圓錐曲線的方程講義二十 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)高考--圓錐曲線的方程（一輪復(fù)習(xí)）課時(shí)二十知識(shí)點(diǎn)一根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求橢圓中的參數(shù)及范圍,橢圓中向量點(diǎn)乘問(wèn)題典例1、已知橢圓：（）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）如圖所示，過(guò)橢圓上的點(diǎn)，（）的直線與，軸的交點(diǎn)分別為和，且，過(guò)原點(diǎn)的直線與平行，且與橢圓交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值.

隨堂練習(xí)：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，是橢圓上一點(diǎn)，且面積的最大值為1.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的取值范圍；典例2、已知直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓C的離心率為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）以橢圓的短軸為直徑作圓，若點(diǎn)M是第一象限內(nèi)圓周上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作圓的切線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，橢圓C的右焦點(diǎn)為，試判斷的周長(zhǎng)是否為定值．若是，求出該定值．

隨堂練習(xí)：已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的2倍，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上，直線與橢圓交于A，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的面積；（3）對(duì)，的周長(zhǎng)是否為定值？若是，給出證明，并求出定值；若不是，說(shuō)明理由.典例3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線的交點(diǎn)為P，，的斜率均存在且乘積為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)Р的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程;（2）若點(diǎn)M在曲線C上，過(guò)點(diǎn)M且垂直于OM的直線交C于另一點(diǎn)N，點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q.直線NQ交x軸于點(diǎn)T，求的最大值.

隨堂練習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足．記M的軌跡為C．（1）求C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且，證明：為定值．知識(shí)點(diǎn)二根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓中三角形（四邊形）的面積,求橢圓中的最值問(wèn)題典例4、已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）若的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）過(guò)點(diǎn)作斜率的直線交橢圓于不同兩點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，在橢圓上存在點(diǎn)，使，記四邊形的面積為，求的最大值.

隨堂練習(xí)：已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線：與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，原點(diǎn)到直線的距離為2，求的面積的最大值.典例5、已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短半軸長(zhǎng)為，為橢圓上一點(diǎn)，的最小值為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)：在軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，滿足？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

隨堂練習(xí)：設(shè)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為，為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，軸，的半徑為．（1）求橢圓和的方程；（2）若直線與交于，兩點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，其中，在第一象限，是否存在使？若存在，求的方程：若不存在，說(shuō)明理由．典例6、已知，是橢圓：的焦點(diǎn)，，是左、右頂點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)滿足，且直線，的斜率之積等于（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若，，其中，證明

隨堂練習(xí)：已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，軸于點(diǎn)，，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）直線交曲線于，兩點(diǎn)，直線交曲線于，兩點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，軸，證明：.2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復(fù)習(xí)）課時(shí)二十答案典例1、答案：（1）；（2）2.解：（1）由題意知：，解得：，∴橢圓的方程為.（2）設(shè)，（），又直線的斜率存在且，∴設(shè)直線為：，可得：，，由，則，故，聯(lián)立，可得：，又，故直線為，聯(lián)立，得：，即B、D的橫坐標(biāo)為，∴，∵點(diǎn)到直線的距離，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.∴面積的最大值為2.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）.解:（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，由題知，解得，所以橢圓方程為；（2）由題意，①若直線的斜率不存在，則直線的方程為，不妨設(shè)，，此時(shí)，，所以；②若直線的斜率存在，設(shè)的方程為，，，則由，消去得，，所以，，又，所以，因?yàn)椋?，所以，所以；綜上，的取值范圍為.典例2、答案：（1）（2）周長(zhǎng)是定值，且定值為4解：（1）因?yàn)榻?jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，令，則，所以橢圓的右焦點(diǎn)為，可得：，又，可得：，由，所以，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線的方程為，由得：，所以，設(shè)，，則：，所以.因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即，所以，因?yàn)?，又，所以，同?所以，即的周長(zhǎng)是定值，且定值為4．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）（3）是，定值為8，證明見(jiàn)解析解：（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的2倍，則，則，∴橢圓為，代入點(diǎn)得，解得.∴橢圓的方程為.（2），則直線為，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)為.設(shè)，由得，∴，，.∴.∴.（3）的周長(zhǎng)為定值，理由如下：直線l恒過(guò)橢圓左焦點(diǎn)，由橢圓定義可知的周長(zhǎng)為.典例3、答案：（1）（2）解：（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，定點(diǎn)，，直線與直線的斜率之積為，，（2）設(shè)，，，則，，所以又，所以，又即，則直線：，直線：，由，解得，即，所以令，則，所以因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為；隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析解：（1）由橢圓的定義可知：M的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，，所以，所以C的方程為（2）設(shè)直線l為：，則聯(lián)立得：，設(shè)，則，，，則，AB中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以AB的垂直平分線為，令得：，所以，，典例4、答案：（1）（2）解：（1），∴，，，又，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2），∴，橢圓，令，直線l的方程為：，聯(lián)立方程組：，消去y得，由韋達(dá)定理得，，有，因?yàn)椋?，所以，，將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入橢圓方程化簡(jiǎn)得：，而此時(shí)：.，而，O點(diǎn)到直線l的距離，所以：，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，所以，得，又，所以，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最大值是.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）4解：（1）由題意可得：，又離心率為，所以，可得，那么，代入可得：，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知，原點(diǎn)到直線的距離為2，那么，即：，設(shè)，，聯(lián)立可得：，其判別式，可知由韋達(dá)定理可得：，，那么，所以的面積典例5、答案：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率；（2）存在點(diǎn)，使得．解：（1）由題知，，又，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓的離心率．（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，．聯(lián)立，消去并整理得，由，得或則，若存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得，則的平分線與軸平行，即．設(shè)，則解得，即；當(dāng)直線斜率的不存在時(shí)，由對(duì)稱性，顯然有．綜上，存在點(diǎn)，使得．隨堂練習(xí)：答案：（1），.（2）不存在，理由見(jiàn)解析解：（1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓的離心率，，，，將點(diǎn)代入橢圓的方程得：，聯(lián)立解得：，橢圓的方程為：，，軸，，的方程為：；（2）由、在圓上得，設(shè)，，，同理：，若，則，即，，由得，得，無(wú)解，故不存在．典例6、答案：（1）（2）證明見(jiàn)解析解：（1）因?yàn)椋荷系狞c(diǎn)滿足，所以表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，即，所以，，設(shè)，則，①所以直線的斜率，直線的斜率由已知得，即，②由①②得所以橢圓的方程為：（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，與重合，與重合，，。成立.當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)的方程為聯(lián)立方程組，消整理得，所以，解得或設(shè)，，則，由，得，所以設(shè)，由，得所，所以，所以點(diǎn)在直線上，且所以是等腰三角形，且，所以，綜上，隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）證明見(jiàn)