2024年天津高考數(shù)學試卷真題解讀及答案詳解

年高考數(shù)學真題完全解讀（天津卷）2024年高考數(shù)學天津卷相比去年的題目難度再度上升一個檔次，去年是一道難題難到了絕大多數(shù)學生，而24年的高考卷子不少學生反應是3道壓軸題并且創(chuàng)新的地方也很多。一、緊貼高考考綱，選擇題考點的考察方式更加靈活2024年數(shù)學天津卷選擇打破以往的考察順序，將選擇的壓軸放在了立體幾何不規(guī)則的立體體積的運算，在以往的高考中立體幾何一直在選擇的第8題的位置，此題雖然作為壓軸題目難到相當一部分考生，不過在試卷解答中給了簡單的解法技巧，也極大的考察了學生的創(chuàng)新能力。此外，選擇題中還新增立體幾何中關(guān)于線面關(guān)系的考察，關(guān)于函數(shù)的基本性質(zhì)也脫離了原本的給解析式找圖像或者給圖像找解析式的考法，轉(zhuǎn)而回歸最基礎(chǔ)的知識讓學生判斷函數(shù)的奇偶性，此外對于指冪對函數(shù)的考察與邏輯用語結(jié)合，雖然考察知識點較為簡單，但這種出題方式打破了傳統(tǒng)的邏輯用語出題方式，也會有讓考生措不及防的情況出現(xiàn)?？偟膩砜催x擇題靈活科學地確定試題的內(nèi)容、順序，機動調(diào)整題目順序,并且改變傳統(tǒng)考試方式，增加考點。有助于打破學生機械應試的套路,打破教學中僵化、固定的訓練模式,防止猜題押題,同時測試學生的應變能力和解決各種難度問題的能力.引導教學培養(yǎng)學生全面掌握主干知識、提升基本能力,靈活地整合知識解決問題。二、填空突出計算能力邏輯能力考查。數(shù)學作為一門重要的基礎(chǔ)學科,也是唯一一門理科性質(zhì)的統(tǒng)考科目,在服務(wù)人才選拔、服務(wù)國家發(fā)展戰(zhàn)略、助力強國建設(shè)方面承擔重要責任、發(fā)揮關(guān)鍵作用。天津卷此次在向量小題的考察一改前兩年的基底法加基本不等式的考法，考察建系法回歸最基礎(chǔ)的函數(shù)最值運算，只是在運算時需要注意函數(shù)的定義域問題。最后的壓軸小題零點綜合難度也大幅上升，常規(guī)的拆分成兩個函數(shù)，進行參數(shù)討論會有太多種情況，同時也要注意數(shù)形結(jié)合?？梢哉f這道題目是為那些沖刺清北和頂尖985高校設(shè)置的門檻，需要學生具備極強的數(shù)學素養(yǎng)。大題設(shè)計新穎，難度梯度設(shè)計分明。2024年天津卷大題部分難度題目比較明顯，前兩道題目依舊是很簡單，涉及到最基本的運算考察簡單的公式。橢圓考察雙動點問題，并且結(jié)合了向量的數(shù)量積運算，注意討論直線斜率是否存在，整個題目的計算量是比較大的，超過以往的高考題，對于部分不擅長計算的考生是很大的打擊，數(shù)列的考法也比較新穎，需要考試通過列舉歸納找到規(guī)律，形式上有點像2019年19年理科的數(shù)列題，屬于加強版，計算量比較大也比較費時間。最后的導數(shù)的壓軸需要結(jié)合不等式構(gòu)造函數(shù)，對學生甚至老師的要求都很高。題號分值題型考查內(nèi)容模塊15分選擇題交集運算集合25分選擇題邏輯用語、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)性質(zhì)邏輯用語35分選擇題相關(guān)系數(shù)線性相關(guān)45分選擇題奇偶性、函數(shù)性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)55分選擇題對數(shù)運算、指數(shù)運算比較大小65分選擇題線面平行與垂直的判定空間幾何75分選擇題三角函數(shù)的周期與最值三角函數(shù)性質(zhì)85分選擇題雙曲線的性質(zhì)解析幾何95分選擇題棱柱棱臺棱錐的體積運算立體幾何105分填空題復數(shù)化簡，復數(shù)運算復數(shù)運算115分填空題二項式定理二項式定理125分填空題拋物線，點到直線的距離解析幾何135分填空題條件概率與獨立事件概率145分填空題平面向量基本定理，數(shù)量積問題平面向量155分填空題零點問題，數(shù)形結(jié)合，分類討論函數(shù)綜合問題1614分解答題正余弦定理，正余弦二倍角、和差角公式解三角形1715分解答題線面平行、兩個平面的夾角、點到面的距離立體幾何1815分解答題直線與橢圓綜合題解析幾何1915分解答題新定義、數(shù)列求和數(shù)列2016分解答題導數(shù)應用，導數(shù)最值，不等式恒成立，分類討論導數(shù)1：首先要強化基礎(chǔ)知識的復習，通觀近兩年的高考題，天津卷始終保持選擇題一道難題，填空題最后一題過難，解答題的數(shù)列大題以及導數(shù)大題也是過難。對于這部分的內(nèi)容大多數(shù)的考生難以下手，但除此之外的題目無論從出題方式或者考察知識點來看都屬于基礎(chǔ)題目，基本屬于送分題。所以考生需要正確地理解基本概念的內(nèi)涵和外延；熟練地掌握和應用相關(guān)的公式與定理；熟悉并運用常見的基本技能和方法.2：整個高考復習階段基本都分為一輪復習二輪復習和最后的三輪復習，我根據(jù)每輪復習的特點提出以下建議。一輪復習時間是最長的，這一階段一定要將課本教材的知識點熟稔于心，并且適當記憶一些?？嫉闹R點，以及一些可以提升做題速度的公式和技巧，最后有一個相對比較系統(tǒng)的知識體系。第二階段二輪復習，這一階段進行專題性的練習，進行大量的練習，但同時也應注意根據(jù)自己的實際水平來選擇練習題，基礎(chǔ)一般的同學沒有必要去練一下壓軸題，這一階段建議大多數(shù)同學穩(wěn)基礎(chǔ)，練計算，學習做題技巧，可以對解析幾何這個板塊的知識加以大量的練習。到最后的三輪階段，這個時候大多數(shù)學校都開始套卷的練習，會有大量的考試，考生可以借助考試來練習一下自己的做題速度，通過考試來查漏補缺，把一輪二輪中遺漏的知識點加以補充。3：對于大部分考生高考數(shù)學考不好的原因不是難題沒有作對,大多是基礎(chǔ)題失分過多,總是把該寫對的題目寫錯，天津卷的基礎(chǔ)題目難度都極低，比平時的模擬題目難度要小一些，也與平時模擬題目有些許區(qū)別，所以平時的復習要注意糾錯,對每次考試中“會做做不對的題”,要找出錯誤原因進行標注,同時再找?guī)椎李愃频念}進行鞏固,做到以例及類、題不二錯，最好的復習資料就是你自己的錯題本。2024年天津市高考數(shù)學試卷一.選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）集合，2，3，，，3，4，，則A．，2，3， B．，3， C．， D．【考點】交集及其運算【專題】數(shù)學運算；綜合法；計算題；集合【分析】利用交集的運算法則求解即可．【解答】解：集合，2，3，，，3，4，，則，3，．故選：．【點評】本題考查集合的基本運算，是基礎(chǔ)題．2．（5分）設(shè)，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】充分條件與必要條件【專題】計算題；數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；簡易邏輯【分析】判斷兩個等式的、關(guān)系，利用充要條件判斷即可．【解答】解：，，則“”可得；“”可得；所以，，則“”是“”的充要條件．故選：．【點評】本題考查充要條件的應用，是基礎(chǔ)題．3．（5分）下列圖中，相關(guān)性系數(shù)最大的是A． B． C． D．【考點】相關(guān)系數(shù)；變量間的相關(guān)關(guān)系【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學運算；概率與統(tǒng)計；綜合法【分析】利用散點圖，直接判斷相關(guān)性系數(shù)的大小即可．【解答】解：由題意可知選項的散點圖可知，相關(guān)關(guān)系強，越接近于1，相關(guān)程度越大；所以的相關(guān)性系數(shù)最大．故選：．【點評】本題考查散點圖的應用，相關(guān)性系數(shù)的判斷，是基礎(chǔ)題．4．（5分）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是A． B． C． D．【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學抽象【分析】由已知結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性檢驗各選項即可判斷．【解答】解：，，定義域為，（1），，則（1），不符合題意；，，定義域為，，即為偶函數(shù)，符合題意；，由題意得，，定義域關(guān)于原點不對稱，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；，函數(shù)定義域為，，即為奇函數(shù)，不符合題意．故選：．【點評】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）若，，，則，，的大小關(guān)系為A． B． C． D．【考點】對數(shù)值大小的比較【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算【分析】判斷三者的范圍，推出結(jié)果即可．【解答】解：在上遞增，且，所以，所以，即，因為在上遞增，且，所以，即，所以，故選：．【點評】本題考查指數(shù)與對數(shù)值的大小比較，是基礎(chǔ)題．6．（5分）若，為兩條直線，為一個平面，則下列結(jié)論中正確的是A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則與相交【考點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系【專題】方程思想；數(shù)學抽象；計算題；立體幾何；綜合法【分析】根據(jù)題意，由空間直線與平面的位置關(guān)系依次分析選項，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于，若，，則與平行或異面，錯誤；對于，若，，則與異面、平行或相交，錯誤；對于，設(shè)直線，滿足且，若，則，而，則，正確；對于，若，，則與相交或異面，錯誤．故選：．【點評】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，涉及直線與平面平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）已知函數(shù)的最小正周期為．則函數(shù)在的最小值是A． B． C．0 D．【考點】三角函數(shù)的周期性；三角函數(shù)的最值【專題】方程思想；定義法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學運算【分析】由最小正周期為，求出，從而，由此能求出函數(shù)在的取最小值．【解答】解：函數(shù)，，，可得，，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，故函數(shù)取最小值是．故選：．【點評】本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．8．（5分）雙曲線的左、右焦點分別為、．是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2，△是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【考點】雙曲線的性質(zhì)【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算【分析】設(shè)，，則，由△是面積為8的直角三角形，可得，，由直線的斜率為2，可得，即，從而求出，的值，進而求出，的值，得到雙曲線的方程．【解答】解：根據(jù)題意，畫出圖形，如下圖：設(shè)，，則，因為△是面積為8的直角三角形，所以，，因為直線的斜率為2，所以，所以，聯(lián)立，解得，所以，即，所以，即，所以，所以雙曲線的方程為．故選：．【點評】本題主要考查了雙曲線的標準方程，考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．9．（5分）一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知，，．則該五面體的體積為A． B． C． D．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【專題】數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想；計算題；空間位置關(guān)系與距離；綜合法；立體幾何【分析】根據(jù)題意，分別延長、到、，使、、平行且相等，得到三棱柱，根據(jù)四邊形與四邊形全等，利用錐體的體積公式得到，然后求出的體積，進而算出該五面體的體積，可得答案．【解答】解：延長到，使，延長到，使，連接、，可得，結(jié)合，可知為三棱柱，因為四邊形與四邊形全等，所以，由，且它們兩兩之間的距離為1．可知：當為正三棱柱時，底面邊長為1，高為3，此時．根據(jù)棱柱的性質(zhì)，若為斜三棱柱，體積也是，因此，，可得該五面體的體積故選：．【點評】本題主要考查棱柱的定義與性質(zhì)、柱體與錐體的體積公式及其應用等知識，考查了計算能力、圖形的理解能力，屬于中檔題．另解：此題可以假設(shè)都與底面垂直，然后再找一個全等的五面體。兩個五面體拼接成一個正三棱柱計算出三棱柱的體積而后除以2就得到答案。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分。10．（5分）已知是虛數(shù)單位，復數(shù)．【考點】復數(shù)的運算【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)的四則運算，即可求解．【解答】解：．故答案為：．【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，是基礎(chǔ)題．11．（5分）在的展開式中，常數(shù)項為20．【考點】二項式定理【專題】二項式定理；數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二項式定理，常數(shù)項的定義，即可求解．【解答】解：的常數(shù)項為．故答案為：20．【點評】本題主要考查二項式定理，是基礎(chǔ)題．12．（5分）的圓心與拋物線的焦點重合，兩曲線與第一象限交于點，則原點到直線的距離為．【考點】拋物線的性質(zhì)【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學運算；綜合法；邏輯推理；圓錐曲線中的最值與范圍問題【分析】推導出，從而，進而，聯(lián)立，得，求出直線的方程為，由此能求出原點到直線的距離．【解答】解：的圓心與拋物線的焦點重合，，，，聯(lián)立，得或，兩曲線與第一象限交于點，，直線的方程為，即，原點到直線的距離為．故答案為：．【點評】本題考查圓心坐標、拋物線方程、直線方程、點到直線距離等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．13．（5分），，，，五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加，甲選到的概率為；已知乙選了活動，他再選擇活動的概率為．【考點】條件概率與獨立事件【專題】方程思想；數(shù)學運算；概率與統(tǒng)計；定義法【分析】設(shè)事件表示“選到”，事件表示“選到”，則甲從中選3個．甲選到的概率為（A），，利用條件概率能求出乙選了活動，他再選擇活動的概率．【解答】解：設(shè)事件表示“選到”，事件表示“選到”，則甲從中選3個．甲選到的概率為（A），，乙選了活動，他再選擇活動的概率為：．故答案為：，．【點評】本題考查條件概率等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．14．（5分）在正方形中，邊長為1．為線段的三等分點，，，則；若為線段上的動點，為中點，則的最小值為．【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應用；數(shù)學運算【分析】由題意可知，再結(jié)合可得，進而求出，的值，得到的值；設(shè)，可得，，易知，，即可求出，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：由題意可知，，，，，如圖：設(shè)，則，為中點，，正方形的邊長為1，，，，對于函數(shù)，對稱軸為，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，當時，函數(shù)取得最小值，即的最小為．故答案為：；．【點評】本題主要考查了平面向量的線性運算和數(shù)量積運算，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．15．（5分）若函數(shù)有唯一零點，則的取值范圍為．【考點】函數(shù)零點的判定定理【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算【分析】根據(jù)函數(shù)的零點與兩個函數(shù)圖象的公共點的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)與，可知與的圖象有唯一公共點，分、與三種情況進行討論，當時，計算函數(shù)定義域可得或，進而可得，時，兩個函數(shù)圖象在軸左側(cè)有一公共點，因此只需找到當，時，在軸右側(cè)兩個函數(shù)圖象沒有公共點的情況即可；然后當時，按類似的方式加以討論算出的取值范圍，進而可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，可得，令，即．①當時，，有，則，不符合題意，舍去；②當時，由，可得或，則，即函數(shù)與函數(shù)，有唯一公共點，當時，則，則，即，整理得，當時，即，即，當，或（正值舍去），當時，或，有兩解，不符合題意，舍去，綜上所述，當，時，在時有唯一解，因此，當，時，方程在時需無解，當，，且時，由函數(shù)關(guān)于對稱，令，可得，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，即，故時，圖案為雙曲線右支在軸上方部分向右平移所得，由雙曲線的漸近線方程為，即部分的漸近線方程為，其斜率為2，又，，即在時的斜率，，令，可得或（舍去），且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有，解得，故符合要求；③當時，則，即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點，由，可得或，當時，則，則，即，整理得，當時，即，即，當，（負值舍去）或，當時，或，有兩解，舍去，即當，時，在時有唯一解，則當，時，在時需無解，當，，且時，由函數(shù)關(guān)于對稱，令，可得或．且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，同理可得：時，圖像為雙值的左支的軸上方部分向左平移所得，部分的漸近線方程為，其斜率為，又，，即在時的斜率，，令，可得或（舍去），且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故有，解得，故符合要求；綜上所述，．故答案為：．【點評】本題主要考查基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點與方程的根、函數(shù)的單調(diào)性及其應用等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于難題．三、解答題：本大題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16．（14分）在中，，．（1）求；（2）求；（3）求．【考點】兩角和與差的三角函數(shù)；正弦定理；余弦定理【專題】數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；函數(shù)的性質(zhì)及應用；綜合法【分析】（1）設(shè)，則，，利用余弦定理能求出；（2）由同角三角函數(shù)關(guān)系式，先求出．再由正弦定理求出．（3）利用二倍角公式求出，再由同角三角函數(shù)關(guān)系式求出，利用兩角差三角函數(shù)能求出．【解答】解：（1）在中，，，設(shè)，則，，，解得，；（2）由（1）得，，，由正弦定理得，即，解得．（3），，是銳角，且，，，．【點評】本題考查余弦定理、正弦定理、二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、兩角差三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．17．（15分）已知四棱錐中，底面為梯形，，平面，，其中，．是的中點，是的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值；（3）求點到平面的距離．【考點】直線與平面平行；二面角的平面角及求法；點、線、面間的距離計算【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；邏輯推理；數(shù)學運算【分析】（1）取中點，連接，，易證四邊形是平行四邊形，所以，由線面平行的判定定理證明即可；（2）以為原點建系，利用向量法分別求出平面與平面的法向量，利用向量的夾角公式，求平面與平面的夾角的余弦值；（3）由（2）得及平面的法向量，利用向量法即可求點到平面的距離．【解答】（1）證明：取中點，連接，，由是的中點，得，且，由是的中點，得，且，則，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，故平面．（2）解：以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，有，0，，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，，則，3，，設(shè)平面的法向量為，，則，1，，所以，，故平面與平面的夾角的余弦值為．（3）解：因為，平面的法向量為，所以點到平面的距離為．【點評】本題考查直線與平面平行、點到平面的距離、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，屬于中檔題．18．（15分）已知橢圓的離心率，左頂點為，下頂點為，是線段的中點，其中．（1）求橢圓方程．（2）過點的動直線與橢圓有兩個交點，，在軸上是否存在點使得恒成立．若存在，求出這個點縱坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由．【考點】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的性質(zhì)；橢圓的標準方程【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學運算；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化法【分析】（1）結(jié)合橢圓的性質(zhì)，以及三角形的面積公式，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，分動直線的斜率存在、不存在討論，當動直線的斜率不存在，直接結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算，即可求解；動直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立，再結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算，即可求解．【解答】解：（1）因為橢圓的離心率為，所以，即，其中為半焦距，，則，所以，，，，解得，故，，故橢圓方程為；（2）①若過點的動直線的斜率不存在，則，或，，此時，②若過點的動直線的所率存在，則可設(shè)該直線方程為：，設(shè)，，，，，化簡整理可得，，故△，；，，故，恒成立，故，解得，若恒成立．結(jié)合①②可知，．故這個點縱坐標的取值范圍為，．【點評】本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．19．（15分）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，其前項和為，若，．（1）求數(shù)列前項和；（2）設(shè)，，其中是大于1的正整數(shù)．當時，求證：；求．【考點】數(shù)列的求和【專題】點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；分析法；整體思想；數(shù)學運算【分析】（1）根據(jù)題目條件結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，可以得到公比，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可求得；（2）根據(jù)題意可得，，，利用作差法分析即可；根據(jù)題意以及等差數(shù)列求和公式可得，再用裂項相消法即可求得．【解答】解：（1），，可得，整理得，解得或，因為數(shù)列的公比大于0，所以，所以；（2）證明：由