2023-2024學年山東省青島市即墨一中高一（下）第二次月考數學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年山東省青島市即墨一中高一（下）第二次月考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復數z滿足z1?i=i，其中i為虛數單位，則z=(

)A.1?i B.1+i C.?1?i D.?1+i2.下列說法正確的是(

)A.有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱

B.過空間內不同的三點，有且只有一個平面

C.棱錐的所有側面都是三角形

D.用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺3.在△ABC中，若(a?acosB)sinB=(b?ccosC)sinA，則這個三角形是(

)A.等腰三角形或直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等腰直角三角形4.用斜二測畫法得到一個水平放置的平面圖形OABC的直觀圖為如圖所示的直角梯形O′A′B′C′，其中梯形的上底長是下底長的12，若原平面圖形OABC的面積為32，則O′A′的長為(

)

A.22 B.2 C.15.若θ∈(0,π4),tan2θ=cosθ2?A.34 B.14 C.586.在等腰直角△ABC中，斜邊AC=22,M為AB的中點，D為AC的中點.將線段AC繞著點D旋轉得到線段EF，則MEA.?2 B.?32 C.?17.函數f(x)=sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2A.f(x)=sin(4x+π3) B.f(x)=sin8.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點，有四個結論：

①AP與CM是異面直線；

②AP，MN，DD1A.1

B.2

C.3

D.4二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.舟山某校為了加強食堂用餐質量，該校隨機調查了100名學生，根據這100名學生對食堂用餐質量給出的評分數據，分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結論正確的是(

)A.x=0.01

B.該樣本數據的中位數和眾數均為85

C.若樣本數據的平均數低于85分，則認為食堂需要整改，根據此樣本我們認為該校食堂需要整改

D.為了解評分較低的原因，該校從評分低于80分的學生中用分層抽樣的方法隨機抽取18人座談，則應選取評分在[50,60)的學生4人10.已知函數f(x)=3sinωxcosωx?sinA.當ω=2時，x=524π是y=f(x)的一條對稱軸

B.若|f(x1)?f(x2)|=2，且|x1?x2|min=π，則ω=12

C.11.已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ACB=90°,AA1=2AC=2BC=22,M,N，Q，G點分別為棱AA.直三棱柱ABC?A1B1C1外接球的半徑為2

B.三棱錐P?MNA的體積與P的位置無關

C.若P為B1C1的中點，則過A，M，P三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.抽取某校高一年級10名女生，測得她們的身高(單位：cm)數據如下：163?165?161?157?162?165?158?155?164?162，據此估計該校高一年級女生身高的第25百分位數是______．13.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c?2bsinC=0,B∈(0,π2),b=1,a=314.如圖，在正四棱臺ABCD?A1B1C1D1

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC的中點，M是PD的中點．

(1)求證：AE⊥平面PAD；

(2)若AB=AP=2，求點P到平面AMC的距離．16.(本小題15分)

已知向量a=(1,0)，b=(m,1)，且a與b的夾角為π4．

(1)求|a+2b|；

(2)若17.(本小題15分)

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，已知c=2，且a2+b2=43S+4．

(1)求C18.(本小題17分)

已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，|AD|=|DE|=4，|AB|=2，F為CD的中點．

(1)求證：AF//平面BCE；

(2)求證：平面BCE⊥平面CDE；

(3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值．19.(本小題17分)

在△ABC中，∠A，∠B，∠C對應的邊分別為a，b，c，bsinA+atanAcosB=2asinC．

(1)求A；

(2)奧古斯丁?路易斯?柯西，法國著名數學家.柯西在數學領域有非常高的造詣.很多數學的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式、柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關問題中有著廣泛的應用．

①用向量證明二維柯西不等式：(x1x2+y1y2)2≤(x12+y12)(x22+y22)；

②已知三維分式型柯西不等式：y1,答案1.A

2.C

3.A

4.B

5.D

6.D

7.C

8.C

9.ACD

10.BD

11.ABD

12.158

13.32或14.16π

15.(1)證明：因為底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，所以△ABC為正三角形，

因為E是BC的中點，所以AE⊥BC，

因為AD//BC，所以AE⊥AD，

因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE，

又PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，

所以AE⊥平面PAD．

(2)解：因為AB=AP=2，所以AD=AC=2，AE=3，

由勾股定理知，PD=PC=22，

所以PM=2，

在△PCD和△PCM中，由余弦定理得，cos∠CPM=8+8?42×22×22=8+2?CM22×22×2，解得CM=2，

在△AMC中，AM=2，AC=CM=2，

所以S△AMC=1216.(1)解：向量a=(1,0),b=(m,1)，可得|a|=1,|b|=m2+1，且a?b=m，

因為a與b的夾角為π4，可得a?b|a|?|b|=m1×m2+1=22，

解得m=1或m=?1(舍)，所以b=(1,1)，則a+2b=(1,0)+2?(1,1)=(3,2)17.解：(1)∵S=12absinC,a2+b2=43S+4，

∴a2+b2=23absinC+4，

由余弦定理，得a2+b2?c2=2abcosC，

∵c=2，∴a2+b2=4+2abcosC，

∴cosC=318.(1)證明：如圖取CE的中點G，連接FG、BG，F為CD的中點，

所以GF/?/DE且GF=12DE，

由AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

所以AB/?/DE，所以GF//AB，

又|AB|=12|DE|，所以|GF|=|AB|，

所以四邊形GFAB為平行四邊形，則AF/?/BG，

因為AF?平面BCE，BG?平面BCE，

所以AF//平面BCE；

(2)證明：因為△ACD為等邊三角形，F為CD的中點，

所以AF⊥CD，

因為DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，DE⊥AF，

因為BG/?/AF，所以DE⊥BG，BG⊥CD，

又CD∩DE=E，所以BG⊥平面CDE，

因為BG?平面BCE，

所以平面BCE⊥平面CDE；

(3)解：如圖：在平面CDE內，過F作FH⊥CE于點H，連接BH，

因為平面BCE⊥平面CDE，平面BCE∩平面CDE=CE，FH?平面CDE，

因為FH⊥平面BCE.所以∠FBH為BF和平面BCE所成的角，

因為|AD|=|DE|=4，|AB|=2，

則|FH|=|CF|sin45°=2，|BF|=|AB|2+|AF|2=4，

19.解：(1)依題意，sinBsinA+sinAtanAcosB=2sinAsinC，

即sinB+sinAcosAcosB=2sinC，

所以sinBcosA+sinA