河南省2024-2025學年高二數(shù)學上學期10月月考試題

Page8河南省2024-2025學年上期第一次月考高二數(shù)學時間:120分鐘滿分:150分單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求．1.在下列四個命題中，正確的是（）A.若直線的傾斜角越大，則直線斜率越大B.過點的直線方程都可以表示為：C.經(jīng)過兩個不同的點，的直線方程都可以表示為：D.經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為2．如圖，在空間四邊形中，點在上，滿意，點為中點，則（）A. B.C. D.3.直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.4．正四面體的棱長為2，是它內(nèi)切球的一條弦（把球面上隨意2個點之間的線段稱為球的弦），為正四面體表面上的動點，當弦最長時，的最大值為A．1 B．2 C．3 D．45.冰糖葫蘆是中國傳統(tǒng)小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫蘆如圖1所示，若將山楂看成是大小相同的圓，竹簽看成一條線段，如圖2所示，且山楂的半徑（圖2中圓的半徑）為1，竹簽所在直線方程為，則與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為（）A. B.C. D.6．已知直線恒過定點，則與圓有公共的圓心且過點的圓的標準方程為A．B． C．D．7．如圖，已知，，從點射出的光線經(jīng)直線反射后再射到直線上，最終經(jīng)直線反射后又回到點，則光線所經(jīng)過的路程長為A． B． C． D．8．已知正方體的棱長為4，是棱上的一條線段，且，點是棱的中點，點是棱上的動點，則下面四個結(jié)論中正確的個數(shù)是①與確定不垂直 ②二面角的正弦值是 ③的面積是 ④點到平面的距離是常量A.1B.2C.3D.4多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.若向量共面，則它們所在的直線共面B.若是四面體的底面的重心，則C.若，則四點共面D.若向量，則稱為在基底下的坐標，已知在單位正交基底下的坐標為，則在基底下的坐標為10.已知直線，下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則或C.當時，是直線的方向向量D.原點到直線的最大距離為11．已知菱形中，，與相交于點．將沿折起，使頂點至點，在折起的過程中，下列結(jié)論正確的是A． B．存在一個位置，使為等邊三角形C．與不行能垂直 D．直線與平面所成的角的最大值為12．在棱長為1的正方體中，點滿意，，，，，則以下說法正確的是A．當時，平面 B．當時，存在唯一點使得與直線的夾角為 C．當時，的最小值為 D．當點落在以為球心，為半徑的球面上時，的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．經(jīng)過點作直線，若直線與連接與兩點的線段總有公共點，則直線的斜率的取值范圍為________．14．如圖在一個的二面角的棱上有兩點、，線段、分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且均與棱垂直，若，，，則___________.15．如圖，在四棱錐的平面綻開圖中，四邊形是邊長為2的正方形，是以為斜邊的等腰直角三角形，，則四棱錐外接球的球心到面的距離為___________.16．函數(shù)的最小值為___________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知的頂點，邊上的高所在的直線方程為，邊上中線所在的直線方程為.（1）求點的坐標；（2）求點到直線的距離.18.（本小題滿分12分）如圖，在平行六面體中，，，，點為線段中點．（1）求；（2）求直線與所成角的余弦值．19．（本小題滿分12分）已知，，由確定兩個點，．（1）寫出直線的方程（答案含t）；（2）在內(nèi)作內(nèi)接正方形，頂點，在邊上，頂點在邊上．若，當正方形的面積最大時，求，的值．20．（本小題滿分12分）在下列所給的三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答．①與直線垂直；②過點；③與直線平行．問題：已知直線過點，且____．（1）求直線的一般式方程；（2）已知，為坐標原點，在直線上求點坐標，使得最大．21．（本小題滿分12分）如圖，某種風箏的骨架模型是四棱錐，四邊形是等腰梯形，，，平面，，，，在上．（1）為保證風箏飛行穩(wěn)定，須要在處引一尼繩，使得，求證：直線平面；（2）試驗表明，當時，風箏表現(xiàn)最好，求此時直線與平面所成角的正弦值．22．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，PA＝PD＝eq\r(2)，AB＝1，AD＝2，PD⊥AB.(1)證明：平面PCD⊥平面PAB；(2)若PB＝eq\r(3)，試在棱PD上確定一點E，使得平面PAB與平面EAC的夾角的余弦值為eq\f(2\r(7),7).

河南省試驗中學2024-2025學年上期第一次月考高二數(shù)學參考答案單項選擇題：1.C2.D3.B4.B5.A6.B7.A8.C多項選擇題：9.BD10.AD11.ABD12.．三、填空題：13.或14.315.．16.四、解答題：17.解(1)設(shè)，則，∴，解得，∴；（2）∵，且直線的斜率為，∴直線的斜率為，∴直線的方程為，即，所以點到直線的距離為.18.解：（1）因為在平行六面體中，點在線段上，且滿意．設(shè)，，，這三個向量不共面，構(gòu)成空間的一個基底．所以．，，．（2）由（1）知，，，，，直線與所成角的余弦值為．19．解（1）由題意知當直線斜率存在時，，當時，直線的方程為，當時，直線的方程為．直線的方程為．（2）由和四邊形為正方形可知，，，，因為點在直線上，所以，所以，而正方形的面積最大，即最大，所以當時，，此時圖中陰影部分的面積最大．20．解：（1）依據(jù)題意，選擇①與直線垂直，則直線的斜率，解得，又其過點，則直線的方程為：，整理得：；選擇②過點，又直線過點則直線的斜率，則直線的方程為：，整理得：；選擇③與直線平行，則直線的斜率，又其過點，則直線的方程為：，整理得：；綜上所述，不論選擇哪個條件，直線的方程均為：．（2）依據(jù)（1）中所求，可得直線的方程為：，又，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，且，解得，即；依據(jù)題意，作圖如下：明顯，但且僅當，，三點共線時取得等號；又直線的斜率，故其方程為：，即，聯(lián)立，可得，即點的坐標為時，使得最大．21．解：（1）證明：四邊形是等腰梯形，，，，連接，，，平面，平面，平面．（2）解：平面，平面，，，，，，以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，，0，，，0，，，，，，2，，，0，，，設(shè)平面的法向量為，，令，，，，設(shè)與平面所成角為，．與平面所成角的正弦值為．22．(1)證明因為PA＝PD＝eq\r(2)，AD＝2，所以PA2＋PD2＝AD2，所以PD⊥PA，又因為PD⊥AB，AB，PA?平面PAB，且AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB，又因為PD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAB.(2)解因為PA＝eq\r(2)，AB＝1，PB＝eq\r(3)，所以PA2＋AB2＝PB2，所以AB⊥PA，又因為PD⊥AB，PA，PD?平面PAD，且PD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD，因為AD?平面PAD，所以AB⊥AD，所以四邊形ABCD為矩形．以A為原點，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))分別為x軸、y軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,1,1)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，由PD⊥平面PAB，可得向量eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0,1，－1)是平面PAB的一個法向量．設(shè)eq\o(ED,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))，0≤λ≤1，則E(0,2－λ，λ)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(0,2－λ，λ)．設(shè)平面EAC的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－λy＋λz＝0，,x＋2y＝0，))令y＝－1，可得x＝2，z＝eq\f(2－λ,λ)，所以n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－1，\f(2－λ,λ)))，所以|cos〈eq\o(PD,\s\up6(→))，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PD,\s\up6(→))·n,|\o(PD,\s\up6(→))||n|)))＝e