高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)經(jīng)典說(shuō)課稿

一、關(guān)于教學(xué)目的的確定：

對(duì)導(dǎo)數(shù)這個(gè)概念的理解可為今后高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，但由于學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)極

限概念，對(duì)導(dǎo)數(shù)概念及其定義的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的理解比較困難，這種理解上的困難將影

響學(xué)生對(duì)后繼學(xué)問(wèn)的學(xué)習(xí)，因此，我從學(xué)問(wèn)、實(shí)力、情感等方面確定了本次課的教學(xué)目標(biāo)。

1＞學(xué)問(wèn)與技能：

通過(guò)大量的實(shí)例的分析，經(jīng)驗(yàn)由平均改變率過(guò)渡到瞬時(shí)改變率的過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知

道瞬時(shí)改變率就是導(dǎo)數(shù)。

2、過(guò)程與方法：

①通過(guò)動(dòng)手計(jì)算培育學(xué)生視察、分析\比較和歸納實(shí)力

②通過(guò)問(wèn)題的探究體會(huì)靠近、類比、以已知探求未知、從特別到一般、數(shù)形結(jié)合思想的數(shù)學(xué)思想方法

3、情感、看法與價(jià)值觀：

通過(guò)運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵，使學(xué)生駕馭導(dǎo)數(shù)的概念不再困難，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛(ài)好.

二、關(guān)于教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)：

為了達(dá)到以上教學(xué)目的，在詳細(xì)教學(xué)中，依據(jù)“按部就班原則”，我把這次課分為三

個(gè)階段：“概念探究階段”「'概念建立階段”；“概念鞏固階段”。下面我將對(duì)每一階段

教學(xué)中支配解決的主要問(wèn)題和教學(xué)步驟作出說(shuō)明。

（一）”概念探究階段”

1,這一階段要解決的主要問(wèn)題

在這一階段的教學(xué)中，由于留意到學(xué)生在起先接觸導(dǎo)數(shù)這個(gè)概念時(shí)，總是以靜止的觀

點(diǎn)來(lái)理解這個(gè)描述改變過(guò)程的動(dòng)態(tài)概念，總覺(jué)得與以前學(xué)問(wèn)相比，接受起來(lái)有困難，好像

這個(gè)概念是突然產(chǎn)生的，甚至于不明概念所云，故我在這一階段支配主要解決這樣幾個(gè)問(wèn)

題：

①使學(xué)生從熟識(shí)的物理學(xué)問(wèn)入手，以物體的平均速度改變趨勢(shì)的觀點(diǎn)無(wú)限靠近的思想

理解瞬時(shí)速度，從而發(fā)覺(jué)導(dǎo)數(shù)的過(guò)程；

②使學(xué)生形成對(duì)導(dǎo)數(shù)的初步相識(shí)；

③使學(xué)生了解學(xué)習(xí)概念的導(dǎo)數(shù)必要性。

2.本階段教學(xué)支配

我實(shí)行溫故知新、推陳出新的教學(xué)過(guò)程，分三個(gè)步驟進(jìn)行教學(xué)。

①溫故知新

由于探討數(shù)列極限首先應(yīng)對(duì)數(shù)列學(xué)問(wèn)有一個(gè)清晰的了解，因此在詳細(xì)教學(xué)中通過(guò)對(duì)教

案中5個(gè)詳細(xì)數(shù)列通項(xiàng)公式的思索讓學(xué)生對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式這個(gè)概念產(chǎn)生回憶，指出以前探

討數(shù)列都是探討的有限項(xiàng)的問(wèn)題，現(xiàn)在起先探討無(wú)限項(xiàng)的問(wèn)題。然后引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)列

是自變量為自然數(shù)的函數(shù)，通項(xiàng)公式就是以n為自變量的、定義域?yàn)樽匀粩?shù)集的函數(shù)冊(cè)的

解析式。再引導(dǎo)學(xué)生回憶探討函數(shù)，事實(shí)上探討的就是自變量改變過(guò)程中，函數(shù)值改變的

狀況和改變的趨勢(shì)，并以第［2］的數(shù)列「'為例說(shuō)明：當(dāng)n=2、3、4、5時(shí)，對(duì)應(yīng)的

!■、1、就說(shuō)明自變量由2增加到5時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就由，減小到，這種改變狀況。

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若問(wèn)自然數(shù)n始終增加下去，函數(shù)a,,應(yīng)怎樣改變下去，這就是探討改變的趨勢(shì)。

這樣利用通項(xiàng)公式就可把數(shù)列改變趨勢(shì)問(wèn)題與函數(shù)值改變趨勢(shì)問(wèn)題有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，

引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)值改變趨勢(shì)的角度來(lái)看待例題中五個(gè)數(shù)列的變換趨勢(shì)。通過(guò)這種探討，在

對(duì)改變趨勢(shì)這個(gè)概念的理解上發(fā)揮心理學(xué)上所提“無(wú)意留意”的作用，使學(xué)生對(duì)進(jìn)一步探

討的數(shù)列變換趨勢(shì)問(wèn)題不至于太生疏。

②推陳出新

在對(duì)5個(gè)數(shù)列改變趨勢(shì)的分析過(guò)程中，通過(guò)引導(dǎo)，由學(xué)生探討得到數(shù)列（2）、（3）、

（5）的共同特征，近而向?qū)W生說(shuō)明：“具有類似于數(shù)列（2）、（3）、（5）共性的數(shù)列稱為

有極限的數(shù)列，共性中的“趨近于一個(gè)確定的常數(shù)”稱它為有極限數(shù)列的極限”。并進(jìn)一

步和學(xué)生探討如何給數(shù)列的極限下定義，此時(shí)我依據(jù)學(xué)生狀況賜予提示，給出數(shù)列極限概

念的描述性說(shuō)明：當(dāng)項(xiàng)數(shù)無(wú)限增加時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)無(wú)限趨近于某一個(gè)確定的常數(shù)的數(shù)列稱為

有極限的數(shù)列，這個(gè)確定的常數(shù)稱為數(shù)列極限。

③劉徽及其《割圓術(shù)》的介紹

學(xué)生對(duì)數(shù)列極限概念有了肯定的相識(shí)，為了使學(xué)生相識(shí)到這個(gè)概念并不是突然產(chǎn)生

的，是和他們已有的學(xué)問(wèn)結(jié)構(gòu)親密相關(guān)的，為此在第一階段我設(shè)計(jì)了這一部分教學(xué)。

我一方面介紹了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)列極限思想所做的貢獻(xiàn)，如“在世界數(shù)學(xué)史上，

劉徽是最早運(yùn)用這種數(shù)列極限的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的大數(shù)學(xué)家。用這種指導(dǎo)思想計(jì)算圓面

積的方法，就稱為劉徽割圓術(shù).用類似劉徽割圓術(shù)的方法求出圓周率的近似值，雖然在公

元前3世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德也算出過(guò)，但所用的方法卻比劉徽所用的方法繁雜的

多。”

在另一方面重點(diǎn)結(jié)合計(jì)算機(jī)模擬劉徽割圓術(shù)，介紹這種算法的指導(dǎo)思想：“割之彌細(xì)，

所失彌少。割之又割，以至于不行割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”。通過(guò)課件動(dòng)態(tài)演示，

進(jìn)一步在“無(wú)意留意”作用的發(fā)揮上下文章，加深學(xué)生對(duì)“改變趨勢(shì)”、“趨近于”、“極限”

等概念的相識(shí)，為下一階段極限概念的教學(xué)供應(yīng)對(duì)這個(gè)概念感性相識(shí)的基礎(chǔ)。

（二）“概念速立階段”

1.這一階段要解決的任務(wù)

由于數(shù)列極限概念及其定義的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述具有高度的概括性、抽象性，學(xué)生初次

接觸很困難。詳細(xì)講，在￡/語(yǔ)言中，學(xué)生搞不清￡的兩重性——肯定的隨意性、相對(duì)的

確定性；學(xué)生搞不清“N”，不太理解N的實(shí)質(zhì)是表示項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大過(guò)程中的某一時(shí)刻，

從這一時(shí)刻起，全部an（n>N）,都聚集在以極限值A(chǔ)為中心，￡為半徑的鄰域中，N是否存

在是證明數(shù)列極限存在的關(guān)鍵。

因此在這一階段的教學(xué)中，我實(shí)行“啟發(fā)式談話法”與“啟發(fā)式講解法”，留意不“一

次到位”，這樣在本階段我設(shè)計(jì)解決的幾個(gè)主要問(wèn)題是：

①建立、理解數(shù)列極限的定義；

②相識(shí)定義中反映出的靜與動(dòng)的辨證關(guān)系；

③初步學(xué)習(xí)論證數(shù)列極限的方法。

2.本階段教學(xué)支配

本階段教學(xué)支配分三個(gè)步驟進(jìn)行。

①問(wèn)題的提出

在教學(xué)支配上，我依據(jù)學(xué)生形成對(duì)數(shù)列極限的初步相識(shí)，以數(shù)列

“1234n”

2'n+T9…

為例，提出一個(gè)學(xué)生形成極限概念時(shí)不好回答的問(wèn)題：依據(jù)數(shù)列極限定義直觀描述，這個(gè)

數(shù)列的極限是1,即當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)無(wú)限地趨近于1,問(wèn)題是為什么

不說(shuō)這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)無(wú)限地趨近于1.1,從而使學(xué)生發(fā)覺(jué)問(wèn)題在于自己已獲得的數(shù)列極限概

念中“無(wú)限趨近于”這一描述，這種描述比較含混，感到有必要對(duì)極限定義做進(jìn)一步精確

描述。

②問(wèn)題的解決

詳細(xì)講，由于數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離及其解析表示對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是很熟識(shí)的，故我在教學(xué)

中利用數(shù)軸引導(dǎo)學(xué)生先得出結(jié)論：“趨近于”是距離概念，距離的解析表示是肯定值，“無(wú)

限趨近于”就可用距離要多小有多小來(lái)表示。即數(shù)列項(xiàng)與確定常數(shù)差的肯定值要多小有多

小。

然后讓學(xué)生通過(guò)詳細(xì)計(jì)算如：“思索已知數(shù)列中是否有到1.1的距離為0.01的項(xiàng)？”

使學(xué)生知道已知數(shù)列的項(xiàng)不能與1.1的距離要多小有多小，即1.1不是已知數(shù)列的極限，

從而使學(xué)生對(duì)“要多小有多小”這一概念有了進(jìn)一步相識(shí)，并為量化|a「lI當(dāng)項(xiàng)數(shù)無(wú)限增

加時(shí)要多小有多小打下基礎(chǔ)。

③數(shù)列極限定義的得出

在“檢驗(yàn)'1'是否滿意：已知數(shù)列的項(xiàng)與1的差的肯定值是否要多小有多小”的教

學(xué)過(guò)程中，我實(shí)行“給距離找項(xiàng)數(shù)”的方法。

詳細(xì)講讓學(xué)生考慮已知數(shù)列中有哪些項(xiàng)與1的差的肯定值小于0.1、0.05、0.0011、

0.0001,讓學(xué)生把用計(jì)算器計(jì)算的結(jié)果在黑板上列表寫(xiě)出并說(shuō)明所得的結(jié)果，如提示學(xué)生

得出結(jié)論：“已知數(shù)列中第908項(xiàng)以后各項(xiàng)與1的差的肯定值小于0.0011。”這種探討的

目的是使學(xué)生感受到“N”是項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大的過(guò)程中的一個(gè)標(biāo)記，進(jìn)而說(shuō)明對(duì)于給定的

每一個(gè)正數(shù)，可找到N,當(dāng)n>N時(shí)，幅尸1|小于這個(gè)正數(shù)。進(jìn)而讓學(xué)生留意無(wú)論表示距離

的正數(shù)取的多么小，也不能說(shuō)成''要多小有多小”，而把詳細(xì)值改為￡后即可解決這個(gè)問(wèn)

題。

這樣通過(guò)探討，在我的引導(dǎo)下，使學(xué)生得到結(jié)論：“數(shù)列：

1234n

2'3'4"5'~n+\'■"

當(dāng)項(xiàng)數(shù)無(wú)限增大時(shí)，它的項(xiàng)越來(lái)越趨近于1”，也就是數(shù)列：

1234n

2'4'5........n+T'

的極限為1,并進(jìn)一步讓學(xué)生總結(jié)出一般數(shù)列的極限的精確定義。

（三）“概念鞏固階段”

1.本階段的教學(xué)支配

在這一階段的教學(xué)中我支配做兩件事情：

①說(shuō)明N、￡、|a-A在探討數(shù)列極限時(shí)所起的作用；

②是習(xí)題訓(xùn)練。

2.本階段的教學(xué)過(guò)程

依據(jù)上述說(shuō)明，這一階段分為兩個(gè)步驟。

①定義說(shuō)明

除了對(duì)極限概念予以說(shuō)明外為了加深學(xué)生對(duì)數(shù)列極限概念中N、￡、|a廠A|<￡的相識(shí)，

我讓學(xué)生探討問(wèn)題“隨意有極限的無(wú)窮數(shù)列能否使極限值為數(shù)列中的項(xiàng)”及“常數(shù)列是

否有極限”，當(dāng)學(xué)生有困難時(shí)，可通過(guò)舉數(shù)列

0,-1,0,....工sin"...”

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并提示其依據(jù)定義考慮問(wèn)題。這樣使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)由特別到一般再到特別的相識(shí)規(guī)律。

②習(xí)題訓(xùn)練

在學(xué)生對(duì)數(shù)列極限定義的初步駕馭的基礎(chǔ)上，為鞏固學(xué)生所學(xué)，我讓學(xué)生作課本例1,

練習(xí)這道題目的在于總結(jié)上一階段得到數(shù)列極限的過(guò)程，同時(shí)讓學(xué)生熟識(shí)數(shù)列極限定義的

應(yīng)用步驟；在此基礎(chǔ)上結(jié)合北大附中學(xué)生的特點(diǎn)我支配了例2,讓學(xué)生作這道題目的在于

通過(guò)對(duì)這道題的證明與探討可讓學(xué)生對(duì)等比數(shù)列｛1,q,q2,…q\…）收斂、發(fā)散性有一

個(gè)清晰的了解。在例2的處理手法上我讓學(xué)生先各抒己見(jiàn)，然后采納幾何畫(huà)板演示，驗(yàn)證

同學(xué)猜想，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲望。由于｛1,q,q2,…q\…｝和是今后學(xué)

23n

習(xí)過(guò)程中的常用數(shù)列，因此我覺(jué)得學(xué)生對(duì)例1、例2的駕馭的好壞將對(duì)后面的學(xué)習(xí)產(chǎn)生干

脆影響。

③補(bǔ)充說(shuō)明

對(duì)于較好的班級(jí)，還可考慮用直角坐標(biāo)系來(lái)代替數(shù)軸。由于數(shù)列是以自然數(shù)集子集

為定義域的特別函數(shù)，其圖象是離散的點(diǎn).這使得數(shù)列的項(xiàng)與點(diǎn)（r）,f（n））,即點(diǎn)（n,aj對(duì)

應(yīng)起來(lái).當(dāng)數(shù)列｛an｝有極限A時(shí)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)的幾何意義為：任給正數(shù)￡,存在一個(gè)

以直線丫=4+￡和y=A-￡為邊界的條形區(qū)域，存