甘肅省蘭州市名校2024年十校聯(lián)考最后數(shù)學試題含解析

甘肅省蘭州市名校2024年十校聯(lián)考最后數(shù)學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1．下列幾何體中，主視圖和俯視圖都為矩形的是（

）A． B． C． D．2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形AOBC的一個頂點O在坐標原點，一邊OB在x軸的正半軸上，sin∠AOB=，反比例函數(shù)y=在第一象限內的圖象經過點A，與BC交于點F，則△AOF的面積等于()A．30 B．40 C．60 D．803．如圖，直線a∥b，直線分別交a，b于點A，C，∠BAC的平分線交直線b于點D，若∠1=50°，則∠2的度數(shù)是A．50° B．70° C．80° D．110°4．“保護水資源，節(jié)約用水”應成為每個公民的自覺行為．下表是某個小區(qū)隨機抽查到的10戶家庭的月用水情況，則下列關于這10戶家庭的月用水量說法錯誤的是（）月用水量（噸）4569戶數(shù)（戶）3421A．中位數(shù)是5噸 B．眾數(shù)是5噸 C．極差是3噸 D．平均數(shù)是5.3噸5．在一幅長，寬的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整幅掛圖的面積是，設金色紙邊的寬為，那么滿足的方程是（）A． B．C． D．6．小明為今年將要參加中考的好友小李制作了一個（如圖）正方體禮品盒，六面上各有一字，連起來就是“預祝中考成功”，其中“預”的對面是“中”，“成”的對面是“功”，則它的平面展開圖可能是（）A． B． C． D．7．一次函數(shù)的圖象不經過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．一個圓的內接正六邊形的邊長為2，則該圓的內接正方形的邊長為（）A． B．2 C．2 D．49．如圖，在中，．點是的中點，連結，過點作，分別交于點，與過點且垂直于的直線相交于點，連結．給出以下四個結論：①；②點是的中點；③；④，其中正確的個數(shù)是()A．4 B．3 C．2 D．110．函數(shù)y=ax2+1與（a≠0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A． B． C． D．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11．在平面直角坐標系中，將點A（﹣3，2）向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，那么平移后對應的點A′的坐標是_____．12．在Rt△ABC中，∠A是直角，AB=2，AC=3，則BC的長為_____．13．二次根式中的字母a的取值范圍是_____．14．大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖，P為AB的黃金分割點（AP>PB），如果AB的長度為10cm，那么PB的長度為__________cm．15．在平面直角坐標系中，如果點P坐標為（m，n），向量可以用點P的坐標表示為=（m，n），已知：=（x1，y1），=（x2，y2），如果x1?x2+y1?y2=0，那么與互相垂直，下列四組向量：①=（2，1），=（﹣1，2）；②=（cos30°，tan45°），=（﹣1，sin60°）；③=（﹣，﹣2），=（+，）；④=（π0，2），=（2，﹣1）．其中互相垂直的是______（填上所有正確答案的符號）．16．方程＝1的解是___.17．若正多邊形的一個外角是45°，則該正多邊形的邊數(shù)是_________.三、解答題（共7小題，滿分69分）18．（10分）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AF交CD于點E，交BC的延長線于點F．（1）求證：BF=CD；（2）連接BE，若BE⊥AF，∠BFA=60°，BE=，求平行四邊形ABCD的周長．19．（5分）目前節(jié)能燈在城市已基本普及，今年某省面向農村地區(qū)推廣，為響應號召，某商場用3300元購進節(jié)能燈100只，這兩種節(jié)能燈的進價、售價如表：進價元只售價元只甲種節(jié)能燈3040乙種節(jié)能燈3550求甲、乙兩種節(jié)能燈各進多少只？全部售完100只節(jié)能燈后，該商場獲利多少元？20．（8分）如圖，一次函數(shù)y=k1x+b(k1≠0)與反比例函數(shù)的圖象交于點A(-1，2)，B(m，-1)．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)在x軸上是否存在點P(n，0)，使△ABP為等腰三角形，請你直接寫出P點的坐標．21．（10分）如圖，在矩形ABCD中，AB=1DA，以點A為圓心，AB為半徑的圓弧交DC于點E，交AD的延長線于點F，設DA=1．求線段EC的長；求圖中陰影部分的面積．22．（10分）解方程：1+23．（12分）如圖，AB、CD是⊙O的直徑，DF、BE是弦，且DF＝BE，求證：∠D＝∠B．24．（14分）如圖1，是一個材質均勻可自由轉動的轉盤，轉盤的四個扇形面積相等，分別有數(shù)字1，2，3，1．如圖2，正方形ABCD頂點處各有一個圈．跳圈游戲的規(guī)則為：游戲者每轉動轉盤一次，當轉盤停止運動時，指針所落扇形中的數(shù)字是幾（當指針落在四個扇形的交線上時，重新轉動轉盤），就沿正方形的邊順時針方向連續(xù)跳幾個邊長．如：若從圖A起跳，第一次指針所落扇形中的數(shù)字是3，就順時針連線跳3個邊長，落到圈D；若第二次指針所落扇形中的數(shù)字是2，就從D開始順時針續(xù)跳2個邊長，落到圈B；……設游戲者從圈A起跳．（1）嘉嘉隨機轉一次轉盤，求落回到圈A的概率P1；（2）琪琪隨機轉兩次轉盤，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她與嘉嘉落回到圈A的可能性一樣嗎？

參考答案一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1、B【解析】A、主視圖為等腰三角形，俯視圖為圓以及圓心，故A選項錯誤；B、主視圖為矩形，俯視圖為矩形，故B選項正確；C、主視圖，俯視圖均為圓，故C選項錯誤；D、主視圖為矩形，俯視圖為三角形，故D選項錯誤.故選：B.2、B【解析】

過點A作AM⊥x軸于點M，設OA=a，通過解直角三角形找出點A的坐標，結合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出a的值，再根據(jù)四邊形OACB是菱形、點F在邊BC上，即可得出S△AOF=S菱形OBCA，結合菱形的面積公式即可得出結論．【詳解】過點A作AM⊥x軸于點M，如圖所示．設OA=a，在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=，∴AM=OA?sin∠AOB=a，OM==a，∴點A的坐標為（a，a）．∵點A在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴a?a=a2=48，解得：a=1，或a=-1（舍去）．∴AM=8，OM=6，OB=OA=1．∵四邊形OACB是菱形，點F在邊BC上，∴S△AOF=S菱形OBCA=OB?AM=2．故選B．【點睛】本題考查了菱形的性質、解直角三角形以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是找出S△AOF=S菱形OBCA．3、C【解析】

根據(jù)平行線的性質可得∠BAD=∠1，再根據(jù)AD是∠BAC的平分線，進而可得∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)補角定義可得答案．【詳解】因為a∥b，所以∠1=∠BAD=50°，因為AD是∠BAC的平分線，所以∠BAC=2∠BAD=100°，所以∠2=180°-∠BAC=180°-100°=80°.故本題正確答案為C.【點睛】本題考查的知識點是平行線的性質，解題關鍵是掌握兩直線平行，內錯角相等．4、C【解析】

根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、極差和平均數(shù)的概念，對選項一一分析，即可選擇正確答案．【詳解】解：A、中位數(shù)＝（5+5）÷2＝5（噸），正確，故選項錯誤；B、數(shù)據(jù)5噸出現(xiàn)4次，次數(shù)最多，所以5噸是眾數(shù)，正確，故選項錯誤；C、極差為9﹣4=5（噸），錯誤，故選項正確；D、平均數(shù)=（4×3+5×4+6×2+9×1）÷10=5.3，正確，故選項錯誤．故選：C．【點睛】此題主要考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和極差的概念．要掌握這些基本概念才能熟練解題．5、B【解析】

根據(jù)矩形的面積=長×寬，我們可得出本題的等量關系應該是：（風景畫的長+2個紙邊的寬度）×（風景畫的寬+2個紙邊的寬度）=整個掛圖的面積，由此可得出方程.【詳解】由題意，設金色紙邊的寬為，得出方程：（80+2x）（50+2x）=5400，整理后得：故選：B.【點睛】本題主要考查了由實際問題得出一元二次方程，對于面積問題應熟記各種圖形的面積公式，然后根據(jù)等量關系列出方程是解題關鍵.6、C【解析】

正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點對各選項分析判斷后利用排除法求解：【詳解】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點對各選項分析判斷后利用排除法求解：A、“預”的對面是“考”，“祝”的對面是“成”，“中”的對面是“功”，故本選項錯誤；B、“預”的對面是“功”，“?！钡膶γ媸恰翱肌?，“中”的對面是“成”，故本選項錯誤；C、“預”的對面是“中”，“?！钡膶γ媸恰翱肌?，“成”的對面是“功”，故本選項正確；D、“預”的對面是“中”，“?！钡膶γ媸恰俺伞?，“考”的對面是“功”，故本選項錯誤．故選C【點睛】考核知識點：正方體的表面展開圖.7、B【解析】

由二次函數(shù),可得函數(shù)圖像經過一、三、四象限，所以不經過第二象限【詳解】解：∵，∴函數(shù)圖象一定經過一、三象限；又∵，函數(shù)與y軸交于y軸負半軸，

∴函數(shù)經過一、三、四象限，不經過第二象限故選B【點睛】此題考查一次函數(shù)的性質，要熟記一次函數(shù)的k、b對函數(shù)圖象位置的影響8、B【解析】

圓內接正六邊形的邊長是1，即圓的半徑是1，則圓的內接正方形的對角線長是2，進而就可求解．【詳解】解：∵圓內接正六邊形的邊長是1，∴圓的半徑為1．那么直徑為2．圓的內接正方形的對角線長為圓的直徑，等于2．∴圓的內接正方形的邊長是1．故選B．【點睛】本題考查正多邊形與圓，關鍵是利用知識點：圓內接正六邊形的邊長和圓的半徑相等；圓的內接正方形的對角線長為圓的直徑解答．9、C【解析】

用特殊值法，設出等腰直角三角形直角邊的長，證明△CDB∽△BDE，求出相關線段的長；易證△GAB≌△DBC，求出相關線段的長；再證AG∥BC，求出相關線段的長，最后求出△ABC和△BDF的面積，即可作出選擇．【詳解】解：由題意知，△ABC是等腰直角三角形，設AB＝BC＝2，則AC＝2，∵點D是AB的中點，∴AD＝BD＝1，在Rt△DBC中，DC＝，（勾股定理）∵BG⊥CD，∴∠DEB＝∠ABC＝90°，又∵∠CDB＝∠BDE，∴△CDB∽△BDE，∴∠DBE＝∠DCB，,即∴DE＝，BE＝,在△GAB和△DBC中，∴△GAB≌△DBC(ASA)∴AG＝DB＝1，BG＝CD＝，∵∠GAB+∠ABC＝180°，∴AG∥BC，∴△AGF∽△CBF，∴，且有AB＝BC，故①正確，∵GB＝，AC＝2，∴AF＝＝，故③正確，GF＝，F(xiàn)E＝BG﹣GF﹣BE＝，故②錯誤，S△ABC＝AB?AC＝2，S△BDF＝BF?DE＝××＝，故④正確．故選B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及等腰直角三角形的相關性質，中等難度,注意合理的運用特殊值法是解題關鍵．10、B【解析】試題分析：分a＞0和a＜0兩種情況討論：當a＞0時，y=ax2+1開口向上，頂點坐標為（0，1）；位于第一、三象限，沒有選項圖象符合；當a＜0時，y=ax2+1開口向下，頂點坐標為（0，1）；位于第二、四象限，B選項圖象符合．故選B．考點：1.二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質；2.分類思想的應用．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11、（0，0）【解析】

根據(jù)坐標的平移規(guī)律解答即可．【詳解】將點A（-3，2）向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，那么平移后對應的點A′的坐標是（-3+3，2-2），即（0，0），故答案為（0，0）．【點睛】此題主要考查坐標與圖形變化-平移．平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．12、【解析】

根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】∵在Rt△ABC中，∠A是直角，AB＝2，AC＝3，∴BC＝＝＝，故答案為：【點睛】此題考查勾股定理，關鍵是根據(jù)勾股定理解答．13、a≥﹣1．【解析】

根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)，可以得出關于a的不等式，繼而求得a的取值范圍.【詳解】由分析可得，a+1≥0，解得：a≥﹣1.【點睛】熟練掌握二次根式被開方數(shù)為非負數(shù)是解答本題的關鍵.14、（15﹣5）【解析】

先利用黃金分割的定義計算出AP，然后計算AB-AP即得到PB的長．【詳解】∵P為AB的黃金分割點（AP＞PB），∴AP=AB=×10=5﹣5，∴PB=AB﹣PA=10﹣（5﹣5）=（15﹣5）cm．故答案為（15﹣5）．【點睛】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=AB．15、①③④【解析】分析：根據(jù)兩個向量垂直的判定方法一一判斷即可；詳解：①∵2×(?1)+1×2=0，∴與垂直;②∵∴與不垂直.③∵∴與垂直.④∵∴與垂直.故答案為:①③④.點睛：考查平面向量，解題的關鍵是掌握向量垂直的定義.16、x＝﹣4【解析】

分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解.【詳解】去分母得：3+2x＝x﹣1，解得：x＝﹣4，經檢驗x＝﹣4是分式方程的解.【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗.17、1；【解析】

根據(jù)多邊形外角和是360度，正多邊形的各個內角相等，各個外角也相等，直接用360°÷45°可求得邊數(shù)．【詳解】∵多邊形外角和是360度，正多邊形的一個外角是45°，∴360°÷45°=1即該正多邊形的邊數(shù)是1．【點睛】本題主要考查了多邊形外角和是360度和正多邊形的性質（正多邊形的各個內角相等，各個外角也相等）．三、解答題（共7小題，滿分69分）18、（1）證明見解析；（2）12【解析】

（1）由平行四邊形的性質和角平分線得出∠BAF=∠BFA，即可得出AB=BF；（2）由題意可證△ABF為等邊三角形，點E是AF的中點.可求EF、BF的值，即可得解．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD，∠FAD=∠AFB又∵AF平分∠BAD，∴∠FAD=∠FAB∴∠AFB=∠FAB∴AB=BF∴BF=CD（2）解：由題意可證△ABF為等邊三角形，點E是AF的中點在Rt△BEF中，∠BFA=60°，BE=，可求EF=2，BF=4∴平行四邊形ABCD的周長為1219、甲、乙兩種節(jié)能燈分別購進40、60只；商場獲利1300元．【解析】

（1）利用節(jié)能燈數(shù)量和所用的價錢建立方程組即可；（2）每種燈的數(shù)量乘以每只燈的利潤，最后求出之和即可．【詳解】（1）設商場購進甲種節(jié)能燈x只，購進乙種節(jié)能燈y只，根據(jù)題意，得，解這個方程組，得

，答：甲、乙兩種節(jié)能燈分別購進40、60只．（2）商場獲利元，答：商場獲利1300元．【點睛】此題是二元一次方程組的應用，主要考查了列方程組解應用題的步驟和方法，利潤問題，解本題的關鍵是求出兩種節(jié)能燈的數(shù)量．20、（1）反比例函數(shù)的解析式為；一次函數(shù)的解析式為y=-x+1；（2）滿足條件的P點的坐標為（-1+，0）或（-1-，0）或（2+，0）或（2-，0）或（0,0）．【解析】

（1）將A點代入求出k2，從而求出反比例函數(shù)方程，再聯(lián)立將B點代入即可求出一次函數(shù)方程.（2）令PA=PB，求出P.令AP=AB,求P.令BP=BA，求P.根據(jù)坐標距離公式計算即可.【詳解】（1）把A（-1，2）代入，得到k2=-2，∴反比例函數(shù)的解析式為．∵B（m，-1）在上，∴m=2，由題意，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+1．（2）滿足條件的P點的坐標為（-1+，0）或（-1-，0）或（2+，0）或（2-，0）或（0,0）．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖像與性質和反比例函數(shù)的圖像和性質，解題的關鍵是待定系數(shù)法，分三種情況討論.21、（1）；（1）．【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質得出AB=AE=4，進而利用勾股定理得出DE的長，即可得出答案;（1）利用銳角三角函數(shù)關系得出∠DAE=60°，進而求出圖中陰影部分的面積為：，求出即可．【詳解】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=1DA，DA=1，∴AB=AE=4，∴DE=，∴EC=CD-DE=4-1；（1）∵sin∠DEA=，∴∠DEA=30°，∴∠EAB=30°，∴圖中陰影部分的面積為：S扇形FAB-S△DAE-S扇形EAB=．【點睛】此題主要考查了扇形的面積計算以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關系等知識，根據(jù)已知得出DE的長是解題關鍵．22、無解．【解析】

兩邊都乘以x(x-3)，去分母，化為整式方程求解即可.【詳解】解：去分母得：x2﹣3x﹣x2＝3x﹣18，解得：x＝3，經檢驗x＝3是增根，分式方程無解．