高中數(shù)學(xué)構(gòu)造函數(shù)（導(dǎo)數(shù)單調(diào)性）

一、選擇題

1.已知函數(shù)Ax),p(x)在區(qū)間［a,上均有/(x)<4(M,則下列關(guān)系式中正確的是()

A.Xx)+/(d)>p(x)+［。)

B.KM-"怩戊刈-5(d)

C

D.Xa)-4。心"。)-g(a)

2.已知函數(shù)4x)定義在R上，f(x)是Kx)的導(dǎo)函數(shù)，且f(x)<i,/(1)=1,則不等式4MW+三的解集

222

為()

A.{也<?1}

B.{A|A>1}

C.{MA<-1或A>1}

D.{A|-1<A<1}

3.XM是定義在(0,+8)上的非負可導(dǎo)函數(shù)，且滿足“(M+癡女，對任意的正數(shù)a、b、若a<b,

則必有()

A.b1{b)<aKa)

B.bl［a)<aKb)

C.aKa)<bKb)

D.aM))<bKa)

4.若定義在R上的函數(shù)Ax)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),且滿足/(MX*,則X2015)與“2013)e2的大小關(guān)系

為()

A.42015)〃2013)e2

B./(2015)=X2013)e2

C.42015)X2013)e2

D.不能確定

5.已知y=Ax)是定義在R上的函數(shù)，且41)=1,心)>1,則4x)>x的解集是()

A.(0,1)

B.(-1,0)U(0,1)

C.(1,+s)

D.(-00,-1)U(1,+oo)

6.設(shè)函數(shù)/(川是奇函數(shù)Xx)(xeR)的導(dǎo)函數(shù)，八1)=0,當心。時，“(X)-4x)<0,則使得Ax)>0成

立的x的取值范圍是()

A.(-co,-1)U(O,1)

B.(-1,O)U(1,+8)

C.(-<?,-1)U(-1,0)

D.(O.l)U(l,+oo)

7.已知函數(shù)4x)(xGR)滿足%x)Xx),則()

A"2)<e2K0)

B.仁)氐2勒

C.@=e2施)

D.X2)>e2^0)

8.已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)4x)滿足川)=2,且AM的導(dǎo)數(shù)f(x)在R上恒有f(x)<l(xeR),則

不等式”x)<x+1的解集為()

A.(1,+oo)

B.(-oo,-I)

C.(-1,1)

D.(-00,-1)U(1,+oo)

9.函數(shù)Ax)的定義域為R,X-1)=2,對任意xeRJ(M>2,則4x)>2x+4的解集為()

A.(-1,1)

B.(-1,+oo)

C.(-oo,-1)

D.(-oo,+oo)

10.設(shè)Ax)、p(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當內(nèi)0時，，(x)p(x)+Ax)或x)>0，且?-3)

=0,則不等式Xx)p(M<0的解集是()

A.(-3,0)U(3,+8)

B.(-3,0)U(0,3)

C.(-oo,-3)U(3,+oo)

D.(-?),-3)U(0,3)

11.設(shè)函數(shù)耳*)=a是定義在R上的函數(shù)，其中Ax)的導(dǎo)函數(shù)/(X)滿足f(x)<AM對于xGR恒成

立，則()

A"2)"2觸"2016)*2。16仙

B.42)?2內(nèi))，42016)X20164。)

C.^2)<e2^0),^2016)<e20i6^Q)

D.A2)>e240),X2016)<e20i64。)

12.函數(shù)4x)的定義域為R,-2)=2017,對任意xCR,都有"x)<2x成立，則不等式KM>*+2

013的解集為()

A.(-2,2)

B.(-2,+oo)

C.(-oo,-2)

D.(-oo,+co)

13.設(shè)Ax),p(x)是定義在R上的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù)，且，(x)p(x)-4x)a(x)<0,則當a<x<b時有

()

A.4x)4x)>X0)a。)

B.4x)p(a)Xa)ax)

C.(x)4b)>4Z?)[x)

D./[x)g(x)>Ka)g(a)

14.定義域為R的可導(dǎo)函數(shù)y=Ax)的導(dǎo)函數(shù)，(x)滿足Kx)>f(x)，且仙=2,則不等式AM<2e*的解

集為()

A.(-00,0)

B.(-8,2)

C.(0,+8)

D.(2,+oo)

15.已知函數(shù)y=Kx)是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當x5-8,0)時，x/(x)4-x)成立(其中

f(x)是Nx)的導(dǎo)函數(shù))，若a=，b=M),c=(Iog2i)^log2i)，貝ija,b,c的大小關(guān)系是()

44

A.c>*b

B.c>b>a

C.a>b>c

D.^>c>b

16.已知"x)是定義在R上的奇函數(shù)，八1)二-1,且當A>0時，有M(x)>"x),則不等式Xx)>x的

解集是()

A.(-1,0)

B.(1,+功

C.(-1,O)U(1,+8)

D.(-oo1-1)U(1,+oo)

17.已知定義域為R的奇函數(shù)y="x)的導(dǎo)函數(shù)為y=f(x)，當用0時，f(x)+?>0，若H二解)，6

X

=?2八2),c=(lni)Xlni)，則a,6,c的大小關(guān)系正確的是()

A.a<c<b

B.b<c<a

C.a<b<c

D.c<a<b

18.已知定義在(0,5)上的函數(shù)Ax),f(x)為其導(dǎo)函數(shù)，且IxKaxAianx恒成立，則()

A.03<大0

63

B

43

C.&夭?>如)

64

D./(l)<2/(n)-sin1

6

19.設(shè)Ax)是定義在R上的奇函數(shù)，且解)=0,當心0時，有必匕?<0恒成立，則不等式Xx)>0

X2

的解集是()

A.(-l,0)U(l,+8)

B.(-1,0)U(0,1)

C.(-oo,-1)U(1,+oo)

D.(-o),-1)U(O,1)

20.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)Ax)的導(dǎo)函數(shù)為，(x),滿足，(x)〃x),且Ax+2)為偶函數(shù)，44)二

1,則不等式Ax)<ex的解集為()

A.(-2,+oo)

B.(0,+oo)

C.(1,+8)

D.(4,+oo)

21.函數(shù)的的定義域為R,-2)=2013,對任意x￡R,都有f(Mv2x成立，則不等式心)>聲+2

009的解集為()

A.(-2,2)

B.(-2,+oo)

C.(-oo,-2)

D.(-8,+8)

22.已知AM,p(x)都是定義在R上的函數(shù)，(沁,AM=axg(x),r⑴+r(_i)=

g(i)g(F

12,則〃2)等于()

3g⑵

A.a2

B.2.

a2

C.9

D.i

9

23.定義在(0,+8)上的單調(diào)遞減函數(shù)Kx),若AM的導(dǎo)函數(shù)存在且滿足3>-x,則下列不等式成

p(x)

立的是()

A.3"2)<2尺3)

B.3X3)>4X4)

C.3:4)v4@

D./(2)<2。)

24.已知定義域為R的奇函數(shù)Ax)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，當"0時，“M+⑻>0,若a=i/(i),b=-

x22

2;(-2),c=ln241n2),則下列關(guān)于a,/7,c的大小關(guān)系正確的是()

A.a>b>c

B.a>c^>b

C.c>b>a

D.b>Oa

25.已知Kx),p(x)都是定義在R上的函數(shù)，且滿足以下條件：

=g(x)(a>0,且存1);

②/x)對；

③4x)?或.

若f(i)+f(-i)=e,則a等于()

gM9(-，)2

A.i

B.5

4

C.2

D.2或三

2

26.已知Ax)是定義在R上的函數(shù)，且滿足。)=5,對任意實數(shù)x都有f(x)<3,則不等式4x)<3x+

2的解集為()

A.(-oo,0)

B.(0,+00)

C.(-8,1)

D.(1,+◎

二、填空題

27.已知函數(shù)Kx)是定義在R上的奇函數(shù)，其中")=0,且當A>0時，有蠟行)-"0,則不等式

4x)>0的解集是.

28.已知函數(shù)Ax)滿足Ax)=K-X),且當xe(-8,0)時，/(川+*/(*)<0,a=2。［"2。"),6=(In

2)/ln2),c=(log2i)u(log2i)，則a,Z?,c的大小關(guān)系是.

3S

29./U)是定義在(0,+8)上的非負可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf(x)-XA)>0,對任意正數(shù)m,n,若佗n,

則mRn)與6/n)的大小關(guān)系是mKn)〃X/n)(請用W,N或=)

30.函數(shù)Ax)的定義域為R,八1)=1,對任意xGR,/(%)>3,則Ax)>3x+4的解集為.

31.定義在R上的函數(shù)Ax)滿足Al)=1,且對任意xCR都有/(x)<i,則不等式Klgx)>igx+2的解集

33

為.

32.設(shè)函數(shù)Kx)是定義在(-8,0)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x),且有3/U)+x/(x)>0,則不等式

(x+2015)3仃+2015)+27八3)>0的解集是.

33.已知可導(dǎo)函數(shù)Ax)(xGR)的導(dǎo)函數(shù)/(x)滿足/(x)Xx),則不等式AMX0)ex的解集是.

34.設(shè)AM是定義在(-兀,0)U(0,兀)上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x),當0<A<n時J(x)cosx-

sinx4M>0,則不等式HMcosxcO的解集為.

35.已知函數(shù)y=i[x),對于任意的xG[0,2)滿足，(川cosx+AMsiiuX),則下列不等式中成立的有

①碑如“工)；②、國E)W?；③仙<\磔0；④人工)、弓如?

3464463

三、解答題

答案解析

1.【答案】B

【解析】據(jù)題意，由f(x)〈或x)得f(x)-。(川<0，故Hx)=AM-以x)在la，加上為單調(diào)遞減函數(shù)，

由單調(diào)性知識知，必有F｛亞Rb)，即4x)-^x)>Kb)-p(Z?),移項整理得：Xx)-Kb)>^x)-/加.

2.【答案】B

【解析】AX)<?+1,

22

??XM?￡*口，

22

令p(x)=Xx)-x,g(l)=i,

22

Ap(x)<p(l),,?R(M=f(x)-1<0,

2

???/X)為減函數(shù),：.X>1.

3.【答案】A

【解析】設(shè)￡x)=xXx),%e(0,+oo),

則c/(x)=x"x)+Hx)<0,

???]x)在區(qū)間xe(0,+8)單調(diào)遞減或[x)為常函數(shù)，

a<b,/.p(a)>p(d),艮|1a^a)>b/[t>).

4.【答案】C

【解析】令Hx)=e-xNx),

產(chǎn)(x)=e-Xf(x)-e-Vx)=e-4/(x)-Ax)),

??"(x)Xx),.?.尸(x)>0,

???Hx)在R上為增函數(shù)，

/.F(2015)>^2013),

；.e-2015A2015)>e-201342013),

，氏2015)X2013)e2.

5.【答案】C

【解析】設(shè)p(x)=AM-x,

因為<1)=1,f(x)>l,

所以/)=。)-1=0,Gf(x)=f[x)-1>0,

所以/X)在R上是增函數(shù)，且/1)=0.

所以Xx)>x的解集,即/x)>0的解集(1,+8).

6.【答案】A

【解析】記函數(shù)g(x)=f(x2,則d(x)=,因為當A>0時，xf{x)-XA)<0,故當A>0時，

Jrx2

或M<0,所以p(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減；又因為函數(shù)AM(xGR)是奇函數(shù)，故函數(shù)p(x)是偶函

數(shù)，所以口￥)在(-00,0)上單調(diào)遞增，且a-1)=。1)=0.當0<A<l時，3?>0,則Ax)>0；當A<

-1時，[川<0,則Xx)>0,綜上所述，使得4M>0成立的x的取值范圍是(-8,-l)U(0,l).

7.【答案】D

【解析】設(shè)Hx)=r(x),則F(X)=r'a)-r(x)>o,

，Hx)在R上為增函數(shù)，故&2)>只0),

?,力2戶八0),

e2eD

即@>e2X0).

8.【答案】A

【解析】不等式1可化為大x)-K1,設(shè)g(x)=Kx)-x,

由題意J(x)=f(x)-KO,]1)=41)-1=1,

故原不等式％x)<p(l),故A>1.

9.【答案】B

【解析】令5(x)=Ax)-(2x+4),

則0(x)=/(x)-2>o,

故在R上單調(diào)遞增.

又3-I)=H-1)-2=0,故當A>-1時，5(x)>0,即4x)>2x+4.

10.【答案】D

【解析】設(shè)Hx)=Xx)p(x),

■:當烈0時，戶(x)=/(x)[x)+心以(護0,

.??Hx)在A<0時為增函數(shù).

'/H-A)=X-x)4-x)

=-,

故Hx)為奇函數(shù)，，Hx)在(0,+8)上亦為增函數(shù).

已知3-3)=0,必有K-3)

=-H3)=0.

構(gòu)造如圖的Hx)的圖象，可知的解集為

xe(-8,-3)U(0,3).

11.【答案】C

【解析】???函數(shù)Hx)=g的導(dǎo)數(shù)

尸(x)=fams?=尸3-八<1<0,

(?x)2肝

???函數(shù)Hx)=g是定義在R上的減函數(shù)，

那

.,.H2)<H0),即?<段,故有X2)<e2^0).

同理可得(2016)?2。16?)).

12.【答案】C

【解析】令HM=Ax)-*-2OI3,

則尸(M="X)-2A<0,

，Hx)在R上為減函數(shù)，

又只_2)=八2)-4-2013=2017-2017=0,

...當烈-2時,-2)=0,

???不等式Xx)>*+2013的解集為(-8,-2).

13.【答案】C

【解析】因為[f⑸]'=r'Cr)g(x)-f(x)g'(x),

9(*)g2(*)

又因為"x)p(x)-AM0(x)<O,

所以3在R上為減函數(shù).

gW

又因為a<x<b,所以f(a)>f(*)>fs),

g(a)g(x)9(b)

又因為4川>0,]x)>0,所以Ax)a0)>Xb)p(x).

14.【答案】C

【解析】設(shè).<XX)=f(x),

產(chǎn)

則4(x)=r，(x)-f(x),

■:Ax)>f(x),

A^(x)<o,即函數(shù)單調(diào)遞減.

?"0)=2,??./())=仙=2,

則不等式等價于ax)</0),

???函數(shù)/x)單調(diào)遞減.

."-A>0，，不等式的解集為(0,+8).

15.【答案】A

【解析】：函數(shù)y=Ax)是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，

.,.當xd(-8,0)時，xf(x)<K-X)等價為xf⑻+Ax)<0,

構(gòu)造函數(shù)或=,

則O(M=xf(x)+Xx)<0,

，當xd-00,0)時，函數(shù)p(x)單調(diào)遞減，

且函數(shù)/X)是偶函數(shù)，

當xe(0,+8)時，函數(shù)#x)單調(diào)遞增，

則a=回@=人0,b=<1)=P(1),

c=(log2i)Xlog2i)=P(log2i)=J-2)=5(2),

444

,?,1<V3<2>

-,?P(1)<P(73)<P(2),

即txa<c.

16.【答案】C

【解析】：Kx)是定義在R上的奇函數(shù)，

令p(x)=3,...ax)為偶函數(shù)，

X

又當A>0時，M(x)>]x),

c/(x)=,

x2

.,./X)在(0,+8)上是增函數(shù)，在(-8,0)上是減函數(shù)，

又K-l)=-1,.'.^1)=1，5(1)=1,

當心0時，?.?不等式Ax)>x,

X

二有X>1;

當K0時，二不等式/W>X,

，ra)<i,即-1)，

X

有-1<A<0；

當x=。時，"0)=0,不等式Ax)>x不成立，

綜上，不等式4x)>x的解集是(-l,0)U(l,+00).

17.【答案】D

【解析】設(shè)"X)=xKx),a(x)=Nx)+xf(x)

=Af<(X)+r(x)],

X

時，f(M+?>0,

X

A>0時，0(M>O,

???ax)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

???/u)為奇函數(shù)，

:.b=-2/(-2)=2/(2),

c-(Ini)Xlni)=(-In2)八In2)=(In2)「n2),a-/(I)=1/(1),

Vin2<1<2,p(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

Ap(ln2)<p(l)<p(2),

即(In2)^In2)<Ul)<2^2),

c<a<b.

18.【答案】A

【解析】因為(0,n),所以sin*>0,cos%>0,

由KM</(Mtanx，得AMcos脛qMsinx,

即f(Msinx?XA)COSA>0.

令lx)=fg,(0,更)，

sinx2

則gf(x)=r'Cx)Sinx-f(*)cogx>0,

sin2x

所以函數(shù)[8在xe(o,?上為增函數(shù)，

則欠)<把)<[1)<兔),

643

即既<設(shè)<9</令

所以2a)<拒4冗)</1)<2人更),

64sinls/a3

所以0K)〃工)，、儂亦在3，

6343

在/⑵〈足)，Xl)>2^n)-sin1,

646

故A正確，B、C、D錯誤.

19.【答案】D

【解析】因為當出。時，有“3-3)<0恒成立,

即［皂立］'<0恒成立，

X

所以3在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減.

X

因為。)=0,

所以在(0,1)內(nèi)恒有Xx)>o;在(1,+8)內(nèi)恒有Ax)<0.

又因為Xx)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以在(-8,-1)內(nèi)恒有4M>0；在(-1,0)內(nèi)恒有Xx)<0.

不等式XM>0的解集為(-8,-l)U(O,l).

20.【答案】B

【解析】?；y=Xx+2)為偶函數(shù)，；”=心+2)的圖象關(guān)于x=0對稱，

?'?/=X*的圖象關(guān)于x=2對稱，

."4)="0),

又??F4)=1,???40)=1,

設(shè)p(x)=f(x)(%eR),

鏟

貝|J。(川=r'a)K-f(x)7=r'a)-f(x),

(02/

又?."(x)<Ax),f(x)-4x)<0,

，，y=p(M在定義域上單調(diào)遞減，

/[x)<ex,.,.p(x)<1,

又,.,5(0)=?=1,

屋

p(x)<p(O),.,.A>0.

21.【答案】C

【解析】令Jx)=KM-*-2009,貝ijsf(x)=f(x)-2/0,

二函數(shù)?x)在R上單調(diào)遞減，而4-2)=2013,

.?.3-2)=八2)-(-2)2-2009=0.

???不等式4x)>#+2009,可化為-2),

.'.A<-2,

即不等式XX)>A2+2009的解集為(-8,-2).

22.【答案】D

【解析】*.*M,

:.fw=ax,

gW

?."(x)[x)yx)a(M,

，[/⑶了=r'o)ga)-f(x)9，w<o,

g(x)a2(x)

即函數(shù)痣="單調(diào)遞減，即0<小1.

g(x)

又fa)+f(F=M,

9(1)g(-i)3

則2+a=io,解得a=三或a=3(舍去).

a33

即f(x)=(l)x,

ffW3

?'?f⑵=(仁2=3.

9(.2}39

23.【答案】B

【解析】設(shè)/x)=xKM,貝(J或川=Xx)+xf{x),

因為4x)為定義在(0,+8)上的單調(diào)遞減函數(shù)，

所以xe(0,+8)時，/(M<0,

由f(*)>-X得f(x)+A>0,則xf'a)+f(x)>0,

f'Wf'WfG)

則當e(o,+8)時,Kx)+x/(M<0,即W,

所以函數(shù)p(x)在(0,+8)上遞減，

則p(3)>p(4),即3K3)>4>4).

24.【答案】D

【解析】令Jx)=x4x),貝U1(X)=Xx)+xf(x).

?.,當"0時，/(x)+9>0,

X

：.當A>0時，xf(x)+AM>0,

即當心0時，a(x)>0,

因此當A>0時，函數(shù)或X)單調(diào)遞增.

?..函數(shù)Ax)為奇函數(shù),：.b=-2八2)=242),

又c=In241n2),

V2>ln2>i,

2

???p(2)>S(ln2)>p(i),

即b>c>a.

25.【答案】C

【解析】由①得f(x)=2_,

gMaX

flWg2w

由②ax)翔，③Nx)?以其"(M-p(x),

得/(xA/x)-Ax)?(MO,

可知[，(*)]'=r'(x)ga)-f(x)g，(xF。,

gWg2g

即函數(shù)型在R上單調(diào)遞減，

gW

即a>T.

若fa)+f(T)=W,

g(1)5(-1)2

貝!|±+_j_==+a=s,

aa-1a2

即2#-5a+2=0,解得a=2或a=',

Va>l,A^=2.

26.【答案】D

【解析】記5(X)=4A)-3X,

?.?對任意實數(shù)x都有f(x)<3,

：.Sf^=f(x)-3<Q,

??.[X)是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù).

?"1)=5,

‘貝)二”1)■3=5-3=2.

*?*XM<3x+2,

Xx)-3A<2,

Ap(x)<p(l).

???/x）是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，

AA>1.

27.【答案】(-1,O)U(1,+8)

[解析】=,

XX2

即冷。時，⑻是增函數(shù)，

X

當A>1時?>q)=0,Xx)>0；

X

0<A<1時,/t(*)<[1)=0,XA)<0.

x

又(X)是奇函數(shù)，

所以-1<A<O時，=-X-川>0；

A<-1時，"X)=-X-A)<0.

則不等式Ax)>0的解集是(-1,O)U(1,+00).

28.【答案】c<a<b

【解析】設(shè)函數(shù)/x)=Mx),由函數(shù)y=4x)是R上的偶函數(shù)，v=x是奇函數(shù)，

得/Xx)=MM是R上的奇函數(shù)，

由x@(-8,0)時，//(M=4x)+X/(A)<0成立，

.?./Xx)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

V3>2°i>l,0<ln2<1,

|log2i|=3>201>ln2,

s

即/j(3)</j(20.i)</j(ln2).

又a=20LW),6=ln(2)?仙12),

c=(log2i)-Xlog21),

88

c<a<b,

29.【答案】＜

【解析】令Hx)=f(X),

尸(x)=2_W(x)?Ax)],

X2

,**xf(角-<A)>0,

?e?F(A)>0,即Hx)是(0,+8)上的增函數(shù),

即當咫/7>0時，Rrri^Rri),

,從而m1[n)<nKnD.

nm

30.【答案】(-1,+8)

【解析】設(shè)&x)=4x)-(3x+4),

貝(1H-1)=A-1)-(-3+4)=1-1=0,

又對任意xGR,f(x)>3，二尸(川=f(x)-3>0,

，Hx)在R上是增函數(shù)，

.??Hx)>0的解集是(-1,+oo),

即Xx)>3x+4的解集為(-1,+oo).

31.【答案】(0,10)

【解析】\"(xR,

3

Af(x)-i<0,

3

???Xx)-莊在R上為減函數(shù).

3

設(shè)Hx)=Xx)?莊，則Hx)在R上為減函數(shù)，

3

?.?。)=1,???H1)=XD-1=1-1=0,

由/QgM-*+2>0，得,

3

???Hx)在R上單調(diào)遞減，

/.lgA<l,/.0<A<10,

.??原不等式的解集為（0,10）.