專題01 二次根式之十一大題型（解析版）-2024學年八年級數(shù)學下學期期末真題分類匯編人教版

專題01二次根式之十一大題型二次根式的判別例題：（23-24八年級上·福建廈門·期末）下列式子中，是二次根式的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查二次根式的判斷，熟練掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵；因此此題根據(jù)二次根式的定義“形如（）”可進行求解．【詳解】解：由題意可知是二次根式；故選：D．【變式訓練】1．（23-24九年級上·四川宜賓·期末）下列各式是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查二次根式的識別．解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的定義．根據(jù)二次根式的定義：形如的式子叫做二次根式，進行判斷即可．【詳解】解：由二次根式的定義可知：四個選項只有是二次根式，，的被開方數(shù)是負數(shù)，不符合題意，是3次根式，不符合題意；故選A．2．（22-23八年級上·新疆伊犁·期末）下列各式中，一定是二次根式的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查二次根式的定義：形如的式子叫二次根式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)逐個判斷即可得到答案【詳解】解：，故A選項不符合題意，根指數(shù)是3，故B選項不符合題意，∵，∴，故C選項不符合題意，∵，∴，故D選項符合題意，故選D．3．（22-23八年級下·浙江麗水·期末）下列式子一定不是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的定義，根據(jù)形如的式子叫二次根式進行判斷．【詳解】解：．是二次根式，故本選項不符合題意；B．是二次根式，故本選項不符合題意；C．是二次根式，故本選項不符合題意；D．中，不是二次根式，故本選項符合題意；故選：D．二次根式有意義的條件例題：（23-24八年級上·浙江寧波·期末）使有意義的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件為被開方數(shù)大于等于零即可．【詳解】解：若有意義，則，解得，故選：D．【變式訓練】1．（23-24八年級上·四川遂寧·期末）要使有意義，則的取值范圍是（

）A． B．是一切實數(shù) C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的定義，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)列式求解即可．【詳解】解：∵有意義，∴，∴．故選D．2．（23-24八年級上·四川瀘州·期末）使有意義的x的取值范圍是（）A．且 B． C．且 D．【答案】A【分析】本題考查了分式有意義的條件，分母不為0，二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0求解即可．【詳解】解：由題意得，且，解得且．故選：A．3．（23-24八年級上·湖南岳陽·期末）若有意義，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．且 B．且 C．且 D．且【答案】B【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0，分式有意義的條件是分母不為0是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵有意義，∴，∴且，故選：B．同類二次根式例題：（23-24九年級上·河南許昌·期末）下列各式中，能與合并的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查二次根式性質(zhì)、最簡二次根式定義、同類二次根式定義等知識，將選項中的二次根式化為最簡二次根式，再由同類二次根式定義判定即可得到答案，熟記二次根式性質(zhì)及同類二次根式定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：；；；與是同類二次根式，可以合并，故選：C．【變式訓練】1．（23-24八年級下·福建南平·期末）下列二次根式中能與合并的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了同類二次根式的定義，根據(jù)二次根式的性質(zhì)把各個二次根式化簡，根據(jù)同類二次根式的定義判斷即可，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】、由，則與可以進行合并，符合題意；、由，則與不可以進行合并，不符合題意；、由，則與不可以進行合并，不符合題意；、由，則與不可以進行合并，不符合題意；故選：．2．（23-24八年級上·山東德州·期末）下列二次根式中，與屬于同類二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了同類二次根式：二次根式化為最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，二次根式的性質(zhì)；把選項中不是最簡二次根式的化為最簡二次根式即可判斷．【詳解】解：，，則與是同類二次根式，故選：C．3．（23-24九年級上·山西臨汾·期末）下列與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了同類二次根式的定義，二次根式的化簡，正確理解同類二次根式的定義是解答本題的關(guān)鍵．把幾個二次根式化為最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式．根據(jù)同類二次根式的定義，即可判斷答案．【詳解】選項A，，與不是同類二次根式，不符合題意；選項B，，與是同類二次根式，符合題意；選項C，與的被開方數(shù)不相同，不是同類二次根式，不符合題意；選項D，與的被開方數(shù)不相同，不是同類二次根式，不符合題意；故選B．最簡二次根式的判別例題：（23-24九年級上·四川眉山·期末）下列式子中，屬于最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了最簡二次根式的判斷，掌握最簡二次根式滿足的條件：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，字母因式是整式；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式是解題關(guān)鍵．【詳解】解：A、被開方數(shù)的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；B、是最簡二次根式，符合題意；C、被開方數(shù)的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；D、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；故選：B．【變式訓練】1．（22-23八年級下·四川瀘州·期末）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了最簡二次根式的概念．最簡二次根式應該根號里沒分母（或小數(shù)），分母里沒根式．被開方數(shù)是多項式時，還需將被開方數(shù)進行因式分解，然后再觀察判斷．【詳解】解：A、，不是最簡二次根式，本選項不符合題意；B、，不能化簡，是最簡二次根式，本選項符合題意；C、，不是最簡二次根式，本選項不符合題意；D、，不是最簡二次根式，本選項不符合題意；故選：B．2．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）下列二次根式是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查最簡二次根式的定義，根據(jù)最簡二次根式的定義即可求出答案．【詳解】A選項：，故不是最簡二次根式；B選項：，故不是最簡二次根式；C選項：是最簡二次根式；D選項：，故不是最簡二次根式．故選：C．3．（22-23八年級下·云南迪慶·期末）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查最簡二次根式，掌握二次根式的性質(zhì)，理解最簡二次根式的定義是正確解答的前提．根據(jù)二次根式的性質(zhì)將二次根式進行化簡，再根據(jù)最簡二次根式的定義進行判斷即可．【詳解】解：是最簡二次根式，因此選項A符合題意；，因此選項B不符合題意；，因此選項C不符合題意；，因此選項D不符合題意；故選：利用二次根式的性質(zhì)化簡例題：（23-24八年級上·山東濟南·期末）下列各式中，不正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡，進而判斷得出答案．此題主要考查了二次根式的性質(zhì)，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：，故A選項不正確，符合題意；，故B選項正確，不符合題意；，故C選項正確，不符合題意；，故D選項正確，不符合題意；故選：A．【變式訓練】1．（23-24七年級上·山東淄博·期末）下列各組數(shù)中，相等的一組數(shù)是（

）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】D【分析】本題主要考查實數(shù)大小比較以及二次根式的性質(zhì)化簡，分別化簡各數(shù)后再進行比較即可．【詳解】解：A．，故選項Ａ不符合題意；B．，，所以，故選項Ｂ不符合題意；C．，故選項Ｃ不符合題意；D．，，所以，，故選項D正確，故選：D2．（23-24八年級上·吉林長春·期末）已知實數(shù)在數(shù)軸上的對應點位置如圖，則化簡的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的基本性質(zhì)，先把二次根式寫成絕對值的形式，再用絕對值的性質(zhì)化簡，最后計算．本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡、實數(shù)與數(shù)軸，掌握二次根式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由圖知：，，，原式．故選：．3．（23-24八年級上·江西吉安·期末）實數(shù)a、b在數(shù)軸上所對應的點如圖所示，化簡的結(jié)果是．【答案】【分析】本題考查了化簡絕對值，化簡二次根式，根據(jù)數(shù)軸上點的位置可得，得出，即可求解．【詳解】解：依題意，，，∴，∴，故答案為：．比較二次根式的大小例題：（23-24八年級上·陜西西安·期末）比較大?。海ㄌ睢?gt;”或“<”或“=”）．【答案】【分析】本題考查的是二次根式的大小比較，掌握二次根式的大小比較的方法是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，而，∴，故答案為：．【變式訓練】1．（23-24八年級上·湖南長沙·期末）比較大?。海ㄓ?、或連接）【答案】【分析】本題考查二次根式的大小比較，熟練掌握二次根式的大小比較的方法是解答的關(guān)鍵．將根號外的正因數(shù)平方后移到根號內(nèi)，計算出被開方數(shù)，再比較被開方數(shù)的大小，即可得到答案．【詳解】解：，，且，，即，故答案為：．2．（23-24八年級上·四川遂寧·期末）比較大?。ㄓ?，，號填寫）．【答案】【分析】本題考查了實數(shù)的大小比較，通過比較與的平方即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，，，∴．故答案為：．3．（23-24八年級上·四川成都·期末）比較大小：．【答案】【分析】本題考查了無理數(shù)的估算、二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．將化成，根據(jù)無理數(shù)的估算、二次根式的化簡可得，由此即可得．【詳解】解：，∵，，即，故答案為：．二次根式加減乘除混合運算例題：（23-24八年級下·福建南平·期末）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查二次根式的運算：（1）根據(jù)二次根式加減的運算法則計算即可；（2）根據(jù)二次根式四則混合運算法則計算即可．【詳解】（1）原式；（2）原式．【變式訓練】1．（22-23八年級下·云南昆明·期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查算術(shù)平方根、立方根，平方差公式以及實數(shù)的運算，理解算術(shù)平方根、立方根的定義，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征以及實數(shù)的運算法則是正確解答的前提．（1）根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的定義以及二次根式的性質(zhì)進行計算即可；（2）根據(jù)平方差公式，二次根式的運算法則進行計算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．2．（23-24八年級上·甘肅蘭州·期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查二次根式的混合運算：（1）根據(jù)二次根式的混合運算法則，進行計算即可；（2）先算完全平方公式和平方差公式，再合并同類二次根式即可．【詳解】（1）解：原式；（2）原式．3．（23-24八年級上·河南鄭州·期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．（1）直接化簡二次根式，再合并得出答案；（2）先利用平方差公式進行乘法運算，同時進行除法運算后化簡，進而得出答案；【詳解】（1）解：；（2）解：．已知字母的值，化簡求值例題：（23-24八年級上·福建福州·期末）先化簡，再求值：，其中

【答案】；【分析】本題主要考查了分式化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運算法則，先根據(jù)分式四則混合運算法則進行化簡，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可．【詳解】解：，把代入得：原式．【變式訓練】1．（22-23八年級下·山東菏澤·期末）已知，求代數(shù)式的值．【答案】3【分析】根據(jù)完全平方公式可以化簡題目中的式子，然后根據(jù)，可以得到，從而可以求得所求式子的值．【詳解】解：，，．【點睛】本題考查二次根式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式化簡求值的方法．2．（23-24八年級上·福建福州·期末）先化簡再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查分式的化簡求值，二次根式的運算，掌握分式和二次根式運算的運算法則是解題關(guān)鍵．先算括號里面的，然后算括號外面的，最后代入求值．【詳解】解：＝＝＝＝，當時，原式＝3．（22-23八年級下·新疆烏魯木齊·期末）已知，，求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得：，，，然后利用完全平方公式將轉(zhuǎn)化為，再代入相應的值計算即可；（2）利用平方差公式將將轉(zhuǎn)化為，再代入相應的值計算即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，，，∴；（2）由（1）知：，，∴．【點睛】本題考查二次根式的化簡求值，二次根式的性質(zhì)，完全平方公式，平方差公式，運用了恒等變換和整體代入的思想．解題的關(guān)鍵是對相應的運算法則的掌握．二次根式的分母有理化例題：（23-24八年級上·山東濟南·期末）[閱讀材料]把分母中的根號化去，使分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同時乘以同一個不等于0的數(shù)，以達到化去分母中根號的目的．例如：化簡．解：．[理解應用](1)化簡：；(2)若是的小數(shù)部分，化簡(3)化簡：【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）原式分子分母同時乘以有理化因式，化簡即可；（2）求出的整數(shù)部分，進而表示出小數(shù)部分確定出a，代入原式分母有理化計算即可；（3）原式各項進行分母有理化，計算即可求出值．【詳解】（1）解：（1）；（2）∵a是的小數(shù)部分，且，∴，∴；（3）．【點睛】本題考查了分母有理化、二次根式的混合運算、平方差公式和估算無理數(shù)的大小，熟練掌握平方差公式和二次根式的混合運算是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（23-24八年級上·貴州六盤水·期末）請你閱讀下列材料，并完成相應的任務(wù)．我們已經(jīng)知道，因此將分子、分母同時乘“”，分母就變成了4，例如：．(1)模仿材料中的計算方法，化簡______；(2)求解：；(3)為正整數(shù)，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了分母有理化，完全平方公式的變形求值：（1）仿照題意進行求解即可；（2）先證明，再把所求式子裂項，最后化簡即可得到答案；（3）先求出，進而得到，則可推出；求出，，得到，即可求出．【詳解】（1）解：，故答案為：．（2）解：，∴；（3）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴；∵，∴，∴，∴，∴．2．（23-24八年級上·福建福州·期末）小明在解決問題：已知，求的值.他是這樣分析與解的：，.請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：(1)觀察上面解答過程，請寫出；(2)化簡；(3)若，請按照小明的方法求出的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，分母有理化．（1）根據(jù)例題可得：對式子的分子和分母中同時乘以與分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同類二次根式即可求解；（2）將式子中的每一個分式進行分母有理化，問題隨之得解；（3）根據(jù)小明的分析過程，得得，，再整體代入，即可求出代數(shù)式的值．【詳解】（1）解：；故答案為：；（2）解：；（3）解：，，，即，，，．新定義型二次根式的運算例題：（22-23八年級下·遼寧葫蘆島·期末）對于任意不相等的兩個數(shù)，，定義一種運算“”如下，如，計算：．【答案】【分析】本題主要考查了實數(shù)的運算，直接利用題中新定義的運算公式代值求解，進而得出答案，正確理解題中新定義運算公式是解題關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：．【變式訓練】1．（22-23九年級上·山西長治·期末）對于任意的正實數(shù)和，我們定義新運算：，如：，求：的值．【答案】【分析】原式利用題中的新定義計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵，∴根據(jù)題中的新定義得：，即：．【點睛】此題考查了二次根式的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．2．（19-20八年級上·遼寧沈陽·期末）對于實數(shù)a、b，定義關(guān)于“”的一種運算，例如．(1)求的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由新定義運算得，再求算術(shù)平方根即可；（2）由新定義運算得方程組，再用加減法求解即可．【詳解】（1）解：．（2）解：依題意得：，由得：，∴，∴．【點睛】本題考查新定義，算術(shù)平方根，用加減法解二元一次方程組，理解新定義和熟練掌握加減法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵，注意整體思想的應用．3．（21-22八年級下·貴州安順·期末）定義：若多項式與都是常數(shù)，且滿足，，則稱這兩個多項式互為“黔一相依”多項式．(1)填空：的“黔一相依”多項式為______；(2)求證：若，多項式與多項式互為“黔一相依”多項式．【答案】(1)(2)見解析【分析】根據(jù)“黔一相依”多項式列方程組可得結(jié)論；先計算對應，，，，可得，，從而得結(jié)論．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，解得，的“黔一相依”多項式為，故答案為：；（2）證明：當時，，，，若，多項式與多項式互為“黔一相依”多項式．【點睛】本題考查了對新定義：“黔一相依”多項式的理解和掌握，二次根式的化簡等知識，解決本題的關(guān)鍵是理解“黔一相依”多項式的定義．二次根式中的規(guī)律探究問題例題：（23-24八年級上·貴州銅仁·期末）先觀察下列等式，再回答問題：①；②；③；(1)請你根據(jù)上面三個等式提供的信息，寫出第④個等式：__________；(2)請利用上述規(guī)律計算（仿照上式寫出過程）；(3)請利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算：【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了數(shù)式規(guī)律探究，二次根式的性質(zhì)與化簡，此題是一個閱讀題目，通過閱讀找出題目隱含條件．總結(jié)：找規(guī)律的題，都要通過仔細觀察找出和數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）從三個式子中可以發(fā)現(xiàn)，第一個加數(shù)都是1，第二個加數(shù)是個分數(shù)，設(shè)分母為，第三個分數(shù)的分母就是，結(jié)果是一個帶分數(shù)，整數(shù)部分是1，分數(shù)部分的分子也是1，分母是前項分數(shù)的分母的積．所以由此可得出第四個式子；（2）根據(jù)（1）找的規(guī)律進行計算即可；（3）根據(jù)規(guī)律得出算式，最后求出即可．【詳解】（1）解：；（2）解：根據(jù)規(guī)律得：；（3）解：．【變式訓練】1．（23-24八年級上·湖南岳陽·期末）觀察下列各式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；…根據(jù)上述規(guī)律，解答下面的問題：(1)若；則______，______．(2)的值為_________．(3)請寫出第n個等式（n是正整數(shù)，用含n的式子表示），并證明．【答案】(1)，；(2)；(3)，證明見詳解；【分析】（1）本題考查根式的規(guī)律，根據(jù)題目規(guī)律得到第8個等式，即可答案；（2）本題考查根式的規(guī)律，根據(jù)題目規(guī)律得到第100個等式：即可答案；（3）本題考查根式的規(guī)律，根據(jù)題目規(guī)律得到第個等式：，再證明即可【詳解】（1）解：由題意可得，，∴，，故答案為：，；（2）解：由題意可得，，故答案為：；（3）解：由題意可得，第n個等式為：，證明：左邊右邊，∴．2．（22-23八年級下·遼寧·期末）閱讀下列解題過程：第1個等式：．第2個等式：．第3個等式：．．．．．．．(1)按照你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請你寫出第4個等式：______；(2)按照你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請你寫出第（為正整數(shù)）個等式：______；(3)利用這一規(guī)律計算，．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)所列等式所呈現(xiàn)的規(guī)律進行解答即可；（2）由規(guī)律得出一般情況，用含有的式子表達即可；（3）利用規(guī)律進行計算即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意可得：第4個等式為：，故答案為：；（2）解：，，，，第（為正整數(shù)）個等式為：，故答案為：；（3）解：．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，掌握二次根式的性質(zhì)以及等式所呈現(xiàn)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（23-24九年級上·河南周口·期末）下列各式中，與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了同類二次根式，一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．根據(jù)同類二次根式的定義即可解答．【詳解】解：A．，與不是同類二次根式，本選項錯誤，不符合題意；B．與是同類二次根式，故本選項正確，符合題意；C．，與不是同類二次根式，本選項錯誤，不符合題意；D．，與不是同類二次根式，本選項錯誤，不符合題意．故選：B．2．（23-24八年級上·重慶沙坪壩·期末）估計的值在（）A．6到7之間 B．7到8之間 C．8到9之間 D．9到10之間【答案】C【分析】本題考查了二次根式的乘法，無理數(shù)的估算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)二次根式的乘法進行計算，再根據(jù)無理數(shù)的估算得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴估計的值在8到9之間，故選：C．3．（22-23八年級下·河北廊坊·期末）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查二次根式的加減乘除運算．利用二次根式的加減法的法則對A項和B項進行運算即可，利用二次根式的乘法和除法法則對C項和D項進行運算即可．【詳解】解：A、和，不是同類二次根式，不能合并，故此選項不符合題意；B、，故此選項不符合題意；C、，故此選項符合題意；D、，故此選項不符合題意；故選：C．4．（23-24八年級上·四川成都·期末）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最簡二次根式有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了二次根式的定義，根據(jù)最簡二次根式需要滿足兩個條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)不含能開方開的盡因式或因數(shù)，進行判斷即可．【詳解】解：①，②，③，④，⑤中，是二次根式的是，，共2個；故選B．5．（23-24八年級上·廣西桂林·期末）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》一書中，給出了下面的公式：如果一個三角形的三邊長分別為，則該三角形的面積為．已知的三邊長分別為，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式的應用，根據(jù)三角形的面積公式可求得結(jié)果，準確化簡二次根式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵的三邊長分別為，∴，故選：C．二、填空題6．（23-24八年級上·廣東深圳·期末）比較大?。海ㄌ睢啊?、“”或“”）【答案】【分析】本題考查了算術(shù)平方根和二次根式的大小比較，能選擇適當?shù)姆椒ū容^兩個數(shù)的大小是解此題的關(guān)鍵．先把根號外的因式移入根號內(nèi)，再比較即可．【詳解】解：，，∵，∴∴，故答案為：．7．（23-24八年級上·湖南長沙·期末）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，熟練掌握二次根式被開方數(shù)大于等于零、分式的分母不能為零是解題關(guān)鍵．根據(jù)分式有意義的條件，二次根式有意義的條件列不等式組求解即可．【詳解】解：∵在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，解得：且．故答案為：且．8．（23-24八年級上·山東濱州·期末）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件，熟悉掌握二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵有意義，∴，解得，故答案為：．9．（23-24八年級上·湖北十堰·期末）已知分別為等腰三角形的兩條邊長，且滿足，此三角形的周長為．【答案】【分析】本題考查了二次根式的意義、三角形三邊關(guān)系、等腰三角形的定義等知識，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由則即分別為等腰三角形的兩條邊長故該等腰三角形是以為腰，為底故周長為：故答案為：．10．（22-23八年級下·云南楚雄·期末）對于任意兩個不相等的正數(shù)，，定義一種運算，，例如，則．【答案】【分析】本題考查了實數(shù)的運算，分母有理化，理解定義的新運算是解題的關(guān)鍵．按照定義的新運算進行計算，即可解答．【詳解】解：由題意得：，故答案為：三、解答題11．（23-24九年級上·湖南衡陽·期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了二次根式混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運算法則，準確計算．（1）先根據(jù)二次根式性質(zhì)進行化簡，然后再利用二次根式加減運算法則進行計算即可；（2）根據(jù)二次根式性質(zhì)進行化簡，然后再利用二次根式加減運算法則進行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．12．（22-23八年級下·云南昆明·期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了二次根式的混合運算，能正確根據(jù)二次根式的運算法則進行計算是解此題的關(guān)鍵，注意運算順序．（1）根據(jù)二次根式的乘法和除法法則進行計算，再根據(jù)二次根式的加減法法則進行計算即可；（2）先根據(jù)平方差公式，完全平方公式和二次根式的性質(zhì)進行計算，再根據(jù)二次根式的加減法法則進行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）．13．（23-24八年級上·甘肅蘭州·期末）實數(shù)在數(shù)軸上的對應點表示出來如圖所示．請化簡：．

【答案】【分析】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，化簡算術(shù)平方根和絕對值，根據(jù)數(shù)軸上的數(shù)右邊比左邊的大，判斷出實數(shù)和式子的符號，再進行化簡即可．【詳解】解：由圖可知：，∴，∴原式．14．（23-24八年級上·廣西來賓·期末）先化簡再求值：，其中，．【答案】，【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，其關(guān)鍵步驟是分式的化簡，熟悉混合運算的順序是解題關(guān)鍵．先算括號，再根據(jù)分式計算法則化簡，代入x，y值即可計算．【詳解】解：原式當，時，原式．15．（23-24八年級上·山東青島·期末）計算：(1)；(2)；(3)如果規(guī)定“⊙”為一種新的運算：，例如：，仿照例子計算，當時，的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了二次根式的混合運算；（1）根據(jù)二次根式的除法進行計算即可求解；（2）根據(jù)二次根式的混合運算進行計算即可求解；（3）仿照例子根據(jù)二次根式的混合運算進行計算，即可求解．【詳解】（1）解：；（2）；（3）∵，∴．16．（23-24九年級上·四川宜賓·期末）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示．(1)化簡：_______；______．(2)若最簡二次根式與是同類二次根式，求a的值．【答案】(1)，(2)．【分析】本題主要考查最簡二次根及二次根式的化簡，數(shù)軸，解答的關(guān)鍵是對相應的知識的掌握．（1）由數(shù)軸可得，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行求解即可；（2）根據(jù)最簡二次根式和同類二次根式的定義列方程求解即可．【詳解】（1）由數(shù)軸得：，，．故答案為：，；（2）解：最簡二次根式與是同類二次根式，，解得：（不合題意，舍去）或．∴17．（22-23八年級下·江西贛州·期末）觀察下列含有規(guī)律的式子：①．，②．，③．，…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，完成下面各題：(1)按照這個規(guī)律，寫出第④個式子：__________；(2)若式子（為正整數(shù)）符合以上規(guī)律，則__________；(3)請你用含有正整數(shù)的式子，表示出你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：__________；(4)請你通過計算，驗證：當時，對應的式子是正確的．【答案】(1)(2