不等式與實際問題的求解與應(yīng)用

不等式與實際問題的求解與應(yīng)用一、不等式的概念與性質(zhì)不等式的定義：用“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”等不等號表示兩個數(shù)之間大小關(guān)系的式子。不等式的性質(zhì)：不等式兩邊加（減）同一個數(shù)（或式子），不等號方向不變；不等式兩邊乘（除）同一個正數(shù)，不等號方向不變；不等式兩邊乘（除）同一個負數(shù)，不等號方向改變。二、不等式的解法解一元一次不等式：去分母；合并同類項；化系數(shù)為1。解不等式組：分別求出每個不等式的解集；根據(jù)“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則，確定不等式組的解集。三、不等式在實際問題中的應(yīng)用線性不等式：線性不等式的定義；線性不等式的解法；線性不等式在實際問題中的應(yīng)用。線性不等式組：線性不等式組的定義；線性不等式組的解法；線性不等式組在實際問題中的應(yīng)用。四、不等式的進一步應(yīng)用絕對值不等式：絕對值不等式的定義；絕對值不等式的解法；絕對值不等式在實際問題中的應(yīng)用。多項式不等式：多項式不等式的定義；多項式不等式的解法；多項式不等式在實際問題中的應(yīng)用。分式不等式：分式不等式的定義；分式不等式的解法；分式不等式在實際問題中的應(yīng)用。五、不等式與實際問題的綜合應(yīng)用經(jīng)濟問題：成本問題；利潤問題。生活問題：行程問題；分配問題?？萍紗栴}：比例問題；優(yōu)化問題。不等式的概念與性質(zhì)；不等式的解法；不等式在實際問題中的應(yīng)用；不等式的進一步應(yīng)用；不等式與實際問題的綜合應(yīng)用。習(xí)題及方法：一、不等式的概念與性質(zhì)習(xí)題1：判斷下列各式是否為不等式，并說明理由。3x+4=2x-15>2xx^2-3x+2=02x-5≤3不是不等式，因為沒有不等號。是不等式，因為含有不等號“>”。不是不等式，因為沒有不等號。是不等式，因為含有不等號“≤”。習(xí)題2：已知不等式2x-3<7，求x的取值范圍。將不等式兩邊加3得：2x<10再將不等式兩邊除以2得：x<5所以x的取值范圍是x<5。二、不等式的解法習(xí)題3：解不等式5x-2>3x+1。將不等式兩邊減3x加2得：2x>3再將不等式兩邊除以2得：x>1.5所以不等式的解集是x>1.5。習(xí)題4：解不等式組：2x-5>3x+4≤8解得：x>4解得：x≤4根據(jù)原則，取交集得：x=4所以不等式組的解集是x=4。三、不等式在實際問題中的應(yīng)用習(xí)題5：某商品的原價為200元，打8折后的價格不少于120元，求該商品打折后的價格范圍。設(shè)打折后的價格為p元，則有0.8*200≤p≤200計算得：160≤p≤200所以商品打折后的價格范圍是160≤p≤200。四、不等式的進一步應(yīng)用習(xí)題6：某數(shù)的平方大于等于10，求該數(shù)的取值范圍。設(shè)該數(shù)為x，則有x^2≥10開方得：x≥√10或x≤-√10所以該數(shù)的取值范圍是x≥√10或x≤-√10。習(xí)題7：解絕對值不等式|x-5|<3。分解為兩個不等式：x-5<3和-(x-5)<3解得：x<8和x>2取交集得：2<x<8所以不等式的解集是2<x<8。五、不等式與實際問題的綜合應(yīng)用習(xí)題8：某班級有男生和女生共60人，男生人數(shù)不少于女生人數(shù)的兩倍，求男生和女生的人數(shù)范圍。設(shè)男生人數(shù)為x，女生人數(shù)為y，則有x+y=60和x≥2y解得：y≤20和x≥40所以男生人數(shù)范圍是40≤x≤60，女生人數(shù)范圍是0≤y≤20。習(xí)題9：某工廠生產(chǎn)A產(chǎn)品和B產(chǎn)品，A產(chǎn)品每件利潤為20元，B產(chǎn)品每件利潤為30元。若工廠每天至少生產(chǎn)一件B產(chǎn)品，求工廠每天的最大利潤。設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，則有x+y≥1和總利潤為20x+30y由于A產(chǎn)品每件利潤較低，所以盡量少生產(chǎn)A產(chǎn)品，多生產(chǎn)B產(chǎn)品當(dāng)y=1時，最大利潤為30元。習(xí)題10：某商店進行打折活動，購買不超過2件商品時打8折，購買超過2件商品時打7折。若某顧客購買n件商品，求該顧客的最大折扣。當(dāng)n≤2時，最大折扣為8折；當(dāng)n>2時，最大折扣為7折。所以顧客的最大折扣取決于購買商品的數(shù)量，如果購買不超過2件商品，則最大折扣其他相關(guān)知識及習(xí)題：一、不等式的擴展絕對值不等式：習(xí)題11：解絕對值不等式|2x-5|>3。分解為兩個不等式：2x-5>3和-(2x-5)>3解得：x>4和x<1取并集得：x<1或x>4所以不等式的解集是x<1或x>4。分式不等式：習(xí)題12：解分式不等式(x-2)/(x+1)>0。分析分子和分母的符號變化，得到兩個區(qū)間：x<2和x>-1根據(jù)分式的性質(zhì)，當(dāng)分子和分母同號時，分式大于0所以解集是(-1,2)。二、不等式的應(yīng)用線性規(guī)劃：習(xí)題13：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)A產(chǎn)品每件利潤為20元，生產(chǎn)B產(chǎn)品每件利潤為30元。若工廠每天最多生產(chǎn)5件A產(chǎn)品和8件B產(chǎn)品，求工廠每天的最大利潤。設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，則有20x+30y≤最大利潤根據(jù)條件列出不等式組：x≤5,y≤8,x,y∈N利用線性規(guī)劃方法求解，得到最大利潤為240元，當(dāng)x=3,y=6時取得。最大值和最小值問題：習(xí)題14：求函數(shù)f(x)=2x-3在區(qū)間[1,4]上的最大值和最小值。首先求導(dǎo)數(shù)f’(x)=2，得到單調(diào)遞增區(qū)間為全體實數(shù)由于區(qū)間[1,4]完全包含在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，所以最小值為f(1)=-1，最大值為f(4)=5。三、不等式的綜合應(yīng)用經(jīng)濟利潤問題：習(xí)題15：某商品售價為100元，成本為60元，若商家進行打折促銷，打8折后的利潤不少于20元，求折扣最低限。設(shè)折扣為x，則有售價*x-成本≥利潤列出不等式100x-60≥20解得x≥0.8，即折扣最低限為8折。幾何問題：習(xí)題16：在直角坐標系中，點A(2,3)到直線y=2x+1的距離大于等于2，求點A的軌跡。利用點到直線的距離公式，得到不等式|2*2-3+1|/√(2^2+1^2)≥2化簡得到|4-3+1|≥2√5解得點A的軌跡為距離直線y=2x+1至少2√5個單位的點的集合。以上知