2024屆全國(guó)名校大聯(lián)考高三上學(xué)期第一聯(lián)考月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1全國(guó)名校大聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期第一聯(lián)考（月考）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)集合，，則的子集的個(gè)數(shù)為（）A.7 B.8 C.15 D.16〖答案〗B〖解析〗由題意知，，所以，所以的子集的個(gè)數(shù)為．故選：B．2.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（）A. B.3C.或 D.3或〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閮绾瘮?shù)，所以，解得或．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，符合題意．綜上，．故選：B．3.已知，“不等式與的解集相同”是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗不等式與的解集均為空集，但，所以充分性不成立；不妨令，，滿足，但的解集為，的解集為，所以與的解集不同，必要性不成立；故選：D4.已知函數(shù)，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．故選：B．5.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，，又，在上單調(diào)遞增，所以．綜上，．故選：A．6.已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，又是增函數(shù)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即函數(shù)在上值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋瘮?shù)的值域?yàn)镽，因此，而當(dāng)時(shí)，，必有，解得，所以a的取值范圍是.故選：C7.定義在R上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的，（），都有，且，則不等式的解集是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)滿足對(duì)任意的，（），都有，所以在上單調(diào)遞減，又是定義在R上的偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，作函數(shù)的草圖如圖，所以，當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)或或時(shí)，.綜上，不等式的解集為.故選：C．8.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，，且，使得，則的最大值為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗作出的函數(shù)圖象如圖所示：若存在實(shí)數(shù)，，，且，使得，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，由圖可知，，所以．設(shè)，，所以，易知在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以．故選：D．二、選擇題9.已知，，且，，若則下列不等式可能成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗若，因?yàn)?，所以，則，則，，故D正確；當(dāng)時(shí)，則，可得，故A正確；當(dāng)時(shí)，則，可得，故B正確；若，因?yàn)椋?；則，則，，故D正確；綜上所述：不能得到，故C錯(cuò)誤；故選：ABD．10.若，，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.ab有最大值 B.有最大值C.有最小值4 D.有最小值〖答案〗ABC〖解析〗，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故ab有最大值，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以有最大值，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即有最小值4，故C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．11.已知函（），則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則的極小值為B.若，則函數(shù)有極值點(diǎn)C.若在區(qū)間上有極值點(diǎn)，則a的取值范圍是D.若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是〖答案〗AD〖解析〗若，則，所以，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，又，所以的極小值為，故A正確；由，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，此時(shí)沒(méi)有極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；若在區(qū)間上有極值點(diǎn)，在上有解，首先必須有，，因此，解得，即a的取值范圍是，故C錯(cuò)誤；由，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，故不存在三個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由，解得．所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以函數(shù)的極小值和極大值．又函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，所以，即，解得，即a的取值范圍是，故D正確．故選：AD．12.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，，且當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，C.D.若，則恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于中心對(duì)稱，從而的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；因?yàn)榈膱D象關(guān)于中心對(duì)稱，所以，解得．所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，即．?dāng)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以的周期?，又，，，，，，，，所以故C正確；令，即，畫(huà)出與的圖象，如圖所示：因?yàn)?，時(shí)，，，，由周期性知，，則，，即，時(shí)，的切線斜率大于的切線斜率，所以兩函數(shù)圖象在區(qū)間上除了有公共點(diǎn)外，在區(qū)間上還有一個(gè)公共點(diǎn)，因此兩函數(shù)圖象共有5個(gè)交點(diǎn)，所以恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題13.已知函數(shù)，則______．〖答案〗4〖解析〗由題意知．故〖答案〗為：4.14.______．〖答案〗5〖解析〗．故〖答案〗為：515.已知，，且，則y的最大值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，又，所以，解得，即y的最大值為．故〖答案〗為：．16.已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由得，所以，則，因?yàn)椋?，，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以由，即，得，所以，所以．令，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．故〖答案〗為：.四、解答題17.已知函數(shù)的定義域?yàn)榧螦，集合．（1）若，求；（2）若，求m的取值范圍．解：（1）由題意得：，解得，所以．若，則，所以．（2）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，滿足，則，解得；當(dāng)時(shí)，由得，解得．綜上，m的取值范圍為．18.已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求a的值；（2）設(shè)，，若對(duì)任意的，存在，使得，求m的取值范圍.解：（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即，即，所以．（2）因?yàn)閷?duì)任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以解得，即m的取值范圍是．19.已知函數(shù)（）．（1）若的解集為，解關(guān)于x的不等式；（2）若對(duì)任意的恒成立，求的最大值．解：（1）因?yàn)榈慕饧癁?，所以，，，得，（），所以等價(jià)于，又，所以，解得，即關(guān)于x的不等式的解集為．（2）因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，所以，，所以，所以，時(shí)等號(hào)成立．令，又，所以，即，所以，所以，令（），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以的最大值為．20.已知函數(shù)（）．（1）若，求不等式的解集；（2）若，，求的最小值．解：（1）若，則所以，即，所以，所以或，解得或，即不等式的解集為．（2）若，即，解得．所以，令，，所以．當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，即．當(dāng)，即時(shí)，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即．綜上，．21已知函數(shù)（）．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性．解：（1）若，則，所以，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2），當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．22.已知函數(shù)（）．（1）若在上恒成立，求a的取值范圍：（2）設(shè)，，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．（1）解：若在上恒成立，即，令，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即a的取值范圍是．（2）證明：令，即，令，則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．不妨設(shè)，則，，因?yàn)?，所以．設(shè)函數(shù)（），則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即．又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以．全國(guó)名校大聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期第一聯(lián)考（月考）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)集合，，則的子集的個(gè)數(shù)為（）A.7 B.8 C.15 D.16〖答案〗B〖解析〗由題意知，，所以，所以的子集的個(gè)數(shù)為．故選：B．2.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（）A. B.3C.或 D.3或〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閮绾瘮?shù)，所以，解得或．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，符合題意．綜上，．故選：B．3.已知，“不等式與的解集相同”是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗不等式與的解集均為空集，但，所以充分性不成立；不妨令，，滿足，但的解集為，的解集為，所以與的解集不同，必要性不成立；故選：D4.已知函數(shù)，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．故選：B．5.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，，又，在上單調(diào)遞增，所以．綜上，．故選：A．6.已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，又是增函數(shù)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即函數(shù)在上值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，而函?shù)的值域?yàn)镽，因此，而當(dāng)時(shí)，，必有，解得，所以a的取值范圍是.故選：C7.定義在R上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的，（），都有，且，則不等式的解集是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)滿足對(duì)任意的，（），都有，所以在上單調(diào)遞減，又是定義在R上的偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，作函數(shù)的草圖如圖，所以，當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)或或時(shí)，.綜上，不等式的解集為.故選：C．8.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，，且，使得，則的最大值為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗作出的函數(shù)圖象如圖所示：若存在實(shí)數(shù)，，，且，使得，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，由圖可知，，所以．設(shè)，，所以，易知在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以．故選：D．二、選擇題9.已知，，且，，若則下列不等式可能成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗若，因?yàn)椋?，則，則，，故D正確；當(dāng)時(shí)，則，可得，故A正確；當(dāng)時(shí)，則，可得，故B正確；若，因?yàn)?，所以；則，則，，故D正確；綜上所述：不能得到，故C錯(cuò)誤；故選：ABD．10.若，，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.ab有最大值 B.有最大值C.有最小值4 D.有最小值〖答案〗ABC〖解析〗，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故ab有最大值，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以有最大值，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即有最小值4，故C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．11.已知函（），則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則的極小值為B.若，則函數(shù)有極值點(diǎn)C.若在區(qū)間上有極值點(diǎn)，則a的取值范圍是D.若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是〖答案〗AD〖解析〗若，則，所以，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，又，所以的極小值為，故A正確；由，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，此時(shí)沒(méi)有極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；若在區(qū)間上有極值點(diǎn)，在上有解，首先必須有，，因此，解得，即a的取值范圍是，故C錯(cuò)誤；由，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，故不存在三個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由，解得．所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以函數(shù)的極小值和極大值．又函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，所以，即，解得，即a的取值范圍是，故D正確．故選：AD．12.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，，且當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，C.D.若，則恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，從而的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；因?yàn)榈膱D象關(guān)于中心對(duì)稱，所以，解得．所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，即．?dāng)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以的周期?，又，，，，，，，，所以故C正確；令，即，畫(huà)出與的圖象，如圖所示：因?yàn)?，時(shí)，，，，由周期性知，，則，，即，時(shí)，的切線斜率大于的切線斜率，所以兩函數(shù)圖象在區(qū)間上除了有公共點(diǎn)外，在區(qū)間上還有一個(gè)公共點(diǎn)，因此兩函數(shù)圖象共有5個(gè)交點(diǎn)，所以恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題13.已知函數(shù)，則______．〖答案〗4〖解析〗由題意知．故〖答案〗為：4.14.______．〖答案〗5〖解析〗．故〖答案〗為：515.已知，，且，則y的最大值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，又，所以，解得，即y的最大值為．故〖答案〗為：．16.已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由得，所以，則，因?yàn)?，，，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以由，即，得，所以，所以．令，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．故〖答案〗為：.四、解答題17.已知函數(shù)的定義域?yàn)榧螦，集合．（1）若，求；（2）若，求m的取值范圍．解：（1）由題意得：，解得，所以．若，則，所以．（2）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，滿足，則，解得；當(dāng)時(shí)，由得，解得．綜上，m的取值范圍為．18.已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求a的值；（2）設(shè)，，若對(duì)任意的，存在，使得，求m的取值范圍.解：（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即，即，所以．（2）因?yàn)閷?duì)任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以解得，即m的取值范圍是．19.已知函數(shù)（）．（1）若的解集為，解關(guān)于x的不等式；（2）若對(duì)任意的恒成立，求的最大值．解：（1）因?yàn)榈慕饧癁?，所以，，，得，（），所以等價(jià)于，又，所以，解得，即關(guān)于x的不等式的解集為．（2）因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，所以，，所以，所以，時(shí)等號(hào)成立．令，又，