小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想滲透的研究模思想滲透的研究

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想滲透的研究摘要：數(shù)學(xué)建模是運用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實際問題的過程。目前小學(xué)尚未真正地開展數(shù)學(xué)建?；顒?。本文概述了小學(xué)數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)模型，如符號模型、方程模型、交軌模型、鴿籠模型、幾何模型等，并通過案例提出了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想的操作要點，即：培養(yǎng)學(xué)生把實際生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題的能力；提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)模型；模型的構(gòu)建一、研究緣起“數(shù)學(xué)建模”是近幾年在數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革中十分熱門的話題。數(shù)學(xué)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。數(shù)學(xué)建模則是聯(lián)系數(shù)學(xué)與生活的很好的橋梁。數(shù)學(xué)建?；顒釉诖髮W(xué)與中學(xué)中早已蓬勃地開展，尤其大學(xué)生的數(shù)學(xué)建模活動在世界上引起了巨大的效果，對促進(jìn)數(shù)學(xué)教育改革也起到了積極的作用。數(shù)學(xué)建?；顒拥闹匦膹拇髮W(xué)生向中學(xué)生、甚至到小學(xué)生轉(zhuǎn)移，是近年國際數(shù)學(xué)教育發(fā)展的一種趨勢。我國的義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“數(shù)學(xué)作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們的收集、整理、描述信息、建立模型，進(jìn)而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值”，

“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程將致力于使學(xué)生體會數(shù)學(xué)與自然及人類社會的客觀聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價值，增進(jìn)對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心，學(xué)會運用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，形成勇于探索，勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神，獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)事實，以及基本的思想方法和必要的應(yīng)用技能，其最終目的是為學(xué)生的終身可持續(xù)發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社.2001.1=2\*GB3②姜啟源等.數(shù)學(xué)模型[M].北京:高等教育出版社.2003.16”課標(biāo)首次提出了數(shù)學(xué)模型的概念，并且清楚地描述了數(shù)學(xué)建模的重要作用。國際數(shù)學(xué)界也普遍贊同，通過開展數(shù)學(xué)建模活動和在數(shù)學(xué)教學(xué)中推廣使用現(xiàn)代化技術(shù)來推動數(shù)學(xué)教育改革。中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社.2001.1=2\*GB3②姜啟源等.數(shù)學(xué)模型[M].北京:高等教育出版社.2003.16《新課標(biāo)》還強調(diào)：“從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步?！钡拇_，學(xué)生如果能夠自己動手用數(shù)學(xué)知識去解決幾個問題，哪怕是很簡單的問題，數(shù)學(xué)在他們心目中的價值以及他們對數(shù)學(xué)的興趣就會明顯上升。并且這樣做對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與實踐能力等等，都是十分有益的。二、研究設(shè)計（一）研究目標(biāo)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強滲透數(shù)學(xué)建模思想，關(guān)注學(xué)生親歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程，增強學(xué)生解決問題和創(chuàng)新實踐的能力，形成有效的數(shù)學(xué)建模方法的理論和策略，促進(jìn)學(xué)生的長足發(fā)展。立足課堂教學(xué)，探討小學(xué)階段如何開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)，同時在數(shù)學(xué)建模課堂案例的基礎(chǔ)上提出如何改進(jìn)教學(xué)效果，提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)的能力以及實踐與創(chuàng)新的能力。（二）概念界說1、數(shù)學(xué)建模的概念關(guān)于數(shù)學(xué)建模國內(nèi)外許多學(xué)者、專家都做了研究。有專家認(rèn)為數(shù)學(xué)建模是運用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實際問題的過程，已經(jīng)成為不同層次數(shù)學(xué)教育重要和基本的內(nèi)容。姜啟源教授等給數(shù)學(xué)建模下的定義是：“通過對實際問題的抽象、簡化，確定變量和參數(shù)，并應(yīng)用某些‘規(guī)律’建立起變量、參數(shù)間的確定的數(shù)學(xué)問題（也可稱為一個數(shù)學(xué)模型），求解該數(shù)學(xué)問題，解釋驗證所得到的解，從而確定能否用于解決問題多次循環(huán)、不斷深化的過程。②”簡而言之，就是建立數(shù)學(xué)模型來解決各種實際問題的過程。黃忠裕在《初等數(shù)學(xué)建?！分刑岢觯簲?shù)學(xué)建模是根據(jù)具體問題，在一定的假設(shè)下找出解決這個問題的數(shù)學(xué)框架，求出模型的解，對它進(jìn)行驗證的全過程。2、數(shù)學(xué)模型的概念高等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)模型（MathematicalModel）:對于現(xiàn)實中的原型，為了某個特定目的，作出一些必要的簡化和假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。也可以說，數(shù)學(xué)模型是利用數(shù)學(xué)語言（符號、式子與圖象）模擬現(xiàn)實的模型。把現(xiàn)實模型抽象、簡化為某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)模型的基本特征。它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實狀態(tài)，或者能預(yù)測到對象的未來狀況，或者能提供處理對象的最優(yōu)決策或控制。數(shù)學(xué)模型廣義地說，一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、方程式和算法系統(tǒng)都可以成為數(shù)學(xué)模型；各種數(shù)學(xué)分支也都可以看作數(shù)學(xué)模型。狹義地說指解決實際問題時所用的一種數(shù)學(xué)框架；是對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)其特有的內(nèi)在規(guī)律做出一些必要的簡化假設(shè)，并運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；不同于一般的模型，是用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實的一種模型，即把一個實際問題中某些事物的主要特征、主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)語言，近似地反映客觀事物的內(nèi)在聯(lián)系與變化過程③黃忠裕.初等數(shù)學(xué)建模[M].成都:四川大學(xué)出版社.2004.8③黃忠裕.初等數(shù)學(xué)建模[M].成都:四川大學(xué)出版社.2004.83、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模：(MathematicalModelling)把現(xiàn)實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來解釋現(xiàn)實問題，我們把數(shù)學(xué)知識的這一應(yīng)用過程稱為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建?？梢酝ㄟ^以下框圖體現(xiàn)：抽象地說,數(shù)學(xué)建模是運用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實際問題的過程。數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系實際問題與數(shù)學(xué)的橋梁，是各種應(yīng)用問題嚴(yán)密化、精確化、科學(xué)化的途徑，是發(fā)現(xiàn)問題，解決問題和探索新真理的工具。數(shù)學(xué)模型具有解釋、判斷、預(yù)測等重要功能，它在各個領(lǐng)域的應(yīng)用會越來越廣泛。其主要原因是：（1）社會生活的各個方面正在日益數(shù)量化，人們對各種問題的要求愈來愈精確；（2）計算機的發(fā)展為精確化提供了條件；（3）很多無法實驗或費用很大的實驗問題，用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究是一個有效途徑。很多像牛頓一樣偉大的科學(xué)家都是建立和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的大師，他們將各個不同的科學(xué)領(lǐng)域同數(shù)學(xué)有機地結(jié)合起來，在不同的學(xué)科中取得了巨大的成就。如力學(xué)中的牛頓定律，電磁學(xué)中的麥克斯偉方程組，化學(xué)中的門捷列夫周期表，生物學(xué)中的孟德爾遺傳定律等都是經(jīng)典學(xué)科中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的光輝范例。（三）理論依據(jù)以瑞士著名心理學(xué)家皮亞杰和前蘇聯(lián)心理學(xué)家維果茨基為代表的建構(gòu)主義（constructivism）學(xué)習(xí)理論,是數(shù)學(xué)建模的理論基礎(chǔ)。建構(gòu)主義認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)是主動建構(gòu)知識的過程，也因此它引發(fā)了一場教學(xué)革命。教學(xué)的中心由教師轉(zhuǎn)向?qū)W生，教學(xué)的目的是培養(yǎng)善于學(xué)習(xí)的終身學(xué)習(xí)者，他們能夠科學(xué)地選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容，自我控制學(xué)習(xí)過程，具有自我分析和評價能力，具有反思與批判能力，具有創(chuàng)新精神。樹立建構(gòu)主義教學(xué)觀“就使得我們不再單純地尋找解答，而是擁有了可以借以對教學(xué)方法的可能選擇作出判斷的有力準(zhǔn)則”。建構(gòu)主義教學(xué)觀要求我們關(guān)心數(shù)學(xué)知識的歷史及發(fā)展，重視數(shù)學(xué)的文化價值和社會價值，為此，教師要樹立以人的發(fā)展為本的教育思想，形成正確的數(shù)學(xué)教學(xué)理念，讓“人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必要的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。而且小學(xué)階段，學(xué)生的抽象邏輯思維能力正逐步上升，但仍以具體形象思維為主，因此開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)有利于學(xué)生抽象能力的培養(yǎng)。同時還應(yīng)清醒地認(rèn)識到“數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)而不僅僅是關(guān)于數(shù)的科學(xué)”，把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)當(dāng)作是建立與解某種模式的過程,發(fā)現(xiàn)解決問題辦法的過程,探索數(shù)學(xué)內(nèi)在美與應(yīng)用的過程。教師只有在形成上述正確的教育觀念的基礎(chǔ)上，才能改變目前以知識承傳為主的“滿堂灌”或“滿堂問”的教學(xué)方法，才能自覺放棄“題海戰(zhàn)術(shù)”，積極組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)建?；顒?。三、課題實踐1．準(zhǔn)備階段（2009年3月－4月）(1)總結(jié)數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)秀做法。(2)成立課題組(3)撰寫課題實驗方案(4)進(jìn)行課題開題論證本階段我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的相關(guān)理論，研究小學(xué)教材，整理出小學(xué)數(shù)學(xué)中所包含的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)模型。我們翻閱大量書籍和資料，弄清楚數(shù)學(xué)建模的含義，數(shù)學(xué)建模思想方法有哪些，初步探討在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何開展數(shù)學(xué)建?；顒樱捎谛W(xué)生知識能力的原因，初步探討如何在課堂上滲透數(shù)學(xué)建模思想方法。2．實施階段（2009年5－2010年1月）(1)在專家的指導(dǎo)下，深化并完善理念，形成較為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想方法的知識和理念體系(2)探索數(shù)學(xué)建模思想滲透的學(xué)習(xí)模式(3)探索數(shù)學(xué)建模思想滲透的課堂教學(xué)模式(4)形成符合小學(xué)生特點的課堂教學(xué)模式本階段：①深入研讀教材和研究數(shù)學(xué)建模思想的同時②開展實踐教學(xué)，收集數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)案例依托數(shù)學(xué)教研活動，“樂學(xué)杯”青年教師課堂教學(xué)展示、骨干教師展示教學(xué)、同課異構(gòu)等教學(xué)活動研究展示數(shù)學(xué)建模思想滲透的課堂教學(xué)。③依托數(shù)學(xué)節(jié)等活動平臺，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力數(shù)學(xué)建模思想滲透的課堂教學(xué)涉及到諸多方面，如教與學(xué)的方式、教學(xué)目標(biāo)的定位、教學(xué)內(nèi)容的組織、教學(xué)環(huán)境的創(chuàng)設(shè)等等。課題的開展對學(xué)習(xí)方式與教學(xué)方法，師生關(guān)系與教學(xué)評價有很大的促進(jìn)作用。建構(gòu)主義認(rèn)為，課程開展和教學(xué)設(shè)計的主要任務(wù)是為學(xué)生的主動學(xué)習(xí)和知識建構(gòu)，創(chuàng)設(shè)一種真實而復(fù)雜的學(xué)習(xí)環(huán)境。在建構(gòu)主義所指稱的學(xué)習(xí)環(huán)境中，傳統(tǒng)意義上的教學(xué)四要素“教師”、“學(xué)生”、“教材”、“媒體”具有了完全不同的角色意義和相互關(guān)系：教師不再是知識的權(quán)威者、傳授者和灌輸者，而是學(xué)生學(xué)習(xí)活動的指導(dǎo)者、幫助者和促進(jìn)者；學(xué)生不再是知識被動的接受者和外部剌激的簡單反應(yīng)者，而是主動學(xué)生和積極探索的知識建構(gòu)者；教材不再是教師傳授知識的主要依據(jù)和重要載體，而是學(xué)生知識建構(gòu)的認(rèn)識客體和學(xué)習(xí)活動的認(rèn)識對象；媒體不僅是教師的教學(xué)工具、手段和方法，更是學(xué)生學(xué)習(xí)活動的認(rèn)知、交往、協(xié)作的工具、手段和資源。強調(diào)學(xué)生“主動學(xué)習(xí)”的建構(gòu)主義理論為我們的課堂提供了必要的策略指導(dǎo)。（1）變革學(xué)習(xí)方式，改進(jìn)教學(xué)方法教學(xué)中，以課程資源的有機整合、學(xué)習(xí)方式的多樣化（動手操作，自主探究，合作學(xué)習(xí)）和教學(xué)過程的改革為基礎(chǔ)，改變單一、封閉的學(xué)習(xí)方式，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，優(yōu)化學(xué)生的思維方法，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。以學(xué)促教，積極改進(jìn)教學(xué)方法。促使讓學(xué)生學(xué)會自信，學(xué)會自主，學(xué)會探究，初步養(yǎng)成自己發(fā)現(xiàn)問題、自己通過多種方法和途徑解決問題的習(xí)慣，學(xué)會交往，初步養(yǎng)成人際交往與合作的良好意識和習(xí)慣。學(xué)會學(xué)習(xí)，初步掌握各科學(xué)習(xí)的正確方法并能體驗學(xué)習(xí)成功的快樂和幸福。（2）改善師生關(guān)系，創(chuàng)新教學(xué)評價教師以合作者、引導(dǎo)著的角色促進(jìn)學(xué)生的自主建構(gòu)和合作學(xué)習(xí)，重構(gòu)民主、平等、和諧的師生關(guān)系，著重評價學(xué)生的思維過程，對情感態(tài)度予以評價。促使學(xué)生智力、情感和社會性的和諧整體發(fā)展，鼓勵學(xué)生學(xué)會合作與分享，學(xué)會探究與交流，營建開放、合作、探究、共享的課堂新文化。我們積極針對不同的教學(xué)內(nèi)容，如概念、公式、定理等內(nèi)容，積極開展數(shù)學(xué)建模的課堂教學(xué)研究，通過一個個具體的案例來談?wù)勅绾握归_數(shù)學(xué)建模教學(xué)，分析如何滲透。數(shù)學(xué)建模思想在課堂上滲透研究案例（一）在小學(xué)低段可借助直觀模型解決問題小學(xué)低年級學(xué)生的問題解決學(xué)習(xí)是從直觀圖形逐步過度到文字應(yīng)用題的，符合學(xué)生的的思維發(fā)展特點。一上學(xué)習(xí)了重要的數(shù)學(xué)符號：大括號“”和問號“？”，并且知道符號的含義。遵循低年級學(xué)生的發(fā)展特點，在理解適應(yīng)文字題的過程中和理清數(shù)量關(guān)系方面可以運用“大括號”進(jìn)行一個很好的過渡，以此來突破對文字應(yīng)用題的理解和數(shù)量關(guān)系的理解，同時也為以后畫線段圖解題打下基礎(chǔ)。低年級的問題解決學(xué)習(xí)如下：①直觀圖形列算式↓②半直觀：圖畫（形）+數(shù)字↓③比半直觀稍抽象：圖畫（形）+文字、數(shù)字描述↓④稍抽象：以簡單文字描述為主↓⑤抽象：文字描述加影響因素。以下以部分和整體的教學(xué)實踐為例，說明上述觀點。部分和整體關(guān)系是小學(xué)數(shù)學(xué)中一種基本的數(shù)學(xué)關(guān)系。學(xué)生從部分和整體關(guān)系上認(rèn)識數(shù)學(xué)關(guān)系和空間關(guān)系的能力，對于學(xué)生數(shù)概念的掌握，運算能力的發(fā)展和空間觀念的形成都起著重要的作用。在問題解決中，可借助大括號模型理解“部分?jǐn)?shù)和總數(shù)”的含義和關(guān)系。（部分?jǐn)?shù)a）（部分?jǐn)?shù)b）（總數(shù)c）具體有兩種類型：部分?jǐn)?shù)a+部分?jǐn)?shù)b=總數(shù)c總數(shù)c-部分?jǐn)?shù)a=部分?jǐn)?shù)b或總數(shù)c-部分?jǐn)?shù)b=部分?jǐn)?shù)a筆者從教學(xué)實踐中觀察：學(xué)生掌握得比較好；相比②比①稍抽象，只要能想清數(shù)量關(guān)系，就能正確列出算式；目前主要通過③這一環(huán)節(jié)過渡到學(xué)生對文字題的理解和接受；④幫助學(xué)生克服對文字理解題的恐懼和抵觸，讓學(xué)生愿意并樂意接受。⑤在這里需要加強理解能力的教學(xué)，1）主要包括獨立審題，獨立思考，理出思路；2）重視理清數(shù)量關(guān)系（突出本質(zhì)，以便舉一反三“從數(shù)量的基本性質(zhì)出發(fā)，理清數(shù)量關(guān)系（相并關(guān)系、相差關(guān)系，份總關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系）”）。例如：理解部分?jǐn)?shù)+部分?jǐn)?shù)=總數(shù)①5+3=83+5=8②？？個5+3=8（個）3+5=8（個）3個③3個？？個5+3=8（個）√④5個√？？個5+3=8（個）主要通過④⑤⑥這3個環(huán)節(jié)來實現(xiàn)過渡到文字題；同時為以后運用畫“線段圖”理解題意打下基礎(chǔ)，埋下伏筆。√⑤原來有5個主要通過④⑤⑥這3個環(huán)節(jié)來實現(xiàn)過渡到文字題；同時為以后運用畫“線段圖”理解題意打下基礎(chǔ)，埋下伏筆?！桃还惨还?？個5+3=8（個）√⑥原來有5個蘋果又拿來了3個蘋果√一共？一共？個5+3=8（個媽媽買來了5個蘋果，后來又買來了3個蘋果，現(xiàn)在一共有幾個？5+3=8（個）⑧第3張桌子上原來有5個蘋果，后來又拿來了3個蘋果，現(xiàn)在一共有幾個蘋果？5+3=8（個）從學(xué)生熟悉的圖形問題通過大括號模型，逐步增加文字，再到文字類解決問題，讓學(xué)生有適應(yīng)和過度的過程，有助于學(xué)生對文字類解決問題的接受，促進(jìn)學(xué)生形同系統(tǒng)的知識體系。在解決文字應(yīng)用題時，學(xué)生借助大括號模型，自己填出模型中的部分?jǐn)?shù)和總數(shù)分別是什么，問題是什么，也提高了學(xué)生的分析問題能力和建模的能力，初步掌握解決問題的方法和規(guī)律，在思維上是更高一層次的飛躍。例：一下數(shù)學(xué)P69練習(xí)十二第3題（女生20個）（男生20個）（一共有多少個？）20+23=43（個）練習(xí)中，都要求學(xué)生自己把“大括號”模型填寫完整，一方面可以幫學(xué)生理清數(shù)量條件關(guān)系，另一方面加深對加減法意義的理解。透過現(xiàn)象看本質(zhì)，掀開各種語言文字的“外衣”，學(xué)生可以總結(jié)出求總數(shù)用加法；求部分?jǐn)?shù)用減法等等，這樣就能提高學(xué)生解決問題的能力。（二）概念教學(xué)數(shù)學(xué)建模思想滲透的研究概念教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一個重要的部分。新課程理念下的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，重視學(xué)生的基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)外，關(guān)注數(shù)學(xué)概念與學(xué)生的生活經(jīng)驗的聯(lián)系，鼓勵學(xué)生大量參與觀察、實驗、猜測、操作、歸納等活動，經(jīng)歷概念形成的過程，達(dá)到數(shù)學(xué)概念的自主建構(gòu)。分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識是小學(xué)三年級（中段）的教學(xué)內(nèi)容，屬于概念教學(xué)，概念教學(xué)的方式多種多樣，我們通過從“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識——幾分之一”的具體事例來討論一些教學(xué)方法，著重在如何滲透數(shù)學(xué)建模思想，提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)的能力和對數(shù)學(xué)的興趣和熱愛。從廣義模型角度看，分?jǐn)?shù)幾分之一的概念也是數(shù)學(xué)模型，這個模型不僅是它的外在特征，如寫法、讀法、，還有它的價值和內(nèi)在含義。教學(xué)案例:因為小學(xué)生的知識能力的緣故，讓小學(xué)生完全按照數(shù)學(xué)建模的程序來展開數(shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實問題，顯然是不容易的。但是在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想方法卻是可以做到的。以內(nèi)容三上《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識——幾分之一》為例，進(jìn)行說明。教學(xué)內(nèi)容：分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識——幾分之一教學(xué)目標(biāo)：1、學(xué)生通過折一折、涂一涂、說一說等操作過程初步認(rèn)識幾分之一，會讀寫簡單的分?jǐn)?shù)；初步學(xué)會比較分子是1的分?jǐn)?shù)的大小。2、幫助學(xué)生用比較完整的語言表述分?jǐn)?shù)。3、讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，體會分?jǐn)?shù)的價值。教學(xué)重難點：讓學(xué)生理解表述：把一個物體平均分成幾份，其中的一份是它的幾之一。教具準(zhǔn)備：圓形、正方形、長方形紙片教學(xué)過程：（一）、通過創(chuàng)設(shè)生活情境，進(jìn)行問題導(dǎo)入1、理解平均分師：老師有4個月餅，分給誰？4個月餅分給2人，可以怎么分？生：第一種：1個，3個；第一種和第二種分2有什么不同？第二種：每人2個分得一樣多，在數(shù)學(xué)上我們就稱為：平均分目標(biāo)達(dá)成：學(xué)生能理解“平均分”的意義，感受到平均分的實際意義，為理解分?jǐn)?shù)打下基礎(chǔ)。師：這里作為現(xiàn)實中的原型是把月餅進(jìn)行平均分。2、用數(shù)學(xué)的語言來表述生活問題和表示結(jié)果4個月餅平均分給2人，每人2個算式怎么列？4÷2=2（個）師：我現(xiàn)在有2個月餅，分給2人，每人分得一樣多。誰把我的意思說一遍。生：2個月餅平均給2人，每人1個。師：算式怎么列？2÷2=1（個）師：我現(xiàn)在1個，你說生：1個月餅平均給2人，每人半個。師：算式怎么列？1÷2=0.5/半（個）進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題是很關(guān)鍵的，這也是數(shù)學(xué)建模的第一步，即把生活問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語言來表述。培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力在數(shù)學(xué)建模中是十分重要的。有意識地讓學(xué)生通過將生活實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的練習(xí)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和數(shù)學(xué)建模能力。（二）、探究新知認(rèn)識，理解是把一個物體平均分成2分，每份是。師：還可以用什么數(shù)來表示嗎？一個月餅平均分給2人，每人……生：師：我聽到了，你說。生：你聽清楚了嗎？你說，你說，你說，全班一起說。師：怎么寫呢？生：上面1，下面2，中間橫線先寫什么，再寫什么？生說現(xiàn)在有這么多種寫法，在我們數(shù)學(xué)中，一般先寫“—”，表示平均分；再寫“2”，表示我們分成了2份；最后寫“1”，我們?nèi)∽?份。讀作二分之一。拿起手，我們一起寫一遍。把一個月餅平均分成2份，每份是是它的。的意義和寫法為后續(xù)的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)起了很好的開頭，一是學(xué)生初步理解了分?jǐn)?shù)是平均分的結(jié)果，二是學(xué)生知道了分?jǐn)?shù)的表示方法。有意識地板書每部分的含義；并且重點解決分?jǐn)?shù)的讀法和寫法。師：表示什么意思？師：把這個月餅怎么分成2份？師用折圓來展示，先是沒有平均分的，讓學(xué)生說可以嗎？要怎么樣分？再展示正確的分法。師：要分得一樣多，這才是平均分?？蠢蠋?，我做動作，你說。生：把一個月餅平均分成2份，每份是是它的。師：這是，那你知道這是幾嗎？生：。老師把它涂出來。（邊涂邊說）涂的時候線要畫直，畫均勻。師涂好后，把寫在紙片上。直觀呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過程，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察，分析過程，并說說理由。用紙片來代替月餅，這也是數(shù)學(xué)化的過程。并且在紙片上標(biāo)出同時寫下分?jǐn)?shù)，加強了實際與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，有助于學(xué)生理解。認(rèn)識師：1個月餅平均給4人，每人幾個？生：。分圓紙片：我這樣分是不是平均分？分成幾份了？師指著圓片，生說：一份，兩份，三份，四份。師：把一個圓平均分成4份，每份是它的。這份是……，這份是……，老師把涂出來，并寫上。如同前面在紙片上畫出并寫下，讓學(xué)生理解的實際含義。師：誰再來說說這表示什么意思？生：把一個月餅平均分成4份，每份是它的。師：但我這個不是真的月餅，我這是一個圓。生：把一個圓平均分給4人……我有沒有分給4個人？但我分了沒有？好，你說。全班一起說。生：把一個圓平均分成4份，每分是它的。從分月餅到分圓片，是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個遷移過程，重點是為學(xué)生理解和描述某個分?jǐn)?shù)的意義打好基礎(chǔ)，并初步建立了“把一個物體平均分成幾份，每分是它的幾分之一”這樣一個分?jǐn)?shù)的概念模型，那么學(xué)生在以后具體的分?jǐn)?shù)中，就能夠根據(jù)實際情況進(jìn)行表達(dá)了。折正方形的師：剛才我們折了圓的、，那正方形的，你會折嗎？你說。生：上下對折；左右對折；斜對折，對折就是平均分。師：你會折嗎？你去折，并把涂出來，2寫上去。學(xué)生活動：4正方形的教師巡視。師：這位同學(xué)涂的時候線又直又均勻，看起來美觀。師：折好坐端正，我們一起交流一下。你是怎么折的？其他同學(xué)仔細(xì)看，仔細(xì)聽他說。他說是，是不是，我們來驗證一下。生：是。他平均分了嗎？這樣嗎？可以我們就一起說一遍。讓學(xué)生親自動手折，有助于學(xué)生進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)的意義，尤其是加深了對平均分的理解，為接下來的創(chuàng)造新的分?jǐn)?shù)打小基礎(chǔ)。生：把一個正方形平均分成4份，每份是它的。（師把紙片貼在黑板上）師：和他一樣折法的請舉手，還有別的折法嗎？師：為什么要對折？生：平均分對折了幾次？對折再對折，對折兩次就是把一張正方形紙平均分成4份。師指著正方形紙片上：同學(xué)們，看，同一張正方形紙片，出來的怎么樣？生：形狀不一樣。師：他們什么一樣呢？生：大小一樣；都是平均分……雖然折法不一樣，但都是平均分，每份是它的。正方形紙片的的形狀各有不同，其本質(zhì)是不變的，都是平均分。盡管這里用圖形來表示各不相同，但是平均分的含義卻更加深入人心。抽象地說，在我們這分?jǐn)?shù)的過程，我們統(tǒng)一的模型就是“平均分”。通過實踐操作，正好也提供了學(xué)生感悟的好機會。幾分之一師：現(xiàn)在學(xué)了哪些分?jǐn)?shù)了？你還能說出這樣的分?jǐn)?shù)嗎？你說，你說……（師將學(xué)生的分?jǐn)?shù)寫在黑板上）這些分?jǐn)?shù)你能折出來嗎？你能就拿出長方形紙折折看。學(xué)生活動：折黑板上的分?jǐn)?shù)。教師巡視指導(dǎo)。建立的“平均分”和分?jǐn)?shù)的概念模型，學(xué)生很容易地能創(chuàng)造出新的分?jǐn)?shù)，同時也增強了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。生匯報，師：把你折的分?jǐn)?shù)表示意思說出來。師：這些分?jǐn)?shù)你都能折嗎？生：下面是單數(shù)的比較難折。由于時間的關(guān)系，很多分?jǐn)?shù)我們能馬上折出來，那你能說說這些分?jǐn)?shù)的意思嗎？學(xué)生說分?jǐn)?shù)表示什么。教師有意識地板書學(xué)生所列舉的分?jǐn)?shù)……，滲透一種無窮極限思想。如此學(xué)生就能體會到分?jǐn)?shù)是無窮的，列舉不近的。師：同學(xué)們看這些分?jǐn)?shù)有什么共同的地方？生：都是幾分之一……對，今天我們學(xué)的分?jǐn)?shù)是幾分之一。幾分之一表示什么意思呢？幾分之一表示把一個物品平均分成幾份，其中的一份就是它的幾分之一。全班一起說1遍。從廣義模型角度看，分?jǐn)?shù)幾分之一的概念也是數(shù)學(xué)模型，這個模型不僅是它的外在特征，如寫法、讀法、，還有它的價值和內(nèi)在含義。從學(xué)生的角度看，分?jǐn)?shù)幾分之一（模型），學(xué)生已經(jīng)掌握了，它的內(nèi)涵還需要進(jìn)一步重點學(xué)習(xí)。比較分子是1的分?jǐn)?shù)的大小師指著圓片的、，問：看到圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？你發(fā)現(xiàn)、誰大一些？生：＞那誰大一些？生：＞＞＞＞一起說一遍。＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞首先通過實物圖形來初步理解分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系，然后列舉下去，可以發(fā)現(xiàn)還可以列舉出很多符合要求的分?jǐn)?shù)，滲透了極限思想，同時為抽象地理解分?jǐn)?shù)大小關(guān)系和用數(shù)學(xué)語言概括分?jǐn)?shù)大小比較的方法奠定了基礎(chǔ)。師：好，我不說翻開書本，翻到了沒有，我們輕輕地讀一讀。把一塊月餅，預(yù)備齊把這個寫上去：四，。寫好沒有？像、預(yù)備齊師：把例3寫上去。誰來回答？說完整。為什么＞？還有嗎？生：面比較大……老師要表揚，因為你說到了同樣大。寫上去。同樣大才可以比較。這里，你來。生：﹤你為什么知道﹤？生：同樣大……師：不看圖形，就看分?jǐn)?shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？生：分的份數(shù)越多，每一份越少，分?jǐn)?shù)越小。“分的份數(shù)越多，每一份越少，分?jǐn)?shù)越小?！边@句話對于如何比較分?jǐn)?shù)大小是更加抽象的方法，是擺脫了通過實物圖形直觀理解比較分?jǐn)?shù)大小的過程。從廣義角度理解也是數(shù)學(xué)模型。當(dāng)學(xué)生知道分母、分子的概念時，“分子相同，分母越大，分?jǐn)?shù)越小”就是學(xué)生用于比較分?jǐn)?shù)大小的依據(jù)和一般方法了。（三）、鞏固練習(xí)做一做1要求說清楚每個分?jǐn)?shù)表示什么意思。個人說，集體說。表示一個圖形平均分成5份，每份它的。把寫在圖形上。通過說、讀、寫來培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和情感。做一做2突出“同樣大”，“同樣長”，說一說分?jǐn)?shù)表示什么意思，再比較大小。練習(xí)二十二1涂任意一格都可以。練習(xí)二十二2說出理由：分成幾份，有沒有平均分？（×）沒平均分，（×）數(shù)的時候要仔細(xì)。練習(xí)二十二3師：看圖形，你發(fā)現(xiàn)什么？生：同樣大；同樣長先說分?jǐn)?shù)表示什么意思，再進(jìn)行比較大小。＞﹤強調(diào)“同樣大”、“同樣長”的前提下才可進(jìn)行分?jǐn)?shù)大小的比較，為學(xué)生理清了思路。（四）、課堂小節(jié)1、學(xué)習(xí)了什么？（分?jǐn)?shù)：幾分之一及大小比較）2、怎么學(xué)會的？3、學(xué)得怎么樣？（五）、課后作業(yè)（三）挖掘數(shù)學(xué)廣角的數(shù)學(xué)思想內(nèi)涵，模型化解決問題。數(shù)學(xué)廣角是新課程的一個重要特色，其內(nèi)容所包含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富，且是數(shù)學(xué)知識綜合應(yīng)用的集中體現(xiàn)。在這個板塊的教學(xué)時，滲透數(shù)學(xué)建模思想，以模型化的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)探究對于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的提升有很大的作用。片段教學(xué)：例如：在突破重難點時，注意為學(xué)生的思考做好鋪墊。如在引導(dǎo)學(xué)生突破“握手”問題時，伏筆埋得比較好，先用一個人和2個人握手只要兩次，表示握手的先后順序，然后用畫點和線的方法表示人的握手的情況，使之?dāng)?shù)學(xué)化，抽象化，再提出3個人相互握手的情況，只要另外兩個人握一次手就可以了，也用點線符號表示出來，并列出算式。再進(jìn)行講解后，讓學(xué)生探討4人相互握手共握幾次，并進(jìn)行活動。學(xué)生在上來演示的時候也是做到了有序，同樣要求學(xué)生把觀察到的過程和方法展現(xiàn)表達(dá)出來，用點線的符號展現(xiàn)出來，也是數(shù)學(xué)抽象化、符號化的過程。212+1=321并積極引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想這和我們以前學(xué)過的什么有點像？和數(shù)線段，數(shù)角等都很相似，方法是一樣的，也就是說其實在前面的教學(xué)中這些方法已經(jīng)在滲透了。學(xué)生在接下來完成練習(xí)中也是思維積極活躍，做到了有序思考。在拓展到知道幾個點，兩點連接一條線段，一共有幾條等問題就也能夠迎刃而解了。（四）數(shù)學(xué)節(jié)活動在數(shù)學(xué)節(jié)上，不同年級都會有不同的挑戰(zhàn)提讓學(xué)生來挑戰(zhàn)，是學(xué)生將所學(xué)知識和方法進(jìn)行運用體現(xiàn)的一個很好的活動。如韓信分油、握手問題、雞兔同籠等問題。例如：排隊問題：一年級：一隊小雞叫喳喳，隊里混只丑小鴨，順著數(shù)數(shù)它第7，倒著數(shù)數(shù)它第8，請你仔細(xì)算一算，小雞一共有幾只？7+8-1=14六年級：人帶著貓、雞、米過河，船除需要人劃之外，至多能載貓、雞、米三者之一，而當(dāng)人不在場時貓要吃雞、雞要吃米。試建立一個模型，設(shè)計一安全過河方案，并使渡河次數(shù)盡量地少。問題分析：安全渡河問題，可視為一個多決策的過程，每一步，即船由此岸駛向彼岸或由彼岸駛向此岸的時候，都要考慮到兩岸的安全狀況。要使安全過河，在前渡河時兩岸都不能出現(xiàn)讓雞，米或貓、雞單獨在一起的情況。貓不吃米，可先將貓和米放在一起，貓，米在一起是安全的，所以雞要先運走；然后在運貓或米，這樣，人，雞，貓，米都安全抵達(dá)。過程：第1次：（人，雞）此岸：貓，米彼岸：人，雞第2次：（人，空）貓，米雞第3次：（人，貓）米人，貓，雞第4次：(人，雞）人，雞，米貓第5次：（人，米）雞人，貓，米第6次：（人，空）人，雞貓，米第7次：（人，雞）沒有人，雞，貓，米。數(shù)學(xué)節(jié)活動照片：課題的開展過程中，教師的數(shù)學(xué)功底獲得了提升，教學(xué)技能也得到了很大的提高，對于學(xué)生的思維特點也有了更大的把握；學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣提高了很多，綜合應(yīng)用能力和抽象思維能力都獲得了進(jìn)一步發(fā)展。12月，我們發(fā)出了800余張調(diào)查問卷，收回有效問卷789張，分類統(tǒng)計結(jié)果如下。調(diào)查內(nèi)容積極比較積極消極成功思考56.35%36.91%6.74%自信心態(tài)50.23%41.95%8.28%喜歡數(shù)學(xué)54.52%39.09%6.39%自信交流48.92%42.59%8.49%總體上看，全校學(xué)生超過半數(shù)以上的同學(xué)已經(jīng)具備了成功思考的習(xí)慣。這說明，除家庭教育的一些因素外，我校的數(shù)學(xué)建模思想滲透的課堂教學(xué)研究在培養(yǎng)學(xué)生成功思考、自信的心態(tài)、對數(shù)學(xué)的喜歡情感態(tài)度等方面是卓有成效的。在期末和平時取得較好成績的同學(xué)普遍都感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一件快樂的事情。而且優(yōu)秀的學(xué)生不斷涌現(xiàn)，學(xué)困生得到不斷轉(zhuǎn)化，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣越來越濃；教師的素質(zhì)也得到了很大的提升，老師的形象和數(shù)學(xué)教學(xué)魅力更加受到學(xué)生的喜愛；也受到了家長的好評。3．總結(jié)階段（2010年2月）(1)撰寫課題實驗研究報告(2)邀請專家對實驗的理論成果和實踐成果進(jìn)行鑒定本階段著重思考和總結(jié)數(shù)學(xué)建模思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的操作要點。課題組成員在實踐數(shù)學(xué)建模思想滲透的教學(xué)研究后，反思和探討了不同教學(xué)內(nèi)容在小學(xué)階段滲透數(shù)學(xué)建模思想的共性與個性。共性：①培養(yǎng)學(xué)生將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的能力。這也是數(shù)學(xué)建模的第一步，即用數(shù)學(xué)語言來表述實際問題。=2\*GB3②在課堂上積極滲透數(shù)學(xué)建模思想方法，分析小學(xué)數(shù)學(xué)中存在教多的數(shù)學(xué)思想方法，以數(shù)學(xué)模型的形式展現(xiàn)，可以有效地提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力。③在課堂上滲透數(shù)學(xué)建模方法，學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性和運用能力增強，更加積極自主地合作探究，樂于分享和溝通，與教師的關(guān)系更加融洽和和諧。四、研究主要成果（一）小學(xué)數(shù)學(xué)中常蘊涵的數(shù)學(xué)模型《新課標(biāo)》中首次提到了數(shù)學(xué)模型的概念。教師應(yīng)充分挖掘教材內(nèi)容，精心設(shè)計，滲透建模思想初步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模的能力。課題研究表明，模型化有利于學(xué)生抽象能力和綜合應(yīng)用能力的提升。所以數(shù)學(xué)模型化是很重要的教學(xué)策略。模型化。模型化就是具體問題一般化。如在解決問題中，我們發(fā)現(xiàn)，問題一般可分兩類：一類是有現(xiàn)實背景的應(yīng)用性問題，一類是純數(shù)學(xué)情境的結(jié)構(gòu)性問題。對于小學(xué)階段（尤其是低、中段）有現(xiàn)實背景的應(yīng)用性問題比較多。教師要讓學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)實際問題中的數(shù)學(xué)成分，把一個個實際問題轉(zhuǎn)化成為數(shù)學(xué)問題，從數(shù)學(xué)的角度來思考。例：二上數(shù)學(xué)：人工野鴨島去年有35只野鴨，今年比去年多28只。今年有多少只？這是屬于求比一個數(shù)多幾的數(shù)是幾的問題，用加法。這也就是獲得數(shù)學(xué)信息后，縮減數(shù)學(xué)推理過程和相應(yīng)的運算系統(tǒng)，用縮減了的結(jié)構(gòu)進(jìn)行思維。從數(shù)學(xué)的角度就是：比35多28的數(shù)是幾。很多數(shù)學(xué)問題，只是問題的情境換了換，方法和思路是一樣的。認(rèn)識到這一點，就能夠快速地進(jìn)行思考和解決問題了。也就是解決問題過程中要善于“異中見同”、“同中辨異”。解決問題中，我們經(jīng)常要借助于圖象推算中形成的數(shù)學(xué)模型，分析數(shù)量關(guān)系，解決問題。如在解決排隊問題，間隔問題，九宮格問題等都有一定的難度，思維的抽象性更加突出，但這些問題都是在部分?jǐn)?shù)與總數(shù)概念的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，學(xué)生對于這類問題的解決也就是是建立在解決部分?jǐn)?shù)與總數(shù)關(guān)系問題基礎(chǔ)上的。解決這些問題時則要通過比較直觀的圖來幫助理解題意，從而解決問題。所以學(xué)生在做該類型的題目時，就可以自己畫圖，也是一種模型，來解決問題。7777求的也是總數(shù)，但是兩部分有重疊的部分，在這里紅紅數(shù)了2次，重復(fù)數(shù)了1次。所以要減去：7+7-1=13（人）（1）符號模型用符號表示數(shù)學(xué)的方法和內(nèi)容。小學(xué)中常用的數(shù)學(xué)符號主要有：數(shù)字符號、關(guān)系符號（四則運算符號、等號、大于號、小于號等）、圖示符號、字母符號等。例如，學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系”，整個過程如下。（l）具有一定情景為背景的數(shù)學(xué)問題。把1米長的繩子平均分成5份，每份是多少米？把3塊月餅平均分給4個人吃，每人吃多少塊月餅？……（2）列式計算，討論結(jié)果的表示方式，并試圖將這一形式泛化。1÷5=(米)，3÷4=(米)，5÷6=，9÷7=，……（3）將以上的結(jié)論、規(guī)律以數(shù)學(xué)語言的方式揭示出來。被除數(shù)÷除數(shù)=(4)用數(shù)學(xué)符號的方式揭示除法與分?jǐn)?shù)之間的這種聯(lián)系。a÷b=a/b（b≠0）。我們可以發(fā)現(xiàn)，這個學(xué)習(xí)過程，正是一個以抽象概括方式建立數(shù)學(xué)模型的過程，是“具體問題——數(shù)學(xué)問題——符號模型”的過程。在整個過程中，前幾個環(huán)節(jié)是一個逐步抽象的過程，而最后一個環(huán)節(jié)，表現(xiàn)為一個概括的過程，是將抽象出來的規(guī)律一般化、形式化的過程，因而也加深了學(xué)生對這一知識的本質(zhì)的把握。更進(jìn)一步，當(dāng)我們以抽象概括的思維方法來審視小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的許多數(shù)學(xué)問題時，可以發(fā)現(xiàn)，貌似不同的數(shù)學(xué)情景的背后，往往具有共同的思維模式。例如，兩個人的工作問題、工程問題、行程問題所具有的共同的模型是：總量÷效率和＝時間,s÷v=t（速度從某種意義上來說，也是一種效率）；選舉計算票數(shù)、帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)等與乘加兩步應(yīng)用題具有相同的解題模型，即□=□×□＋□。計算規(guī)則的面積、體積公式時，也有相類似的模型。因此，我們在教學(xué)以上數(shù)學(xué)知識時，可以從更廣泛的領(lǐng)域里去創(chuàng)設(shè)更多的問題情境，使學(xué)生在興趣盎然中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。（2）方程模型把問題歸結(jié)為方程式。方程是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的主要內(nèi)容之一。特別是解應(yīng)用題時應(yīng)用更加廣泛。應(yīng)用方程模型解決問題的要點為：①在透徹理解問題的基礎(chǔ)上，把問題歸結(jié)為若干個未知量：=2\*GB3②設(shè)想問題已經(jīng)解出，根據(jù)條件列出已知量與未知量之間成立的一切關(guān)系式；③從已知條件中分析出部分條件，使得能用兩種不同方式表示同一個量，從而得出一個聯(lián)系未知量的方程式。直至最后，得出一個方程與未知量相等的方程組；④解方程組，并檢驗所得答案。其中最重要的是“設(shè)想問題已經(jīng)解出”，“用兩種不同方式表示同一個量”，“方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等”者三個條件?？杀硎緸椋篺(x,a,b,c)=g(x,a,b,c)（3）交軌模型它的一般提法是：設(shè)有某個數(shù)學(xué)問題，它的解是由某幾個條件決定的，每個條件都可以確定某種元素的一個集合，則它們的交集的元素就是我們所要求的解。非常適用于幾何作圖，在解決其他數(shù)學(xué)問題也十分有用。例如，已知船長的年齡數(shù)、他的船的長度（以尺為單位）和他的孩子數(shù)的乘積是32118。船長的孩子數(shù)不小于4，船的長度恰為整數(shù)，船長的年齡比他的孩子數(shù)要大，但是還不到一百歲。求船長有多大年齡？他有幾個孩子？他的船有多長？解設(shè)船長的孩子數(shù)為x，年齡為y,船長z。將題中的已知條件合成兩個條件：①x，y，z都是大于1的自然數(shù)，且xyz=32118；②4≤xy100。從條件著手，將32118進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解：32118=2×3×53×101，為使32118可以寫成3個不等于1的因數(shù)的乘積，必須將四個質(zhì)因數(shù)中的兩個合并成一個，這樣的分解方法有六種：653101，3101106，353202，2101159，253303，235353，在這六種分法中只有第一種滿足條件（2），因此得到x=6，y=53，z=101，故船長有6個孩子，他的年齡是53歲，船長101尺。小學(xué)中常常見到的雞兔同籠問題、同余問題、利用公約數(shù)，公倍數(shù)的性質(zhì)求解的問題都可以歸為交軌模型問題。（4）鴿籠模型雞籠原理：若n+1只鴿子飛進(jìn)n個籠子里，則至少有一個籠子里飛進(jìn)兩只鴿子。它的一般形式為：若m只鴿子飛進(jìn)n個籠子里，則至少有一個籠子飛進(jìn)k只鴿子。當(dāng)m能被n整除時，k=m/n；當(dāng)m不能被n整除時，k=[m/n]+1,其中[m/n]表示不超過m/n的最大整數(shù)。鴿籠原理又稱抽屜原理，是一個重要的數(shù)學(xué)模型，故稱鴿籠模型。例：“六一”兒童節(jié)，小明的爸爸帶他去公園游園。一進(jìn)公園門，爸爸就對小明說：“不論今天有多少小朋友來參加游園活動，我能肯定，至少有兩個小朋友遇到了同樣多的熟人（制互相認(rèn)識的小朋友）?！蔽覀兝螟澔\模型來解釋著個問題。假設(shè)這次游園活動有n個小朋友參加，我們將他看做n個“鴿子”，再把小朋友遇到的熟人的數(shù)目看做“籠子”，那么n個小朋友遇到熟人數(shù)目共有以下n種可能：0，1，2，3，……，N-1 下面分兩種情況討論：Ⅰ：如果在這N個小朋友中，有一些小朋友沒有遇到任何熟人，這時候其他小朋友只能遇上N-2個熟人，因此熟人數(shù)目只有N-1種可能：0，1，2，3，……，N-2，這時鴿子數(shù)（N個小朋友）超過籠子數(shù)（即N-1個熟人數(shù)目），由鴿籠原理知道，至少有兩只鴿子飛進(jìn)同一個籠子里，即至少有兩個小朋友遇到的熟人數(shù)目相等。Ⅱ：如果在這N個小朋友中，每一個小朋友都至少都遇到一個熟人，這樣每個小朋友遇到的熟人數(shù)目最少是1，最多是N-I ，因此熟人數(shù)目只有N-1種可能：1，2，3，……，N-1，這時鴿子數(shù)（N個小朋友）仍然超過籠子數(shù)（即N-1種可能的熟人數(shù)），由鴿籠原理知道，則至少有兩個小朋友遇到的熟人數(shù)目相等。因此不論參加游園的N個小朋友各遇到多少熟人，必有兩位小朋友遇到同樣多的熟人。（5）幾何模型把問題抽象為幾何問題，如用點、線、面、體以及幾何的知識，如此以便于解決問題。例，媽媽買了9個蘋果，5個桃子，蘋果比桃子多幾個？如圖：9個蘋果：桃子：5個多幾個？由于小學(xué)生以形象思維為主，開始總喜歡用實物圖作為數(shù)學(xué)模型，但在老師的培養(yǎng)下，能逐步學(xué)會用示意圖和線段圖作為數(shù)學(xué)模型。小學(xué)中常遇到的年齡問題，我們就經(jīng)常借助線段圖進(jìn)行求解。數(shù)學(xué)教學(xué)要有較強的應(yīng)用意識和建模意識，要堅持“模在心中”，這樣學(xué)生的能力就會大大提高。（二）數(shù)學(xué)建模思想在課堂上滲透的操作要點因為小學(xué)生的知識能力的緣故，讓小學(xué)生完全按照數(shù)學(xué)建模的程序來展開數(shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實問題，顯然是不容易的。但是在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想方法卻是可以做到的。其操作要點大致如下培養(yǎng)學(xué)生把實際生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題的能力，實現(xiàn)數(shù)學(xué)化的過程。其中突出體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。作為教師，應(yīng)積極開發(fā)實際生活問題，創(chuàng)設(shè)生活情境、問題情境，引起學(xué)生的探究欲望，提供學(xué)生能夠鍛煉抽象思維能力的機會。在開始滲透數(shù)學(xué)建模思想時，所選取的例子要貼近教材內(nèi)容，貼近學(xué)生認(rèn)知水平和生活實際，使學(xué)生易于理解。尤其考慮到小學(xué)生的知識水平和生活經(jīng)歷，教師在選擇問題時要慎重，盡可能選擇有現(xiàn)實生產(chǎn)、生活背景和應(yīng)用價值的，能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)建模求解過程特點的，學(xué)生比較感興趣的開放性問題。教學(xué)中特定情境的設(shè)置就相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)而言，要起到“導(dǎo)向”的作用，還要有益于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。隨著學(xué)生知識的增長，可以選取復(fù)雜的例子和問題，進(jìn)一步提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力。所以要不斷豐富學(xué)生的知識，引導(dǎo)學(xué)生廣泛接觸社會生活，多參加實踐活動，拓展知識面，從而增強學(xué)生理解實際問題的能力。事實上數(shù)學(xué)要研究的對象總是非常復(fù)雜的，因此必須對其作出適當(dāng)?shù)暮喕昂侠砑僭O(shè)，才能有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)研究。如“哥尼斯堡”“七橋問題”，歐拉將其簡化、抽象成“四點七線”，如此，問題就轉(zhuǎn)化為了“從某一點出發(fā)，不重復(fù)地經(jīng)過每條線段一次而返回原出發(fā)點，是否可能?”最后得出“奇數(shù)點少于等于2時，線路不會重復(fù)，可以一次性到達(dá)。”簡化問題、合理假設(shè),是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵,也是生活問題數(shù)學(xué)化的表現(xiàn)。2、在課堂上積極滲透數(shù)學(xué)建模思想方法，提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，充分發(fā)掘教學(xué)內(nèi)容中運用數(shù)學(xué)模型的教育因素，對學(xué)生進(jìn)行分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練。在教學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識時，突出數(shù)學(xué)模型的運用。同時教學(xué)中要有意識地培養(yǎng)學(xué)生抽象分析的意識和能力，掌握抽象分析的基本技能，指導(dǎo)學(xué)生搜集、處理信息，使學(xué)生初步會應(yīng)用比較、歸納、類比、演義、推理等邏輯方法。如在進(jìn)行概念、性質(zhì)、法則等教學(xué)時，要突出展現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造過程，從現(xiàn)實原型出發(fā)，運用觀察、實驗、操作、分析、歸納等方法，舍棄非本質(zhì)屬性，把原型問題抽象成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生受到運用數(shù)學(xué)模型思想方法的啟發(fā)和教育。進(jìn)行教學(xué)時要注意訓(xùn)練學(xué)生合理、靈活地運用學(xué)過的公式、法則及各種數(shù)量關(guān)系。培養(yǎng)學(xué)生通過實踐、檢驗等驗證數(shù)學(xué)模型的方法。如解答應(yīng)用題，養(yǎng)成檢驗的習(xí)慣，并會用恰當(dāng)?shù)姆椒炞C解題思路的正確性和合理性。學(xué)生通過不斷地鍛煉和運用，知識和能力都將獲得更好的發(fā)展。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中積極運用數(shù)學(xué)思想方法，建立和提取數(shù)學(xué)模型，增強應(yīng)用的機會，就而久之，學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)、思維方法，創(chuàng)新實踐能力將獲得新的發(fā)展。五、研究后續(xù)反思經(jīng)過課題的研究和教育教學(xué)實踐，在數(shù)學(xué)的教學(xué)工作中取得了一些成效。首先，學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣更加濃厚了，在一定程度上克服“畏難”心理，同時擁有了許多成功的體驗，對自己有了很大的信心，原來一些學(xué)習(xí)有困難的情況也有了明顯的改觀。應(yīng)用模型后，學(xué)生會評價模型的作業(yè)，如有學(xué)生還說“大括號模型真好，我一畫題目的意思就理解很清楚了，解決問題對我來說很容易了。我喜歡解決問題。”在很多的問題解決中，多數(shù)學(xué)生慢慢地學(xué)會了建立數(shù)學(xué)模型，使得問題簡單化，公式化，掌握知識的系統(tǒng)性和連貫性。相信通過不斷的學(xué)習(xí)和努力，學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決的能力會有更好的提高。低段小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的學(xué)習(xí)還屬于打基礎(chǔ)階段，學(xué)生會遇到的學(xué)習(xí)障礙原因也是多方面的，與此相適應(yīng)的方法也是多樣的，教師要不斷加強教育理論的學(xué)習(xí)，加強自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，準(zhǔn)確地掌握學(xué)生的思維特點，不斷改進(jìn)教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主人，為學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展打下堅實的基礎(chǔ)。小學(xué)數(shù)學(xué)中蘊涵了很多的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)思想方法，作為一個教師若能充分挖掘和開發(fā)，了解與小學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)的擴展知識和內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想方法，認(rèn)真思考其中的一些俄問題，加深對數(shù)學(xué)的理解，提高數(shù)學(xué)能力，為指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究做好準(zhǔn)備，在教學(xué)中適時地滲透這些思想方法，對于提高學(xué)生實踐能力是很有用的，也能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。參考文獻(xiàn)[1]姜啟源等.《數(shù)學(xué)建?！穂M].北京：機械工業(yè)出版社，2001[2]中華人民共和國教育部.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2004[3]顧泠沅.《數(shù)學(xué)思想方法》[M].北京：中央廣播電視出版社，2004[4]黃忠裕.《初等數(shù)學(xué)建?！?，[M].四川大學(xué)出版社，2004[5]查有梁.《新教學(xué)模式之建構(gòu)》[M].南寧：廣西教育出版社，2003.5[6]鄒煊享等.《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)建?！穂M].南寧：廣西教育出版社2003.5[7][荷]弗賴登塔爾.《數(shù)學(xué)教育再探》[M].上海：上海教育出版社，1999.2.[8]駱伯巍.《教學(xué)心理學(xué)原理》[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，1996.10.[9]何福炬，孟允獻(xiàn)《談小學(xué)“數(shù)學(xué)建模”》[J].http:[10]何燕偉.《淺談小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變革》[J]./Article/shuxue/sxlw/22338.html.200612.22[11]趙燕萍.《小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的探索》[J]http:2003.10.14[12]吳云宗，李東玉《數(shù)學(xué)建模與素質(zhì)教育》[J]《職教論壇》，2004.5[13]Ormrod,JeanneEllis.EducationalPsychology:developinglearning[M].Prentice-Hall.1999[14]Ledder,Glenn.Differentialequations:amodelingapproach[M].HigherEduction.2004[15]RobertE.Slvin.EducationalPsychologyTheogy＆Practice[M].PekingUniversity.2004附件：《低段小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力培養(yǎng)的策略研究》是本課題研究下的子課題，已在《中外教育研究》雜志上發(fā)表，國內(nèi)統(tǒng)一刊號CN53－1037/C，國際標(biāo)準(zhǔn)刊號ISSN1006－9682低段小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力培養(yǎng)的策略研究摘要：數(shù)學(xué)問題解決是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點之一。本文從實際出發(fā)，結(jié)合學(xué)生在解決問題方面的發(fā)展，提出了提高學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力，借助直觀模型解決問題，提升學(xué)生思維品質(zhì)等方面提高學(xué)生解決問題的能力。關(guān)鍵詞：低段問題解決閱讀模型化數(shù)學(xué)問題解決是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點之一。課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程將致力于使學(xué)生體會數(shù)學(xué)與自然及人類社會的客觀聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價值，增進(jìn)對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心，學(xué)會運用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，形成勇于探索，勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神，獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)事實，以及基本的思想方法和必要的應(yīng)用技能，其最終目的是為學(xué)生的終身可持續(xù)發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)?！雹俳逃?全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社.2001.1①教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社.2001.1一、提高數(shù)學(xué)閱讀能力1、加強對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用字詞句的歸納與理解。在低段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中有很多常用字、詞、句。這在語文還沒有學(xué)習(xí)認(rèn)識這些字詞句的時候，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)有要求認(rèn)識理解或掌握了。這些字詞句在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，書本上、作業(yè)上、練習(xí)試卷中會反復(fù)出現(xiàn)。教師應(yīng)加強學(xué)生對常見字詞句的認(rèn)識和理解，增加識字量，逐步克服因不識字而造成的解決問題時讀題時的畏難情緒。2．仔細(xì)審定問題情境。在平時講解和練習(xí)中要求學(xué)生首先要讀題、審題，弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，沒有弄清題意時要反復(fù)去讀題，把條件和問題相聯(lián)系，從而找出解決問題的方法。在低段的數(shù)學(xué)問題中都是數(shù)量關(guān)系比較簡單的問題，要求學(xué)生在題目上做記號，指導(dǎo)他們把題目上的條件、關(guān)鍵詞圈出來，使題目變得簡單明了，數(shù)量關(guān)系更明確。如：表演新疆舞，需要女生28人，男生14人。一共需要多少人？在解決本題時，通過將題目上的條件和關(guān)鍵詞圈出來，畫繁為簡，這樣整個題目的題意就更加一目了然了：女生28人，男生14人，一共要多少人？女生人數(shù)+男生人數(shù)=總?cè)藬?shù)，算式自然就列對了。在課堂上，首先盡可能地讓學(xué)生多思考和發(fā)言；最好多請幾位同學(xué)來說。簡單題目：重點請基礎(chǔ)弱的學(xué)生說；中等題目：較好的、弱的都說；較難的題目，先想，好的說清楚，弱的嘗試說，看他明白多少，瓶頸在哪里，想如何突破。二、借助直觀模型解決問題小學(xué)低年級學(xué)生的問題解決學(xué)習(xí)是從直觀圖形逐步過度到文字應(yīng)用題的，符合學(xué)生的思維發(fā)展特點。一上學(xué)習(xí)了重要的數(shù)學(xué)符號：大括號“”和問號“？”，并且知道符號的含義。遵循低年級學(xué)生的發(fā)展特點，在理解適應(yīng)文字題的過程中和理清數(shù)量關(guān)系方面可以運用“大括號”進(jìn)行一個很好的過渡，以此來突破對文字應(yīng)用題的理解和數(shù)量關(guān)系的理解，同時也為以后畫線段圖解題打下基礎(chǔ)。低年級的問題解決學(xué)習(xí)經(jīng)歷如下過程：①直觀圖形列算式；②半直觀：圖畫（形）+數(shù)字；③比半直觀稍抽象：圖畫（形）+文字、數(shù)字描述；④稍抽象：以簡單文字描述為主；⑤抽象：文字描述加影響因素。以部分和整體的教學(xué)實踐為例，學(xué)生從部分和整體關(guān)系上認(rèn)識數(shù)學(xué)關(guān)系和空間關(guān)系，對于學(xué)生數(shù)概念的掌握，運算能力的發(fā)展和空間觀念的形成都起著重要的作用。在問題解決中，可借助大括號模型理解“部分?jǐn)?shù)和總數(shù)”的含義和關(guān)系。（部分?jǐn)?shù)a）（部分?jǐn)?shù)b）（總數(shù)c）具體有兩種類型：部分?jǐn)?shù)a+部分?jǐn)?shù)b=總數(shù)c總數(shù)c-部分?jǐn)?shù)a=部分?jǐn)?shù)b或總數(shù)c-部分?jǐn)?shù)b=部分?jǐn)?shù)a筆者從教學(xué)實踐中觀察到：對于①學(xué)生掌握得比較好；②比①稍抽象，只要能想清數(shù)量關(guān)系，就能正確列出算式；目前主要通過③這一環(huán)節(jié)過渡到學(xué)生對文字題的理解和接受；④幫助學(xué)生克服對文字理解題的恐懼和抵觸，讓學(xué)生愿意并樂意接受。⑤在這里需要加強理解能力的教學(xué)，1）主要包括獨立審題，獨立思考，理出思路；2）重視理清數(shù)量關(guān)系（突出本質(zhì)，以便舉一反三“從數(shù)量的基本性質(zhì)出發(fā)，理清數(shù)量關(guān)系（相并關(guān)系、相差關(guān)系，份總關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系）。從學(xué)生熟悉的圖形問題通過大括號模型，逐步增加文字，再到文字類解決問題，讓學(xué)生有適應(yīng)和過度的過程，有助于學(xué)生對文字類解決問題的接受，促進(jìn)學(xué)生形同系統(tǒng)的知識體系。在解決文字應(yīng)用題時，學(xué)生借助大括號模型，自己填出模型中的部分?jǐn)?shù)和總數(shù)分別是什么，問題是什么，也提高了學(xué)生的分析問題能力和建模的能力，初步掌握解決問題的方法和規(guī)律，在思維上是更高一層次的飛躍。例：一下數(shù)學(xué)P69練習(xí)十二第3題（女生20個）（男生20個）（一共有多少個？）20+23=43（個）練習(xí)中，都要求學(xué)生自己把“大括號”模型填寫完整，一方面可以幫學(xué)生理清數(shù)量條件關(guān)系，另一方面加深對加減法意義的理解。透過現(xiàn)象看本質(zhì)，掀開各種語言文字的“外衣”，學(xué)生可以總結(jié)出求總數(shù)用加法；求部分?jǐn)?shù)用減法等等，這樣就能提高學(xué)生解決問題的能力。三、提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)數(shù)學(xué)的主要特點是抽象性和邏輯嚴(yán)密性。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容上的安排也反映了數(shù)學(xué)的邏輯系統(tǒng)性，先前的學(xué)習(xí)內(nèi)容成為后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，后續(xù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容在先前學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上有所拓展和提升?！岸鴶?shù)學(xué)思維形成最有效的辦法是通過解題來實現(xiàn)的。檢驗學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平主要看兩個方面：一是掌握數(shù)學(xué)知識的水平，二是數(shù)學(xué)能力