濟(jì)南市市中區(qū)濟(jì)南育英中學(xué)2022-2023學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題【帶答案】

全等三角形+生活中的軸對(duì)稱測試A卷一．選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1.如圖，一副分別含有30°和45°角的兩個(gè)直角三角板，拼成如下圖形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，則∠BFD的度數(shù)是【】A.15° B.25° C.30° D.10°【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)外角的性質(zhì)求出∠BDF，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求解即可．【詳解】∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是要計(jì)算細(xì)致．2.如圖是中的角平分線，于點(diǎn)E，，，，則長（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】過點(diǎn)D作于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得，再根據(jù)列出方程求解即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作于F，∵是中的角平分線，，∴，由圖可知，，且∴，解得．故選：B．【點(diǎn)晴】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.如圖，已知D為△ABC邊AB的中點(diǎn)，E在AC上，將△ABC沿著DE折疊，使A點(diǎn)落在BC上的F處．若∠B=65°，則∠BDF等于（）A.65° B.50° C.60° D.57．5°【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)圖形翻折不變性的性質(zhì)可得AD＝DF，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠B＝∠BFD，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵△DEF是△DEA沿直線DE翻折變換而來，∴AD＝DF，∵D是AB邊的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∴BD＝DF，∴∠B＝∠BFD，∵∠B＝65°，∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠BFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°．考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形翻折變換的圖形能夠重合的性質(zhì)，以及等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟知折疊的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．4.如圖，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個(gè)點(diǎn)中找出符合條件點(diǎn)P，則點(diǎn)P有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【詳解】要使△ABP與△ABC全等，必須使點(diǎn)P到AB的距離等于點(diǎn)C到AB的距離，即3個(gè)單位長度，所以點(diǎn)P的位置可以是P1，P3，P4三個(gè)，故選C．5.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，AC的垂直平分線交AC，AD，AB于點(diǎn)E，O，F(xiàn)，則圖中全等三角形的對(duì)數(shù)是（）A.1對(duì) B.2對(duì) C.3對(duì) D.4對(duì)【答案】D【解析】【詳解】解：∵AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，∴在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD；∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，AE=CE，在△AOE和△COE中，，∴△AOE≌△COE；在△BOD和△COD中，，∴△BOD≌△COD；在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB；所以共有4對(duì)全等三角形，故選：D．6.如圖，在中，，，點(diǎn)E在的延長線上，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)D，連接，下列結(jié)論中不正確的是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可求出，即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)角平分線的定義求出，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出，然后利用對(duì)頂角，即可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和角平分線的定義求出，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出，即可判斷C選項(xiàng)；利用角平分線的性質(zhì)，推出為的外角平分線，然后列式計(jì)算求出，即可判斷D選項(xiàng)．【詳解】解：，，，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；平分，，在中，，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；平分，，在中，，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；、分別是和的平分線，到、、的距離相等，是的外角平分線，，故D選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟記定理和概念是解題的關(guān)鍵．7.如圖，在中，AB=6，BC=7，AC=4，直線m是中BC邊的垂直平分線，點(diǎn)P是直線m上的一動(dòng)點(diǎn).則周長的最小值為().A.10 B.11 C.11.5 D.13【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意知，點(diǎn)C關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，AP+CP值的最小，求出AB長度即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵直線m垂直平分AB，∴B、C關(guān)于直線m對(duì)稱，設(shè)直線m交AB于D，∴當(dāng)P和D重合時(shí)，AP+CP的值最小，最小值等于AB的長，∴△APC周長的最小值是：6+4=10．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線，軸對(duì)稱——最短路線問題的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出P的位置．8.如圖，三角形中，的平分線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，，垂足分別為E，F(xiàn)，下面四個(gè)結(jié)論：①；②垂直平分；③；④一定平行．其中正確的是（）A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得，然后利用三角形內(nèi)角和定理，得到，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得，即可判斷①結(jié)論；根據(jù)線段垂直平分線的判定，即可判斷②結(jié)論；利用三角形的面積公式求解，即可判斷③結(jié)論，根據(jù)平行線的判定即可判斷④．【詳解】解：①在中，的平分線交于點(diǎn)D，，，，，，即平分，，，故①結(jié)論正確；②，，點(diǎn)D在的垂直平分線上，點(diǎn)A在的垂直平分線上，垂直平分，故②結(jié)論正確；③，，，，故③結(jié)論正確；④不一定等于，不一定平行，故④結(jié)論錯(cuò)誤，正確的結(jié)論有：①②③，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定．難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．9.如圖，在中，，，若點(diǎn)D為的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作，分別交、于點(diǎn)M、N，連接，則下列結(jié)論中：①是等腰直角三角形；②的周長有最小值；③四邊形的面積為定值8；④的面積有最小值．正確的有（）A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可證，得，可知①正確；利用垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，最小，則的周長、面積有最小值，故②④正確；由，得到，計(jì)算的面積即可判斷③錯(cuò)誤，從而得出答案．【詳解】解：是等腰直角三角形，D為的中點(diǎn)，，，，，，，在和中，，，，是等腰直角三角形，①結(jié)論正確；當(dāng)時(shí)，最小，則的周長、面積有最小值，②④結(jié)論正確；，，，，的面積為，的面積為4，四邊形的面積為定值4，③結(jié)論錯(cuò)誤；正確的有①②④，共3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，三角形的面積等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．10.如圖，在五邊形中，，，，，在、上分別找到一點(diǎn)M、N，使得的周長最小，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)要使的周長最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，讓三角形的三邊在同一直線上，A關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)，，即可得出，進(jìn)而得出即可得出答案．【詳解】解：作A關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)，，連接，，交于M，交于N，則，即為的周長最小值．作延長線，∵，∴，∴，∵，，且，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，每小題4分，共24分）11.一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為5或6，則這個(gè)等腰三角形的周長是_____．【答案】16或17．【解析】【詳解】由于未說明兩邊哪個(gè)是腰哪個(gè)是底，故需分兩種情況討論：（1）當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?，底為6時(shí)，周長為5+5+6=16；（2）當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?，底為5時(shí)，周長為5+6+6=17．∴這個(gè)等腰三角形的周長是16或17．12.如圖，已知是等邊三角形，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，，分別于兩邊垂直，等邊三角形的高為2，則的值為_____．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)，可得的值．【詳解】解：連接，如圖所示：∵是等邊三角形，∴，∵，等邊三角形的高為2，又∵，∴，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13.如圖，是等邊三角形，，連接，，則的度數(shù)為________．【答案】##20度【解析】【分析】設(shè)．用x表示出，求出，再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠DBC，可得結(jié)論．【詳解】解：設(shè)．∵是等邊三角形，∴，，∵．∴，∴，，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．14.如圖，在正方形網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則與有一條公共邊且全等（不與重合）的格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形）共有______個(gè)．【答案】6##六【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的判定分別求出以為公共邊的三角形，以為公共邊的三角形，以為公共邊的三角形的個(gè)數(shù)，相加即可．【詳解】解：如圖所示，以為公共邊可畫出、、三個(gè)三角形和原三角形全等；以為公共邊可畫出、、三個(gè)三角形和原三角形全等；以為公共邊不可以畫出三角形和原三角形全等；所以共有6個(gè)三角形和原三角形全等，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，三條邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，以及格點(diǎn)的概念，熟練掌握全等三角形的判定定理是解決問題的關(guān)鍵．15.如圖，已知平分，于點(diǎn)E，，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是_________．【答案】①②③④【解析】分析】在取點(diǎn)F，使，．利用已知條件可得，進(jìn)而證明，即可判斷①結(jié)論；連接CF，先證明，得出；再根據(jù)線段垂直平分線和等腰三角形的性質(zhì)得出，利用平角的定義，即可判斷②結(jié)論；③根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)性質(zhì)得出，即可判斷③結(jié)論；先證明，得到，再利用，得到，即可判斷根據(jù)④結(jié)論．【詳解】解：①在取點(diǎn)F，使，，，，，，故①結(jié)論正確；②連接CF，平分，，在與中，，，．垂直平分，，．又，，故②結(jié)論正確；③，，又，，故③結(jié)論正確；④在和中，，，，又，，，故④結(jié)論正確，綜上所述，正確的結(jié)論是①②③④，故答案是：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，正確作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度適中．16.如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則△AMN的周長是________．【答案】12【解析】【分析】將△BDM繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)120°，構(gòu)造出全等三角形，將MN轉(zhuǎn)為為BM+CN即可【詳解】將△BDM繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)120°得到△；∵△由△BDM旋轉(zhuǎn)所得，∴DM=，BD=DC，BM=∠=∠BDM；∵∠BDC＝120°，∠MDN=60°，∴∠BDM+∠CDN=120°-60°=60°，故∠+∠CDN=60°，即∠=60°；在△MDN和△中∶DM=，∠=∠MDN，DN=DN∴△MDN≌△；∴MN=；△AMN的周長=AM+AN+MN=AM+AN+=AM+AN+CN+=(AM+)+(AN+CN)=AB+AC；∵△ABC是邊長為6，∴△AMN周長=6+6=12．故答案為：12【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)建全等三角形，將未知長度的邊轉(zhuǎn)化為已知長度的邊是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共4小題，共36分）17.如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE．求證：AD=AE．【答案】證明見解析．【解析】【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，然后證明△ABD≌△ACE即可證得結(jié)論【詳解】證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD與△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴AD=AE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用等邊對(duì)等角得到∠B=∠C．18.如圖，和都是等腰三角形，且，，如果點(diǎn)B，C，D在同一條直線上．那么與有怎樣的關(guān)系呢？請(qǐng)說明理由．【答案】，，理由見解析【解析】【分析】求出，根據(jù)證出，則，,即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵和都是等腰直角三角形，∴，，又∵，∴，∵在和中，∴，∴，,∵，∴【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出．19.如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，D是外的一點(diǎn)，，，，，連接OD．（1）求證：是等邊三角形；（2）當(dāng)時(shí)，試判斷的形狀，并說明理由；（3）探究：當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形？(直接寫出答案，一個(gè)即可）．【答案】（1）見解析（2）是直角三角形，理由見解析（3）當(dāng)或或時(shí)，△AOD是等腰三角形【解析】【分析】(1）根據(jù)有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形可得證；(2）根據(jù)全等易得，結(jié)合(1）中的結(jié)論可得為，即可求解；(3）根據(jù)題中所給的全等及的度數(shù)可得的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等分類探討即可．【小問1詳解】證明：∵，∴，∵，∴是等邊三角形．【小問2詳解】是直角三角形．理由如下：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴是直角三角形．【小問3詳解】∵是等邊三角形，∴．∵，∴，，∴．①當(dāng)時(shí)，，∴．②當(dāng)時(shí)，，∴．③當(dāng)時(shí)，，∴．綜上所述：當(dāng)或或時(shí)，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，及等腰三角形的判定；注意應(yīng)分類探討三角形為等腰三角形的各種情況是解題關(guān)鍵．20.發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處，請(qǐng)你判斷∠1+∠2與∠A有何數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論，不必說明理由思考（2）如圖2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)I重合，若∠1+∠2=100°，求∠BIC的度數(shù)；拓展（3）如圖3，在銳角△ABC中，BF⊥AC于點(diǎn)F，CG⊥AB于點(diǎn)G，BF、CG交于點(diǎn)H，把△ABC折疊使點(diǎn)A和點(diǎn)H重合，試探索∠BHC與∠1+∠2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）∠1+∠2=2∠A；理由見解析；（2）∠BIC=115°；（3）∠BHC=180°-（∠1+∠2）．【解析】【