高教社杯全國大學生數學建模競賽

學生宿舍設計方案的綜合量化評價摘要本文的主要工作是對學生宿舍設計方案進行綜合量化評價與比較。本文應用層次分析法，結合實際情況及圖紙宿舍結構與數據，將方案的評定分為經濟性、舒適性和安全性構成準則層，具體設施情況構成子準則層，繪制層次結構圖。首先，考慮實際情況和圖紙數據，判斷子準則層的一些因素，運用層次分析法，得到子準則層的各因素在各種方案中的權重。其次，根據各種方案不同的住宿布局，用層次分析法得到各種方案在經濟性、舒適性和安全性的組合權向量，得到方案一為最佳方案。最后，為驗證模型的可行性，我們根據主觀意識確定經濟性、舒適性和安全性在某一個方案中的權重，求出的權重與相應的總權重向相乘，得到三方面的終極權重，而結果在一次驗證上面結論的準確性，方案一為最佳方案。關鍵詞：權重；層次分析法；綜合量化評定問題重述背景資料與條件學生在校的住宿環(huán)境直接或間接的影響著學生的生活、學習和健康成長。學校所在城市的地域、區(qū)位、文化習俗和經濟發(fā)展水平對宿舍的建筑成本、收費標準及學生宿舍的使用面積、布局和設施配置等都有著影響。宿舍的設計既要讓學生生活舒適，也要方便管理,還必須考慮經濟性包括（建設成本、運行成本和收費標準等）、舒適性（包括人均面積、使用方便、互不干擾、采光和通風等）和安全性（人員疏散和防盜等性等）問題。需要解決的問題附件是四種比較典型的學生宿舍的設計方案。用數學建模的方法就它們的經濟性、舒適性和安全性作出綜合量化評價和比較。問題分析隨著經濟的發(fā)展，學生的生活水平和住宿條件也在逐漸改善。學校在建設宿舍時不僅要考慮建筑成本，也要考慮如何設計才能讓學生生活舒適，怎樣的布局才更加合理，要配置哪些設施。對于這些問題，往往容易只考慮一兩個方面的內容。要對四個方案進行綜合量化的評價，等到較好的方案。通過層次分析法，考慮四種方案的經濟性、舒適性、安全性中的各個因素，建立了三個層次的結構模型。計算同層次所有因素相對上層次的權重，再進行一次性檢驗，最后將四種方案進行綜合評定?；炯僭O每種宿舍每平方米的建筑成本都相等。運營成本與其建筑面積之間的關系最大。采光和通風只與門窗的位置有關，不考慮其建造方位。防盜方面與宿舍所在城市的地域、區(qū)位、文化習俗和經濟發(fā)展水平有關。本文引用數據、資料均真實可靠。符號說明C.I.：一致性指標；R.I.：隨機一致性指標；CR：一致性比例；：第個準則層的第個因素的權重向量；：第個設計方案的第個影響因素的總權重值；：第個設計方案在某一因素中所占的權重值；

：建筑成本和電梯成本的權重值；：影響舒適性的一個小因素的權重值；：影響安全性的一個小因素的權重值；：經濟性、舒適性和安全性所得的權重值；：第個設計方案的第個影響因素的終極權重值；P：最終目標，綜合評價所得的設計方案模型的建立與求解5.1建立層次模型根據題目意思及附表給出的數據，我們將四種方案對比，考慮其經濟性、舒適性、安全性及其各方面的因素，等到下面三個層次的結構模型。子準則層準則層目標層綜合比較層舒適性子準則層準則層目標層綜合比較舒適性安全性經濟性占用寢室的面積客廳浴室和盥洗室廚房垃圾房餐廳開水房夜間自習室和活動室衛(wèi)生間寢室人員的相互影響陽臺通風樓梯個數經濟發(fā)展水平文化習俗電梯成本建筑成本5.2構造判斷矩陣首先，根據題目附表的4個設計方案列出了14個因素（即子準則層里的因素），對其進行權重，得到其正互反矩陣：⑴電梯成本的正互反矩陣為：權重14340.54551/314/34/30.18181/43/4110.13641/43/4110.1364用MATLAB對該矩陣進行求解，其權重向量：=(0.5455,0.1818,0.1364,0.1364)，在其運行程序中，得到這個矩陣的最大特征值是4.5隨即一致性指標的數值1234567891011000.580.901.121.241.321.411.451.491.51則計算其一致性指標：，計算一致性比例：即，該矩陣一致性較好。同理可得，⑵～⒁中不同的因素的正互反矩陣及其權重向量，在附表二，經檢驗各個矩陣一直性均較好。其次，我們對準則層中每一個因素的子準則層進行權重，得到準則層的正互反矩陣如下：經濟性的正互反矩陣：權重11/20.3333210.6667用MATLAB對該矩陣進行求解，其權重向量={0.3333,0.6667}，在其運行程序中，得到這個矩陣的最大特征值是2.0則計算其一致性指標：計算一致性比例：即，該矩陣一致性較好⒃舒適性的正互反矩陣：權重12/97/94/93/98/96/91/95/90.03939/217/223/2431/25/20.17679/72/714/73/78/76/71/75/70.05059/41/27/413/423/21/45/40.080432/37/34/318/321/35/30.11789/81/47/81/23/813/41/85/80.04423/21/37/62/31/24/311/65/60.05899274386150.35359/52/57/54/53/58/56/51/510.0707用MATLAB對該矩陣進行求解，其權重向量：={0.0393,0.1767,0.0505,0.0804,0.1178,0.0442,0.0589,0.3535,0.0707},在其運行程序中，得到這個矩陣的最大特征值是9.000則計算其一致性指標：計算一致性比例：即，該矩陣一致性較好⒄安全性的正互反矩陣：權重1230.54551/213/20.27271/32/310.1818用MATLAB對該矩陣進行求解，其權重向量={0.5455,0.2727,0.1818},在其運行程序中，得到這個矩陣的最大特征值是3.000則計算其一致性指標：計算一致性比例：即，該矩陣一致性較好最后，求解出各方案的三個重要因素的總的權重值對于方案一：經濟性的總權重值為=0.66670.5455+0.33330.4800=0.5237舒適性的總權重值為=0.03930.4800+0.17670.3077+0.5050.16+0.08040.3871+0.11780.3077+0.04420.48+0.05890.48+0.35350.3871+0.07070.24=0.4247安全性的總權重值為=0.54550.48+0.27270.48+0.18180.3529=0.4569對于方案二：經濟性的總權重值為=0.6670.1816+0.3330.18=0.1811舒適性的總權重值為=0.03930.16+0.17670.3077+0.05050.24+0.08040.0968+0.11780.0769+0.04420.12+0.05890.18+0.35350.0968+0.07070.12=0.1482安全性的總權重值為=0.54550.12+0.27270.12+0.18180.1765=0.1303對于方案三：經濟性的總權重值為=0.33330.24+0.66670.1364=0.1709舒適性的總權重值為=0.03930.24+0.17670.3077+0.05050.48+0.08040.129+0.11780.3077+0.04420.16+0.05890.24+0.35350.129+0.07070.16=0.2128安全性的總權重值為=0.54550.16+0.27270.24+0.18180.16=0.1818對于方案四：經濟性的總權重值為=0.33330.16+0.66670.1364=0.1443舒適性的總權重值為=0.03930.12+0.17670.0769+0.05050.12+0.08040.3871+0.11780.3077+0.04420.24+0.05890.12+0.35350.3871+0.07070.48=0.1006安全性的總權重值為=0.54550.16+0.27270.24+0.18180.16=0.18185.3綜合評定由于各種方案的總的權重值不具有明顯的差距，即無法對其它們的經濟性、舒適性和安全性作出綜合量化評價和比較，因此，我們在對每一種方案的經濟性、舒適性和安全性三個重要因素做出自己主觀上的評定，得到如下正互反矩陣：方案一的正互反矩陣權重11/32/30.18183120.54543/21/210.2727方案二的正互反矩陣權重13/21/20.27272/311/30.18182310.5454方案三的正互反矩陣權重12/31/30.18183/211/20.27273210.5454方案四的正互反矩陣權重1320.54541/312/3.018181/23/210.2727對此四個矩陣一致性檢驗我們參考表⒄安全性的正互反矩陣，它們的三個權重值的數值一樣，則根據MATLAB軟件可得它們的最大最大特征值是一樣的，即矩陣的一致性都較好。最終，算出各個方案的三個影響因素的終極權重值第一個方案：經濟性的終極權重值為=0.52370.1818=0.0952舒適性的終極權重值為=0.42470.5454=0.2316安全性的終極權重值為=0.45690.2727=0.1246第二個方案：經濟性的終極權重值為=0.18110.2727=0.0494舒適性的終極權重值為=0.14820.1818=0.0269安全性的終極權重值為=0.13030.5454=0.0711第三個方案：經濟性的終極權重值為=0.17090.1818=0.0311舒適性的終極權重值為=0.21280.2727=0.0580安全性的終極權重值為=0.18180.5454=0.0992第四個方案：經濟性的終極權重值為=0.14430.5454=0.0787舒適性的終極權重值為=0.10060.1818=0.0183安全性的終極權重值為=0.18180.2727=0.0496各個方案的終極權重值如下表：方案一方案二方案三方案四經濟性0.09520.04940.03110.0787舒適性0.23160.02690.05800.0183安全性0.12460.07110.09920.0496所以綜上所述：方案一的各項因素的權重值都比較大，則綜合評定設計方案一最為合理。六、模型的評價與推廣6.1模型的評價優(yōu)點：1.運用層次分析法建立多層次因素綜合評價方案，將定性指標定量化，能更好評價各個指標，使之具有可比較性，有說服力。2.對復雜的問題進行分解，逐層突破，且每一層運用常規(guī)思維，這樣就將復雜問題簡單化，逐層分解思維值得推廣；3.將繁雜的圖表信息轉化為簡單的數字信息，使之具有很好的可操作性；4.本文運用一些數學軟件使之計算量大大減少，同時也提高了靈敏度，具有很好的現實意義。缺點：由于主觀指標是反映人們主觀差異和變化的指標，是軟指標，這些差異和變化的內涵和外延不是很明確，以致在一些需要具有專業(yè)知識進行評估的方面，例如建筑成本，即存在一定的偏差。6.2模型的推廣我們的模型充分考慮影響選擇方案的各個因素，并對其根據所給的設計方案進行對比，整合，最終確定其比重，能夠很好的用于建筑行業(yè)，在對設計方案的選擇問題上能夠有一定可行性，也具有很好的現實意義；同時，對設計院而言，我們的模型能夠給他們做一定的參考，使之設計的方案更加合理，更加優(yōu)秀。與此同時，它能運用于整個交通運輸行業(yè)，在對路線的選擇的出問題上也能有一定的實際意義，綜上所述，我們的模型能廣泛的應用于國家的基礎建設設施的選擇問題上，即，具有很好的利用價值。致謝在此對各位評委老師致以崇高的敬意和中心的感謝參考文獻：[1]姜啟源謝金星葉俊，數學模型：第228頁，北京：高等教育出版社，2003.8；[2]趙東方，數學模型與計算：第304頁，北京：科學出版社，2007附錄附錄一⑵～⒂中不同的因素的正互反矩陣及其權重向量⑵寢室面積的正互反矩陣為權重13240.48001/312/34/30.16001/23/2120.24001/43/41/210.1200用MATLAB對該矩陣進行求解，其權重向量={0.4800,0.1600,0.2400,0.1200}⑶客廳的正互反矩陣為權重11140.307711140.307711140.30771/41/41/410.0769用MATLAB對該矩陣進行求解，其權重向量={0.3077,0.3077,0.3077,0.0769}⑷沐浴室和盥洗室的正反互矩陣為權重12/31/34/30.16003/211/220.240032140.48003/41/21/410.1200用MATLAB對該矩陣進行求解，其權重向量={0.1600,0.2400,0.4800,0.1200}⑸餐廳、廚房、垃圾房和開水房的正互反矩陣為權重14310.38711/413/41/40.09681/34/311/30.129014310.3871用MATLAB對該矩陣進行求解，其權重向量={0.3871,0.0968,0.1290,0.3871}⑹夜間自習室和活動室的正互反矩陣為權重14110.30771/411/41/40.076914110.307714110.3077用MATLAB對該矩陣進行求解，其權重向量={0.3077,0.0769,0.3077,0.3077}⑺衛(wèi)生間的正互反矩陣為權重14320.48001/413/41/20.12001/34/312/30.16001/223/210.2400用MATLAB對該矩陣進行求解，其權重向量={0.4800,0.1200,0.1600,0.2400}⑻陽臺的正互反矩陣為權重14310.38711/413/41/40.09681/34/311/30.129014310.3871用MATLAB對該矩陣進行求解，其權重向量={0.3871,0.0968,0.1290,0.3871}⑼樓梯的正互反矩陣為權重123/23/20.35291/413/43/40.17652/34/3110.23532/34/3110.2353用MATLAB對該矩陣進行求解，其權重向量={0.3529,0.1765,0.2353,0.2353}⑽樓層建設成本的正互反矩陣為權重13240.48001/312/34/30.16001/23/2120.24001/43/41/210.1200用MATLAB對該矩陣進行求解，其權重向量={0.4800,0.1600,0.2400,0.1200}⑾通風的正互反矩陣為權重123/21/20.24001/213/41/40.12002/33/411/30.160024310.4800用MATLAB對該矩陣進行求解，其權重向量={0.2400,0.1200,0.1600,0.4800}⑿經濟發(fā)展水平的正互反矩陣為權重14320.48001/413/41/20.12001/33/412/30.16001/223/210.2400用MATLAB對該矩陣進行求解，其權重向量={0.4800,0.1200,0.1600,0.2400}⒀文化習俗的正互反矩陣為權重14230.48001/411/23/40.12001/2213/20.24001/34/32/310.1600用MATLAB對該矩陣進行求解，其權重向量={0.4800,0.1200,0.2400,0.1600}⒁互不干擾的正互反矩陣為權重13240.48001/312/34/30.16001/23/2120.2401/43/41/210.1200用MATLAB對該矩陣進行求解，其權重向量={0.4800,0.1600,0.2400,0.1200}附錄二各種因素的矩陣的求解程序Matlab中的m文件程序1：A=[11/41/23/4;4123;1/2213/2;4/31/32/31];[v,s]=eig(A)sum=v(1,1)+v(2,1)+v(3,1)+v(4,1);B=[v(1,1)/sum;v(2,1)/sum;v(3,1)/sum;v(4,1)/sum]運行結果v=Columns1through3-0.1897-0.12150.3313-0.1550i-0.7589-0.48590.3313-0.1550i-0.56920.8503-0.8159-0.2530-0.1620-0.0082+0.2583iColumn40.3313+0.1550i0.3313+0.1550i-0.8159-0.0082-0.2583is=Columns1through34.5000000-0.50000000.0000+0.0000i000Column40000.0000-0.0000iv=Columns1through3-0.1897-0.12150.3313-0.1550i-0.7589-0.48590.3313-0.1550i-0.56920.8503-0.8159-0.2530-0.1620-0.0082+0.2583iColumn40.3313+0.1550i0.3313+0.1550i-0.8159-0.0082-0.2583is=Columns1through34.5000000-0.50000000.0000+0.0000i000Column40000.0000-0.0000iB=0.10710.42860.32140.1429程序3A=[1324;1/312/34/3;1/23/212;1/43/41/21];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.97730.83810.82040.97730.10860.27940.3041-0.10860.16290.4191-0.4331-0.16290.08140.2095-0.2166-0.0814s=000004.00000000-0.00000000-0.0000B=0.48000.16000.24000.1200程序4[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.90200.5714-0.71090.90200.30070.57140.7033-0.30070.30070.57140.0038-0.30070.07520.14290.0009-0.0752s=000004.000000000.000000000.0000B=0.30770.30770.30770.0769程序5A=[12/31/34/3;3/211/22;3214;3/41/21/41];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.65760.27940.6576-0.65760.32880.4191-0.32880.32880.65760.8381-0.65760.65760.16440.2095-0.16440.1644s=000004.000000000.000000000.0000B=0.16000.24000.48000.1200程序6A=[1431;1/413/41/4;1/34/311/3;1431];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.94060.6783-0.4299-0.20780.07840.1696-0.4697-0.06020.10450.22610.61420.44000.31350.67830.4662-0.8715s=-0.000000004.00000000-0.000000000.0000B=0.38710.09680.12900.3871程序7A=[1411;1/411/41/4;1411;1411];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.90200.5714-0.97070.90200.07520.14290.2401-0.07520.30070.57140.0052-0.30070.30070.57140.0052-0.3007s=000004.000000000.000000000.0000B=0.30770.07690.30770.3077程序8A=[1432;1/413/41/2;1/34/312/3;1/223/21];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.97730.8381-0.4699-0.31680.08140.2095-0.5134-0.09180.10860.27940.67130.67080.16290.41910.2548-0.6643s=-0.000000004.00000000-0.000000000.0000B=0.48000.12000.16000.2400程序9A=[1431;1/413/41/4;1/34/311/3;1431];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.94060.6783-0.4299-0.20780.07840.1696-0.4697-0.06020.10450.22610.61420.44000.31350.67830.4662-0.8715s=-0.000000004.00000000-0.000000000.0000B=0.38710.09680.12900.3871程序10A=[123/23/2;1/213/43/4;2/34/311;2/34/311];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.94220.68380.9422-0.90370.15700.3419-0.1570-0.00240.20940.4558-0.20940.30280.20940.4558-0.20940.3028s=000004.00000000-0.000000000.0000B=0.35290.17650.23530.2353程序11A=[1324;1/312/34/3;1/23/212;1/43/41/21];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.97730.83810.82040.97730.10860.27940.3041-0.10860.16290.4191-0.4331-0.16290.08140.2095-0.2166-0.0814s=000004.00000000-0.00000000-0.0000B=0.48000.16000.24000.1200程序12A=[123/21/2;1/213/41/4;2/34/311/3;2431];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.81070.4191-0.2316-0.10560.13510.2095-0.5061-0.06120.18020.27940.66170.44740.54050.83810.5023-0.8860s=-0.000000004.00000000-0.000000000.0000B=0.24000.12000.16000.4800程序13A=[1432;1/413/41/2;1/34/312/3;1/223/21];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.97730.8381-0.4699-0.31680.08140.2095-0.5134-0.09180.10860.27940.67130.67080.16290.41910.2548-0.6643s=-0.000000004.00000000-0.000000000.0000B=0.48000.12000.16000.2400程序14A=[1423;1/411/23/4;1/2213/2;1/34/32/31];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.97730.8381-0.0573-0.53220.08140.2095-0.1178-0.48100.16290.4191-0.73450.25650.10860.27940.66590.6478s=-0.000000004.000000000.00000000-0.0000B=0.48000.12000.24000.1600程序15A=[1324;1/312/34/3;1/23/212;1/43/41/21];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.97730.83810.82040.97730.10860.27940.3041-0.10860.16290.4191-0.4331-0.16290.08140.2095-0.2166-0.0814s=000004.00000000-0.00000000-0.0000B=0.48000.16000.24000.1200程序16A=[11/2;21];[v,s]=eig(A)sum=v(1,1)+v(2,1)B=[v(1,1)/sum;v(2,1)/sum]v=0.4472-0.44720.89440.8944s=2000sum=1.3416B=0.33330.6667程序17A=[12/97/94/91/38/96/91/95/9;9/217/223/2431/25/2;9/72/714/73/78/76/71/75/7;9/41/27/413/423/21/45/4;32/37/34/318/321/35/3;9/81/47/81/23/813/41/85/8;3/21/37/62/31/24/311/65/6;927438615;9/52/57/54/53/58/56/51/51];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2)+v(5,2)+v(6,2)+v(7,2)+v(8,2)+v(9,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum;v(5,2)/sum;v(6,2)/sum;v(7,2)/sum;v(8,2)/sum;v(9,2)/sum]v=-0.58390.0895-0.37340.00290.53770.60290.5839-0.5839-0.58390.32840.40290.8953-0.9611-0.2805-0.4474-0.32840.32840.32840.09380.11510.03440.0823-0.179