高中數(shù)學(xué)習(xí)題3：圓與方程全章綜合測試

單元測評(四)圓與方程

(時(shí)間：90分鐘滿分：120分)

第I卷(選擇題，共50分)

一'選擇題：本大題共10小題，共50分.

1.點(diǎn)A(2ma—1)在以點(diǎn)C(0,l)為圓心，半徑為小的圓上，則。的值

為()

A.±1B.0或1

C.-1或gD.-g或1

解析：由題意，已知圓的方程為好+3-1)2=5,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓

的方程可得a=1或a=—

答案：D

2.直線曠=區(qū)+1與圓/+y2=l的位置關(guān)系是()

A.相交B.相切

C.相交或相切D.不能確定

解析：直線1過定點(diǎn)(0,1),而點(diǎn)(0,1)在圓爐+9=1上，所以直

線與圓相交或相切.

答案：c

3.點(diǎn)尸(%,2,1)到點(diǎn)41,1,2)、3(2』」)的距離相等，則％等于()

A.gB.1

3

C，2D.2

解析：由題意，|網(wǎng)=|尸引,

1)2+(2-1)2+(1—2)2

=^/(A：-2)2+(2—1)2+(1—I)2,

即x=\.

答案：B

4.直線％—y+4=0被圓％2+,2+4尤一4卜+6=0截得的弦長等于()

A.8B.4

C.2&D.472

解析：/+丁+以一4丁+6=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-2)2=2.

圓心(-2,2)在直線％—>+4=0上.

...被截得的弦長為直徑2夜.

答案：C

5.若方程(+產(chǎn)-%+>+根=0表示圓，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A./nV；B.m<0

-1J

C.m>2D.m^2

解析：,二(-1)2+12—4m>0,.,./%<；,故選A.

答案：A

6.直線/與圓C：小+>2+2%—4y+a=0(a<3)相交于A,3兩點(diǎn)，弦

A3的中點(diǎn)為。(0,1),則直線/的方程為()

A.%—y+l=0B.%+y+l=0

C.x—y—1=0D.x+y—1=0

解析：圓C的圓心坐標(biāo)為(-1,2),弦A3中點(diǎn)。(0,1),.,"=,10=

-1,：.kAB=—j^=\,

.?.直線/的方程為y—1=%—0,即：％—y+l=0.

答案：A

7.與直線％+>-2=0和曲線X2+>2—12%—12》+54=0都相切的半徑

最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.(%—2>+(廠2)2=2

B.(X+2)2+G+2)2=2

C.(%—2)2+(y+2)2=2

D.(%+2)2+。-2)2=2

解析：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(1一。)2+(丁一份2=汽如圖，當(dāng)已知圓與所

求圓圓心連線垂直于已

知直線時(shí)，半徑最小，此時(shí)2r+3也等于已知圓圓心到已知直線的距離，

解得：a=2,b=2.

所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—2)2+(>一2)2=2.

答案：A

8.圓(%—3)2+。-3)2=9上到直線3x+4y-ll=0的距離等于2的點(diǎn)

有()

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：(3,3)到直線3%+—-11=0的距離4=1=~:~-------=2,而

圓的半徑為3,故符合題意的點(diǎn)有2個(gè).

答案：B

9.方程五，=lgx的根的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.無法確定

解析：設(shè)段)=出一%,g(%)=lg%,則方程根的個(gè)數(shù)就是於)與g(%)兩個(gè)

函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù).如圖所示，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出這兩個(gè)函

數(shù)的圖像.

由圖可得函數(shù)八%)="\/4—%2與g(%)=lg%僅有1個(gè)交點(diǎn)，所以方程僅有1

個(gè)根.

答案：B

10.把圓/+y2_|_2x—4y—'層―2=0的半徑減小—單位則正好與直線

3X一4丁一4=0相切，則實(shí)數(shù)。的值為()

A.-3B.3

C.-3或3D.以上都不對

解析：圓的方程可變?yōu)?%+1)2+。-2)2=4+7,圓心為(一1,2),半徑

為外”+7,由題意得^~[3；+],*=/次+7—1,解得a=±3.

答案：c

第II卷(非選擇題，共70分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

11.以原點(diǎn)O為圓心且截直線3%+4y+15=0所得弦長為8的圓的方

程是.

解析：原點(diǎn)o到直線的距離d=?7=3,設(shè)圓的半徑為「，.,.3=

32+42=25,...圓的方程是必+9=25.2

答案：x1+y2=25

12.過點(diǎn)A(4,l)的圓C與直線％—y—1=0相切于點(diǎn)3(2,1),則圓C的

方程為__________

解析：由題意知A、3兩點(diǎn)在圓上,

.?.A3的垂直平分線％=3過圓心，又圓C與直線芯一＞一1=0相切于點(diǎn)

8(2,1),：.kBC=-\,直線BC的方程為y=-x+3,

二.圓心坐標(biāo)為(3,0),：.r=yf2,

圓的方程為(x—3)2+丁=2.

答案：(%—3)2+y=2

13.直線y=%+〃與曲線％=尸了有且只有1個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值

范圍是.

Ay

解析：曲線州=Rl-y2可化為％2+y2=i（X20）,它表示單位圓的右半部

分，在同一坐標(biāo)系中畫出直線與曲線的圖像，如圖，相切時(shí)h=~y[2,其

他位置符合條件時(shí)需一lVbWl.

答案：。=一娘或-1V0W1

14.已知圓C過點(diǎn)（1,0）,且圓心在％軸的正半軸上，直線/：y=x-1

被圓C所截得的弦長為2娘，則過圓心且與直線/垂直的直線的方程為

解析：設(shè)圓心（4,0）（。＞0）,

（\a-1|Yi-..

.,.二+（也）2=|。一1匕

.,.a=3..?.圓心（3,0）.

.?.所求直線方程為％+y—3=0.

答案：%+廠3=0

三'解答題：本大題共4小題，滿分50分.

15.（12分）求平行于直線3%+3y+5=0且被圓（十丁=20截得長為6啦

的弦所在的直線方程.

解：設(shè)弦所在的直線方程為x+〉+c=0.①

、IdId

則圓心（0,0）到此直線的距離為d=?=^2-

（6分）

因?yàn)閳A的半弦長、半徑、弦心距恰好構(gòu)成直角三角形，所以［弱2+（3也）2

=20.（10分）

由此解得c=±2,代入①得弦的方程為％+y+2=0或x+y~2=0.（12

分）

16.（12分）已知圓C的方程是（%—1）2+。-1）2=4,直線I的方程為y

求當(dāng)m為何值時(shí)，

（1）直線平分圓；

（2）直線與圓相切.

解：（1）..?直線平分圓，所以圓心在直線上，即有m=0.（4分）

（2）二?直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，

..|l-l+m|\m\八

."一嚴(yán)E?一也一

m=±2^2.（10分）

即加=±2啦時(shí)，直線/與圓相切.（12分）

17.（12分）點(diǎn)A（0,2）是圓_?+產(chǎn)=16內(nèi)的定點(diǎn)，B、C是這個(gè)圓上的兩

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若區(qū)4_LCA,求8C中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么曲

線.

解：設(shè)點(diǎn)M（x,y）,因?yàn)镸是弦3c的中點(diǎn)，故。M_L3c.（2分）

又：ZBAC=90°.

A\MA\=^\BC\=\MB\.（6分）

V\MB^=\OB^~\OM\2,

：.\OB\2=\MO\2+\MA\2,即42=（%2+>2）+［（%-0）2+&-2）2］,化簡為/

+產(chǎn)—2y-6=0,

即％2+3—1）2=7.（10分）

，所求軌跡為以（0,1）為圓心，以由為半徑的