福建省福州市六校2023-2024學年高一下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題【含答案解析】

2023-2024學年第二學期高一年段期中六校聯(lián)考數(shù)學試卷（滿分：150分，完卷時間：120分鐘）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A.2 B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運算求出，再求出的模.【詳解】依題意，，所以.故選：C2.已知是兩個不共線的向量，且，則（

）A.三點共線 B.三點共線C.三點共線 D.三點共線【答案】A【解析】【分析】借助向量運算與共線定理即可得.【詳解】，故，則，又因為兩向量有公共點，故三點共線.故選：A.3.在中，，則（）A. B.或 C. D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)大邊對大角可得A>B，結(jié)合正弦定理和三角形內(nèi)角的范圍即可得出結(jié)果.【詳解】在中，根據(jù)大邊對大角可得A>B，由正弦定理，得，所以，故或.故選：D4.在矩形中，，，為線段的中點，為線段上靠近的四等分點，則的值為（）A.4 B.8 C. D.5【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標系，利用數(shù)量積的坐標表示計算得解.【詳解】依題意，以點為原點，直線分別為軸建立平面直角坐標系，如圖，則，，所以.故選：B5.已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的形狀先求出圓錐的母線，然后求出半徑，再由圓錐的體積公式進行求解.【詳解】設(shè)母線長為，依題意得，，解得，于是圓錐的高為，根據(jù)圓錐的體積公式，其體積為：.故選：B6.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則的值是（）A.6 B.8 C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合題干條件可得到，再由余弦定理得，代入已知條件可得到最終結(jié)果.【詳解】因為，根據(jù)正弦定理得到：故得到再由余弦定理得到：代入，，得到.故選：A.7.中國是瓷器的故鄉(xiāng)，“瓷器”一詞最早見之于許慎的《說文解字》中．某瓷器如圖1所示，該瓷器可以近似看作由上半部分圓柱和下半部分兩個圓臺組合而成，其直觀圖如圖2所示，已知圓柱的高為，底面直徑，，，中間圓臺的高為，下面圓臺的高為，若忽略該瓷器的厚度，則該瓷器的側(cè)面積約為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先計算兩個圓臺的母線長，根據(jù)圓柱和圓臺的側(cè)面積公式和可得該瓷器的側(cè)面積.【詳解】由，，可得該瓷器的側(cè)面積為．故選：D8.瑞士數(shù)學家歐拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，是虛數(shù)單位，該公式被稱為歐拉公式.根據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是（）A.復(fù)數(shù)為實數(shù)B.對應(yīng)的點位于第二象限C.若，在復(fù)平面內(nèi)分別對應(yīng)點，，則面積的最大值為D.【答案】D【解析】【分析】由歐拉公式及復(fù)數(shù)相關(guān)概念計算逐項計算判斷即可.【詳解】對于A：，則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，故A錯誤；對于B：，因為，所以，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第一象限，故B錯誤；對于C：，，，，因此的面積為，因為，所以面積的最大值為，故C錯誤；對于D：，所以，故D正確.故選：D二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列有關(guān)復(fù)數(shù)的說法中（其中i為虛數(shù)單位），正確的是（）A.B.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為2C.若是關(guān)于的方程的一個根，則D.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為2【答案】BD【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運算法則，可判定A不正確；求得，可判定B正確；根據(jù)題意，得到方程的另一根為，進而求得，可判定C不正確；結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，可判定D正確.【詳解】對于A中，由復(fù)數(shù)的運算法則，可得，所以A不正確；對于B中，由復(fù)數(shù)，可得，可得虛部為，所以B正確；對于C中，由若是關(guān)于的方程的一個根，可得方程的另一根為，則，所以C不正確；對于D中，由復(fù)數(shù)滿足，可得在復(fù)平面內(nèi)表示以為圓心，半徑為的圓，又由表示圓上的點到原點的距離，可其最大值為，所以D正確.故選：BD.10.如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量．若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標系中的坐標，記．在上述坐標系中，若，，則（）A. B. C. D.與夾角的余弦值為【答案】AD【解析】【分析】由題設(shè)，且，利用向量數(shù)量積的運算律求、和，進而求夾角，即可判斷各項正誤.【詳解】由題意，，且，A正確；所以，則，，則，B錯誤；，故C錯誤；由上知：，D正確.故選：AD11.給出下列命題，其中正確的選項有（）A.若，，向量與向量的夾角為，則在上的投影向量為B.已知，，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是C.若，則是的垂心D.在中，向量與滿足，且，則為等邊三角形【答案】ACD【解析】【分析】A.利用在上投影向量的定義求解；B.根據(jù)與的夾角為銳角，由，且不共線且同向求解；C.由，得到判斷；D.由，且是的角平分線上的向量得到，再結(jié)合判斷.【詳解】A.因為，，向量與向量的夾角為，則，所以在上的投影向量為，故A正確；B.因為，，且與的夾角為銳角，，所以，且不共線且同向，即，且，解得，故B錯誤；C.因為，所以，即，所以是的垂心，故C正確；D.在中，因為向量與滿足，則，又是的角平分線上的向量，所以，又，所以，所以為等邊三角形，故D正確，故選：ACD12.在中，角，，的對邊分別為，，，下列四個命題中，正確的有（）A.當，，時，滿足條件的三角形共有1個B.若是鈍角三角形，則C.若，則D.若，，則面積的最大值為【答案】BD【解析】【分析】對于A選項利用正余弦定理即可，對于B選項分類討論即可，對于C選項利用切化弦化簡即可，對于D根據(jù)余弦定理結(jié)合三角形面積公式與基本不等式判斷即可.【詳解】對于A：由余弦定理有：……①，，，代入①式有：……②上式判別式，故②式無解，即不存在，故A錯誤.對于B：當時，；故顯然成立；當時，且，則，所以……③，對③式兩邊同乘以有；當時，；故顯然成立；綜上所述三種情況都有：恒成立，故B正確；對于C：當時，，當時，時，得不出，故C錯誤；對于D：若，，則由余弦定理，有.又，故，當且僅當時取等號.故，故D正確；故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量滿足，且，則與的夾角為_________．【答案】##【解析】【分析】利用向量垂直的條件及向量的夾角公式即可求解.【詳解】由，得，解得，設(shè)與的夾角為，則，因為，所以.所以與的夾角為.故答案為：.14.如圖所示的是用斜二測畫法畫出的的直觀圖（圖中虛線分別與軸，軸平行），則原圖形的面積是_____．【答案】40【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法還原原圖形，求出其面積.【詳解】根據(jù)題意，原圖形如下圖：的底邊AB的長為5，高為16，其面積為.故答案為：4015.海上某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東，距離為海里處；在處看燈塔，在貨輪的北偏西，距離為海里處；貨輪由處向正北航行到處時看燈塔在北偏東，則燈塔與處之間的距離為______海里.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定信息作出圖形，在中用正弦定理求，在中用余弦定理計算作答.【詳解】如圖所示，，，，，，在中，，，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，即燈塔與處之間的距離為海里.故答案為：16.趙爽是我國漢代數(shù)學家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》作注解時，給出了“趙爽弦圖”：四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大的正方形．如圖所示，正方形ABCD的邊長為，正方形EFGH邊長為1，則的值為______；______．【答案】①.6②.【解析】【分析】根據(jù)給定的“趙爽弦圖”，利用勾股定理求出的值，再利用向量數(shù)量積的定義求出，利用和角的正切求出作答.【詳解】依題意，全等，在中，，由得：，即，又，解得，；，所以.故答案為：6；四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量平行得出，進而由模長公式的得出的值；（2）根據(jù)向量垂直的坐標表示得出的值．【小問1詳解】由得，∴，∴【小問2詳解】由已知，又，∴，解得18.如圖所示，正方體的棱長為2，連接，，，，，得到一個三棱錐.求：（1）三棱錐的表面積與正方體表面積的比值；（2）三棱錐的外接球的表面積和體積.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）求出三棱錐的各條棱長，再求出三棱錐及正方體的表面積即可.（2）求出三棱錐外接球半徑，再求出球的表面積和體積.【小問1詳解】正方體的棱長為2，則，顯然三棱錐是正四面體，其表面積為，而正方體的表面積為，所以三棱錐的表面積與正方體表面積的比值為【小問2詳解】顯然三棱錐的外接球即為正方體的外接球，設(shè)球半徑為，則，即，所以三棱錐的外接球的表面積為，體積為.19.如圖，在中，已知為線段上一點，.（1）若，求實數(shù)，的值；（2）若，，，且與的夾角為120°，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量基本定理可得，整理可得結(jié)果；（2）根據(jù)平面向量基本定理可求得，，根據(jù)數(shù)量積的運算法則代入模長和夾角，整理可求得結(jié)果.【小問1詳解】由得：，∵，【小問2詳解】由得：∴又，，且與的夾角為120°，則所以20.在中，角，，所對的邊分別為，，，已知.（1）求角的大?。唬?）若，且外接圓半徑為，求邊上的高.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式化簡即得.（2）利用正弦定理求出邊c，利用余弦定理求出，再利用三角形面積公式計算即得.【小問1詳解】中，由及正弦定理，得，即，整理得，而，則，又，所以.【小問2詳解】由（1）知，，由正弦定理得，由余弦定理，得，解得，的面積，即，所以.21.某種植園準備將如圖扇形空地分隔成三部分建成花卉觀賞區(qū)，分別種植玫瑰花、郁金香和菊花；已知扇形的半徑為70米，圓心角為，動點在扇形的弧上，點在上，且.（1）當米時，求的長和郁金香區(qū)的面積；（2）綜合考慮到成本和美觀原因，要使郁金香種植區(qū)的面積盡可能的大；設(shè)，求面積的最大值.【答案】（1）米，平方米；（2）平方米.【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求出的長，再利用三角形面積公式計算得解.（2）在中，先利用正弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式，利用三角恒等變換化簡結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【小問1詳解】由，得，在中，，由余弦定理得，即，而，解得，，所以的長為米，郁金香區(qū)的面積平方米.【小問2詳解】由，得，，在中，由正弦定理得，則，因此，當時，，的面積取得最大值，所以面積的最大值為平方米.22.如圖，在中，已知，，，邊上的中點為，點是邊上的動點（不含端點），，相交于點.（1）求；（