【單元測試】第二十二章四邊形(夯實基礎(chǔ)培優(yōu)卷)(原卷版+解析)

滬教版八年級數(shù)學(xué)下冊【單元測試】第二十二章四邊形（夯實基礎(chǔ)培優(yōu)卷）（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________本卷試題共三大題，共25小題，單選10題，填空8題，解答7題，限時90分鐘，滿分100分，本卷題型精選核心?？贾仉y易錯典題，具備舉一反三之效，覆蓋面積廣，可充分考查學(xué)生雙基綜合能力！單選題：本題共10個小題，每小題2分，共20分。在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的。1．（2022·全國·八年級期末）如果一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的5倍，則這個多邊形是（）A．十邊形 B．十一邊形 C．十二邊形 D．十三邊形2．（2021·北京·八年級期中）若一個正多邊形的每一個外角都等于36°，則這個正多邊形的邊數(shù)是（）A．7 B．8 C．9 D．103．（2022·全國·八年級單元測試）在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一個條件，即可推出該四邊形是正方形，這個條件可以是（）A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC4．（2021·天津市實驗中學(xué)濱海學(xué)校八年級期中）如圖，折疊矩形ABCD，使點D落在點F處，已知AB=8，BC=10，則EC的長（

）A．5cm B．2cm C．3cm D．4cm5．（2022·山東龍口·八年級期末）如圖，平行四邊形ABCD中，兩對角線交于點O，AB⊥AC，AD=5cm，OC=2cm，則對角線BD的長為（

）A．cm B．8cm C．3cm D．cm6．（2021·江蘇吳中·八年級期中）如圖，在矩形紙片中，，，點是邊上的一點，將沿所在的直線折疊，使點落在上的點處，則的長是（

）A．2 B．3 C．4 D．57．（2022·山東桓臺·八年級期末）如圖，在中，，點，，分別是三邊的中點，且，則的長度是（

）A． B． C． D．8．（2021·上海普陀·八年級期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB﹦CD，那么下列結(jié)論中正確的是（

）．A．與是相等向量； B．與是相等向量；C．與是相反向量； D．與是平行向量．9．（2021·浙江江干·八年級期末）在一次活動課中，對如圖所示的平行四邊形（AD＞AB）進(jìn)行折疊，第一次沿著AE折疊，點B落在點F處，接著兩組同學(xué)分別嘗試了兩種不同的二次折疊，并給出了判斷：組1：若沿著CF的中垂線折疊，則點D與點A必重合；組2：若沿著DF折疊，AD與DC所在的直線重合，且點A的對應(yīng)點仍落在直線AF上，則＝（）A．組1判斷正確，組2判斷正確B．組1判斷正確，組2判斷錯誤C．組1判斷錯誤，組2判斷正確D．組1判斷錯誤，組2判斷錯誤10．（2022·安徽廬江·八年級期末）如圖①，在?ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿折線B→C→D→B運動，設(shè)點P經(jīng)過的路程為x，△ABP的面積為y，y是x的函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖②所示，則圖②中的a值為（）A．3 B．4 C．14 D．18二、填空題：本題共8個小題，每題3分，共24分。11．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┮阎粋€多邊形的每個外角都是30°，那么這個多邊形的邊數(shù)是__________．12．（2022·全國·八年級單元測試）如圖，四邊形ABCD的對角線相交于點O，AO=CO，請?zhí)砑右粋€條件_________（只添一個即可），使四邊形ABCD是平行四邊形．13．（2022·河南羅山·八年級期末）如圖，七邊形ABCDEFG中，AB，ED的延長線交于點O，外角∠1，∠2，∠3，∠4的和等于220°，則∠BOD的度數(shù)是_____度．14．（2021·湖北赤壁·八年級期中）如圖，已知矩形ABCD的對角線長為8cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點則四邊形EFGH的周長等于___cm．15．（2021·甘肅蘭州·八年級期末）如圖，在△ABC中，EF是△ABC的中位線，且EF=5，則AC等于________．16．（2021·全國·八年級期中）如圖，四邊形是菱形，與相交于點，添加一個條件：________，可使它成為正方形．17．（2021·全國·八年級單元測試）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為斜邊AB的中點，CD＝6cm，則AB的長為_____cm．18．（2022·陜西雁塔·八年級期末）雙塔寺又名永祚寺，創(chuàng)建于明萬歷三十六年（公元1608年），現(xiàn)為國家級文物保護(hù)單位，由于寺內(nèi)雙塔高聳，故俗稱雙塔寺，成為太原市的標(biāo)志性建筑．主塔平面呈八角，其俯視圖形狀為正八邊形（如圖所示），則該八邊形一個內(nèi)角的度數(shù)為___________．三、解答題：本題共7個小題，19-23每題7分，24小題9分，25每題12分，共56分。19．（2021·浙江下城·八年級期末）在四邊形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的長．20．（2021·陜西榆林·八年級期末）如圖是某區(qū)部分街道示意圖，其中，E、D分別是和的中點，點C、D、E在一條直線上，點A、G、B在一條直線上，．從B站乘車到E站只有兩條路線有直接到達(dá)的公交車，路線1是，且長度為5公里，路線2是，求路線2的長度．21．（2021·黑龍江集賢·八年級期末）在四邊形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、N．（1）如圖1，試判斷四邊形PQMN怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論；（2）若在AB上取一點E，連結(jié)DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等邊三角形（如圖2），判斷此時四邊形PQMN的形狀，并證明你的結(jié)論．22．（2022·上海市梅隴中學(xué)八年級期中）如圖，已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AC=2，D是邊AC上一點（D與A、C不重合），過點A作AE垂直AC，求滿足AE=CD，聯(lián)結(jié)DE交邊AB于點F.（1）試判斷△DBE的形狀，并證明你的結(jié)論.（2）當(dāng)點D在邊AC上運動時，四邊形ADBE的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出四邊形ADBE的面積；若改變，請說明理由.（3）當(dāng)△BDF是等腰三角形時，請直接寫出AD的長.

23．（2021·北京·八年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，兩點分別是，軸正半軸上的動點，且滿足．(1)寫出的度數(shù)；(2)求的值；(3)若平分，交于點，軸于點，平分，交于點，隨著，位置的變化，的值是否會發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，說明理由．24．（2021·廣東·珠海市紫荊中學(xué)八年級期中）如（圖1），矩形的邊、在坐標(biāo)軸上，點B坐標(biāo)為，點P是射線上的一動點，把矩形沿著折疊，點B落在點D處；（1）當(dāng)點C、D、A共線時，=______；（2）如（圖2），當(dāng)點P與點A重合時，與x軸交于點E，過點E作，交于點F，請判斷四邊形的形狀，并說明理由；（3）若點D正好落在x軸上，請直接寫出點P的坐標(biāo)．25．（2021·江蘇·無錫市東林中學(xué)八年級期中）在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．（1）P為BC上一點，將△ABP沿直線AP翻折至△AEP的位置（點B落在點E處）．①如圖①，當(dāng)點E落在邊CD上時，利用尺規(guī)作圖，在圖①中作出滿足條件的圖形（即△AEP的位置，不寫作法，保留作圖痕跡），并直接寫出此時DE＝．②如圖②，PE與CD相交于點F，AE與CD相交于點G，且FC＝FE，求BP的長．（2）如圖③，已知點Q為射線BA上的一個動點，將△BCQ沿CQ翻折，點B恰好落在直線DQ上的點B’處，求BQ的長．滬教版八年級數(shù)學(xué)下冊【單元測試】第二十二章四邊形（夯實基礎(chǔ)培優(yōu)卷）（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________本卷試題共三大題，共25小題，單選10題，填空8題，解答7題，限時90分鐘，滿分100分，本卷題型精選核心常考重難易錯典題，具備舉一反三之效，覆蓋面積廣，可充分考查學(xué)生雙基綜合能力！單選題：本題共10個小題，每小題2分，共20分。在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的。1．（2022·全國·八年級期末）如果一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的5倍，則這個多邊形是（）A．十邊形 B．十一邊形 C．十二邊形 D．十三邊形【答案】C【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式和多邊形外角和為360°建立方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這個多邊形是n邊形，由題意，得（n﹣2）×180°＝5×360°．解得n＝12，故選：C．【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式和多邊形外角和為360°，掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．2．（2021·北京·八年級期中）若一個正多邊形的每一個外角都等于36°，則這個正多邊形的邊數(shù)是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】根據(jù)多邊形外角和定理求出正多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：∵正多邊形的每一個外角都等于36°，∴正多邊形的邊數(shù)＝＝10．故選：D．【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，根據(jù)外角和的大小與多邊形的邊數(shù)無關(guān)，由外角和求正多邊形的邊數(shù)，是常見的題目，需要熟練掌握．3．（2022·全國·八年級單元測試）在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一個條件，即可推出該四邊形是正方形，這個條件可以是（）A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC【答案】A【分析】根據(jù)正方形的判定方法即可判定；【詳解】解：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴當(dāng)BC＝CD時，四邊形ABCD是正方形，其余條件均不能推導(dǎo)得出四邊形ABCD是正方形，故選：A．【點睛】本題考查正方形的判定，解題的關(guān)鍵是記住正方形的判定方法．4．（2021·天津市實驗中學(xué)濱海學(xué)校八年級期中）如圖，折疊矩形ABCD，使點D落在點F處，已知AB=8，BC=10，則EC的長（

）A．5cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】C【分析】根據(jù)矩形及折疊的性質(zhì)可得，，在中，利用勾股定理得出，，在中，設(shè)，則，繼續(xù)利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，且經(jīng)過折疊，，，∴，，在中，，，在中，設(shè)，則，∴，∴即，解得：，即，故選：C．【點睛】題目主要考查矩形及折疊的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，理解題意，結(jié)合圖形，熟練運用勾股定理是解題關(guān)鍵．5．（2022·山東龍口·八年級期末）如圖，平行四邊形ABCD中，兩對角線交于點O，AB⊥AC，AD=5cm，OC=2cm，則對角線BD的長為（

）A．cm B．8cm C．3cm D．cm【答案】D【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理易求的長，進(jìn)而可求出的長．【詳解】解：的對角線與相交于點，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)．6．（2021·江蘇吳中·八年級期中）如圖，在矩形紙片中，，，點是邊上的一點，將沿所在的直線折疊，使點落在上的點處，則的長是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，再由矩形的性質(zhì)可得，從而得到，然后設(shè)，則，在中，由勾股定理，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，在矩形紙片中，，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，即．故選：B【點睛】本題主要考查了矩形與折疊，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，折疊圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·山東桓臺·八年級期末）如圖，在中，，點，，分別是三邊的中點，且，則的長度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，連接，由題意知是的中位線，證明，有，進(jìn)而可求的長．【詳解】解：如圖，連接由題意知是的中位線∴∴在和中∵∴∴∴cm故選A．【點睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，三角形全等．解題的關(guān)鍵在于對知識熟練掌握．8．（2021·上海普陀·八年級期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB﹦CD，那么下列結(jié)論中正確的是（

）．A．與是相等向量； B．與是相等向量；C．與是相反向量； D．與是平行向量．【答案】D【分析】根據(jù)相等向量、相反向量、平行向量的定義解答即可．【詳解】解：A、AB=CD，但AB不平行于CD，≠，故本選項錯誤；B、AD//BC，AB=CD，AC=BD，但AC不平行于BD，≠，故本選項錯誤；C、AD//BC，與不一定是相反向量，故本選項錯誤；D、AD//BC，與是平行向量，故本選項正確．故答案為：D．【點睛】本題考查了平面向量的相關(guān)知識，掌握相等向量、相反向量、平行向量的定義是解答本題的關(guān)鍵．9．（2021·浙江江干·八年級期末）在一次活動課中，對如圖所示的平行四邊形（AD＞AB）進(jìn)行折疊，第一次沿著AE折疊，點B落在點F處，接著兩組同學(xué)分別嘗試了兩種不同的二次折疊，并給出了判斷：組1：若沿著CF的中垂線折疊，則點D與點A必重合；組2：若沿著DF折疊，AD與DC所在的直線重合，且點A的對應(yīng)點仍落在直線AF上，則＝（）A．組1判斷正確，組2判斷正確B．組1判斷正確，組2判斷錯誤C．組1判斷錯誤，組2判斷正確D．組1判斷錯誤，組2判斷錯誤【答案】A【分析】組1：過線段的中點N作并分別延長交于點O，證明，得，再證明，得AM=DM，結(jié)合，得，得證組1判斷正確；組2：分別延長AF，DC交于點G，由題意知：，得AF=GF，由四邊形ABCD是平行四邊形，得AB=CD，AB//CD，進(jìn)而證的，那么AB=GC，故GC=CD，所以FC是的中位線，則，進(jìn)而推出【詳解】解：組1：如圖，過線段的中點N作并分別延長交于點O，∴直線MN是線段CF的垂直平分線∴NF=CF由題意得：∴∵與是對頂角∴=又∵四邊形是平行四邊形∴AB=CD，AB//CD∴∴∴∴在線段CF的垂直平分線MN上∴OA=OD在和中∴∴在和中∴∴又∴∴∴若沿著CF的中垂線折疊，則點D與點A必重合故組1判斷正確．組2：如圖，分別延長AF，DC交于點G由題意知：∴AF=GF，∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，AB//CD∴∵與是對頂角∴=在和中∴∴AB=GC，∴GC=CD∵AF=FG，GC=CD∴FC是的中位線∴∴∴故組2判斷正確．故選：A．【點睛】本題主要考查圖形折疊的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)與判以及三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)與判定及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·安徽廬江·八年級期末）如圖①，在?ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿折線B→C→D→B運動，設(shè)點P經(jīng)過的路程為x，△ABP的面積為y，y是x的函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖②所示，則圖②中的a值為（）A．3 B．4 C．14 D．18【答案】A【分析】由圖②知，BC=6，CD=14-6=8，BD=18-14=4，再通過解直角三角形，求出△CBD高，進(jìn)而求解．【詳解】解：由圖②知，BC=6，CD=14-6=8，BD=18-14=4，過點B作BH⊥DC于點H，設(shè)CH=x，則DH=8-x，則BH2=BC2-CH2=BD2-DH2，即：BH2=42-（8-x）2=62-x2，解得：則：，則，故選：A．【點睛】本題考查的是動點圖象問題，此類問題關(guān)鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和圖形的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而求解．二、填空題：本題共8個小題，每題3分，共24分。11．（2021·上海·八年級期中）已知一個多邊形的每個外角都是30°，那么這個多邊形的邊數(shù)是__________．【答案】12【分析】利用任何多邊形的外角和是360°除以外角度數(shù)即可求出答案．【詳解】解：多邊形的外角的個數(shù)是360÷30=12，所以多邊形的邊數(shù)是12．故答案為：12．【點睛】本題主要考查了多邊形的外角和定理，已知外角求邊數(shù)的這種方法是需要熟記的內(nèi)容．12．（2022·全國·八年級單元測試）如圖，四邊形ABCD的對角線相交于點O，AO=CO，請?zhí)砑右粋€條件_________（只添一個即可），使四邊形ABCD是平行四邊形．【答案】BO=DO．【詳解】解：∵AO=CO，BO=DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形．故答案為BO=DO．13．（2022·河南羅山·八年級期末）如圖，七邊形ABCDEFG中，AB，ED的延長線交于點O，外角∠1，∠2，∠3，∠4的和等于220°，則∠BOD的度數(shù)是_____度．【答案】40．【分析】在DO延長線上找一點M，根據(jù)多邊形的外角和為360°可得出∠BOM＝140°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即可得出結(jié)論．【詳解】解：在DO延長線上找一點M，如圖所示．∵多邊形的外角和為360°，∴∠BOM＝360°﹣220°＝140°．∵∠BOD+∠BOM＝180°，∴∠BOD＝180°﹣∠BOM＝180°﹣140°＝40°．故答案為：40【點睛】本題考查多邊形的角度計算,關(guān)鍵在于熟記外角和360°.14．（2021·湖北赤壁·八年級期中）如圖，已知矩形ABCD的對角線長為8cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點則四邊形EFGH的周長等于___cm．【答案】16．【分析】連接AC、BD，根據(jù)三角形的中位線求出HG、GF、EF、EH的長，再求出四邊形EFGH的周長即可．【詳解】解：如圖，連接AC、BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD=8cm，∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，∴HG=EF=AC=4cm，EH=FG=BD=4cm，∴四邊形EFGH的周長=HG+EF+EH+FG=4cm+4cm+4cm+4cm=16cm，故答案為：16．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的中位線的應(yīng)用，能求出四邊形的各個邊的長是解此題的關(guān)鍵．矩形的對角線相等，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．15．（2021·甘肅蘭州·八年級期末）如圖，在△ABC中，EF是△ABC的中位線，且EF=5，則AC等于________．【答案】10【分析】根據(jù)三角形中位線定理即可求出AC．【詳解】解：在△ABC中，∵EF是△ABC的中位線，∴EF=AC，∴AC=2EF，∵EF=5，∴AC=2×5=10，故答案為：10．【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理，熟記三角形的中位線等于第三邊的一半是解決問題的關(guān)鍵．16．（2021·全國·八年級期中）如圖，四邊形是菱形，與相交于點，添加一個條件：________，可使它成為正方形．【答案】【分析】根據(jù)“有一個角是直角的菱形是正方形”可得到添加的條件．【詳解】解：由于四邊形是菱形，如果，那么四邊形是正方形．故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的判定，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定定理．17．（2021·全國·八年級單元測試）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為斜邊AB的中點，CD＝6cm，則AB的長為_____cm．【答案】12【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，∴線段CD是斜邊AB上的中線；又∵CD＝6cm，∴AB＝2CD＝12cm．故答案為：12【點睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)．掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解答本題的關(guān)鍵．18．（2022·陜西雁塔·八年級期末）雙塔寺又名永祚寺，創(chuàng)建于明萬歷三十六年（公元1608年），現(xiàn)為國家級文物保護(hù)單位，由于寺內(nèi)雙塔高聳，故俗稱雙塔寺，成為太原市的標(biāo)志性建筑．主塔平面呈八角，其俯視圖形狀為正八邊形（如圖所示），則該八邊形一個內(nèi)角的度數(shù)為___________．【答案】135°【分析】首先根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：（n-2）?180°（n≥3且n為正整數(shù)）求出內(nèi)角和，然后再計算一個內(nèi)角的度數(shù)．【詳解】解：正八邊形的內(nèi)角和為：（8-2）×180°=1080°，每一個內(nèi)角的度數(shù)為×1080°=135°．故答案為：135°．【點睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是熟練掌握計算公式：（n-2）?180（n≥3）且n為整數(shù)）．三、解答題：本題共7個小題，19-23每題7分，24小題9分，25每題12分，共56分。19．（2021·浙江下城·八年級期末）在四邊形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）3【分析】（1）根據(jù)兩組對邊分別平行證明該四邊形為平行四邊形．（2）利用等面積法求出CD長．【詳解】解：（1）證明：∵AD//BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠BAD+∠D＝180°，∴AB//CD，又∵AD//BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：∵AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，∴平行四邊形的面積＝BC×AE＝CD×AF，∵AF＝2AE，∴BC＝2CD＝6，∴CD＝3．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和等面積法的使用，掌握這兩點是解題關(guān)鍵．20．（2021·陜西榆林·八年級期末）如圖是某區(qū)部分街道示意圖，其中，E、D分別是和的中點，點C、D、E在一條直線上，點A、G、B在一條直線上，．從B站乘車到E站只有兩條路線有直接到達(dá)的公交車，路線1是，且長度為5公里，路線2是，求路線2的長度．【答案】5公里【分析】證明四邊形BCDG是平行四邊形，得到DG＝CB，再證四邊形BCFD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)計算，得到答案．【詳解】解：∵E、D分別是和的中點，∴AB∥DE，∵BC∥GF，∴四邊形BCDG是平行四邊形，∴DG＝CB．∵FD＝DG，∴CB＝FD．又∵BC∥DF，∴四邊形BCFD是平行四邊形，∴CF＝BD，∵AB∥DE，，F(xiàn)E＝AE，∴CE垂直平分AF，∴AE＝FE，F(xiàn)D＝DA，∴BC＝DA，∴路線2的長度：BC+CF+FE＝AD+BD+AE＝5（公里）．【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．21．（2021·黑龍江集賢·八年級期末）在四邊形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、N．（1）如圖1，試判斷四邊形PQMN怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論；（2）若在AB上取一點E，連結(jié)DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等邊三角形（如圖2），判斷此時四邊形PQMN的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）平行四邊形，證明見解析；（2）菱形，證明見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定，對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可求解．（2）根據(jù)題意列出方程，數(shù)形結(jié)合證明平行四邊形PQMN的臨邊相等，根據(jù)一組臨邊相等的平行四邊形是菱形即可求解．【詳解】解：（1）四邊形PQMN為平行四邊形；連接AC、BD．∵PQ為△ABC的中位線，∴PQ∥AC，PQ＝AC，同理MN∥AC．MN＝AC．∴MN＝PQ，MN∥PQ，∴四邊形PQMN為平行四邊形；（2）四邊形PQMN是菱形；理由如下：設(shè)△ADE的邊長是x，△BCE的邊長是y，∴DB2＝（x+y）2+（x）2＝x2+xy+y2，AC2＝（x+y）2+（y）2＝x2+xy+y2，由（1）得MN＝AC與（1）同理可證MP＝BD∴MN=MP，∴平行四邊形PQMN是菱形；【點睛】本題考查中位線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、菱形的判定等知識點，熟練掌握幾何圖形的性質(zhì)，進(jìn)行等量代換、數(shù)形結(jié)合即可求解．22．（2022·上海市梅隴中學(xué)八年級期中）如圖，已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AC=2，D是邊AC上一點（D與A、C不重合），過點A作AE垂直AC，求滿足AE=CD，聯(lián)結(jié)DE交邊AB于點F.（1）試判斷△DBE的形狀，并證明你的結(jié)論.（2）當(dāng)點D在邊AC上運動時，四邊形ADBE的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出四邊形ADBE的面積；若改變，請說明理由.（3）當(dāng)△BDF是等腰三角形時，請直接寫出AD的長.

【答案】（1）△DBE是等腰直角三角形，證明見解析；（2）不變；2；（3）或2．【分析】（1）根據(jù)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2可得出∠CAB=∠ACB=45°，再由AE⊥AC可得出∠EAC=90°，故可得出∠BAE=45°，由SAS定理可得出△CBD≌△ABE，故可得出BD=BE，由此可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中△CBD≌△ABE可知四邊形ADBE的面積不變，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況分別討論即可求得．【詳解】解：（1）△DBE是等腰直角三角形．理由：∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴∠CAB=∠ACB=45°．∵AE⊥AC，∴∠EAC=90°，∴∠BAE=45°．在△CBD與△ABE中，∵，∴△CBD≌△ABE（SAS），∴BD=BE，∠CBD=∠ABE，∵∠CBD+∠ABD=90°，∴∠ABE+∠ABD=90°，即∠BDE=90°，即△DBE是等腰直角三角形；（2）不變．∵由（1）知△CBD≌△ABE，∴S四邊形ADBE=S△ABC=×2×2=2；（3）當(dāng)BF=DF時，則∠BDE=∠FBD，∵△DBE是等腰直角三角形，∴∠BDE=45°，∴∠FBD=45°∴∠CBD=45°，∴∠CBD=∠ABD，∴AD=CD，∴AD=AC，∵AB=BC=2，∴AC=2∴AD=；當(dāng)BD=DF時，∵△ABC是等腰直角三角形，△BDE是等腰直角三角形，∴∠C=∠CAB=45°，∠BDE=∠BED=45°，∴∠C=∠BDE，∵∠ADB=∠C+∠CBD=∠BDE+∠FDA，∴∠CDB=∠ADF，在△BCD和△DAF中∴△BCD≌△DAF（AAS），∴AD=BC=2．∴當(dāng)△BDF是等腰三角形時，AD的長為或2．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.23．（2021·北京·八年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，兩點分別是，軸正半軸上的動點，且滿足．(1)寫出的度數(shù)；(2)求的值；(3)若平分，交于點，軸于點，平分，交于點，隨著，位置的變化，的值是否會發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)的值為4，不變，見解析【分析】（1）過點A作軸于，軸于，由點，得到OA是的角平分線，由此得到；（2）由（1）得四邊形為正方形，證明△BAF≌△CAE，得到BF=CE，根據(jù)求出結(jié)果；（3）過點A作軸于，軸于，延長交于，則四邊形為矩形，由推出AB=AP，證明，得到，證明是等腰直角三角形，得到AK=PK，由此得到，依據(jù)求出結(jié)果．【詳解】(1)解：過點A作軸于，軸于，如圖1所示：點，，是的角平分線，，；(2)解：由（1）得：四邊形為矩形，，四邊形為正方形，，，，，，軸，軸，，在和中，，，，；(3)解：隨著，位置的變化，的值為4，不變，理由如下：過點A作軸于，軸于，延長交于，如圖2所示：則四邊形為矩形，，，由（2）得：，，，是等腰直角三角形，，平分，，，，，，，軸，，是等腰直角三角形，，，平分，是等腰直角三角形，，，在和中，，，，，，是等腰直角三角形，，，．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．24．（2021·廣東·珠海市紫荊中學(xué)八年級期中）如（圖1），矩形的邊、在坐標(biāo)軸上，點B坐標(biāo)為，點P是射線上的一動點，把矩形沿著折疊，點B落在點D處；（1）當(dāng)點C、D、A共線時，=______；（2）如（圖2），當(dāng)點P與點A重合時，與x軸交于點E，過點E作，交于點F，請判斷四邊形的形狀，并說明理由；（3）若點D正好落在x軸上，請直接寫出點P的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）菱形，見解析；（3）或【分析】（1）由翻折可以得到CD=CB=10，根據(jù)勾股定理可以求出AC=，點C、D、A共線時，可知AD=AC-CD=；（2）根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，可得結(jié)論；（3）分兩種情況：①如圖3，點D在x軸正半軸上時，易得△PAD∽△DOC，列比例式可得結(jié)論；②如圖4，當(dāng)D在x軸的負(fù)半軸上時，易得△COD∽△DOP，同理可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1，∵矩形OABC，點B坐標(biāo)為（10，6），∴BC=10，AB=6，由勾股定理得：AC=由折疊得：CD=BC=10