2025屆安徽省合肥市部分學(xué)校九上數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

2025屆安徽省合肥市部分學(xué)校九上數(shù)學(xué)期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．某機械廠七月份生產(chǎn)零件50萬個，第三季度生產(chǎn)零件196萬個．設(shè)該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=1962．如圖為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象，在下列說法中：①ac＜1；②方程ax2+bx+c＝1的根是x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＜1；④當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減??；⑤2a﹣b＝1；⑥b2﹣4ac＞1．下列結(jié)論一定成立的是（）A．①②④⑥ B．①②③⑥ C．②③④⑤⑥ D．①②③④3．下圖中，不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．方程x2﹣6x+5＝0的兩個根之和為（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．55．已知反比例函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．點(1，2)在它的圖象上B．其圖象分別位于第一、三象限C．隨的增大而減小D．如果點在它的圖象上，則點也在它的圖象上6．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠B=60°，OP⊥AC于點P，OP=2，則⊙O的半徑為（）．A．4 B．6 C．8 D．127．如圖，在中，，，，點在邊上，且，點為邊上的動點，將沿直線翻折，點落在點處，則點到邊距離的最小值是（）A．3.2 B．2 C．1.2 D．18．下列圖形是我國國產(chǎn)品牌汽車的標(biāo)識，在這些汽車標(biāo)識中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．9．下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A．平行四邊形 B．等腰三角形 C．矩形 D．正方形10．若關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x–1=0有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是A．k≥–1 B．k>–1C．k≥–1且k≠0 D．k>–1且k≠0二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，對稱軸平行于y軸的拋物線與x軸交于（1，0），（3，0）兩點，則它的對稱軸為________．12．若弧長為4π的扇形的圓心角為直角，則該扇形的半徑為．13．如圖，現(xiàn)有測試距離為5m的一張視力表，表上一個E的高AB為2cm，要制作測試距離為3m的視力表，其對應(yīng)位置的E的高CD為____cm．14．鬧元宵吃湯圓是我國傳統(tǒng)習(xí)俗，正月十五小明的媽媽煮了一碗湯圓，其中有4個花生味和2個芝麻味，小明從中任意吃一個，恰好吃到花生味湯圓的概率是_____．15．如圖，△ABC內(nèi)接于圓，點D在弧BC上，記∠BAC-∠BCD=α，則圖中等于α的角是_______16．關(guān)于的方程=0的兩根分別是和，且=__________．17．“上升數(shù)”是一個數(shù)中右邊數(shù)字比左邊數(shù)字大的自然數(shù)（如：34，568，2469等）．任取一個兩位數(shù)，是“上升數(shù)”的概率是_________．18．方程的兩根為，，則=．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，E為BC上一點，且BE=1，∠AED=90°，將AED繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到，A′E交AD于P，D′E交CD于Q，連接PQ，當(dāng)點Q與點C重合時，AED停止轉(zhuǎn)動．（1）求線段AD的長；（2）當(dāng)點P與點A不重合時，試判斷PQ與的位置關(guān)系，并說明理由；（3）求出從開始到停止，線段PQ的中點M所經(jīng)過的路徑長．20．（6分）如圖，已知拋物線經(jīng)過點、，且與軸交于點，拋物線的頂點為，連接，點是線段上的一個動點（不與、）重合.（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點的坐標(biāo)；（2）過點作軸于點，求面積的最大值及取得最大值時點的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若點是軸上一動點，點是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.21．（6分）已知：如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與坐標(biāo)軸分別交于點A，B（﹣3，0），C（1，0），點P是線段AB上方拋物線上的一個動點．（1）求拋物線解析式；（2）當(dāng)點P運動到什么位置時，△PAB的面積最大？（3）過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D，再過點P作PE∥x軸交拋物線于點E，連接DE，請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．22．（8分）如圖，菱形的邊在軸上，點的坐標(biāo)為，點在反比例函數(shù)（）的圖象上，直線經(jīng)過點，與軸交于點，連接，.（1）求，的值；（2）求的面積.23．（8分）計算：24．（8分）如圖所示，線段，，，，點為射線上一點，平分交線段于點（不與端點，重合）.（1）當(dāng)為銳角，且時，求四邊形的面積；（2）當(dāng)與相似時，求線段的長；（3）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域.25．（10分）如圖，，平分，且交于點，平分，且交于點，連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，求的長．26．（10分）解方程：x2﹣x﹣12=1．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【詳解】試題分析：一般增長后的量=增長前的量×（1+增長率），如果該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么可以用x分別表示八、九月份的產(chǎn)量：八、九月份的產(chǎn)量分別為50（1+x）、50（1+x）2，從而根據(jù)題意得出方程：50+50（1+x）+50（1+x）2=1．故選C．2、B【解析】根據(jù)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)可以判斷各個小題中的結(jié)論是否成立，從而可以解答本題．根據(jù)圖像分析，拋物線向上開口，a＞1；拋物線與y軸交點在y軸的負(fù)半軸，c<1；坐標(biāo)軸在右邊，根據(jù)左同右異，可知b與a異號，b<1;與坐標(biāo)軸有兩個交點，那么△>1，根據(jù)這些信息再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)判斷即可.【詳解】解：①由圖象可得，a＞1，c＜1，∴ac＜1，故①正確，

②方程當(dāng)y=1時，代入y=ax2+bx+c，求得根是x1=-1，x2=3，故②正確，

③當(dāng)x=1時，y=a+b+c＜1，故③正確，

④∵該拋物線的對稱軸是直線x=∴當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大，故④錯誤，

⑤則2a=-b,那么2a+b=1，故⑤錯誤，

⑥∵拋物線與x軸兩個交點，∴b2-4ac＞1，故⑥正確，

故正確的為.①②③⑥選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．3、D【解析】根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形可得答案．【詳解】A、是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

B、是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

C、是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D、不是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

故選：D．【點睛】考查了中心對稱圖形，關(guān)鍵是掌握中心對稱圖形定義．4、B【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出方程的兩根之和為，即可得出選項．【詳解】解：方程x2﹣6x+5＝0的兩個根之和為6，故選：B．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是熟練正確理解題意，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.5、D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及反比例函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵∴圖象在二、四象限，y隨x的增大而增大，選項A、B、C錯誤；∵點在函數(shù)的圖象上，∴∵點橫縱坐標(biāo)的乘積∴則點也在函數(shù)的圖象上，選項D正確．故選：D．【點睛】本題考查的知識點是反比例函數(shù)的的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)圖象的特征及其性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．6、A【解析】∵圓心角∠AOC與圓周角∠B所對的弧都為，且∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°（在同圓或等圓中，同弧所對圓周角是圓心角的一半）．又OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°（等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理）．∵OP⊥AC，∴∠AOP=90°（垂直定義）．在Rt△AOP中，OP=2，∠OAC=30°，∴OA=2OP=4（直角三角形中，30度角所對的邊是斜邊的一半）．∴⊙O的半徑4．故選A．7、C【分析】先依據(jù)勾股定理求得AB的長，然后依據(jù)翻折的性質(zhì)可知PF=FC，故此點P在以F為圓心，以1為半徑的圓上，依據(jù)垂線段最短可知當(dāng)FP⊥AB時，點P到AB的距離最短，然后依據(jù)題意畫出圖形，最后，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】如圖所示：當(dāng)PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，由翻折的性質(zhì)可知：PF=FC=1，∠FPE=∠C=90°．∵PE∥AB，∴∠PDB=90°．由垂線段最短可知此時FD有最小值．又∵FP為定值，∴PD有最小值．又∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴，即，解得：DF=2.1．∴PD=DF-FP=2．1-1=1.1．故選：C．【點睛】本題考查翻折變換，垂線段最短，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題8、B【解析】由中心對稱圖形的定義：“把一個圖形繞一個點旋轉(zhuǎn)180°后，能夠與自身完全重合，這樣的圖形叫做中心對稱圖形”分析可知，上述圖形中，A、C、D都不是中心對稱圖形，只有B是中心對稱圖形.故選B.9、B【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念和中心對稱圖形的概念進行分析判斷．【詳解】解：選項A，平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，錯誤；選項B，等腰三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，正確．選項C，矩形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；錯誤；選項D，正方形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，錯誤；故答案選B．【點睛】本題考查軸對稱圖形的概念和中心對稱圖形的概念，正確理解概念是解題關(guān)鍵．10、C【解析】解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=1有兩個實數(shù)根，∴△=b2﹣4ac=4+4k≥1，且k≠1，解得：k≥﹣1且k≠1．故選C．點睛：此題考查了一元二次方程根的判別式，根的判別式的值大于1，方程有兩個不相等的實數(shù)根；根的判別式的值等于1，方程有兩個相等的實數(shù)根；根的判別式的值小于1，方程沒有實數(shù)根．二、填空題(每小題3分,共24分)11、直線x＝2【解析】試題分析：∵點（1，0），（3，0）的縱坐標(biāo)相同，∴這兩點一定關(guān)于對稱軸對稱，∴對稱軸是：x==1考點:二次函數(shù)的性質(zhì)12、1．【分析】根據(jù)扇形的弧長公式計算即可，【詳解】∵扇形的圓心角為90°，弧長為4π，∴，即4π=，則扇形的半徑r=1．故答案為1考點：弧長的計算．13、1.1【分析】證明△OCD∽△OAB，然后利用相似比計算出CD即可．【詳解】解：OB=5m，OD=3m，AB=1cm，∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∴，即，∴CD=1.1，即對應(yīng)位置的E的高CD為1.1cm．故答案為1.1．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，利用三角形相似的性質(zhì)求相應(yīng)線段的長．14、【分析】用花生味湯圓的個數(shù)除以湯圓總數(shù)計算即可.【詳解】解：∵一碗湯圓，其中有4個花生味和2個芝麻味，∴從中任意吃一個，恰好吃到花生味湯圓的概率是：．故答案為.【點睛】本題考查了概率公式的應(yīng)用，如果一個事件共有n種可能，而且每一個事件發(fā)生的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種可能，那么事件A的概率.15、∠DAC【分析】由于∠BAD與∠BCD是同弧所對的圓周角，故∠BAD=∠BCD，故∠BAC-∠BCD=∠BAC-∠BAD，即可得出答案.【詳解】解：∵∠BAD=∠BCD，∴∠BAC-∠BCD=∠BAC-∠BAD=∠DAC，∵∠BAC-∠BCD=α∴∠DAC=α故答案為：∠DAC.【點睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)，掌握同弧所對的圓周角相等是解題的關(guān)鍵.16、2【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可解答.【詳解】∵方程=0的兩根分別是和，∴，，∴=，故答案為：2.【點睛】此題考查根與系數(shù)的關(guān)系，熟記兩個關(guān)系式并運用解題是關(guān)鍵.17、0.1【分析】先列舉出所有上升數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可．【詳解】解：兩位數(shù)一共有99-10+1=90個，上升數(shù)為：共8+7+6+5+1+3+2+1=36個．概率為36÷90=0.1．故答案為：0.1．18、．【解析】試題分析：∵方程的兩根為，，∴，，∴===．故答案為．考點：根與系數(shù)的關(guān)系．三、解答題(共66分)19、（1）5；（2）∥，理由見解析；（3）【分析】（1）求出AE＝，證明△ABE∽△DEA，由可求出AD的長；（2）過點E作EF⊥AD于點F，證明△PEF∽△QEC，再證△EPQ∽△A'ED'，可得出∠EPQ＝∠EA'D'，則結(jié)論得證；（3）由（2）知PQ∥A′D′，取A′D′的中點N，可得出∠PEM為定值，則點M的運動路徑為線段，即從AD的中點到DE的中點，由中位線定理可得出答案．【詳解】解：（1）∵AB＝2，BE＝1，∠B＝90°，∴AE＝＝＝，∵∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∵矩形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∴△ABE∽△DEA，∴，∴，∴AD＝5；（2）PQ∥A′D′，理由如下：∵，∠AED＝90°∴＝＝2，∵AD＝BC＝5，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣1＝4，過點E作EF⊥AD于點F，則∠FEC＝90°，∵∠A'ED'＝∠AED＝90°，∴∠PEF＝∠CEQ，∵∠C＝∠PFE＝90°，∴△PEF∽△QEC，∴，∵，∴，∴PQ∥A′D′；（3）連接EM，作MN⊥AE于N，由（2）知PQ∥A′D′，∴∠EPQ＝∠A′＝∠EAP，又∵△PEQ為直角三角形，M為PQ中點，∴PM＝ME，∴∠EPQ＝∠PEM，∵∠EPF＝∠EAP+∠AEA′，∠NEM＝∠PEM+∠AEA′∴∠EPF＝∠NEM，又∵∠PFE＝∠ENM﹣90°，∴△PEF∽△EMN，∴＝為定值，又∵EF＝AB＝2，∴MN為定值，即M的軌跡為平行于AE的線段，∵M初始位置為AD中點，停止位置為DE中點，∴M的軌跡為△ADE的中位線，∴線段PQ的中點M所經(jīng)過的路徑長＝＝．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，中位線定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20、（1），D的坐標(biāo)為（1，4）；（2）當(dāng)m=時△BPE的面積取得最大值為，P的坐標(biāo)是（，3）；（3）存在，M點的坐標(biāo)為；；；；；【分析】（1）先根據(jù)拋物線經(jīng)過A（-1，0）B（3，0）兩點，分別求出a、b的值，再代入拋物線即可求出二次函數(shù)的解析式并得出頂點的坐標(biāo)；（2）先設(shè)出BD解析式y(tǒng)=kx+b，再把B、D兩點坐標(biāo)代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根據(jù)面積公式即可求出最大值以及點的坐標(biāo)；（3）根據(jù)題意利用平行四邊形的性質(zhì)進行分析求值，注意分類討論.【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+3經(jīng)過點A（﹣1，0）、B（3，0）∴所以二次函數(shù)的解析式為：D的坐標(biāo)為（1，4）（2）設(shè)BD的解析式為y=kx+b∵過點B（3，0），D（1，4）∴解得BD的解析式為y=-2x+6設(shè)P（m，）PE⊥y軸于點E∴△BPE的PE邊上的高h(yuǎn)=S△BPE=×PE×h=m()==∵a=-1<0當(dāng)m=時△BPE的面積取得最大值為當(dāng)m=時，y=-2×+6=3P的坐標(biāo)是（，3）（3）存在這樣的點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，當(dāng)點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，可得BM平行于PN，則有N點縱坐標(biāo)等于P點縱坐標(biāo)，把y=3代入求出N的坐標(biāo)（0，3）或（2，3），當(dāng)N的坐標(biāo)（0，3）或（2，3）時，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求得M點的坐標(biāo)為；，；當(dāng)BP平行于MN時，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求得M點的坐標(biāo)為；；.M點的坐標(biāo)為：；；；；.【點睛】本題考查運用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的解析式求得函數(shù)的最值，平行四邊形的性質(zhì)進行計算，注意數(shù)形結(jié)合的思想．21、（1）y＝﹣x2﹣2x+3（2）（﹣，）（3）存在，P（﹣2，3）或P（，）【分析】（1）用待定系數(shù)法求解；（2）過點P作PH⊥x軸于點H，交AB于點F，直線AB解析式為y＝x+3，設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），則F（t，t+3），則PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，根據(jù)S△PAB＝S△PAF+S△PBF寫出解析式，再求函數(shù)最大值；（3）設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），則D（t，t+3），PD＝﹣t2﹣3t，由拋物線y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，由對稱軸為直線x＝﹣1，PE∥x軸交拋物線于點E，得yE＝y(tǒng)P，即點E、P關(guān)于對稱軸對稱，所以＝﹣1，得xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t，故PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|，由△PDE為等腰直角三角形，∠DPE＝90°，得PD＝PE，再分情況討論：①當(dāng)﹣3＜t≤﹣1時，PE＝﹣2﹣2t；②當(dāng)﹣1＜t＜0時，PE＝2+2t【詳解】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過點B（﹣3，0），C（1，0）∴解得：∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3（2）過點P作PH⊥x軸于點H，交AB于點F∵x＝0時，y＝﹣x2﹣2x+3＝3∴A（0，3）∴直線AB解析式為y＝x+3∵點P在線段AB上方拋物線上∴設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）∴F（t，t+3）∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PF?OH+PF?BH＝PF?OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+∴點P運動到坐標(biāo)為（﹣，），△PAB面積最大（3）存在點P使△PDE為等腰直角三角形設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），則D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴對稱軸為直線x＝﹣1∵PE∥x軸交拋物線于點E∴yE＝y(tǒng)P，即點E、P關(guān)于對稱軸對稱∴＝﹣1∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|∵△PDE為等腰直角三角形，∠DPE＝90°∴PD＝PE①當(dāng)﹣3＜t≤﹣1時，PE＝﹣2﹣2t∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2∴P（﹣2，3）②當(dāng)﹣1＜t＜0時，PE＝2+2t∴﹣t2﹣3t＝2+2t解得：t1＝，t2＝（舍去）∴P（，）綜上所述，點P坐標(biāo)為（﹣2，3）或（，）時使△PDE為等腰直角三角形．【點睛】考核知識點：二次函數(shù)的綜合.數(shù)形結(jié)合分析問題，運用軸對稱性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)分析問題是關(guān)鍵.22、（1），；（2）.【解析】（1）由菱形的性質(zhì)可知，，點代入反比例函數(shù)，求出；將點代入，求出；（2）求出直線與軸和軸的交點，即可求的面積；【詳解】解：（1）由已知可得，∵菱形，∴，，∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，將點代入，∴；（2），直線與軸交點為，∴；【點睛】本題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)；能夠?qū)⒔柚庑蔚倪呴L和菱形邊的平行求點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.23、-1【分析】將，代入計算即可得到答案.【詳解】=-4+1+，=-3+2，=-1.【點睛】此題考查實數(shù)的混合計算，熟記特殊角度的三角函數(shù)值，掌握正確的計算順序是解題的關(guān)鍵.24、（1）16；（2）2或；（3）【分析】（1）過C作CH⊥AB與H，在Rt△BCH中，求出CH、BH，再求出C