人教版數(shù)學(xué)第28章銳角三角函數(shù)學(xué)案

人教版教學(xué)九年級(jí)第二十八章銳角三角函教

28.1銳角三角函數(shù)

課程導(dǎo)入

觀察下列圖形都是什么圖形？哪些圖形比較特殊?

漫漫學(xué)小

28.1.1銳角三角的數(shù)的定義

■銳角三角函數(shù)的定義

A4BC中，NC為直角：

銳角NA的對(duì)邊與斜邊的比叫做乙4的，記作：si^A=

銳角乙4的鄰邊與斜邊的比叫做ZA的,記作；cosA=

銳角乙4的對(duì)邊與鄰邊的比叫做乙4的—____,記作______?tanA=______

1

【例1】在HzAABC中，ZC=90°.

⑴，標(biāo)=（斜邊——‘,()_

S，nRB=斜邊.

Q)C°SA=斜邊——'c°s8=斜邊——

tanB一的包=_______

⑶3A1的鄰邊’

()

想一想:正弦的定義是什么?，余轉(zhuǎn)的定義是什么二正切的定義天什幺?

【練習(xí)1.1］如圖，在AABC中，NABC=90。，8OLAC于。，NCBD=cc,

AB-3,BC-4,求si〃a,cosa,tana的值.

【即時(shí)檢測(cè)】

1.正方形網(wǎng)格中，乙405如圖放置，則cosNAOB的值為（）＜3分鐘〉

A.—B.—C.-D.2

552

【例2】在RrAABC中，ZC=90°,sM4=|,則的值為()

A.-B.-C.—D.1

3544

2

海一態(tài).?正弦的定義是什么？正切的定義是什么?

【練習(xí)2.1】在MAA8C中，ZC=90°,AB=5,AC=2,則cosA的值是（）

A.叵B.2C.叵D-

5522

【例3】已知：如圖，RfAABC中，ZC=90°.。是AC邊上一點(diǎn)，￡>E_LAB于

E點(diǎn)、.DE:AE=1:2.求：sinB、cosB、tanB.

點(diǎn)一點(diǎn)；正弦、余弦、正切的定義是什禰是否記熟？同角的三角西教值是否

相等？

【練習(xí)3.1］在區(qū)公43。中，ZC=90°,現(xiàn)把這個(gè)三角形的三邊都擴(kuò)大為原來(lái)的

3倍，則NA的正弦值（）

A.擴(kuò)大為原來(lái)的3倍B.縮小為原來(lái)的3倍C.不變D.不能確定

28.1.2銳角三角的數(shù)常用公式

3

■常用公式

已知4+々=90。

(1)sinA=coscosA=sin

⑵sinA=cos&0。-)cosA=sin(90°—)

(3)sin2A+cos2A=

⑷包1A=

cosA

4

【例4】MBC中，ZC=90°,sinA=-,求co&4,tan/l的值.

態(tài)一態(tài)；正弦與余弦之間的公式有哪些？正切與正弦、余弦之間的關(guān)東？你是否

記熟？

2萬(wàn)

【練習(xí)4.1】/?公45。中，ZC=90°,cosA==-,求sinA,tanA的值.

【例5】如圖，R/AABC中，NC=90。,

4

cm>4

求證：(1)sin2A+cos2A=l；(2)tanA--------

cosA

鹿一理:正弦余弦正切的定義是什&?同角的正弦余弦之間有什么關(guān)東？同角的

正切與正弦余弦之間的關(guān)條式是什么？

【即時(shí)檢測(cè)】

2.已知sina+costz=〃z,sma?cosa=n>則帆，〃的關(guān)系是

<3分鐘〉

【例6】44是銳角，已知cos4=—，求sin（90。-A）的值.

想一想二互余角的三角國(guó)教三間的關(guān)系你還記得嗎？

【練習(xí)6.1］若a是銳角，tane?tan5（）o=l,則a的值為（）.

5

A.20°B.30°C.40°D.50°

【即時(shí)檢測(cè)】

3.tanl°tan2°tan3°...tan89°=.<3分鐘〉

28.1.3特殊角三角函數(shù)值

■特殊角三角函數(shù)值

三角函數(shù)30°45°60°

￡

sill41A/3

2

22

cosV3Q

2

22

tan1百

3勺

【例7】求下列各式的值.

(l)2sin3O0-V2cos45°(2)tan30°-sin60°?sin30°

(3)cos450+3tan300+cos300+2sin600-2tan45°

想一想:特殊角的三角的數(shù)依你是否全部記住了？

6

【即時(shí)檢測(cè)】

4.計(jì)算<6分鐘〉

(1)cos245°-------------H---------------+cos230°+sin245°

sin30°tan30°

⑵/爵+2tan60。,八sin3001

(3)---------------1-----------

1+cos30°tan30°

【例8】求適合下列條件的銳角

(l)coscr=—(2)tuna—

2

想一想:哪個(gè)角的余弦值是2,鄴個(gè)角的正切值是3?

【練習(xí)8.1］求銳角。的度數(shù).

叵

(1)sina=——(2)tana-1

2

【例9】已知：如圖，在AA3C中，ZBAC=120°,AB=\0,AC=5.

7

求：sinNACB的值.

A

盤一盤;特殊角的三角的數(shù)值禰全部記住了嗎?120。角與哪個(gè)精珠角的三

角函數(shù)值有關(guān)，沒(méi)有直角三角形我們?cè)撛趺醋觯?/p>

【練習(xí)9.1】已知：如圖，RAA5C中，ZC=90°,AC=BC=y/3,作

ZDAC=30°,AD交CB于D點(diǎn),

求：（1）N8A。；（2）sinN8AZ）、cosZBAD和tanNBAD.

【例10】閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再將要求答題：

1n

sin30'=-,cos300=—,貝Usir?300+cos2300=；①

22

//y

sin45°=—,cos45°=—,則sir?450+cos2450=；②

22

sin600=——，cos600=——,貝ijsin2600+COS?60"二.（3）

22

觀察上述等式，猜想：對(duì)任意銳角A,都有sirA+cos2A=.④

(1)如圖，在銳角三角形4BC中，利用三角函數(shù)的定義及勾股定理

對(duì)/A證明你的猜想；

(2)已知：NA為銳角(cosA〉0)月.sinA=1,求cosA.

8

想一想L正卷余典的定義你還記得嗎?

【練習(xí)10.1】關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：

sin(a+/?)=sintzco第+cosasin/7.①

cos(a+萬(wàn))=cosacos/3-sinasin，......②

,八、tana+tan/?公

1-tana?tanj3

利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來(lái)

求值，如:

tanl05°=tan(45°+60°)=麗特+tan60°=l+y/3=(1+省)(1+￡=_(2+我,

1-tan45°?tan60°1-1.V3(1-<3)(1+V3)

根據(jù)上面的知識(shí)，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問(wèn)題：

如圖，直升飛機(jī)在一建筑物CD上方A點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂端。點(diǎn)的俯角?=60°,

底端C點(diǎn)的俯角尸=75。，此時(shí)直升飛機(jī)與建筑物CD的水平距

離BC為42m,求建筑物C￡>的高.

2.1.4銳角三角函教的范圍

9

■銳角三角函數(shù)的范圍

(1)<sin?<，增減性

(2)<cosa<,增減性;

(3)tanA>,增減性_______________________

【例11】已知NA為銳角，且cosAW，,那么()

2

A.0°<ZA<60°B.60°<ZA<90°

C.0°<ZA<3(^D.30°<ZA<90°

想-這；哪個(gè)特殊角的余弦值是:，余弦的增減性是什么?

【即時(shí)檢測(cè)】

5.已知NA為銳角，且sinA〉L那么NA的范圍.<5分鐘〉

2

【例12】當(dāng)銳角a>6()。時(shí)，cosa的值().

A.小于工B.大于工C.大于且D.大于1

222

盤一盤；剛才你在做題中遇.到了哪個(gè)特殊角，它的余弦值是多少？余弦的增

減4性是什么?

［練習(xí)12.1］當(dāng)銳角々>45。時(shí)，cosa的值.

【例13】將cos21。，cos37。，sin41。的值按從小到大的順序排列為

10

態(tài)一點(diǎn)：剛剛在做題中遇■到了不同種三角函數(shù)比較大小時(shí),你該如何轉(zhuǎn)化?

【練習(xí)13.1】將cosl3。，cos24。，sin50。的值按從小到大的順序排列為.

【例14］已知銳角A滿足關(guān)系式2sin2A—7sinA+3=0,則sinA的值為()

A.-B.3C.,或3D.4

22

想一想:剛剛在做題中你運(yùn)用了一元二次方程的死和蹩題方法？你是如何取

舍根的？

【練習(xí)14.1］已知tan%-(1+V^)tana+行=0,求銳角a的度數(shù).

11

延時(shí)檢測(cè)：

1.如圖，在正方形網(wǎng)格中有A45C,則tanNABC的值等于（）＜3分鐘〉

3V10DVio

A.D.-----------c.-D.Vio

10103

2.把各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大3倍得Rt/^B'C',那么銳角A與A的余弦值的

關(guān)系為（）＜2分鐘〉

A.cos4=cosA'B.cosA=3cosA'C.3cos4=cosA'D.不能確定

3.如圖，在△ABC中，A。是8c上的高，tanB=cosZDAC,

（1）求證：AC=BD；

(2)若sinC=—,BC=12,求AO的長(zhǎng).<5分鐘》

12

前情回顧：

4.在AABC中，NA,ZB均為銳角，>tanB-V3|+(2sinA-V3)2=0,則AABC是

()<3分鐘〉

A.等腰三角形；B.等邊三角形；

C.直角三角形；D.等腰直角三角形.

5.已知：在A4BC中，AC=b,BC=a,銳角NA=c,NB=￡<7分鐘》

⑴求A3的長(zhǎng)；

⑵求證：-^―=-^—?

sm。sinp

13

28.2解直角三角形

課程導(dǎo)入

下面的圖形你熟悉嗎？你能準(zhǔn)確說(shuō)出它們的含義嗎？

28.2.1解直角三角形概念及公式

■解直角三角形概念及公式

1.解直角三角形的概念：_______________—叫做解

直角三角形。

2.如圖，解直角三角形的公式：

A

(1)三邊關(guān)系：__________________c

(2)角關(guān)系：NA+/B=

(3)邊角關(guān)系：sinA-,sinB-,cosA=

cosB=,tanA=,tan8=

【例1】在八43。中,/。=90。,如果0=3/=4,求NA的三個(gè)三角函數(shù)值.

14

感一建直禽三角衫三邊的紜急便生記得嗎?迎與角間電關(guān)條又怎樣表達(dá)呢?

【即時(shí)檢測(cè)】

1.在MAABC中，ZC=90°,AC=1,BC=2,求sinA,cosA,tanA.<2分鐘〉

■解直角三角形的類型：

1.在一個(gè)直角三角形中：

已知兩邊：(1)在一個(gè)直角三角形中，已知兩

(2)在一個(gè)直角三角形中，已知一與;

已知一邊和一銳角：(1)在一個(gè)直角三角形中，已知一與

(2)在一個(gè)直角三角形中，已知一與;

2.在兩個(gè)直角三角形中：(1)兩個(gè)直角三角形不

(2)兩個(gè)直角三角形.

【例2】在火/AABC中，ZC=90°,由下列條件解直角三角形:

(1)已知a=4g,b=2y/3,貝Uc=；

(2)如圖，在尺△ABC中，ZC=90°,已知4=1(),。=1()后，則ZB=.

逮一尊：勾股定理你還記彳號(hào)嗎?三紇的關(guān)系是怎，表達(dá)呢？等腰直角三角形

的性質(zhì)是什么？

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【練習(xí)2.1]

(1)如圖，在MAABC中，NC=90。若ZA=30。,c=10,則"=,b=

(2)已知b=35,NA=45°,則a=.

【例3】在AA8C中，ZACB=90°,CD1AB,ZB=30°,8=6,求A3的長(zhǎng).

想一想:30°直角三角形有哪些性質(zhì)你還記得嗎？所求線段與哪些邊長(zhǎng)有關(guān)？

【即時(shí)檢測(cè)】

2.在A/LBC中，/B=30。，ZA=45°,AC=2,CDLAB,求AB的長(zhǎng).<2分鐘〉

【例4】已知A。18。，ZB=30。，ZACD=45°,AD^2,求BC的長(zhǎng).

16

A

施二盤;一3。葭45UL氮2氮般血強(qiáng)整技J搔風(fēng)宏A吸，如紅選元2上國(guó)以立愛(ài)2

【練習(xí)4.1］已知A3，CB,NC=45。，ZADB=60°,3C=3,求A。的長(zhǎng).

28.2.2實(shí)際應(yīng)用

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■仰角、俯角

【例5】電視塔高為350m,一個(gè)人站在地面，離塔底。一定的距離A處望塔頂8,

測(cè)得仰角為60°,若某人的身高忽略不計(jì)時(shí)，。4=

感一態(tài)；仰角的定義是什么？你能畫圖找出仰角嗎？

【練習(xí)5.1】如圖，河對(duì)岸有鐵塔在C處測(cè)得塔頂4的仰角為30。，向塔

前進(jìn)14米到達(dá)。，在。處測(cè)得A的仰角為45。，求鐵塔A8的高.

［例6］某飛機(jī)與空中A處探測(cè)到目標(biāo)C,此時(shí)飛行高度AC=1200米，從飛機(jī)上

看地面控制點(diǎn)B的俯角為c=30。，求飛機(jī)A到控制點(diǎn)B的距離.

想一想:俯角的定義你記住了嗎？你能畫出圖形，標(biāo)出仰角嗎?控制點(diǎn)B的

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俯角與Rt^ABC中的哪個(gè)角相等？

【即時(shí)檢測(cè)】

3.在高為//的山坡上，測(cè)得一建筑物的頂端與底部的俯角分別為30。,60。,用力表

示這個(gè)建筑物的高。＜3分鐘〉

■坡度及坡角

坡面的和的比叫做坡度（坡比）。如圖用字母i表示,

即1=4。坡度一般寫成的形式,

（叫做坡角），那么

i=gtana。

【例7】如圖，一鐵路路基橫斷面為等腰梯形ABCO,斜坡的坡度為z=2:3,

路基高AE為3m,底CO寬12m,求路基頂AB的寬

態(tài)一態(tài).?坡度的定義你記住了嗎？由等腰梯形能想到什么？由坡度可以得到哪個(gè)

19

角的正切值，如何把題中所給線段與坡角的正切藤條起來(lái)，怎么將CD分割隊(duì)而

求，ABL?

【練習(xí)7.1](1)斜坡的坡度是1:百，則坡角c=—.

(2)一個(gè)斜坡的坡度為l=1:有，那么坡角a的正弦為

■方位角

指北或指南方向線與方向線所成的小于的水平角，叫做方向

角。

如圖(3)方向角：OA：，OBz，OC：，OD：____

[例8]一船向東航行，上午8時(shí)到達(dá)B處，看到有一燈塔在它的南偏東60°,

距離為72海里的A處，上午10時(shí)到達(dá)C處，看到燈塔在它的正南方向，則這艘

船航行的速度為()

AA海里/小時(shí)B180海里/小時(shí)

C36海里/小時(shí)D366海里/小時(shí)

然一態(tài)；方住角你是否全掌握了？

【即時(shí)檢測(cè)】

20

4.為打擊索馬里海盜，保護(hù)各國(guó)商船的順利通行，我海軍某部奉命前往該海域執(zhí)

行護(hù)航任務(wù).某天我護(hù)航艦正在某小島A北偏西45。并距該島20海里的B處待

命.位于該島正西方向。處的某外國(guó)商船遭到海盜襲擊，船長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)在其北偏東

60。的方向有我軍護(hù)航艦(如圖所示)，便發(fā)出緊急求救信號(hào).我護(hù)航艦接警后,

立即沿8c航線以每小時(shí)60海里的速度前去救援.問(wèn)我護(hù)航艦需多少分鐘可以到

達(dá)該商船所在的位置C處？(結(jié)果精確到個(gè)位.參考數(shù)據(jù)：V2?1.4，V3?1.7)

<10分鐘〉

■解直角三角形與四邊形

【例9】如圖，點(diǎn)E在正方形48co的邊A8上，連接短E,過(guò)點(diǎn)C作于

F,過(guò)點(diǎn)4作交OE于點(diǎn)G.

(1)求證：\DCFs\ADG.

(2)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，設(shè)NOCE=a,求sine的值.

態(tài)一點(diǎn)：正方形的性質(zhì)是什么，全等三角形的判定與性質(zhì)又是什么，如何蹩

21

直急三角形.

【即時(shí)檢測(cè)】

5.已知平行四邊形A8CD中，對(duì)角線AC和8。相交于點(diǎn)。，AC=10,BD=S.

(1)若AC_L8。，試求四邊形ABC。的面積；

(2)若AC與BO的夾角400=60。，求四邊形ABCD的面積；

(3)試討論:若把題目中“平行四邊形A8CD”改為“四邊形A