數(shù)學(xué)（選修12）練習(xí)5.1.1合情推理（一）歸納活頁作業(yè)5

活頁作業(yè)(五)合情推理(一)——歸納1．?dāng)?shù)列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．27 B．28C．32 D．33解析因為數(shù)列的規(guī)律是5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，所以x－20＝12.故x＝20＋12＝32.答案：C2．觀察下列圖形：……由此規(guī)律，則第30個圖形比第27個圖形中的“☆”多()A．59顆 B．60顆C．87顆 D．89顆解析設(shè)第n個圖形中“☆”的個數(shù)為an，則a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，an＝1＋2＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).故第30個圖形比第27個圖形中的“☆”多eq\f(30×31,2)－eq\f(27×28,2)＝87(顆)．答案：C3．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由此可歸納出：若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，則f′(x)()A．為偶函數(shù)B．為奇函數(shù)C．既為奇函數(shù)又為偶函數(shù)D．為非奇非偶函數(shù)解析(x2)′＝2x中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)；(x4)′＝4x3中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)；(cosx)′＝－sinx中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)；……我們可以推斷，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)．答案：B4．對于大于1的自然數(shù)m的三次冪，可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的“分裂”，23＝3＋5,33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…，仿此，若m3的“分裂數(shù)”中有一個是59，則m的值為()A．6 B．7C．8 D．9解析由題意，從23到m3，共有從3開始的連續(xù)奇數(shù)2＋3＋4＋…＋m＝eq\f(m＋2m－1,2)(個)，59是從3開始的第29個奇數(shù)．當(dāng)m＝7時，從23到73，共有從3開始的連續(xù)奇數(shù)eq\f(7＋27－1,2)＝27(個)．當(dāng)m＝8時，從23到83，共有從3開始的連續(xù)奇數(shù)eq\f(8＋28－1,2)＝35(個)．故m＝8.答案：C5．根據(jù)三角恒等變換，可得如下等式：cosθ＝cosθ；cos2θ＝2cos2θ－1；cos3θ＝4cos3θ－3cosθ；cos4θ＝8cos4θ－8cos2θ＋1；cos5θ＝16cos5θ－20cos3θ＋5cosθ.依此規(guī)律，猜想cos6θ＝32cos6θ＋mcos4θ＋ncos2θ－1，其中m＋n＝________.解析由所給的三角恒等變換等式可知，各系數(shù)與常數(shù)項的和是1，即32＋m＋n－1＝1，故m＋n＝－30.答案：－306．已知an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n，把數(shù)列{an}的各項排成如下的三角形：a1a2a3a5a6a7a……記A(s，t)表示第s行的第t個數(shù)，則A(11,12)＝________.解析該三角形每行所對應(yīng)元素的個數(shù)為1,3,5……那么第10行的最后一個數(shù)為a100，第11行的第12個數(shù)為a112，即A(11,12)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))112.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1127．已知在數(shù)列{an}中，a1＝2coseq\f(π,3)，an＋1＝eq\r(2＋an)(n∈N＋)，猜想這個數(shù)列的通項公式．解∵a1＝2coseq\f(π,3)，an＋1＝eq\r(2＋an)，∴a2＝eq\r(2＋a1)＝eq\r(2＋2cos\f(π,3))＝eq\r(2＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(π,6)－1)))＝eq\r(4cos2\f(π,6))＝2coseq\f(π,6).a3＝eq\r(2＋a2)＝eq\r(2＋2cos\f(π,6))＝eq\r(2＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(π,12)－1)))＝eq\r(4cos2\f(π,12))＝2coseq\f(π,12).a4＝eq\r(2＋a3)＝eq\r(2＋2cos\f(π,12))＝eq\r(2＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(π,24)－1)))＝eq\r(4cos2\f(π,24))＝2coseq\f(π,24).∴猜想{an}的通項公式為an＝2coseq\f(π,3×2n－1).8．在平面內(nèi)，觀察凸四邊形、凸五邊形、凸六邊形的對角線的條數(shù)隨著邊數(shù)增加的變化規(guī)律，由此猜想凸n邊形有幾條對角線．解凸四邊形有2條對角線；凸五邊形有5條對角線，比凸四邊形多3條；凸六邊形有9條對角線，比凸五邊形多4條；……于是猜想：凸n邊形的對角線條數(shù)比凸(n－1)邊形多(n－2)條，即凸n邊形對角線條數(shù)為2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝eq\f(1,2)n(n－3)(n≥4，n∈N＋)．1．觀察下列事實：|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為12，……則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為()A．76 B．80C．86 D．92解析由題意知|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解的個數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解的個數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解的個數(shù)為12，則可歸納出等式右端值與不同整數(shù)解的個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，且解的個數(shù)為等式值的4倍，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解的個數(shù)為80.答案：B2．四個小動物換座位，開始時鼠、猴、兔、貓分別坐在編號為1,2,3,4的位置上(如下圖)，第1次前后排動物互換座位，第2次左右列動物互換座位，第3次前后排動物互換座位……這樣交替進(jìn)行下去，那么第2013次互換座位后，小兔的座位對應(yīng)的編號是()A．1 B．2C．3 D．4解析第4次左右列動物互換座位后，鼠、猴、兔、貓分別坐在編號為1,2,3,4的位置上，即回到開始時的座位情況，于是可知這樣交替進(jìn)行下去，呈現(xiàn)出周期為4的周期現(xiàn)象．又2013＝503×4＋1，故第2013次互換座位后的座位情況就是第1次互換座位后的座位情況，所以小兔的座位對應(yīng)的編號是1.答案：A3．如下圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個數(shù)，且兩端的數(shù)均為eq\f(1,n)(n≥2)，每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩個數(shù)的和，如eq\f(1,1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)，eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)，eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,12)，則第7行第5個數(shù)(從左到右)為________.eq\a\vs4\al(\f(1,1),\f(1,2)\f(1,2),\f(1,3)\f(1,6)\f(1,3),\f(1,4)\f(1,12)\f(1,12)\f(1,4),\f(1,5)\f(1,20)\f(1,30)\f(1,20)\f(1,5),……)解析設(shè)第n行第m個數(shù)為a(n，m)．由題意知a(6,1)＝eq\f(1,6)，a(7,1)＝eq\f(1,7)，∴a(7,2)＝a(6,1)－a(7,1)＝eq\f(1,6)－eq\f(1,7)＝eq\f(1,42)，a(6,2)＝a(5,1)－a(6,1)＝eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,30)，a(7,3)＝a(6,2)－a(7,2)＝eq\f(1,30)－eq\f(1,42)＝eq\f(1,105)，根據(jù)對稱性，得a(7,5)＝a(7,3)＝eq\f(1,105).答案：eq\f(1,105)4．設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù)，則f(4)＝________；當(dāng)n＞4時，f(n)＝________(用含n的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示)．解析畫圖可知，f(4)＝5.當(dāng)n＞4時，可得遞推式f(n)－f(n－1)＝n－1，f(n－1)－f(n－2)＝n－2，……f(4)－f(3)＝3.各式相加，可得f(n)－f(3)＝eq\f(1,2)(n＋2)(n－3)．又f(3)＝2，所以f(n)＝eq\f(1,2)(n＋2)(n－3)＋2.化簡整理，得f(n)＝eq\f(1,2)(n－2)(n＋1)．答案：5eq\f(1,2)(n－2)(n＋1)5．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)；sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2)；sin212°＋sin272°＋sin2132°＝eq\f(3,2)；通過觀察上述三等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題，并給予證明．解一般形式：sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝eq\f(3,2).證明：左邊＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1－cos2α＋120°,2)＋eq\f(1－cos2α＋240°,2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)(cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2α－\f(1,2)cos2α－\f(\r(3),2)sin2α－\f(1,2)cos2α＋\f(\r(3),2)sin2α))＝eq\f(3,2)＝右邊．∴原式得證．6．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3)).(1)分別計算f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2015)＋f(2016)．(2)試根據(jù)(1)的結(jié)果歸納猜想出一般性結(jié)論，并給出證明．解(1)∵f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，∴f(0)＋f(1)＝eq\f(1,30＋\r(3))＋eq\f(1,3＋\r(3))＝eq\f(1,1＋\r(3))＋eq\f(1,\r(3)1＋\r(3))＝eq\f(\r(3)＋1,\r(3)1＋\r(3))＝eq\f(\r(3),3)；f(－1)＋f(2)＝eq\f(1,3－1＋\r(3))＋eq\f(1,32＋\r(3))＝eq\f(1,\f(1,3)＋\r(3))＋eq\f(1,3\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\r(3))))＝eq\f(3\r(3)＋1,3\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\r(3))))＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)；f(－2015)＋f(2016)＝eq\f(\r(3),3).(2)