人教版數(shù)學(xué)九年級下冊同步導(dǎo)學(xué)案-291投影

29.1投影(2)

教學(xué)目標(biāo)：

1、了解正投影的概念：能根據(jù)正投影的性質(zhì)畫出簡單的平面圖形的正投影.

2,培養(yǎng)動手實(shí)踐能力及空間想象能力.

3、學(xué)會觀察，理解原理，增強(qiáng)自信心.

教學(xué)重點(diǎn)：

理解正投影的含義并能根據(jù)正投影的性質(zhì)畫出簡單的平面圖形的正投影.

教學(xué)難點(diǎn)：

歸納出正投影的性質(zhì)，正確畫出簡單平面圖形的正投影.

教學(xué)過程：

一、新知引入

1.什么叫投影？

一般地,用照射物體,在________________上得到的影子叫做物體的投影.

2.投影的分類：

由形成的投影是平行投影（例如太陽光,探照燈光），由形成的投

影是中心投影（例如燈泡）

二、新知講解

問題1.圖中的投影線與投影面的位置關(guān)系有什么區(qū)別？

(1)(2)(3)

教師出示圖片，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖片的特征.

圖（1）中的投影線集中于一點(diǎn)，形成中心投影；圖（2）圖（3）中，投影線互相平行，形成平

行投影；圖（2）中，投影線斜著照射投影面；圖（3）中投影線垂直照射投影面（即投影線正對著投

影面），我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面

?歸納：在平行投影中，如果投射線垂直于投影面，那么這種投影就稱為正投影；如果投射線不

垂直于投影面，那么這種投影就稱為斜投影.

問題2.通過學(xué)習(xí)，我們對投影應(yīng)如何分類？

'良迎中心投影

光照

物體

平丘小線平行投影正投影

斜投影

探究1.

如圖，把一根直的細(xì)鐵絲（記為線段AB）放在三個不同的位置:

（1）鐵絲平行于投影面；

（2）鐵絲傾斜于投影面；

（3）鐵絲垂直于投影面（鐵絲不一定要與投影面有公共點(diǎn)）.

三種情形下，鐵絲的正投影各是什么形狀？

通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn):

(1)當(dāng)線段AB平行于投影面P時，它的正投影是

(2)當(dāng)線段AB傾斜于投影面P時，它的正投影是.

(3)當(dāng)線段AB垂直于投影面P時，它的正投影是一個

探究2.

如圖，把一塊正方形硬紙板P(例如正方形ABCD)放在三個不同位置:

(1)紙板平行于投影面;

(2)紙板傾斜于投影面;

(3)紙板垂直于投影面.

結(jié)論:

(1)當(dāng)紙板P平行于投影面Q時，P的正投影是______.

(2)當(dāng)紙板P傾斜于投影面Q時，P的正投影是.

(3)當(dāng)紙板P垂直于投影面Q時，P的正投影是一條

例題講解：

例、如圖所示的圓臺的上下底面與投影線平行，圓臺的正投影是(

A.矩形B.兩條線段

C.等腰梯形D.圓環(huán)

解析：根據(jù)正投影的定義及正投影形狀分析.根據(jù)題意：圓臺的上下底面與投影線平行，則圓臺

的正投影是該圓臺的軸截面，即等腰梯形.故選C.

鞏固練習(xí)：

1.三角形的正投影是()D

A.三角形B.線段

C.直線或三角線D.線段或三角形

2.一個幾何體在一個投影面上的正投影是一個矩形，這個幾何體一定是長方體嗎？

解：不一定是長方體，也可能是圓柱體.

3.如圖所示的三幅投影中，哪幅投影是正投影？

由圖③可知，投影線AA3垂直于投影面P,故圖③是正投影.

4.如圖所示的兩個圖形都是畫出一個圓柱體的正投影，試判斷正誤，并說明原因.

解析立體圖形的正投影是平面圖形.

答案圖①是錯誤的，圖②是正確的.因?yàn)閳A柱體的正投影是平行光線的投影，投影線與投影

面是垂直的.所以投影后不可能是圓柱，而是一個平面圖形一一矩形或正方形.

5.如圖所示，右面水杯的杯口與投影面平行，投影線的方向如箭頭所示，它的正投影圖是

()D

6.投影線的方向如箭頭所示，畫出圖中圓柱體的正投影

7.畫出如圖擺放的物體（正六棱柱）的正投影:

（1）投影線由物體前方射入到后方；

（2）投影線由物體左方射入到右方；

（3）投影線由物體上方射入到下方.

探究3.

如圖，把一根直的細(xì)鐵絲（記為線段AB）放在三個不同的位置:

（1）鐵絲平行于投影面；（2）鐵絲傾斜于投影面；

（3）鐵絲垂直于投影面（鐵絲不一定要與投影面有公共點(diǎn)）.

三種情形下，鐵絲的正投影大小有什么變化？

通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)：

（1）當(dāng)線段AB平行于投影面P時，線段與它的投影的大小關(guān)系為ABAB；

（2）當(dāng)線段AB傾斜于投影面P時，線段與它的投影的大小關(guān)系為ABAB；

（3）當(dāng)線段AB垂直于投影面P時，它的正投影是一個點(diǎn)A”

探究4.

如圖，把一塊正方形硬紙板P（例如正方形ABCD）放在三個不同位置：（它們的正投影大小有什么

變化？）

（1）紙板平行于投影面；（2）紙板傾斜于投影面；（3）紙板垂直于投影面.

結(jié)論：

(1)當(dāng)紙板P平行于投影面Q時，P的正投影與P的；

(2)當(dāng)紙板P傾斜于投影面Q時，P的正投影與P的

(3)當(dāng)紙板P垂直于投影面Q時，P的正投影成為.

?歸納：當(dāng)物體的某個面平行于投影面時，這個面的正投影與這個面的形狀、大小完全相同.(人

們經(jīng)常根據(jù)上述規(guī)律繪制圖形)

例題講解

例、畫出如圖擺放的正方體在投影面P上的正投影.

(1)正方體的一個面ABCD平行于投影面P,如圖(1)；

(2)正方體的一個面ABCD傾斜于投影面P,上底面ADEF垂直于投影面P,并且上底面的對角線

解：(1)如圖，正方體的正投影為正方形A'B'C'D',它與正方體的一個面是全等關(guān)系；

(2)如圖，正方體的正投影為矩形F'G'C'D',這個矩形的長等于正方體的底面對角線的長，

矩形的寬等于正方體的棱長.矩形上、下兩邊中點(diǎn)的連線A'B'是正方體側(cè)棱即它所對的另一條側(cè)

棱AB的投影.

鞏固練習(xí)：

1.球的正投影是()A

A.圓面B.橢圓面C.點(diǎn)D.圓環(huán).

2.木棒長為1.2m,則它的正投影的長一定()D

A.大于1.2mB.小于1.2m

C.等于1.2mD.小于或等于1.2m

3.如圖，一條線段AB在平面B中的正投影為A'B',AB=4m,A'B'=2m,則線段AB與平

面8的夾角為()B

A.45°B.30°C.60°D.以上均不對

3題5題6題

4.小明在操場上練習(xí)雙杠時，在練習(xí)的過程中他發(fā)現(xiàn)在地上雙杠的兩橫杠的影子()B

A.相交B.平行C.垂直D.無法確定

5.如圖所Z5,正三棱柱的面EFDC〃平面R且AE=EF=AF=2,AB=6,正三棱柱在平面R的正投

影是,正投影的面積為.(答案：矩形、12)

6.如圖，是半徑為5cm的皮球置于玻璃杯口上的正投影面，請你設(shè)法計(jì)算出玻璃杯的內(nèi)徑.

解:由題意知,DB是瞬杯腋,過球心0作DB的垂線交DB于直E,連接0B,

0B=5cm,OE=20T2-5=3(cm),:曄R()B2-OE2=2x^^=8(cm)

7.如圖，已知一紙板的形狀為正方形ABCD,其邊長為10cm,AD,BC與投影面B平行，AB,CD

與投影面不平行，正方形在投影面B上的正投影為A1B1C1D1,若NABB1=45°,求投影面A1B1C1D1

的面積.

I：1A作AH1BB1于k"ABB1=45\：,AH昔■AB=Nicm"AlBl=AH

L

=5^2cm,'.'A1DI=AD=1Ocm,.'.BA1B1C1D1W=A1B1XA1D1=5^2X1O=

5響2)m.

三、課堂小結(jié)

1.在平行投影中，如果投射線垂直于投影面，那么這種投影就稱為正投影：如果投射線不垂直

于投影面，那么這種投影就稱為斜投影.

2.當(dāng)物體的某個面平行于投影面時，這個面的正投影與這個面的形狀、大小完全相同.

3.投影的分類：

J'蛔您中心投影

光照

物體

平四線平行投影，正投影

斜投影

四、布置作業(yè)

教材93頁，習(xí)題4、5

當(dāng)堂測評

1.球的正投影是（）

A.圓B.橢圓C.點(diǎn)D.圓環(huán)

2.下列投影中，正投影有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.小樂用一塊長方形硬紙板在陽光下做投影實(shí)驗(yàn),通過觀察,發(fā)現(xiàn)這塊長方形硬紙板在平整的地面上

不可能出現(xiàn)的投影是（）

A.三角形B.線段C.矩形D.正方形

4.幾何體在平面P的正投影,取決于（）

①幾何體形狀;②幾何體與投影面的位置關(guān)系;③投影面P的大小.

A.①②B.@@C.②③D.①?③

5.當(dāng)棱長為20cm的正方體的某個面平行于投影面時,這個面的正投影的面積為（）

A.20cm-B.300cm'C.400cmD.600cm'

6.如圖所示是一個圓錐在某平面上的正投影,則該圓錐的側(cè)面積是.

7.已知一根長為8cm的木棒AB與投影面平行,投影線垂直于投影面.

（1）求此時的影子AB的長度；

⑵如圖是將木棒繞其端點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)30。后的示意圖（此時平面ABB血垂直于投影面），求旋轉(zhuǎn)后

木棒的影長A2B2

8.操作與研究：

如圖，AABC被平行光線照射,CD1AB于D,AB在投影面上.

（1）指出圖中AC的投影是什么,CD與BC的投影呢？

（2）探究：當(dāng)AABC為直角三角形（NACB=90°）時，易得AC?=AD?AB,此時有如下結(jié)論:直角三角形一直

角邊的平方等于它在斜邊射影與斜邊的乘積，這一結(jié)論我們稱為射影定理.

通過上述結(jié)論的推理，請證明以下兩個結(jié)論：

①Bd=BD?AB;②CD?=AD?BD.

9.如圖,某居民小區(qū)有一朝向?yàn)檎戏较虻木用駱?該居民樓的一樓是高6m的小區(qū)超市,超市以上是

居民住房.在該樓的前面15m處要蓋一棟高20m的新樓，當(dāng)冬季正午的陽光與水平線的夾角為32°

時，⑴問:超市以上的居民住房的采光是否有影響？

（2）若要使超市采光不受影響，兩樓應(yīng)至少相距多少米？

（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù):sin320g錯誤!未找到引用源。，cos32°七錯誤!未找到引用源。，tan

32°七錯誤!未找到引用源。）

當(dāng)堂測評答案

1.A2.B3.A4.A5.C

6.錯誤!未找到引用源。兀

7.分析：（1）當(dāng)木棒平行于投影面時，其正投影的長度與木棒的