

［應(yīng)用7］拋物線/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為凡。為坐標(biāo)原點(diǎn)，〃為拋物線上一點(diǎn)，且

|奶=4|明，△物"。的面積為4/，則拋物線方程為()

A./=6xB.y=8x

i5

C.y=\&xD.y--^x

［答案］B

8.(1)在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時(shí)，消元后得到的方程中要注意二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零,

利用解的情況可判斷位置關(guān)系：有兩解時(shí)相交；無解時(shí)相離；有唯一解時(shí)，在橢圓中相

切，在雙曲線中需注意直線與漸近線的關(guān)系，在拋物線中需注意直線與對稱軸的關(guān)系，

而后判斷是否相切.

(2)直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長問題:

斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)4（汨，71）,￡（如㈤，則所得弦長|4兩=

2

7~1+/~i_X\+x2~2—4汨就或+歷［1+后］［yi+y2—4/^］.

（3）過拋物線/=2px（2>0）的焦點(diǎn)廠的直線,交拋物線于。（小，力），〃（如㈤，則①

焦半徑ICF|=汨+梟

2

②弦長I=小+及+。；③為及=￡,y\y-i=-p.

［應(yīng)用8］已知拋物線的方程為/=2外（0>0）,過拋物線上一點(diǎn)取p,后）和拋物線

的焦點(diǎn)尸作直線/交拋物線于另一點(diǎn)M則I版I：等于（）

A.1：72B.1：/

C.1：2D.1：3

［答案］C

6.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1.求函數(shù)的定義域，關(guān)鍵是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來列出相應(yīng)的不等式（組）求解,

如開偶次方根，被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)：對數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù)，列不等式時(shí)，應(yīng)列出

所有的不等式，不應(yīng)遺漏.

對抽象函數(shù)，只要對應(yīng)關(guān)系相同，括號(hào)里整體的取值范圍就完全相同.

［應(yīng)用1］函數(shù)/'（*）=；+lg（1+x）的定義域是

\—x

［答案］（-1,1）0（1,+8）

2.分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子來表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是

一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù).

]-2ax+3axVl

,.......’的值域?yàn)镽,那么a的取值

{Inx,

范圍是（）

A.（-8,—1］

「I,（I

［答案］C

3.求函數(shù)最值（值域）常用的方法.

（1）單調(diào)性法：適合于已知或能判斷單調(diào)性的函數(shù).

(2)圖象法：適合于已知或易作出圖象的函數(shù).

(3)基本不等式法：特別適合于分式結(jié)構(gòu)或兩元的函數(shù).

(4)導(dǎo)數(shù)法：適合于可導(dǎo)函數(shù).

(5)換元法(特別注意新元的范圍).

(6)分離常數(shù)法：適合于一次分式.

9X

［應(yīng)用3］函數(shù)y=--(^0)的值域?yàn)?

乙I1X

［答案］.1)

4.判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱，有時(shí)還要對函數(shù)式化簡整理，但

必須注意使定義域不受影響.

1g1-X

［應(yīng)用4］f(x)=%9是函數(shù).(填“奇”“偶”或“非奇非偶”).

x-2.\—2.

［答案］偶

5.函數(shù)奇偶性的性質(zhì).

(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)

于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.

(2)若f(x)為偶函數(shù),則/'(—X)=f(x)=f(|x|).

⑶若奇函數(shù)f(x)的定義域中含有0,貝IJ必有f(0)=0."f(0)=0”是“f(x)為奇函

數(shù)”的既不充分也不必要條件.

［應(yīng)用5］設(shè)/'(x)=lg(不三+1是奇函數(shù)，且在x=0處有意義，則該函數(shù)為()

A.(-8,+8)上的減函數(shù)

B.(—8,+8)上的增函數(shù)

C.(—1,1)上的減函數(shù)

D.(—1,1)上的增函數(shù)

［答案］D

6.判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法.

(1)能畫出圖象的，一般用數(shù)形結(jié)合法去觀察.

(2)由基本初等函數(shù)通過加減運(yùn)算或復(fù)合而成的函數(shù)，常轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)單調(diào)性

判斷問題.

(3)對于解析式較復(fù)雜的，一般用導(dǎo)數(shù).

(4)對于抽象函數(shù)，一般用定義法.

［應(yīng)用6］函數(shù)產(chǎn)=11。改|*一1］|的遞增區(qū)間是.

［答案］［0,1),［2,+8)

7.有關(guān)函數(shù)周期的幾種情況必須熟記：(1)f(x)=f(x+a)(a>0)，則f(x)的周期T=a；②久x

+a)—(f(x)W0)或f(x+a)=—f(x)，則f(x)的周期T—2a,

tx

［應(yīng)用7］設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)—2,1)時(shí)，f(x)=

4A,2—2,—2W*Y^0,(5、

八則/H=________-

x,0<x<l,W

［答案］一1

8.函數(shù)圖象的幾種常見變換.

(1)平移變換：左右平移一一“左加右減”(注意是針對x而言)；上下平移一一“上

加下減”.

(2)翻折變換:/'(x)一"(x)|；F(x)ff(|x|).

(3)對稱變換：①證明函數(shù)圖象的對稱性，即證圖象上任意點(diǎn)關(guān)于對稱中心(軸)的對

稱點(diǎn)仍在圖象上；

②函數(shù)y=F(x)與y=-f{-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱；

③函數(shù)尸/'(x)與尸/"(一*)的圖象關(guān)于直線x=0(y軸)對稱；函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y

=-f(x)的圖象關(guān)于直線y=0(x軸)對稱.

3x

［應(yīng)用8］函數(shù)y=-7的對稱中心是

X—1

［答案］53)

9.如何求方程根的個(gè)數(shù)或范圍.

求/>(X)=g(x)根的個(gè)數(shù)時(shí)，可在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f(x)和尸g(x)的圖象，

看它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；求方程根(函數(shù)零點(diǎn))的范圍，可利用圖象觀察或零點(diǎn)存在性定理.

2

［應(yīng)用9］函數(shù)/"(x)=ln(x+l)一7的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,e)D.(3,4)

［答案］B

10.二次函數(shù)問題.

(1)處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合.二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題

用“兩看法”：一看開口方向，二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系.

(2)若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，要考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為

零的情形.

［應(yīng)用10］若關(guān)于x的方程af—x+l=0至少有一個(gè)正根，則a的取值范圍為

［答案］］一8,1

11.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟.

(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域.

(2)求導(dǎo)數(shù)/