高中數學-直線與平面垂直的判定教學設計學情分析教材分析課后反思

課標分析

一、教學內容的分析

本節(jié)課的內容包括直線與平面垂直的定義和判定定理兩部分.直線與平面垂

直的研究是直線與直線垂直研究的繼續(xù)，也為平面與平面垂直的研究做了準備；

這三類垂直問題的研究主線是類似的，都是以定義一一判定一一，性質為主線.判

定定理的教學，盡管新課標在必修課程中不要求證明，但通過定理的探索過程，

培養(yǎng)和發(fā)展學生的幾何直覺以及運用圖形語言進行交流的能力，是本節(jié)課的重要

任務.

二、教學目標的確定

新課標中立體幾何的體系和內容都發(fā)生了較大的變化，要求能通過直觀感知、

操作確認，歸納出直線和平面垂直的判定定理.

根據教材特點、新課標的教學要求和學生的認知水平，我確定了如下教學目

標：

1.通過觀察圖片和折紙試驗，使學生理解直線與平面垂直的定義，歸納和

確認直線與平面垂直的判定定理，并能對定義和判定定理進行簡單應用；

2.通過對判定定理的探究和運用，初步培養(yǎng)學生的幾何直觀能力和抽象概

括能力；

3.通過對探索過程的引導，努力提高學生學習數學的熱情，培養(yǎng)學生主動

探究的習慣.

三、教學方法的特點

本節(jié)課采用啟發(fā)式與試驗探究式相結合的教學方式.

在啟發(fā)式教學過程中，以問題引導學生的思維活動.教學設計突出了對問題

鏈的設計，教學中，結合學生的思維發(fā)展變化不斷追問，使學生對問題本質的思

考逐步深入，思維水平不斷提高.

嘗試通過試驗的方法進行立體幾何的教學.本節(jié)課主要是通過直觀感知、操

作確認歸納出直線和平面垂直的判定定理.但借助什么去感知？怎樣操作才能歸

納出判定定理？確認到什么程度，才能在不對定理進行證明的情況下，不失數學

的邏輯性和嚴謹性？本節(jié)課立足教材，重視對具體實例的觀察、分析，并且給學

生提供動手操作的機會，引導學生通過自己的觀察、操作等活動獲得數學結論，

把合情推理作為一個重要的推理方式融入到學生的學習過程中.

學情分析

在初中學生已經掌握了平面內證明線線垂直的方法，學習本課前，學生又通過直觀感

知、操作確認的方法，學習了直線、平面平行的判定定理，對空間概念建立有一定基礎，因

而，可以采用類比的方法來學習本課。但是，學生的抽象概括能力、空間想象力還有待提高。

線面垂直的定義比較抽象，平面內看不到直線，要讓學生去體會”與平面內所有直線垂直”

就有一定困難；同時，線面垂直判定定理的發(fā)現具有一定的隱蔽性，學生不易想到。因而，

我將本節(jié)課的教學難點確立為：操作確認并概括出直線與平面垂直的定義和判定定理。二、

教學目標設計

《課程標準》指出本節(jié)課學習目標是：通過直觀感知、操作確認，歸納出線面垂直的判

定定理；能運用判定定理證明一些空間位置關系的簡單命題。

考慮到學生的接受能力和課容量，本節(jié)課只要求學生在構建線面垂直定義的基礎上探究

線面垂直的判定定理，并進行定理的初步運用，靈活運用定理解決相關問題將安排在下節(jié)課。

故而確立本節(jié)課的教學目標為：

1.通過對圖片、實例的觀察，抽象概括出直線與平面垂直的定義，并能正確理解直線與

平面垂直的定義。

2.通過直觀感知，操作確認，歸納直線與平面垂直判定的定理，并能運用判定定理證明

一些空間位置關系的簡單命題，進一步培養(yǎng)學生的空間觀念。

3.讓學生親身經歷數學研究的過程，體驗探索的樂趣，增強學習數學的興趣。

布魯納認為：“在教學過程中，學生是一個積極的探究者，教師的作用是要形成一種學

生能夠獨立探究的情境，幫助學生形成豐富的想象，防止過早語言化，注重直覺思維?！被?/p>

于此，本課是概念、定理的新授課，設計了以學生活動為主體，培養(yǎng)學生能力為中心，提高

課堂教學質量為目標的課堂結構。

2.3.1直線與平面垂直的判定練習題

1.如果一條直線/與平面a的一條垂線垂直，那么直線/與平面a的位置關系是（）

A./uaB./_LaC.I//a.D.

Iua或I//a

2.若兩直線a，b,且aJ_平面a,則b與a的位置關系是（）

A.相交B.b〃aC.bua

D.b〃a,或bua

3.a〃a,則a平行于a內的（）

A.一條確定的直線B.任意一條直線C.所有直線D.

無數多條平行線

4.若直線1上有兩點P.Q到平面a的距離相等，則直線1與平面a的位置關系是

（）

A.平行B.相交C.平行或相交D.平行.

相交或在平面a內

5.兩異面直線在平面a內的射影（）

A.相交直線B.平行直線C.一條直線一個點D.以上

三種情況均有可能

6.下面各命題中正確的是（）

A.直線a,b異面，aca,匕.p,貝Ua〃田；B.直線a//b,aca,

則a〃生

C.直線al.b,a_La,6_L（J,則a_L。；D.直線aca,Zcp,

a〃（3,則a,6異面.

7.已知.兩條直線叫〃，.兩個平面a,￡,給出下面四個命題：

①mHn,mLa=>nA.a②all0,mua,nu0nmHn③

mHn,mHannila

@aH（3,mlln,ml.a^nX.（3其中正確命題的序號是（）

A.①③B.②④C.①④

I）.②③

8.若三條直線OA,0B,8兩兩垂直，則直線以垂直于（）

A.平面OABB.平面OACC.平面OBC

D.平面4a1

9.過直線外一點作直線的垂線有條；垂面有個；平行線有條；平行

平面有個.

10.過平面外一點作該平面的垂線有條;垂面有個;平行線有條;

平行平面有個.

11.如圖，在直三棱柱ABC—ABG中，AC_L3C,點D是AB的中點,

求證：(1)ACL8G(2)ACi〃平面CDBi；

12.如圖，在四棱錐P—ABC。中，Q4J_平面ABC。,底面ABC。是菱形，求證：BDA.

平面南C;

p

本節(jié)選自：人教版《普通高中課程標準實驗教科書?數學（A版）》必修2,“2.3.1直線

與平面垂直的判定”第一課時:

本節(jié)課主要學習直線與平面垂直的定義、判定定理及其初步運用。其中，線面垂直的定

義是線面垂直最基本的判定方法和性質，它是探究線面垂直判定定理的基礎；線面垂直的判

定定理充分體現了線線垂直與線面垂直之間的轉化，它既是后面學習面面垂直的基礎，又是

連接線線垂直和面面垂直的紐帶?。ㄈ鐖D）學好這部分內容，對于學生建立空間觀念，實現

從認識平面圖形到認識立體圖形的飛躍，是非常重要的。

本節(jié)課中，學生將按照“直觀感知一操作確認一歸納總結”的認知過程展開學習，對大

量圖片、實例的觀察感知，概括出線面垂直的定義；對實例、模型的分析猜想、折紙實驗,

發(fā)現線面垂直的判定定理。學生將在問題的帶動下，進行更主動的思維活動，經歷從現實生

活中抽象出幾何圖形和幾何問題的過程，體會轉化、歸納、類比、猜想等數學思想方法在解

決問題中的作用，發(fā)展學生的合情推理能力和空間想象力，培養(yǎng)學生的質疑思辨、創(chuàng)新的精

神。

根據《課程標準》，線面垂直判定定理的嚴格證明安排在選修系列2中進行，這樣降低

了難度，符合學生的認知規(guī)律。因而，我將本節(jié)課的教學重點確立為：操作確認并概括出直

線與平面垂直的定義和判定定理。

教學設計

1.直線與平面垂直定義的建構

本環(huán)節(jié)是教學的第一個重點，是后面探究活動的基礎，分三步進行：

（1）動體的特征，對“線面垂直”有了一些初淺認識和感知，在高中階段，創(chuàng)設情境

—感知概念①展示圖片：學生收集的一組圖片和教師提供的兩張圖片。

②觀察實例：學生將書打開直立于桌面，觀察書脊與桌面的位置關系。

③提出思考問題：如何定義一條直線與一個平面垂直？（2）觀察歸納一形成概念

①學生畫圖：將旗桿與地面的位置關系畫出相應的幾何圖形。

②提出問題：能否用一條直線垂直于一個平面內的直線，來定義這條直線與這個平面垂

直呢？（學生討論并交流）③動畫演示：旗桿與它在地面上影子的位置變化，重點讓學生體

會直線與平面內不過垂足的直線也垂直。

④歸納直線與平面垂直的定義、介紹相關概念，并要求學生用符號語言表示。（3）辨析

討論一深化概念判斷正誤：

①如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線就與這個平面垂直。

②若a，a,ba,則a，b。（學生利用鐵絲和三角板進行演示，討論交流。）

這一環(huán)節(jié)是本節(jié)課的基礎。線面垂直定義比較抽象，若直接給出，學生只能死記硬背,

這樣，不利于學生思維能力的發(fā)展。如何使學生從“線面垂直的直觀感知”中抽象出“直線

與平面內所有直線垂直”是本環(huán)節(jié)的關鍵，因此，在教學中，充分發(fā)揮學生的主觀能動性,

先安排學生課前收集大量圖片，多感知，然后，通過學生動手畫圖、時論交流和多媒體課件

演示,使其經歷從實際背景中抽象出幾何概念的全過程，從而形成完整和正確的概念,最后，

通過辨析討論加深學生對概念的理解。這種立足于感性認識的歸納過程，即由特殊到一般,

由具體到抽象，既有助于學生對概念本質的理解，又使學生的抽象思維得到發(fā)展，培養(yǎng)學生

的幾何直觀能力。

2.直線與平面垂直的判定定理的探究

這個探究活動是本節(jié)課的關鍵所在，分三步進行：

（1）分析實例一猜想定理

問題①在長方體ABCD-A1B1C1D1中，棱BB1與底面ABCD垂直，觀察BB1

與底面ABCD內直線AB、BC有怎樣的位置關系？由此你認為保證BB1_L底面ABCD的條

件是什么？

問題②如何將一張長方形賀卡直立于桌面？

問題③由上述兩個實例，你能猜想出判斷一條直線與一個平面垂直的方法嗎？

學生提出猜想：

如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

（2）動手實驗一確認定理

折紙實驗：過aABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD,再將翻折后的紙片豎起

放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸），進行觀察并思考：

問題④折痕AD與桌面垂直嗎？如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

問題⑤由折痕ADLBC,翻折之后垂直關系發(fā)生變化嗎？（即ADLCD,AD1BD

還成立嗎？）由此你能得到什么結論？

學生折紙可能會出現“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導這兩類學生進行交流，分析

“不垂直”的原因，從而發(fā)現垂直的條件一折痕AD是BC邊上的高，進而引導學生觀察動

態(tài)演示模擬試驗，根據“兩條相交直線確定一個平面”的事實和實驗中的感知進行合情推理，

歸納出線面垂直的判定定理，并要求學生畫圖，用符號語言表示。

（3）質疑反思一深化定理

問題⑥如果一條直線與平面內的兩條平行直線都垂直，那么該直線與此平面垂直

嗎？

由于兩條平行直線也確定一個平面，這個問題是學生會問到的?？梢砸龑W生通過操

作模型（三角板）來確認，消除學生心中的疑惑，進一步明確線面垂直的判定定理中的“兩

條”、“相交”缺一不可！

在本環(huán)節(jié)中，借助學生最熟悉的長方體模型和生活中最簡單的經驗，引導學生分析，將

“與平面內所有直線垂直”逐步轉化為“與平面內兩條相交直線垂直”，并以此為基礎，進行

合情推理，提出猜想，使學生的思維順暢，為進一步的探究做準備。

由于《課程標準》中不要求嚴格證明線面垂直的判定定理，只要求直觀感知、操作確認，

注重合情推理。因而，安排學生動手實驗，討論交流、為便于學生對實驗現象進行觀察和分

析，自己發(fā)現結論，還增設了動態(tài)演示模擬試驗，讓學生更加清楚地看到“平面化”的過程。

學生在已有數學知識的基礎上，加之以公理的支撐，便可以確認定理。

教學中，讓學生真正體會到知識產生的過程，有利于發(fā)展學生的合情推理能力和空間想

象能力。與此同時，鼓勵學生大膽嘗試，不怕失敗，教訓有時比經驗更深刻，使學生在自己

的實踐中感受數學探索的樂趣，獲得成功的體驗，增強學習數學的興趣。在討論交流中激發(fā)

學生的積極性和創(chuàng)造性，為今后自主學習打下基礎。

3.直線與平面垂直的判定定理的初步應用

考慮到學生處于初學階段，補充了練習（1）和練習（2）做鋪墊。學生先嘗試去做并板

演，師生共同評析，幫助學生明確運用定理時的具體步驟，培養(yǎng)學生嚴謹的邏輯推理。練習

（3）使學生對線面垂直認識由感性上升到理性；同時，展示了平行與垂直之間的聯系，給

出判斷線面垂直的一種間接方法，為今后多角度研究問題提供思路。根據學生的實際情況,

本題可機動處理。

4.總結反思一提高認識

（1）通過本節(jié)課的學習，你學會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？

（2）在證明直線與平面垂直時應注意哪些問題？

（3）本節(jié)課你還有哪些問題？

學生發(fā)言，互相補充，教師點評。本環(huán)節(jié)側重三點：（1）以知識結構圖歸納出判斷直線

與平面垂直的方法（如圖）；（2）說明本課蘊含著轉化、類比、歸納、猜想等數學思想方法，

強調“平面化”是解決立體幾何問題的一般思路；（3）鼓勵學生反思，大膽質疑。

通過小結使本節(jié)課的知識系統(tǒng)化,使學生深刻理解數學思想方法在解題中的地位和應用,

培養(yǎng)學生認真總結的學習習慣，使學生在知識、能力、情感三個維度得到提高，并為下節(jié)的

學習提供改進方向。

5.布置作業(yè)一自主探究

（1）如圖，點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O是對角線AC與BD的交點，

且PA=PC,PB=PD.求證：POJ_平面ABCD

（2）課本P74練習1

（3）探究：如圖，PA，。。所在平面，AB是。O的直徑，C是圓周上一點，則圖中

有幾個直角三角形?由此你認為三棱錐中最多有幾個直角三角形？四棱錐呢？

為作好鋪墊，補充第（1）題直接運用線面垂直判定定理。第（3）題是一道開放性題目，

有助于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，為學有余力的學生安排的，這樣，使不同程度的學生都有所獲，

鞏固新知識并培養(yǎng)應用意識。第（3）題還為下節(jié)課靈活運用線面垂直判定定理埋下伏筆。

效果分析

本節(jié)課的實施從整體上說是比較順利的，學生的思維活動在教師的引導下展

開的比較充分，基本達到了教學目標.具體給出兩個教學片斷加以說明.

教學片斷一：

在折紙試驗的過程中，教師提出問題1:折痕與桌面一定垂直嗎？

生：不一定.（學生手拿紙片，折出不與桌面垂直的折痕）

師：為什么你認為這條折痕不與桌面垂直？

生：因為它與3。不垂直，與C。也不垂直.

師：這能說明它與桌面不垂直嗎？

生：能，因為定義說如果折痕與桌面垂直，那么它就和桌面的任意一條直線

都垂直.

師：非常好，其實這也是從另一個角度對定義進行理解：如果想說一條直線

與平面不垂直，只要在平面內找到一條直線與它不垂直就夠了.

通過這個片斷的教學，使學生加深了對定義的認識和理解.

教學片斷二：

仍然是在折紙試驗過程中，教師提出問題2:如何翻折才能使折痕與桌

面所在的平面a垂直？

生1:當折痕是邊上的高時，4。所在直線與桌面所在平面戊垂直.

師：如何保證此時折痕和桌面是垂直的？

生1:因為折痕與6。、8所成的角都是直角.

師：那折痕與80、CO兩條直線垂直，就能說它與平面a垂直嗎？

生1:因為3D、是兩條相交直線，所以它們確定一個平面.

師：兩條平行直線也確定一個平面，能說如果一條直線與兩條平行直線都垂

直，那么就和平面垂直嗎？

生2：以邊為軸將三角形紙片繞軸旋轉，剛才已經說明了折痕與8。、

CO兩條直線垂直，旋轉的過程中與3D、AO與CD的垂直關系沒有發(fā)生改

變，從而保證AO與桌面上過。點的直線都垂直，其他不過。點的直線可以平行

移到。點說明與A￡＞垂直，滿足直線與平面垂直的定義.

以上的教學過程中，通過老師的不斷追問，促使學生對問題深入思考，在發(fā)

現定理的過程中，不僅有直觀上的感知，提高了幾何直觀能力，而且通過理性的

說理，增加了邏輯思維的成分.

在教師的引導下，學生的思維活動展開的比較充分，學生在課堂上認真參與，

積極探索，學習熱情較高，在基礎知識的理解、基本思想的體會、以及幾何直觀

能力和抽象概括能力的提高等方面都有較大的進步.