正態(tài)分布 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

3.3正態(tài)分布湘教版選擇性必修二高二下冊(cè)200棵花高度的頻率分布直方圖花高度/mm頻率組距o2468頻率分布直方圖若將直方圖上端的中點(diǎn)都連接起來(lái)整個(gè)直方圖給我們什么樣的感覺(jué)？“中間高，兩頭低，左右對(duì)稱”

一、情境：二、試驗(yàn)：（1）球會(huì)掉入哪個(gè)球槽內(nèi)？（3）槽內(nèi)小球堆積的高度特征？（2）球會(huì)掉入哪個(gè)球槽內(nèi)的概率高？樣本容量增大時(shí)頻率分布直方圖

可以看出,當(dāng)樣本容量無(wú)限大,分組的組距無(wú)限縮小時(shí),這個(gè)頻率直方圖上面的折線就會(huì)無(wú)限接近于一條光滑曲線---正態(tài)曲線.頻率分布直方圖發(fā)現(xiàn)：密度曲線越來(lái)越像一條鐘形曲線【問(wèn)題2】通過(guò)剛剛的數(shù)據(jù)分析，你覺(jué)得哪些參數(shù)會(huì)影響這條曲線？平均數(shù)：表示這組數(shù)據(jù)總體的重心所在，

反映數(shù)據(jù)的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差：刻畫總體的離散程度，反映數(shù)據(jù)

與平均數(shù)之間的偏離程度?！締?wèn)題3】如圖建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，能否尋找到描述此鐘型曲線的函數(shù)？xyO定義：我們稱這樣“中間高，兩頭低”的鐘型曲線為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線。而具有這種性質(zhì)的隨機(jī)數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，稱為正態(tài)分布?！菊龖B(tài)分布定義】正態(tài)分布又通常被稱為高斯分布【正態(tài)分布的前世今生】德國(guó)馬克上的高斯頭像和正態(tài)分布曲線高斯簡(jiǎn)介：高斯被稱為“數(shù)學(xué)王子”，世人公認(rèn)的與牛頓、阿基米德、歐拉齊名的數(shù)學(xué)家。10歲發(fā)現(xiàn)了等差數(shù)列求和公式，11歲發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理，在19歲就發(fā)明了只用圓規(guī)和直尺作出正17邊形的方法，解決了兩千年來(lái)懸而未決的幾何難題。同時(shí)，他在數(shù)論、高等代數(shù)、復(fù)變函數(shù)、統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)、橢圓函數(shù)論都有重大貢獻(xiàn)。也是一名出色的物理學(xué)家和天文學(xué)家?！締?wèn)題4】根據(jù)正態(tài)曲線函數(shù)，能否再談?wù)勄€的幾何特征和與參數(shù)的關(guān)系？1、正態(tài)曲線的定義：下面結(jié)合函數(shù)解析式研究曲線特點(diǎn)，并分析參數(shù)和對(duì)曲線的影響：11μ（－∞，μ]（μ，+∞）（1）當(dāng)=時(shí),函數(shù)值為最大.(3)的圖象關(guān)于對(duì)稱.（2）的值域?yàn)?/p>

（4）當(dāng)∈時(shí)為增函數(shù).當(dāng)∈時(shí)為減函數(shù).012-1-2xy-33μ=0σ=1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線

=μ2、正態(tài)曲線的圖像特征、性質(zhì)：正態(tài)曲線的函數(shù)表示式例1、下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是（）

A.B.C.

D.B例題講解μ=0，σ=1正態(tài)曲線的函數(shù)表示式當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的函數(shù)表示式012-1-2xy-33μ=0σ=1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線14方差相等、均數(shù)不等的正態(tài)分布圖示

3

1

2σ=0.5μ=

-1μ=0

μ=

1若固定,隨值的變化而沿x軸平移,故稱為位置參數(shù)；正態(tài)密度曲線的圖像特征均數(shù)相等、方差不等的正態(tài)分布圖示

=0.5=1=2μ=0

若固定,大時(shí),曲線矮而胖；小時(shí),曲線瘦而高,故稱為形狀參數(shù)。正態(tài)密度曲線的圖像特征正態(tài)密度曲線的性質(zhì)（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交.（2）曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱.（3）曲線在x=μ處達(dá)到峰值(最高點(diǎn))012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2x=m012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5x=mx=m（4）曲線與x軸之間的面積為1正態(tài)密度曲線的性質(zhì)σ=0.5012-1-2xy-33X=μσ=1σ=2(6)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定.σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.（5）當(dāng)x<μ時(shí),曲線上升;當(dāng)x>μ時(shí),曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí),以x軸為漸近線,向它無(wú)限靠近.2025301510xy535練練:如圖，是一個(gè)正態(tài)曲線，試根據(jù)圖象寫出其正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的均值和方差。組距頻率組距o24681、直方圖的面積等于？2、曲邊梯形的面積怎么求?如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a<b,隨機(jī)變量X

滿足則稱X的分布為正態(tài)分布(normaldistribution).正態(tài)分布常記作：隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,則記為3、正態(tài)分布的定義：ab正態(tài)曲線下的面積規(guī)律（1）正態(tài)曲線下面積的意義：正態(tài)曲線下一定區(qū)間內(nèi)的面積代表變量值落在該區(qū)間的概率。整個(gè)曲線下的面積為1，代表總概率為1。曲線下面積的求法：定積分法和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布法（2）對(duì)稱區(qū)域面積相等。S(-,-X)S(X,

)＝S(-,-X)

4、服從正態(tài)分布隨機(jī)變量的概率：對(duì)稱區(qū)域面積相等。S(-x1,-x2)-x1

-x2

x2

x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)

233個(gè)特殊區(qū)間的概率:四、回歸實(shí)際區(qū)間取值概率（μ－σ，μ＋σ）68.3%（μ－2σ，μ＋2σ）95.4%（μ－3σ，μ＋3σ）99.7%3σ原則正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi),而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.26％,通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量只取之間的值，并稱為3σ原則．

在生產(chǎn)中，在正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)；

在測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果；

在生物學(xué)中，同一群體的某一特征；……；

在氣象中，某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度以及降雨量等，水文中的水位；

總之，正態(tài)分布廣泛存在于自然界、生產(chǎn)及科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域中。正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要地位。經(jīng)驗(yàn)表明，一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布。問(wèn)：什么樣的隨機(jī)變量服從正態(tài)分布呢？例2、某地區(qū)數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線如下圖：1、寫出的分布密度函數(shù)；2、求成績(jī)位于區(qū)間的概率是多少？3、求成績(jī)位于區(qū)間的概率是多少？4、若該地區(qū)有10000名學(xué)生參加考試，從理論上講成績(jī)?cè)?6分以上的考生有多少人？204060

80

100yxO課本74頁(yè)練1變式而來(lái)

應(yīng)用示例0.0228x10000=228練習(xí)、設(shè)正態(tài)總體落在區(qū)間和區(qū)間內(nèi)的概率相等，落在區(qū)間內(nèi)的概率為，求該正態(tài)總體對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的最高點(diǎn)的坐標(biāo)。29例3、在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)服從一個(gè)正態(tài)分布，即~N(90,100).（1）試求考試成績(jī)位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少？（2）若這次考試共有2000名考生，試估計(jì)考試成績(jī)?cè)?80,100)間的考生大約有多少人？練習(xí)：已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生的成績(jī)X~N，據(jù)此估計(jì)，大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)？（）(90,110]B.(95,125]C.(100,120]D.(105,115]A2、已知X~N(0,1)，則X在區(qū)間內(nèi)取值的概率等于（）A.0.9544B.0.0456C.0.9772D.0.02283、設(shè)離散型隨機(jī)變量X~N(0,1),則=

,=

.4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).D0.50.954431解:因?yàn)閄～N(5,1),又因?yàn)檎龖B(tài)密度曲線關(guān)于直線x=5對(duì)稱,4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).5、把一個(gè)正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位，得到新的一條曲線b。下列說(shuō)法中不正確的是（）A.曲線b仍然是正態(tài)曲線；B.曲線a和曲線b的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等;C.以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線a為概率密度曲線的總體的期望大2;D.以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a為概率密度曲線的總體的方差大2。D1、正態(tài)總體函數(shù)解析式：012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=22、正態(tài)曲線五、課堂小結(jié)3、正態(tài)曲線的性質(zhì)（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交.（2）曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱.（3）曲線在x=μ時(shí)位于最高點(diǎn).（4）當(dāng)x<μ時(shí)，曲線上升；當(dāng)x>μ時(shí)，曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以軸為漸近線，向它無(wú)限靠近.(5)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定.σ越大，