實(shí)數(shù)與平面直角坐標(biāo)系教材分析-王景

《實(shí)數(shù)》與《平面直角坐標(biāo)系》

教材分析

燕山教研中心王景2014年2月

第6章實(shí)數(shù)

2011版——新課標(biāo)第3版2002版——新課標(biāo)第2版2001版——新課標(biāo)第1版實(shí)數(shù)，你究竟應(yīng)該在哪里？2011版——新課標(biāo)第3版數(shù)及數(shù)的運(yùn)算有理數(shù)、實(shí)數(shù)運(yùn)算技能運(yùn)算能力開平方約公元前500年約19世紀(jì)后期數(shù)的歷史發(fā)展順序小數(shù)在哪里？直到18世紀(jì)，一個(gè)穩(wěn)定的十進(jìn)位小數(shù)的表達(dá)形式才逐漸形成數(shù)系擴(kuò)充的結(jié)構(gòu)順序數(shù)系擴(kuò)充的結(jié)構(gòu)順序數(shù)的歷史發(fā)展順序教學(xué)的順序？算術(shù)根、平方根、開平方有理數(shù)、無理數(shù)、實(shí)數(shù)想說愛你不容易引入一種新運(yùn)算引入一種新數(shù)算術(shù)根、平方根、開平方有理數(shù)、無理數(shù)、實(shí)數(shù)形象、具體、盡可能地與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系引入一種新運(yùn)算引入一種新數(shù)1．無理數(shù)同樣是現(xiàn)實(shí)生活中逐漸形成和發(fā)展起來的2．知道除外還有些無理數(shù)3．承認(rèn)某些數(shù)的開方是無理數(shù)4．刻畫線段長度5．建立起“數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)”的感知6.無理數(shù)問題轉(zhuǎn)化為有理數(shù)來研究7.加深有理數(shù)的理解一、課程標(biāo)準(zhǔn)二、教學(xué)建議數(shù)的研究1．運(yùn)算對象的認(rèn)識2．運(yùn)算背景的認(rèn)識3．運(yùn)算法則4．運(yùn)算應(yīng)用實(shí)數(shù)本章教學(xué)時(shí)間約需8課時(shí)，具體分配如下：

6．1平方根

3課時(shí)

6．2

立方根

2課時(shí)

6．3實(shí)數(shù)2課時(shí)復(fù)習(xí)

1課時(shí)第一節(jié)算術(shù)平方根

學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解算術(shù)平方根的有關(guān)概念。（三種表示，與乘方的關(guān)系，符號表示的各部分名稱）2．能準(zhǔn)確將算術(shù)平方根的文字語言和符號語言進(jìn)行轉(zhuǎn)換。3．會求一個(gè)平方數(shù)的算術(shù)平方根，并會表示。從運(yùn)算角度給出算術(shù)根的定義問題1：怎么拼？問題2：求邊長？兩個(gè)變量且信息量極大從特殊入手：引發(fā)強(qiáng)烈認(rèn)知沖突從特殊入手：對于正數(shù)x，若x2=2，那么正數(shù)x叫做2的算術(shù)平方根.2的算術(shù)平方根記作，讀作“根號2”，2叫做被開方數(shù).從特殊入手：對于正數(shù)x，若x2=2，那么正數(shù)x叫做2的算術(shù)平方根.2的算術(shù)平方根記作，讀作“根號2”，2叫做被開方數(shù).對于正數(shù)x，若x2=3……對于正數(shù)x，若x2=5……對于正數(shù)x，若x2=6……算術(shù)根與平方的關(guān)系從特殊到一般符號語言從一般到特殊文字語言符號語言文字語言符號語言運(yùn)算順序運(yùn)算順序回歸定義文字語言符號語言文字語言符號語言用符號語言表示“4的算術(shù)根”負(fù)數(shù)沒有算術(shù)根為什么a≥0為什么深入思考正數(shù)的算術(shù)根是正數(shù)0的算術(shù)根是02的算術(shù)平方根它還表示一個(gè)數(shù)帶有運(yùn)算符號的數(shù)算術(shù)平方根的定義算術(shù)根的增減性無限不循環(huán)小數(shù)估算計(jì)算器的作用100以內(nèi)的算術(shù)根、立方根利用算術(shù)根的增減性進(jìn)行估算很難啊!算術(shù)根重出江湖??拓展從特殊入手與算術(shù)根建立聯(lián)系與算術(shù)根建立聯(lián)系轉(zhuǎn)化與類比多邊形內(nèi)角和與三角形內(nèi)角和梯形中位線與三角形中位線利用算術(shù)根得出結(jié)論再梳理一下幾個(gè)關(guān)鍵問題面積為2的正方形的邊長形象直觀意義非凡突出重點(diǎn)突破難點(diǎn)有理數(shù):整數(shù)、分?jǐn)?shù)有理數(shù):有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)分?jǐn)?shù)及分?jǐn)?shù)形式勾股定理與無理數(shù)

回歸定義同類二次根式的運(yùn)算非同類二次根式的運(yùn)算回歸定義回歸定義第七節(jié)復(fù)習(xí)課1．一個(gè)定義2.兩個(gè)體系1．一個(gè)定義算術(shù)根2．兩個(gè)體系——知識體系（1）兩類數(shù)（2）六種運(yùn)算（3）三個(gè)非負(fù)數(shù)2．兩個(gè)體系——方法體系（1）從特殊到一般（2）類比（3）轉(zhuǎn)化（4）分類（5）數(shù)形結(jié)合合情推理的兩個(gè)重要方法理解概念的兩個(gè)重要途徑1.的理解與認(rèn)知2.意義非凡的圖形老師要知道的兩件事面積為2的正方形的邊長的幾何意義直角三角形的邊長的代數(shù)意義第13章實(shí)數(shù)教材分析的代數(shù)意義

在數(shù)軸上意義非凡的圖形直角邊長為1的等腰直角三角形的斜邊長是勾股定理的探究與證明猜測:直角三角形三邊滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系?等腰直角三角形三邊滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系?直角邊長為1的等腰直角三角形三邊滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系?從特殊入手從特殊入手意義非凡的圖形兩個(gè)邊長為1的小正方形拼成一個(gè)面積2的大正方形的邊長，直角邊長為1的等腰直角三角形的斜邊長是.兩個(gè)邊長為2的小正方形拼成一個(gè)面積8的大正方形的邊長，直角邊長為2的等腰直角三角形的斜邊長是.兩個(gè)邊長為3的小正方形拼成一個(gè)面積18的大正方形的邊長，直角邊長為3的等腰直角三角形的斜邊長是.兩個(gè)邊長為4的小正方形拼成一個(gè)面積32的大正方形的邊長，直角邊長為4的等腰直角三角形的斜邊長是.……猜測:等腰直角三角形的三邊滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.猜測:直角三角形的三邊滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.四個(gè)全等的等腰直角三角形，拼成一個(gè)正方形四個(gè)全等的直角三角形，拼成一個(gè)正方形意義非凡的圖形第七章《平面直角坐標(biāo)系》主要內(nèi)容介紹對本章知識背景的思考本章主要內(nèi)容及課時(shí)建議課程目標(biāo)與中考要求教學(xué)思考一、對本章知識背景及地位的思考平面直角坐標(biāo)系平面上的點(diǎn)←→有序?qū)崝?shù)對數(shù)軸直線上的點(diǎn)←→實(shí)數(shù)三維空間直角坐標(biāo)系一維二維幾何變換函數(shù)解析幾何確定物體的位置幾何（形）←→（數(shù)）代數(shù)數(shù)形結(jié)合類比學(xué)生認(rèn)知角度知識體系角度發(fā)展思維角度有序數(shù)對一、對本章知識背景及地位的思考思想方法類比!直線平面確定平面兩條相交直線兩條平行直線特殊化一條數(shù)軸兩條數(shù)軸將一維直線擴(kuò)展到二維平面一維二維一、對本章知識背景及地位的思考思想方法數(shù)形結(jié)合!為什么還要與數(shù)軸聯(lián)系起來？用數(shù)表示的優(yōu)越性何在？

在數(shù)學(xué)科學(xué)中，由于平面直角坐標(biāo)系的引入，架起了數(shù)與形之間的橋梁，使得我們可以用幾何的方法研究代數(shù)問題，又可以用代數(shù)的方法研究幾何問題．用代數(shù)的方法來研究幾何（描述點(diǎn)的位置、刻畫點(diǎn)的變換）對應(yīng)？一、對本章知識背景及地位的思考基于以上分析：1.呈現(xiàn)“怎樣建立平面直角坐標(biāo)系”？（形成過程）2.數(shù)形之間的相互轉(zhuǎn)化優(yōu)越性何在？3.這種轉(zhuǎn)化不會出現(xiàn)歧義嗎？（一一對應(yīng)）最后，作為工具的使用。

就坐標(biāo)系而言，除了“平面直角坐標(biāo)系”外，還有“空間直角坐標(biāo)系”、“平面極坐標(biāo)系，“空間極坐標(biāo)系”，“斜坐標(biāo)系”，“球面坐標(biāo)系”和“柱面坐標(biāo)系”等。一、對本章知識背景及地位的思考

平面直角坐標(biāo)系是解決數(shù)學(xué)問題的一個(gè)重要工具，利用它可以使很多數(shù)學(xué)問題變得直觀、形象而簡明；用坐標(biāo)研究可以符號化、形式化，便于論證、推理，進(jìn)而利用算法解決。二、本章的主要內(nèi)容及課時(shí)建議主要內(nèi)容一條數(shù)軸確定直線上點(diǎn)的位置確定平面內(nèi)點(diǎn)的位置建立平面直角坐標(biāo)系兩條數(shù)軸垂直有公共原點(diǎn)變化到二維怎樣理解縱坐標(biāo)難點(diǎn)充分理解建系的必要性點(diǎn)坐標(biāo)（有序數(shù)對）

P（x,y）重點(diǎn)

第一節(jié)①有序數(shù)對②平面直角坐標(biāo)系

第二節(jié)③用坐標(biāo)表示地理位置④用坐標(biāo)表示平移平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用：解析法二、本章的主要內(nèi)容及課時(shí)建議參考課時(shí)建議§7.1平面直角坐標(biāo)系 …………3課時(shí)有序數(shù)對1課時(shí)平面直角坐標(biāo)系1課時(shí)具有特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)特征1課時(shí)§7.2坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用 …………4課時(shí)用坐標(biāo)表示地理位置1課時(shí)用坐標(biāo)表示平移1課時(shí)用坐標(biāo)計(jì)算圖形的面積1課時(shí)數(shù)學(xué)活動1課時(shí)小結(jié)…………2課時(shí)圖形與坐標(biāo)坐標(biāo)與圖形位置坐標(biāo)與圖形運(yùn)動結(jié)合實(shí)例進(jìn)一步體會用有序數(shù)對可以表示物體的位置在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)軸為對稱軸，能寫出一個(gè)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)的多邊形的對稱圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并知道對應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系理解平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念，能畫出直角坐標(biāo)系；在給定的直角坐標(biāo)系中，能根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置，由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中，能寫出一個(gè)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)的多邊形沿坐標(biāo)軸方向平移后圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并知道對應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系在實(shí)際問題中，能建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系描述物體的位置在直角坐標(biāo)系中，探索并了解將一個(gè)多邊形依次沿兩個(gè)坐標(biāo)軸方向平移后所得到的圖形與原來的圖形具有平移關(guān)系，體會圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化對給定的正方形，會選擇合適的直角坐標(biāo)系，寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)，體會可以用坐標(biāo)刻畫一個(gè)簡單圖形在直角坐標(biāo)系中，探索并了解將一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)（有一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)、有一條邊在橫坐標(biāo)軸上）分別擴(kuò)大或縮小相同倍數(shù)時(shí)所對應(yīng)的圖形與原圖形是位似的在平面上，能用方位角和距離刻畫兩個(gè)物體的相對位置新課標(biāo)要求三、課程目標(biāo)與中考要求三、課程目標(biāo)與中考要求本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1．結(jié)合實(shí)例進(jìn)一步體會用有序數(shù)對可以表示物體的位置。2．理解平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念，能畫出直角坐標(biāo)系；在給定的直角坐標(biāo)系中，能根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置、由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)。體會引入有序數(shù)對的必要性體會點(diǎn)與坐標(biāo)之間的對應(yīng)性3．在實(shí)際問題中，能建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，描述物體的位置。體會建立坐標(biāo)系的相對性本章學(xué)習(xí)目標(biāo)5．在平面上，能用方位角和距離刻畫兩個(gè)物體的相對位置。（2）在直角坐標(biāo)系中，能寫出一個(gè)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)的多邊形沿坐標(biāo)軸方向平移后圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并知道對應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系。（3）在直角坐標(biāo)系中，探索并了解將一個(gè)多邊形依次沿兩個(gè)坐標(biāo)軸方向平移后所得到的圖形與原來的圖形具有平移關(guān)系，體會圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化。。三、課程目標(biāo)與中考要求4．對給定的正方形，會選擇合適的直角坐標(biāo)系，寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)，體會可以用坐標(biāo)刻畫一個(gè)簡單的圖形。體會數(shù)形結(jié)合的思想坐標(biāo)與圖形運(yùn)動

2013中考要求2014中考要求認(rèn)識并能畫出平面直角坐標(biāo)系；在給定的坐標(biāo)系中，會根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置、由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)；了解特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)特征認(rèn)識并能畫出平面直角坐標(biāo)系；在給定的坐標(biāo)系中，會根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置、由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)；了解特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)特征能在方格紙上建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，描述物體的位置和變化；會由點(diǎn)的特殊位置，求點(diǎn)的坐標(biāo)中相關(guān)字母的范圍（與方程和不等式結(jié)合）；會求點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離；在同一直角坐標(biāo)系中，會求圖形變換后點(diǎn)的坐標(biāo)能在方格紙上建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，描述物體的位置和變化；會由點(diǎn)的特殊位置，求點(diǎn)的坐標(biāo)中相關(guān)字母的范圍（與方程和不等式結(jié)合）；會求點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離；在同一直角坐標(biāo)系中，會求圖形變換后點(diǎn)的坐標(biāo)靈活運(yùn)用不同的方式確定物體的位置靈活運(yùn)用不同的方式確定物體在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置中考考點(diǎn)基礎(chǔ)與核心：是求圖形上有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)問題的延伸：是綜合類問題（坐標(biāo)系中的動點(diǎn)、圖形變換問題及函數(shù)）的基礎(chǔ)觀察歸納圖形性質(zhì)幾何計(jì)算三、課程目標(biāo)與中考要求教學(xué)方法③內(nèi)容簡單但可以通過再現(xiàn)知識的形成過程實(shí)現(xiàn)思想方法，留給學(xué)生充分探索的空間，著眼于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力①緊密聯(lián)系實(shí)際：從實(shí)際出發(fā)，立足于解決現(xiàn)實(shí)問題②準(zhǔn)確把握教學(xué)要求，突出數(shù)形結(jié)合的思想④抓住時(shí)機(jī)，突出情感、態(tài)度、價(jià)值觀教學(xué)目標(biāo)四、教學(xué)思考1、密切結(jié)合生活實(shí)際，利用學(xué)生熟悉的素材體會位置的確定可以用有序數(shù)對來表示。引入時(shí)關(guān)注必要性，重點(diǎn)是體會表示平面內(nèi)的點(diǎn)要用一對數(shù)。實(shí)例：國慶閱兵、航海、電影院座位、郵箱設(shè)置等四、教學(xué)思考有序數(shù)對的教學(xué)

通過實(shí)例讓學(xué)生體會如下幾點(diǎn),為學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系做好鋪墊,防止一進(jìn)入坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)就變成操作性的記憶:有序性相對性(找坐位等身邊的問題易于學(xué)生理解,可為建系做鋪墊)可度量性(前后兩個(gè)數(shù)的絕對值可表示距離)可為突破坐標(biāo)和距離轉(zhuǎn)化這一難點(diǎn)做鋪墊,并且能夠更好地理解坐標(biāo)原點(diǎn)如果用(1,1)表示,實(shí)際如第一排第一列作為參照點(diǎn),(3,2)到第一排的距離2,而不是3和標(biāo)記的單位不一致,涉及到計(jì)算)工具性四、教學(xué)思考2、前提：是要有對序的定義——以何為序？一種人為約定方式（符合實(shí)際、簡潔直觀）一種建系的法則為下一課時(shí)做好準(zhǔn)備3、易錯(cuò)：對序的理解（與順序有關(guān)）；位置不同，意義改變深入理解它也是一種對應(yīng)關(guān)系點(diǎn)坐標(biāo)（有序數(shù)對）

P（x,y）圖形特別的：縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之間的對應(yīng)形式多樣：（方向，距離）（x，2x）二元一次方程的解四、教學(xué)思考四、教學(xué)思考一些參考資料小游戲：象棋對弈

中國象棋棋盤，橫、列標(biāo)上數(shù)字.分成若干小組，解說對弈回合.1、坐標(biāo)系的引入：類比數(shù)軸（參照）

線上的點(diǎn)——面上的點(diǎn)一條直線——兩條相交直線——兩條垂直直線2、建系、描點(diǎn)、觀察、總結(jié)（讓學(xué)生充分探索）

——結(jié)合畫法認(rèn)識平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念由坐標(biāo)描點(diǎn)，由點(diǎn)寫坐標(biāo)平面直角坐標(biāo)系的教學(xué)四、教學(xué)思考3、點(diǎn)與坐標(biāo)的對應(yīng)如何解釋？（幾何依據(jù)）

點(diǎn)唯一，垂線唯一，交點(diǎn)唯一四、教學(xué)思考4、開放性探究點(diǎn)的坐標(biāo)特征（探究結(jié)果分成兩大部分）①一個(gè)點(diǎn)：坐標(biāo)表示、符號特征、幾何意義②兩個(gè)或多個(gè)有特殊位置關(guān)系的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系距離：分類引申：兩點(diǎn)間距離

較好學(xué)生可以進(jìn)一步研究：體會兩條平行線間的距離二、四象限角分線點(diǎn)的坐標(biāo)特征平面上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)形成的圖形平面上某個(gè)區(qū)域的點(diǎn)的坐標(biāo)特征等等

建議：結(jié)合習(xí)題中第5、8題，補(bǔ)充平行于x軸、y軸的直線特點(diǎn)及象限角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)。開放式探究5、數(shù)學(xué)史介紹易錯(cuò)點(diǎn)①畫數(shù)軸時(shí)單位長度何時(shí)一致？②有序數(shù)對的意義不清③混淆點(diǎn)到x軸、y軸的距離與坐標(biāo)的關(guān)系④數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的負(fù)遷移（直角坐標(biāo)系中兩軸上的點(diǎn)）四、教學(xué)思考拓展：思考空間中的點(diǎn)如何確定？（三維）解決方案注意緊密結(jié)合圖形，引導(dǎo)學(xué)生從圖形上認(rèn)識、理解進(jìn)而掌握概念和規(guī)律，要求學(xué)生多畫圖、多觀察，不要養(yǎng)成死背公式的習(xí)慣，更不能想當(dāng)然注意舉例時(shí)坐標(biāo)類型盡量豐富，給學(xué)生全面的感受來幫助概念的認(rèn)知，特別注意避免結(jié)合實(shí)際問題時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)都出現(xiàn)在同一象限（尤其是第一象限）的情況四、教學(xué)思考【例題】距離多解問題到橫軸距離為4，且到縱軸距離為5的點(diǎn)是___________錯(cuò)解:（一）（4，5）（二）考慮不全面只找到了（5，4）四、教學(xué)思考【例題】特殊圖形已知兩點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）,（3，0）則能與這兩點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形的第三點(diǎn)的坐標(biāo)是_____________利用圖形性質(zhì)（平行四邊形、中垂線、等腰三角形等）多解問題四、教學(xué)思考【例題】概念辨析與取值范圍點(diǎn)P（m，1）在第二象限內(nèi)，則點(diǎn)Q（-m，0）在（）

A.第一象限內(nèi)B.x軸負(fù)半軸上

C.x軸正半軸上D.y軸正半軸上錯(cuò)解：選A，因?yàn)辄c(diǎn)P（m，1）在第二象限內(nèi)，所以m<0，從而-m>0，點(diǎn)Q（-m，0）在第一象限內(nèi)；選D，因?yàn)榭v坐標(biāo)為0，所以Q在縱軸上。

如何糾錯(cuò)？落實(shí)概念教學(xué)四、教學(xué)思考四、教學(xué)思考用坐標(biāo)表示地理位置的教學(xué)1、由圖建系，由坐標(biāo)建系（形與數(shù)）2、會根據(jù)實(shí)際情況選擇明顯或熟悉的地點(diǎn)為原點(diǎn)，按習(xí)慣選擇向東、向北為橫、縱軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系四、教學(xué)思考3、確定適當(dāng)比例尺，從而確定坐標(biāo)系中的單位長