高中數(shù)學(xué)課堂講義：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

高中數(shù)學(xué)課堂講義：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

目錄

1.內(nèi)容和內(nèi)容解析..............................................................1

2.目標(biāo)和目標(biāo)解析.............................................................2

3.教學(xué)策略分析...............................................................2

4.教學(xué)過程設(shè)計(jì)...............................................................3

5.作業(yè)布置：.................................................................9

1.內(nèi)容和內(nèi)容解析

1,內(nèi)容：橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

2.內(nèi)容解析：

本節(jié)課是人教A版《普通高中教科書?數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第三章第一

節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容，其主要內(nèi)容是章引言、橢圓的概念與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立.

從本章知識(shí)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)看，橢圓、雙曲線、拋物線的研究背景、研究問題、

研究方法具有高度的相似性，橢圓的學(xué)習(xí)為后面研究雙曲線、拋物線提供了基

本模式，因而本單元的學(xué)習(xí)在全章的學(xué)習(xí)中具有基礎(chǔ)和示范性作用.本單元是培

養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)良好的知識(shí)載體，學(xué)生

通過動(dòng)手畫、觀察抽象圖形的幾何特征，直觀感知橢圓形狀，選擇適當(dāng)?shù)钠矫?/p>

直角坐標(biāo)系，建立橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，從而為研究橢圓的幾何性質(zhì)做好鋪墊,培養(yǎng)了

學(xué)生從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等思想，通過觀察-猜想-論證-應(yīng)用，不僅滲透了

研究新問題的科學(xué)方法，還提升了學(xué)生的思維品質(zhì)和科學(xué)的態(tài)度，通過師生交

流，生生交流與探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生積極動(dòng)手操作、勤于思考、善于思考，鼓

勵(lì)學(xué)生積極發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題,學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極

性，尊重學(xué)生的自我發(fā)現(xiàn)，落實(shí)新課標(biāo)中學(xué)生發(fā)展為本、立德樹人、提升素養(yǎng)

的理念.

在本節(jié)課中，“橢圓的概念”部分，先在問題"橢圓具有怎樣的幾何特性?”的

引領(lǐng)下進(jìn)行畫圖操作，從中發(fā)現(xiàn)橢圓的幾何特征，進(jìn)而獲得橢圓的概念，明晰

研究的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn)."橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”部分，先根據(jù)橢圓的幾何特征建立坐標(biāo)

系，然后通過代數(shù)運(yùn)算得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.上述過程體現(xiàn)了研究圓錐曲線的一

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般思路和方法，包括如何發(fā)現(xiàn)曲線的幾何特征、如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系、如何

簡(jiǎn)化和優(yōu)化方程.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：坐標(biāo)法，橢圓的幾何特征，橢

圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2.目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）了解圓錐線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問

題中的作用.

（2）經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程.

2.目標(biāo)解析:

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

（1）能通過觀察平面截圓錐認(rèn)識(shí)到:當(dāng)平面與圓錐的軸所成的角不同時(shí)，可

以分別得到圓、橢圓、雙曲線和拋物線,能通過實(shí)例知道圓錐曲線在生產(chǎn)、生活

中有廣泛的應(yīng)用.能初步認(rèn)識(shí)本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法與學(xué)習(xí)價(jià)值.

（2）能通過繪制橢圓的過程認(rèn)識(shí)橢圓的幾何特征，給出橢圓的定義，建立

適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，根據(jù)橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何條件列出橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的

方程，化簡(jiǎn)所列出的方程，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3.教學(xué)策略分析

1.已具備的認(rèn)知基礎(chǔ)：本課時(shí)的教學(xué)對(duì)象具有良好的知識(shí)儲(chǔ)備和較強(qiáng)的學(xué)習(xí)

能力.學(xué)生對(duì)坐標(biāo)法已有初步的認(rèn)識(shí)，通過直線和圓的方程的學(xué)習(xí)，對(duì)用坐標(biāo)法

研究曲線的基本思路與方法已有了解，學(xué)生具備較強(qiáng)的探究意識(shí)和團(tuán)隊(duì)合作意

識(shí)，有較好的語言表達(dá)能力，積累了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，具有較強(qiáng)的動(dòng)手實(shí)

踐能力.

2.可能存在的認(rèn)知困難：化簡(jiǎn)由橢圓的幾何特征直接得到的方程,這個(gè)方程

是二元無理方程，是初高中教材銜接的空白點(diǎn)，化簡(jiǎn)這個(gè)方程需要兩次兩邊平

方，并且涉及的字母多，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力要求較高.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡(jiǎn).

突破難點(diǎn)的關(guān)鍵：?jiǎn)栴}鏈引導(dǎo)學(xué)生對(duì)需要化簡(jiǎn)的式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析,

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對(duì)可能的方案進(jìn)行預(yù)判，選擇相對(duì)計(jì)算量小的方案進(jìn)行化簡(jiǎn)，在化簡(jiǎn)過程中遇

到的問題，通過小組合作探究解決.

3.教法分析

結(jié)合本課時(shí)的內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)情分析，本節(jié)課主要采用任務(wù)驅(qū)動(dòng)、問題啟發(fā)、

直觀演示的教學(xué)方法.本課時(shí)以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核

心素養(yǎng)為根本出發(fā)點(diǎn)，知識(shí)上以抽象生成橢圓的概念和直觀感受橢圓的對(duì)稱性,

化簡(jiǎn)橢圓方程為核心，思想方法上以坐標(biāo)法為核心，用例1和課堂測(cè)驗(yàn)作為課

堂反饋，以完成課前探究和課后作業(yè)作為課堂的延伸和拓展，充分增加課堂的

深度和廣度.

4.學(xué)法分析

學(xué)生主要采取自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)模式.在課前作業(yè)中既有全體參與

的活動(dòng)，也有小組合作的活動(dòng).在課堂教學(xué)中始終以學(xué)生為核心，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立

思考、敢于質(zhì)疑，通過小組合作、交流分享，突破難點(diǎn)，提升學(xué)生的合作探究

意識(shí)，提高分析問題、解決問題的能力.

5.教學(xué)支持條件

教師充分利用暢言智慧課堂教學(xué)輔助系統(tǒng)授課，利用該系統(tǒng)實(shí)時(shí)地展示學(xué)

生的探究過程和結(jié)果，讓每個(gè)學(xué)生參與到探究的過程中來，及時(shí)分享學(xué)生的不

同方法，充分發(fā)揮生生互評(píng)、師生互評(píng)的評(píng)價(jià)效能，引發(fā)學(xué)生更加深入的思考，

加深對(duì)新知的理解與應(yīng)用.

4.教學(xué)過程設(shè)計(jì)

教學(xué)流程：

情境引入，直觀感|=>歸納抽象，生成概口類比遷移，推導(dǎo)方

回顧反思，布置作<=1及時(shí)鞏固，典型例

1.情景引入，直觀感受圓錐曲線

引導(dǎo)語:前面我們用坐標(biāo)法研究了直線和圓.接下來我們研究一類新的曲線

圓錐曲線，它包含了橢圓、拋物線和雙曲線.

在課前我們留了兩項(xiàng)作業(yè)，一項(xiàng)是分小組完成的，有兩個(gè)問題：

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1.為什么橢圓、雙曲線、拋物線都稱為圓錐曲線？

2.圓錐曲線在實(shí)際生產(chǎn)生活中有哪些應(yīng)用？

另一項(xiàng)是全體同學(xué)完成的：

1.尋找生活中的橢圓.

2.用我們給定的工具畫一個(gè)橢圓.

每個(gè)小組及每個(gè)同學(xué)都很好的完成了任務(wù)，今天我們選三個(gè)小組進(jìn)行展示.

【設(shè)計(jì)意圖】布置課前預(yù)習(xí)作業(yè)，充分調(diào)動(dòng)全體學(xué)生學(xué)習(xí)探究的積極性和

主動(dòng)性，有利于開闊學(xué)生思路，提高課堂廣度和深度.分組活動(dòng)，有利于促進(jìn)小

組內(nèi)的相互合作，更有利于發(fā)揮學(xué)生的特長(zhǎng)，更廣泛更深入的探究自己小組的

課題.課堂上對(duì)課前小組活動(dòng)的評(píng)價(jià)，有利于提高學(xué)生的參與度，小組分享也是

對(duì)學(xué)生課前探究活動(dòng)的肯定.

問題1：為什么橢圓、雙曲線、拋物線都稱為圓錐曲線？

【師生活動(dòng)】請(qǐng)一個(gè)小組同學(xué)用Geogebra軟件給大家演示用平面截圓錐，

平面與圓錐的軸所成的角不同時(shí)，得到不同的截口曲線，并指出它們分別是橢

圓、拋物線、雙曲線.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生明確本章研究的主要內(nèi)容，對(duì)圓錐曲線有一個(gè)直觀的

認(rèn)識(shí),學(xué)生課前制作課件，課上演示，變被動(dòng)的接受為主動(dòng)的設(shè)計(jì)制作課件，讓

他們習(xí)慣借助幾何軟件研究問題.

問題2：圓錐曲線在實(shí)際生產(chǎn)生活中有哪些應(yīng)用？

【師生活動(dòng)】請(qǐng)一個(gè)小組通過視頻展示圓錐曲線在實(shí)際生產(chǎn)生活中的廣泛

應(yīng)用.

【設(shè)計(jì)意圖】通過讓學(xué)生課下搜集整理各種資料，去了解圓錐曲線在實(shí)際

生產(chǎn)生活中的應(yīng)用；通過課堂上分享視頻，讓學(xué)生再次感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)

實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用，視頻中展現(xiàn)的國(guó)家大劇院，國(guó)之重器的“天眼”,

特別是我國(guó)在航天航空取得的舉世矚目的成就，讓學(xué)生為祖國(guó)的強(qiáng)盛和進(jìn)步感

到驕傲和自豪的同時(shí)，也感受其中科技的力量，而科技的進(jìn)步離不開數(shù)學(xué)，將

課程思政融入課堂教學(xué).

問題3：為了讓神舟十二號(hào)降落在指定著陸場(chǎng)，科技人員需要實(shí)時(shí)測(cè)量神舟

十二號(hào)的軌道位置和軌道高度，體現(xiàn)著怎樣的數(shù)學(xué)方法？

【師生活動(dòng)】我們可以理解為科技人員獲得很多點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)這些點(diǎn)

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的坐標(biāo)隨時(shí)調(diào)整神舟十二號(hào)軌跡，以使得神舟十二號(hào)降落在預(yù)定著陸場(chǎng).這個(gè)過

程體現(xiàn)了坐標(biāo)法的獨(dú)特魅力.

【設(shè)計(jì)意圖】將課程思政更自然的融入數(shù)學(xué)教學(xué)不，以最近學(xué)生們最關(guān)注

的話題，用我們學(xué)過的知識(shí)和能理解的方式去解釋航天航空中的問題，讓學(xué)生

感到數(shù)學(xué)的巨大力量的同時(shí)，體會(huì)坐標(biāo)法的獨(dú)特魅力，并引出本節(jié)課主題："用

坐標(biāo)法研究橢圓及其方程

2.歸納抽象，生成橢圓的概念

問題4：首先我們一起來看看同學(xué)們找到的身邊的橢圓，大家注意觀察，大

家找到的圖形是我們今天要研究的橢圓嗎？

【師生活動(dòng)】老師播放視頻，展示同學(xué)們發(fā)現(xiàn)的身邊的橢圓.

【設(shè)計(jì)意圖】讓所有同學(xué)都參與到探究活動(dòng)中來，尋找身邊的橢圓，直觀

感受橢圓，體會(huì)橢圓與我們生活息息相關(guān).拓展課堂的廣度與深度，充分發(fā)揮同

學(xué)們的想象力和創(chuàng)造力.讓學(xué)生自己把自己帶入課堂的探究中來.

問題5：同學(xué)們，剛才視頻中的圖形有些不是橢圓，只是給我們一種橢圓形

的印象，那么什么樣的圖形是橢圓呢？它應(yīng)該具有怎樣的幾何特征？我們先從

畫橢圓開始研究吧.

【師生活動(dòng)】要求所有同學(xué)在課下利用我們提供的工具畫一個(gè)橢圓，并請(qǐng)

一個(gè)小組播放他們畫橢圓的視頻，在看視頻的過程中引導(dǎo)學(xué)生思考以下2個(gè)問

題：

（1）在這一過程中移動(dòng)的筆尖滿足的幾何條件是什么？

（2）若繩長(zhǎng)不變，將兩個(gè)釘子的距離拉大，這個(gè)圖形會(huì)有什么變化？

【設(shè)計(jì)意圖】要求學(xué)生用給定的工具：圖釘、線繩繪制給定的橢圓，探究

完成后，學(xué)生利用視頻分享研究成果，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)橢圓幾何特征的認(rèn)識(shí)，通過

在課堂上引導(dǎo)學(xué)生由此抽象出橢圓的定義，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，同

時(shí)為下節(jié)課研究橢圓的離心率做鋪墊.

問題6：你能根據(jù)畫橢圓的過程試著給出橢圓的定義嗎？

【師生活動(dòng)】學(xué)生嘗試給出橢圓的定義.在此基礎(chǔ)上，老師關(guān)注學(xué)生對(duì)定義

中相關(guān)用語的表述："平面內(nèi)""定點(diǎn)""距離之和""常數(shù)""常數(shù)之和大于兩定點(diǎn)之間

的距離”等的使用是否準(zhǔn)確.同時(shí)明確當(dāng)常數(shù)等于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)，點(diǎn)的軌跡是

線段，當(dāng)常數(shù)小于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在,在給出橢圓的概念的基

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礎(chǔ)上，教師再引導(dǎo)學(xué)生了解焦點(diǎn)、焦距、半焦距等概念.

【設(shè)計(jì)意圖】通過強(qiáng)化橢圓概念的抽象與建立過程，提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)

性與語言表達(dá)能力，同時(shí)讓學(xué)生獲得焦點(diǎn)、焦距等概念.

3.類比遷移，推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

問題7：給出橢圓的定義后，我們?cè)囍柚矫嬷苯亲鴺?biāo)系研究一下橢圓的

方程.還記得前面我們求直線和圓的方程的大致步驟嗎？

【師生活動(dòng)】通過提問，讓同學(xué)們回憶求直線和圓的方程的一般步驟，類

比給出求橢圓方程的步驟.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生明確思維的方向，通過復(fù)習(xí)舊知，為求橢圓方程搭

橋鋪路.

問題8：接下來我們類比求直線和圓軌跡方程的步驟，求一下橢圓的方程.

那怎樣建立坐標(biāo)系，才能使橢圓方程更簡(jiǎn)單？

【師生活動(dòng)】觀察橢圓發(fā)現(xiàn)它具有對(duì)稱性，并且過兩個(gè)焦點(diǎn)的直線是它的

對(duì)稱軸，所以以經(jīng)過橢圓兩焦點(diǎn)"心的直線為x軸，線段斗鳥的垂直平分線為)'

軸，建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)根據(jù)橢圓定義由用眉=2。，列出方程

yl(x-c)2+y2++V=2a

問題9:觀察一下這個(gè)方程的特點(diǎn)，你能不能設(shè)計(jì)一條合理的計(jì)算路徑，來

化簡(jiǎn)這個(gè)方程？

【師生活動(dòng)】引導(dǎo)學(xué)生先預(yù)測(cè)直接平方和先移項(xiàng)再平方兩種方案對(duì)后繼推

導(dǎo)的影響，對(duì)于學(xué)生提到其它方案，鼓勵(lì)學(xué)生作對(duì)比研究.

【設(shè)計(jì)意圖】在開始化簡(jiǎn)之前，先根據(jù)式子特點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)不同化簡(jiǎn)方案對(duì)

后繼推導(dǎo)的影響并選擇合理的化簡(jiǎn)方案，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

【師生活動(dòng)】讓學(xué)生們親自動(dòng)手去化簡(jiǎn)橢圓方程，先獨(dú)立思考，遇到問題

再小組討論，每個(gè)小組到白板上展示小組成果，全班分享有代表性的小組的化

簡(jiǎn)過程和結(jié)果.

【設(shè)計(jì)意圖】一方面真實(shí)體會(huì)不同方案對(duì)后繼推導(dǎo)的影響，提高自己數(shù)學(xué)

運(yùn)算的素養(yǎng).另一方面通過小組合作的形式突破難點(diǎn)，為后續(xù)雙曲線方程的化簡(jiǎn)

作好鋪墊.

問題10：剛才我們建立了橢圓的方程，實(shí)現(xiàn)了從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，現(xiàn)在同學(xué)

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們?cè)囍跈E圓上找出為0，七2一C?表示的線段，看看能不能再次實(shí)現(xiàn)從數(shù)到形的

轉(zhuǎn)化？

【師生活動(dòng)】讓學(xué)生試著在橢圓上找出a，。，必/表示的線段.

【設(shè)計(jì)意圖】通過說明。八。的幾何意義，進(jìn)一步解釋引進(jìn)人的合理性，體

會(huì)解析幾何的數(shù)形結(jié)合思想.

問題11:如果橢圓的焦點(diǎn)⑹鳥在卜軸上，那么橢圓的方程又是什么？

【師生活動(dòng)】學(xué)生先猜想，并討論猜想成立的依據(jù),引導(dǎo)學(xué)生從形的角度猜

想，也就是“軸）'軸交換了一下，從數(shù)的角度進(jìn)行證明，即從焦點(diǎn)在x軸上橢圓

標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中體會(huì)，焦點(diǎn)在>軸上的只是焦點(diǎn)坐標(biāo)從億°），（一?！蜃?yōu)?/p>

（0,c）,（0,-c）,所以原始的方程只是從J（X-C）2+1+J（X+C）2+），2=2"變?yōu)?/p>

G+（y-cy+Jx2+（y+c）=2a,所以只是將x和N交換了一下，從而得到了焦點(diǎn)

H——=1（。>/7>0）

在）’軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：/b-.接下來，讓學(xué)生對(duì)兩種方程進(jìn)行

對(duì)比分析，強(qiáng)化對(duì)橢圓兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的理解.

【設(shè)計(jì)意圖】首先讓學(xué)生根據(jù)形去猜想，再從數(shù)的角度類比焦點(diǎn)在x軸上方

程的推導(dǎo)過程進(jìn)行驗(yàn)證，不僅使學(xué)生加深對(duì)橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，而且

使學(xué)生體會(huì)類比的思想方法，為后面雙曲線、拋物線的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

4.及時(shí)鞏固，解決典型問題

例1已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（一2，°），（2,0）,并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)12'2九

求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立完成后，通過暢言智慧課堂提交，選取典型答案全

班交流，由學(xué)生分享兩種不同的方法.一種方法是根據(jù)橢圓定義，求點(diǎn)〔2'2J到

兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和，從而得到2。，再根據(jù)。心。的關(guān)系求出小，從而求出標(biāo)準(zhǔn)

二+工=15”>0）住一。］

方程.另一種方法是設(shè)橢圓的方程為//,將點(diǎn)（22）的坐標(biāo)帶到

入方程，再根據(jù)a，"。的關(guān)系求出“，從而求出標(biāo)準(zhǔn)方程.

課堂測(cè)驗(yàn)：

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1.過點(diǎn)43,-2)且與橢圓豆+1=1有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為()

X2222222

--1--y-=1.-X--1y—1-X--1y_=1-x--F

(A)1510(B)2520(C)1015(D)20

r2v2

-+———=1

2.橢圓10-加，〃-2的焦距為4,則加等于()

(A)4(B)8(c)4或8(D)12

--Fy2=1

3.如圖，AABC的頂點(diǎn)B,C在橢圓3'上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),

且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則43c的周長(zhǎng)是.

V/FJx

【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立完成，并通過暢言智宣課堂教訓(xùn)典逐提吆，師

D

生及時(shí)了解每個(gè)題的正答率，及時(shí)點(diǎn)評(píng)分析.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生及時(shí)鞏固橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，老師及時(shí)掌握

學(xué)生對(duì)當(dāng)堂課內(nèi)容的落實(shí)程度，并及時(shí)作出評(píng)價(jià)和講解.其中第1題為了考查橢

圓方程，第2題考查焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上的分類討論，第3題考查橢圓的定義

5.回顧反思，布置課后作業(yè)

小結(jié)：

1.學(xué)生小