2024屆山東省濟南市高三上學期開學摸底考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省濟南市2024屆高三上學期開學摸底考試數(shù)學試題一、單項選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.或〖答案〗C〖解析〗，又，，故選：2.已知復數(shù)，則（）A. B. C.3 D.5〖答案〗B〖解析〗..故選：B.3.已知平面向量，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗平面向量，，則，由，則，解得.故選：D.4.某班計劃從3位男生和4位女生中選出2人參加辯論賽，并且至少1位女生入選，則不同的選法的種數(shù)為（）A.12 B.18 C.21 D.24〖答案〗B〖解析〗可分兩種情況：第一種情況，只有一位女生入選，不同的選法有種，第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，至少1位女生入選的不同的選法的種數(shù)為種.故選：B.5.過點與圓相切的兩條直線垂直，則（）A. B. C. D.4〖答案〗D〖解析〗圓化為標準方程為，圓心坐標為，半徑，過點與圓相切的兩條直線垂直，則點到圓心的距離為，即，解得.故選：D.6.“曲線恒在直線上方”的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由曲線恒在直線上方，可得，設(shè)，則恒成立，因為，所以在R上單調(diào)遞增，且當時，，故當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當時，取得極小值即最小值，令，得.用數(shù)軸表示范圍，可知的一個充分不必要條件是，選項D為充要條件.故選：A.7.已知銳角，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由誘導公式可得，由倍角公式有，所以，由為銳角，則.故選：D8.記為等比數(shù)列的前項和，若，，則（）A. B. C.85 D.120〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，則有，變形可得，則，又由，則有，所以.故選：C.二、多項選擇題9.已知函數(shù)的最大值為2，則（）A. B.的圖象關(guān)于點對稱C.是圖象的一條對稱軸 D.在上單調(diào)遞增〖答案〗AD〖解析〗易得，則，即A正確；所以，當，，即B錯誤；同理，即C錯誤；，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得此時單調(diào)遞增，即D正確.故選：AD10.已知非零實數(shù)，滿足，則下列不等關(guān)系一定成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，而，故A錯誤；對于B，，，即，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，，故B正確；對于C，又B中分析得，，，，，，故C正確；對于D，由，，即，，故D正確.故選：BCD.11.如圖，棱長為1的正方體中，點，分別是棱，的中點，則（）A.直線平面B.直線平面C.D.過，，三點的平面截正方體的截面面積為〖答案〗ABC〖解析〗對于,如下圖：連接,正方體中易知，平面,平面,則,又正方形中，,所以平面又平面所以同理可證：,又,所以平面,故正確；對于如下圖，連接,因為點，分別是棱，的中點，則,又,所以,又平面，平面,所以平面,故正確；對于如圖,因為平面，設(shè)垂足為,連接易得,故四面體為正四面體，又棱長為，所以則則,故正確；對于如圖所示，等腰梯形即為所求截面，又所以故錯誤,故選：12.已知拋物線：，為坐標原點，直線交拋物線于，兩點，若，則（）A. B.直線過定點C.的最小值為 D.的最小值為2〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)直線的方程為聯(lián)立，得，則，又，則即所以，(舍），，則即，所以直線的方程為則直線過定點，故正確；，當時，等號成立，即的最小值為，故錯誤；因為，則，當且僅當，即時，等號成立，故正確故選：三、填空題13.已知圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則該圓錐的體積為______.〖答案〗〖解析〗由題意得：，圓錐的體積為14.依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻骰子，并記錄正面向上的點數(shù)，記事件為“第一次的點數(shù)大于第二次的點數(shù)”，記事件為“兩次點數(shù)之和為偶數(shù)”，則的值為________．〖答案〗〖解析〗依據(jù)題意事件包含的基本事件：共有個，事件包含基本事件：共有個，則故〖答案〗為：15.已知橢圓：的上頂點為，兩個焦點為，，線段的垂直平分線過點，則橢圓的離心率為________．〖答案〗〖解析〗如圖，設(shè)的垂直平分線與交于點，由題，，，，則，，，，，化簡得，，由，解得，，即.故〖答案〗為：.16.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且有且僅有4個零點，則的值為________．〖答案〗39〖解析〗由得，令，由于的圖象關(guān)于直線對稱，所以的圖象也關(guān)于對稱，顯然為的兩個零點，故由對稱性可知，的另外兩個零點分別為，即，解得，故，令，則，故當或時，，單調(diào)遞增，當或時，，單調(diào)遞減，又，，畫出的圖象如下，故的圖象是將圖象位于軸下方部分沿著軸翻折到軸上方即可，如下：要想有且僅有4個零點，則，故.故〖答案〗為：39.四、解答題17.已知中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，．（1）求外接圓的半徑；（2）若，求的面積．解：（1）因為，所以，所以，因為，所以，即所以，即（2）由（1）可知：，或，因為，所以為銳角，故，由余弦定理得，所以，所以．18.隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)購成了人們購物的重要選擇，并對實體經(jīng)濟產(chǎn)生了一定影響．為了解實體經(jīng)濟的現(xiàn)狀，某研究機構(gòu)統(tǒng)計了一個大商場2018—2022年的線下銷售額如下：年份編號12345年份20182019202020212022銷售額（單位：萬元）1513146512021060860（1）由表中數(shù)據(jù)可以看出，可用線性回歸模型擬合銷售額與年份編號的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）建立關(guān)于的回歸方程，并預測2023年該商場的線下銷售額．參考公式及數(shù)據(jù)：，，解：（1）由已知數(shù)據(jù)可得，，所以，所以因為非常接近1，所以可用線性回歸模型擬合銷售額與年份編號的關(guān)系（2）由已知數(shù)據(jù)可得，所以，所以，關(guān)于的回歸方程為令，則（萬元）所以預測2023年該商場的線下銷售額為706.7萬元．19.等差數(shù)列滿足，，正項等比數(shù)列滿足，是和的等比中項．（1）求和的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題意可得：，解得，，所以，；又且，，所以，所以．（2）因為，所以.20.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點是棱的中點，點是棱上一點．（1）證明：；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離．（1）證明：在正方形中，有，又底面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，點是棱的中點，所以有，又，平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：如圖，以點為原點，以，，為，，軸建立空間直角坐標系，，，，設(shè)點，，設(shè)平面的法向量，，，令，可得，又，所以直線與平面所成角的正弦值，化簡可得，即，所以或（舍），即點，由可得，，，所以點到平面的距離．21.已知雙曲線：的一條漸近線方程為，點在上．（1）求的方程；（2）過右焦點的直線交于，兩點，若，求的方程．解：（1）由雙曲線：的一條漸近線方程為，且點在上，有，所以，故雙曲線的方程為．（2）雙曲線的右焦點坐標為，顯然直線的斜率不為0，設(shè)：，，，則聯(lián)立雙曲線得：，故，，，由，化簡得：，故，即，或當時，直線過點，不合題意，舍去，所以直線的方程．22.已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）證明：當且時，．（1）解：由題意知，，，①當時，，在上單調(diào)遞減，所以，當時，，不合題意；②當時，由得，，則在上單調(diào)遞增，由得，，則在上單調(diào)遞減，所以，，不合題意；③當時，由得，，則在上單調(diào)遞增，由得，，則在上單調(diào)遞減，所以，對于任意的，，符合題意；④當時，由得，，則在上單調(diào)遞增，由得，，則在上單調(diào)遞減，所以，，不合題意．綜上所述，．（2）證明：由（1）知，時，即，當且僅當時等號成立．令，其中且，則有，又，所以，，即所以．所以，原不等式得證山東省濟南市2024屆高三上學期開學摸底考試數(shù)學試題一、單項選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.或〖答案〗C〖解析〗，又，，故選：2.已知復數(shù)，則（）A. B. C.3 D.5〖答案〗B〖解析〗..故選：B.3.已知平面向量，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗平面向量，，則，由，則，解得.故選：D.4.某班計劃從3位男生和4位女生中選出2人參加辯論賽，并且至少1位女生入選，則不同的選法的種數(shù)為（）A.12 B.18 C.21 D.24〖答案〗B〖解析〗可分兩種情況：第一種情況，只有一位女生入選，不同的選法有種，第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，至少1位女生入選的不同的選法的種數(shù)為種.故選：B.5.過點與圓相切的兩條直線垂直，則（）A. B. C. D.4〖答案〗D〖解析〗圓化為標準方程為，圓心坐標為，半徑，過點與圓相切的兩條直線垂直，則點到圓心的距離為，即，解得.故選：D.6.“曲線恒在直線上方”的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由曲線恒在直線上方，可得，設(shè)，則恒成立，因為，所以在R上單調(diào)遞增，且當時，，故當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當時，取得極小值即最小值，令，得.用數(shù)軸表示范圍，可知的一個充分不必要條件是，選項D為充要條件.故選：A.7.已知銳角，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由誘導公式可得，由倍角公式有，所以，由為銳角，則.故選：D8.記為等比數(shù)列的前項和，若，，則（）A. B. C.85 D.120〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，則有，變形可得，則，又由，則有，所以.故選：C.二、多項選擇題9.已知函數(shù)的最大值為2，則（）A. B.的圖象關(guān)于點對稱C.是圖象的一條對稱軸 D.在上單調(diào)遞增〖答案〗AD〖解析〗易得，則，即A正確；所以，當，，即B錯誤；同理，即C錯誤；，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得此時單調(diào)遞增，即D正確.故選：AD10.已知非零實數(shù)，滿足，則下列不等關(guān)系一定成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，而，故A錯誤；對于B，，，即，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，，故B正確；對于C，又B中分析得，，，，，，故C正確；對于D，由，，即，，故D正確.故選：BCD.11.如圖，棱長為1的正方體中，點，分別是棱，的中點，則（）A.直線平面B.直線平面C.D.過，，三點的平面截正方體的截面面積為〖答案〗ABC〖解析〗對于,如下圖：連接,正方體中易知，平面,平面,則,又正方形中，,所以平面又平面所以同理可證：,又,所以平面,故正確；對于如下圖，連接,因為點，分別是棱，的中點，則,又,所以,又平面，平面,所以平面,故正確；對于如圖,因為平面，設(shè)垂足為,連接易得,故四面體為正四面體，又棱長為，所以則則,故正確；對于如圖所示，等腰梯形即為所求截面，又所以故錯誤,故選：12.已知拋物線：，為坐標原點，直線交拋物線于，兩點，若，則（）A. B.直線過定點C.的最小值為 D.的最小值為2〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)直線的方程為聯(lián)立，得，則，又，則即所以，(舍），，則即，所以直線的方程為則直線過定點，故正確；，當時，等號成立，即的最小值為，故錯誤；因為，則，當且僅當，即時，等號成立，故正確故選：三、填空題13.已知圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則該圓錐的體積為______.〖答案〗〖解析〗由題意得：，圓錐的體積為14.依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻骰子，并記錄正面向上的點數(shù)，記事件為“第一次的點數(shù)大于第二次的點數(shù)”，記事件為“兩次點數(shù)之和為偶數(shù)”，則的值為________．〖答案〗〖解析〗依據(jù)題意事件包含的基本事件：共有個，事件包含基本事件：共有個，則故〖答案〗為：15.已知橢圓：的上頂點為，兩個焦點為，，線段的垂直平分線過點，則橢圓的離心率為________．〖答案〗〖解析〗如圖，設(shè)的垂直平分線與交于點，由題，，，，則，，，，，化簡得，，由，解得，，即.故〖答案〗為：.16.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且有且僅有4個零點，則的值為________．〖答案〗39〖解析〗由得，令，由于的圖象關(guān)于直線對稱，所以的圖象也關(guān)于對稱，顯然為的兩個零點，故由對稱性可知，的另外兩個零點分別為，即，解得，故，令，則，故當或時，，單調(diào)遞增，當或時，，單調(diào)遞減，又，，畫出的圖象如下，故的圖象是將圖象位于軸下方部分沿著軸翻折到軸上方即可，如下：要想有且僅有4個零點，則，故.故〖答案〗為：39.四、解答題17.已知中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，．（1）求外接圓的半徑；（2）若，求的面積．解：（1）因為，所以，所以，因為，所以，即所以，即（2）由（1）可知：，或，因為，所以為銳角，故，由余弦定理得，所以，所以．18.隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)購成了人們購物的重要選擇，并對實體經(jīng)濟產(chǎn)生了一定影響．為了解實體經(jīng)濟的現(xiàn)狀，某研究機構(gòu)統(tǒng)計了一個大商場2018—2022年的線下銷售額如下：年份編號12345年份20182019202020212022銷售額（單位：萬元）1513146512021060860（1）由表中數(shù)據(jù)可以看出，可用線性回歸模型擬合銷售額與年份編號的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）建立關(guān)于的回歸方程，并預測2023年該商場的線下銷售額．參考公式及數(shù)據(jù)：，，解：（1）由已知數(shù)據(jù)可得，，所以，所以因為非常接近1，所以可用線性回歸模型擬合銷售額與年份編號的關(guān)系（2）由已知數(shù)據(jù)可得，所以，所以，關(guān)于的回歸方程為令，則（萬元）所以預測2023年該商場的線下銷售額為706.7萬元．19.等差數(shù)列滿足，，正項等比數(shù)列滿足，是和的等比中項．（1）求和的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題意可得：，解得，，所以，；又且，，所以，所以．（2）因為，所以.20