2022-2023學(xué)年貴州省銅仁市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年貴州省銅仁市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合4={%|%2—％-2<0},8={劃一2<%<0},則41）8=（）

A.{%|-2<%<—1}B.{%|-1<%<0]

C.{%|-2<x<2]D.{x|0<x<2]

2.若復(fù)數(shù)z滿足z-（2+i）=2i+l（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的共朝復(fù)數(shù)3在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點

位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.若a>b>0,則下列不等式成立的是（）

A.yj~a<y/_bB.log2a<log2bC.a+b<2VabD.1.5a>1.5s

4.設(shè)a,P，y為不同的平面，m,"為不同的直線，則戊〃￡的一個充分條件是（）

A.a1y,/?1yB.m1a,n1/?,m//n

C.a內(nèi)有無數(shù)條面線與￡平行D.a內(nèi)有不共線的三點到￡的距離相等

5.甲、乙、丙三人玩踢健子游戲，第一次由甲把健子踢給其他二人中的一人，第二次由得

到穰子的人再踢給其他二人中的一人，這樣一共踢了3次，則第3次偎子仍回到甲的概率為（）

6.若sin/+a）=|,貝ijcos（2a-y）=（）

A.B.4C.|D.

7.圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的4倍，母線長為5,圓臺的側(cè)面積為25兀，則該圓

臺的體積為（）

A.147rB.287rC.527rD.847T

8.已知函數(shù)/（x）=<2sin（2wx-6+1（3>0）在[0,河上恰好有3個零點，則3的最小值為

（）

A5R13「13八15

A-3B.運C.-D.彳

二、多選題（本大題共3小題，共15.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.某汽車制造廠分別從4,B兩類輪胎中各隨機抽取了6個進行測試，下面列出了每一個輪

胎可使用的最遠(yuǎn)路程（單位：1。3人?。?

A類輪胎：94,96,99,99,105,107；

B類輪胎：95,95,98,99,104,109.

根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計這兩類輪胎的總體情況，下列說法正確的是()

A.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)路程的眾數(shù)大于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)路程的眾數(shù)

B.4類輪胎行駛的最遠(yuǎn)路程的極差小于8類輪胎行駛的最遠(yuǎn)路程的極差

C.4類輪胎行駛的最遠(yuǎn)路程的平均數(shù)大于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)路程的平均數(shù)

D.4類輪胎的性能更加穩(wěn)定

10.設(shè)向量d=(—1,1),b=(0,—2);則()

A.\a+2b\=10B.(a+b)//a

C.(a+fe)1aD.B在3上的投影向量為(L一1)

11.在棱長為2的正方體4BCO-4/iCiDi中，點E,F分別是棱BC,的中點，M為的

中點,則()

A.4G〃平面DEF

B.平面ADiM〃平面DEF

C.異面直線DE與。/所成角的余弦值為

D.點8到平面DEF的距離為|

三、解答題(本大題共5小題，共60.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

12.(本小題12.0分)

為了拓展學(xué)生的知識面，提高學(xué)生對航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng)，某學(xué)

校組織學(xué)生參加航空航天科普知識團體答題闖關(guān)競賽，甲、乙、丙三人組成一組，三人各自

獨立闖關(guān)，其中甲、乙都闖關(guān)成功的概率為|,甲、丙都闖關(guān)成功的概率為|,乙，丙都闖關(guān)

成功的概率為工，每人闖關(guān)成功記3分，不成功記0分，三人得分之和記為小組團體總分.

1O

(1)求甲、乙、丙各自闖關(guān)成功的概率；

(2)若團體總分不小于6分，則該小組闖關(guān)成功，求該小組闖關(guān)成功的概率.

13.(本小題12.0分)

己知函數(shù)/'(x)=loga(l+x),g(x)=loga(l-x)(a>0且a豐1).

(1)求函數(shù)f(%)?g(x)的定義域，并判斷/(x)?g(x)的奇偶性；

(2)若/(l)+g(；)<1,求a的取值范圍.

14.(本小題12.0分)

在4ABC中，2asinAcosB+bsin2A+2HacosC=0.

(1)求角C的大??；

(2)若4c=2,C。=門，點。為AB的中點，求△BCO的面積.

15.(本小題12.0分)

某校有高中生4200人，其中男、女生比例為3：2,為了獲得該校全體高中生的身高信息，采

取了以下兩種方案：

方案一：采用比例分配的分層隨機抽樣的方法，抽取了樣本容量為n的樣本，得到頻數(shù)分布表

和頻率分布直方圖.

身高(單位：cm)[145,155)[155,165)[165,175)[175,185)[185,195]

頻數(shù)420Pq4

方案二：采用簡單隨機抽樣的方法，抽取了樣本容量為50的樣本，其中男生有20人，女生有

30人，計算得到男生樣本的均值為170.5,方差為16,女生樣本的均值為158,方差為20.

(1)已知方案一抽取的樣本中第三組比第四組多6人，求n,p,q的值并補充完整頻率分布直

方圖，估計該校高中生的身高均值；(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值為代表)

(2)計算方案二總樣本的均值及方差;

(3)你覺得方案一和方案二的樣本均值哪個用來估計總體均值更合適?

頻率/組距

0.040...................

0.036

0.032

0.028

0.024

0.020

0.016

D.012

0.008

。?004乂身高/cm

0^145155165175185195_

16.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC1底面4BCZ),四邊形2BCD是直角梯形,AZ)_LDC,AB〃DC,

AB=2AD=2CD=2,點E是PB的中點.

(1)證明：AC1CE；

(2)若直線PC與平面ABC所成角的正弦值為?，求二面角P-AD-C的余弦值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4={x[—1<x<2},B={x\-2<x<0],

A\JB={x\—2<x<2].

故選：C.

可求出集合4,然后進行并集的運算即可.

本題考查了并集的定義及運算，一元二次不等式的解法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：z-(2+i)=2i+l,

川Z=1+2?=<+2i)(2T)=43

人JZ-2+i—(2+i)(2-i)-5+51,

取’55

故復(fù)數(shù)Z的共輪復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(,-|)位于第四象限.

故選：D.

先結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算及共輾復(fù)數(shù)的概念求出然后結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可求.

本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運算，共軌復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：若a>b>0,則產(chǎn)>，T，A錯誤；

log2a>log2h,B錯誤;

由a>b>0及基本不等式可得a+b>2V_ah-C錯誤；

由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，1.5a>1.56,。正確.

故選：D.

由己知結(jié)合事函數(shù)單調(diào)性檢驗選項A；

結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性檢驗選項B；

結(jié)合基本不等式檢驗選項C；

結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性檢驗選項D.

本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性在不等式大小比較中的應(yīng)用，還考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)

題.

4.【答案】B

【解析】解：4中，a，y，01y,可能a〃0，也可能a,3相交，所以4不正確；

B中，m1a,nip,m//n,所以nJLa,所以a//0,所以B正確；

C中，a內(nèi)有無數(shù)條直線與6平行，可能a〃/?，也可能a,口相交，所以C不正確；

。中，a內(nèi)有不共線的三點到0的距離相等，當(dāng)三個點在少的兩邊時，則a,/?相交，所以。不正確.

故選:B.

由線面平行的定義或判定定理可判斷出三個命題的真假.

本題考查面面平行的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

由樹狀圖可知，總情況有8種，滿足要求的有2種,

所以第3次犍子仍回到甲的概率為：=士

o4

故選：C.

畫出樹狀圖求解即可.

本題主要考查古典概型和樹狀圖，屬于中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：因為sin(￡+a)=sing+(a—初=COS(Q—芻=：,

所以cos(2a—y)=cos2(a—1)=2cosz{a—1)—1=2x(|)2-1=-

故選：A.

由已知利用誘導(dǎo)公式可求得cos(a-金=I，進而利用二倍角公式即可求解.

本題考查了誘導(dǎo)公式以及二倍角公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：設(shè)圓臺較小的半徑為r,

???圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的4倍，所以另一底面的半徑為4r,

又母線長為5,圓臺的側(cè)面積為25幾，

??.S蒯=5兀(r+4r)=25兀，解得「=i,圓臺的高為：h=yj52-(4-l)2=4.

???該圓臺的體積為:inx4x(I2+42+1x4)=287r.

故選:B.

直接利用圓臺的側(cè)面積公式、全面積公式以及體積公式求解即可.

本題考查圓臺全面積的求法，考查圓臺的側(cè)面積公式、全面積公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能

力，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：因為3>0，

當(dāng)％G[0,7l]時，(DX6[0,a)7l],2COX-6[―2C07T——],

令V"^sin(237r—m+1=0,得sin(237r—盍)=—年，

又因為函數(shù)/(%)=Csin(23%-工)+1(3>0)在[0,可上恰好有3個零點，

所以y=sin(23/r-*)與y=一行在[0,捫上有3個交點，

令t=2371—工，

即y=sint與y=—?在t￡[一卷，237r—勺上有3個交點，

2AZ

由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得：苧st〈字，

44

日(1371/on.157r

即1丁工237r一誦〈丁，

解得：1<60<

所以3的最小值為余

故選：A.

令t=2a)7i—各則t6[―a2a)n—勺，將問題轉(zhuǎn)化為y=sint與y=—在t6[-2a)n—e)

上有3個交點，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得容423兀-工〈等，解得JW3〈普，即可得答案.

4124312

本題考查了轉(zhuǎn)化思想，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解：對4：4類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為99,

B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為95,選項A正確；

對C：4類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為100+-6-4-11+5+7=I。。，

B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為100+-5-5-裂+4+9=I。。，選項c錯誤.

對B：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為107-94=13,

B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為109-95=14,選項8正確.

對D：4類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為(94T0°)2+(96-100)2+(99-100)2X2+(105-100)2+(107-100)2=

6

64

T'

R類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為(95-10°)“2+(98-100)2+(99-100)2+(104-100)2+(109-100)2=76

6~3

64

T'

故A類輪胎的性能更加穩(wěn)定，選項。正確.

故選：ABD.

根據(jù)眾數(shù)、極差、平均數(shù)和方差的定義以及計算公式即可求解.

本題考查眾數(shù)、極差、平均數(shù)和方差的定義，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】CD

【解析】解:向量d=(―1,1)，b=(0,-2)>

則記+2石=(一1,一3)，\a+2b\=V1+9=故A錯誤；

a+b=(-1,-1).(a+K)-a=-1X(-1)+(-1)x1=0,可得伍+h)la>故B錯誤，C正確;

施五上的投影向量為碧?各=浮=-五=(LT)，故。正確.

|a||a|2v

故選：CD.

由向量的加減和數(shù)乘運算、數(shù)量積坐標(biāo)表示，以及向量垂直、投影向量的定義可得結(jié)論.

本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】BCD

假設(shè)4cl〃平面DEF,則AC"/GF,

易知產(chǎn)為CG的中點，而G為4c的靠近C的三等分點，

???GF與AC1不平行，

???假設(shè)不成立，；.4Ci與平面DE尸不平行，選項錯誤;

則根據(jù)題意易知EF〃BG〃4Di，

EF//ADlt又易知DE〃DiM,且EFnOE=E,

二可得平面〃平面OEF,B選項正確；

對C選項，如圖，由B選項分析可知DE〃DiM,

???異面直線DE與DiF所成角即為乙MD/或其補角，

在中，易知D1M=D/=MF=A/-2,

A.nc5+5—24

??cos4MD/=5xf^=M

???異面直線DE與。i尸所成角的余弦值為右C選項正確;

B到平面DEF的距離等于C到平面DEF的距離，并且設(shè)其為d,

易知。尸=OE=K，EF=C，.??由C選項分析可知cos4EDF=g,

???sin/EDF=|,E0尸的面積為2x/~5x<^x|=|,

又%-EOF=^F-CDE?

11

**,xS^EDFxd=yxSACDExCF,

13alicd

.-.-x-xd=-x-x2x1lx1l.

d=I，二。選項正確.

故選：BCD.

對工選項，根據(jù)反證法及線面平行的性質(zhì)定理，即可判斷；

對B選項，根據(jù)面面平行的判定定理的推論，即可判斷；

對C選項，將兩異面直線平移成相交直線，再解三角形，即可判斷；

對。選項，由E為BC的中點，可得B到平面。EF的距離等于C到平面DEF的距離，再根據(jù)等體積法,

方程思想，即可求解.

本題考查線面平行的性質(zhì)定理，面面平行的判定定理的推論，異面直線所成角問題，點面距的求

解，屬中檔題.

12.【答案】解：(1)記甲、乙、丙各自闖關(guān)成功的事件為4B,C,

由題意得P(4)P(B)=],P(4)P(C)建，P(B)P(C)=看，

解得「伊)=$P(B)=P(C)=I；

(2)小組闖關(guān)成功，則至少有2人答對，

43113369

所以小組闖關(guān)成功的概率為!X,x,+2X-X-X-+-X-X-=--

5445448O

544

【解析】(1)記甲、乙、丙各自闖關(guān)成功的事件為4B,C,根據(jù)題意列出等式，而后求解即可;

(2)小組闖關(guān)成功，則至少有2人答對，由此計算概率即可.

本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，屬中檔題.

13.【答案】解：(1)根據(jù)題意，設(shè)F(x)=/(x)g(x),

而函數(shù)f(x)=loga(l+x),g(x)=loga(l-%),

則FQ)=loga(l+x)-loga(l-x),

則有解可得—1<X<1，即函數(shù)的定義域為(一1,1)，

又由F(-x)=loga(l+x)-loga(l-x)=loga(l-x)-loga(l+x)=F(x),

則函數(shù)/(x)g(x)為偶函數(shù)；

(2)根據(jù)題意，若/■⑴+g(}<l,B|Jloga2+loga|=loga|<1,

解可得：0<a<1或a>|,

即a的取值范圍為(0,1)U(|,+8).

【解析】(1)設(shè)尸(%)=f(%)g(%)，先分析/(%)g(x)的定義域，再分析?(一%)、/(%)的關(guān)系,即可得

答案；

(2)由對數(shù)的運算性質(zhì)可得/(l)+g(》<1,即108。2+108。*=1。8￡1|<1，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)

分析可得答案.

本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系，涉及對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】解：（1）由正弦定理及2asin/cosB+bsin2A+2，3acosC=0知，2sin2AcosB+

sinBsin2A+2y/~3sinAcosC=0,

因為sin24=2sinAcosA,且sinA>0,

所以2sith4cosB4-2cosAsinB+2，3cosC=0,即2s譏（/+B）+2V~~3cosC=0，

所以2si7iC+25/-3cosC=0,

所以tcmC=^7=—［5,

cosC

因為。€（0,n），所以c=手

（2）因為點。為4B的中點，所以方=；（方+麗），

所以而2="（以2+2以?而+CB2'）,即3=；（4+2?2?a?cos與+a?）,整理得a2-2a-8=0,

解得a=-2或4（舍負(fù)），

所以△BCD的面積S=3SAABC=\x；abs譏44cB=Jx4x2xsiny=<3.

【解析】（1）利用正弦定理化邊為角，并結(jié)合二倍角公式與兩角和的正弦公式，化簡可得tanC=

一，有，得解；

（2）易知方=*”+而），將其兩邊平方，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算法則，求得a的值，再由

SABCD=3S“BC，并利用三角形的面積公式，得解?

本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，三角恒等變換公式，平面向量的運算法則是解題的關(guān)鍵，

考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

15.【答案】解:（1）易知身高在區(qū)間［145,155）的頻率為0.008x10=0.08,頻數(shù)4,

所以n=嬴=50,

則p+q=50—4—20—4=22,①

因為方案一抽取的樣本中第三組比第四組多6人，

所以p-q=6,②

聯(lián)立①②，解得p=14,q=8,

所以身高在區(qū)間［165,175）和［175,185）的頻率分別為第=0.28,4=0.16,

則頻率分布直方圖如下所示:

i頻率/組距

0.040—

0.036

0.032

0.028_____________

0.024

0.020

0.016——

0.012

0.008——

0.004身高/cm

0145155165175185195

則樣本的身高均值為10(150x0.008+160x0.04+170x0.028+180x0.016+190x

0.008)=167.6；

(2)不妨將男生樣本記為%i，x2,x20,均值為x,方差為或；

將女生樣本記為yi，y2>->y3o>均值為y，方差為反，

則總樣本均值5=+-^-y=20X170.5+30X158=

~JIT'20+3020+3050

可得總樣本方差S?=熹網(wǎng)+6-Z)2］+藕網(wǎng)+?—5)2］

=焉［16+(170.5-163)2］+扁［20+(158-163)2］=55.9；

(3)用方案一比較合適，因為方案一是比例分配的分層隨機抽取樣本，所以樣本的代表性比較強,

能夠更好地反映總體的情況.

【解析】⑴由題意，根據(jù)身高在區(qū)間［145,155)的頻率和頻率，列出等式即可求出n的值，易得p+q

的值，利用方案一抽取的樣本中第三組比第四組多6人，得到p-q的值，列出等式即可求出p,q的

值，可得身高在區(qū)間［165,175)和［175,185)的頻率，進而可補全頻率分布直方圖，再代入等式即可

求出身高均值；

(2)將男生樣本記為與，x2'''■>》20，均值為X，方差為S奈將女生樣本記為y2>...>y3c均

值為y,方差為寸，根據(jù)均值和方差公式進行求解即可；

(3)利用分層抽樣的定義進行求解即可.

本題考查頻率分布直方圖，考查了數(shù)據(jù)分析和運算能力.

16.【答案】解：(1)證明：因為PC_L平面ABC。，ACu平面4BCD,

所以PC14C,

又因為AB=2,AD=CD=1,AD1DC且四邊形4BC0是直角梯形，

所以4c=VAD2+DC2=BC=VAD2+(AB-DC)2=<7,

所以心