(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題05空間角的向量求法重難點專練(原卷版+解析)

專題05空間角的向量求法重難點專練（原卷版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．(2023·上?！とA師大二附中高二期末）如圖，點、、分別在空間直角坐標(biāo)系的三條坐標(biāo)軸上，，平面的法向量為，設(shè)二面角的大小為θ，則（）A． B． C． D．2．(2023·上?！じ呷驴迹┤鐖D，點??分別在空間直角坐標(biāo)系的三條坐標(biāo)軸上，，，，設(shè)二面角的大小為，則（）A． B． C． D．3．(2023·上海奉賢區(qū)致遠高級中學(xué)高二期中）在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．4．(2023·上海虹口·高二期中）閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，過點P（x0，y0，z0）且一個法向量為＝（a，b，c）的平面α的方程為a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0；過點P（x0，y0，z0）且一個方向向量為＝（u，v，w）（uvw≠0）的直線l的方程為，閱讀上面材料，并解決下面問題：已知平面α的方程為x+2y﹣2z﹣4＝0，直線l是兩平面3x﹣2y﹣7＝0與2y﹣z+6＝0的交線，則直線l與平面α所成角的大小為（）A．a(chǎn)rcsin B．a(chǎn)rcsinC．a(chǎn)rcsin D．a(chǎn)rcsin5．(2023·上海市徐匯中學(xué)高二月考）過平面外一點引斜線段、以及垂線段，若與所成角是，，，則線段長的取值范圍是（）A． B． C． D．6．(2023·上?！とA東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高二期中）已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，的中點為，底面，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．(2023·上?！?fù)旦附中高三開學(xué)考試）在正方體中，點O為線段BD的中點.設(shè)點P在線段上，直線OP與平面所成的角為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．(2023·上?！げ軛疃懈叨谀┰谡襟w中，點（異于點）是棱上一點，則滿足與，所成的角為45°的點的個數(shù)為A．0 B．3 C．4 D．69．(2023·上海中學(xué)高二期末）a，b為空間兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與a，b都垂直，斜邊以為旋轉(zhuǎn)軸選擇，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線與a成60°角時，與b成30°角；②當(dāng)直線與a成60°角時，與b成60°角；③直線與a所成角的最小值為45°；④直線與a所成角的最大值為60°；其中正確的是_______.（填寫所以正確結(jié)論的編號）.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④10．(2023·上海市控江中學(xué)高二期中）如圖，平面平面，，，．平面內(nèi)一點P滿足，記直線與平面所成角為，則的最大值是（）A． B． C． D．二、填空題11．(2023·上海市七寶中學(xué)高二期末）已知，，則直線和所成角的余弦值是__________．12．(2023·上海交大附中高二開學(xué)考試）已知直線l的一個方向向量，平面α的一個法向量，若l⊥α，則m+n=____.13．(2023·上?！とA師大二附中高二月考）正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是棱AB、BB1的中點，則異面直線A1E與C1F所成角的余弦值為__________．14．(2023·上海市甘泉外國語中學(xué)高二期中）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是棱AB、CC1的中點，異面直線A1E與B1F所成角的余弦值是___.15．(2023·上海市行知中學(xué)高二期中）在棱長為的正方形中，，分別是和的中點，則直線與所成角的余弦值為___．16．(2023·上海·曹楊二中高二月考）若平面的法向量，直線的方向向量為，則與所成角的大小為___________.17．(2023·上海市七寶中學(xué)高三開學(xué)考試）直線的一個方向向量，直線的一個法向量，則直線與直線的夾角是______18．(2023·上海·高三月考）在長方體中，，分別為棱，的中點，若，則異面直線與所成的角為________.19．(2023·上?！とA師大二附中高二期中）正方體中，與平面所成角的正弦值為___________.20．(2023·上海市建平中學(xué)高二期中）正方體中，是線段上的一個動點，則直線與平面所成角的范圍是________（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）三、解答題21．(2023·上海中學(xué)高二期中）如圖，在圓柱中，它的軸截面是一個邊長為2的正方形，點C為棱的中點，點為弧的中點．(1)求異面直線OC與所成角的大??；(2)求直線與圓柱底面所成角的正弦值.22．(2023·上?！?fù)旦附中高二期中）已知三棱錐中，(1)若，且二面角為，求三棱錐體積．(2)若，面面，D是的中點，設(shè)Q是線段上的動點，當(dāng)與所成角取得最小值時，求線段的長度．23．(2023·上海市復(fù)興高級中學(xué)高二期末）如圖，已知菱形中，，直角梯形中，，，，分別為中點，平面平面.(1)求證：平面；(2)異面直線與所成角的大小；(3)線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.24．(2023·上海金山·高二期末）如圖，在直棱柱中，已知，點分別的中點.(1)求異面直線與所成的角的大??；(2)求點到平面的距離；(3)在棱上是否存在一點，使得直線與平面所成的角的大小是?若存在，請指出點的位置，若不存在，請說明理由.25．(2023·上海市南洋模范中學(xué)高二期中）如圖，在平行六面體中，，，平面，與底面所成角為，設(shè)直線與平面?平面?平面所成角的大小分別為，，.(1)若，求平行六面體的體積的取值范圍；(2)若且，求，，中的最大值；(3)若，，，，（其中，是指，中的最大的數(shù)），求的最小值.專題05空間角的向量求法重難點專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．(2023·上?！とA師大二附中高二期末）如圖，點、、分別在空間直角坐標(biāo)系的三條坐標(biāo)軸上，，平面的法向量為，設(shè)二面角的大小為θ，則（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】利用直接求解．【詳解詳析】∵點、、分別在空間直角坐標(biāo)系的三條坐標(biāo)軸上，，平面的法向量為，二面角的大小為θ，故選：C．2．(2023·上?！じ呷驴迹┤鐖D，點??分別在空間直角坐標(biāo)系的三條坐標(biāo)軸上，，，，設(shè)二面角的大小為，則（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】先求出平面和平面的法向量，再利用二面角公式求解即可.【詳解詳析】因為，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則即取又因為平面的法向量為，所以故選：B3．(2023·上海奉賢區(qū)致遠高級中學(xué)高二期中）在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【詳解詳析】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補關(guān)系求結(jié)果.詳解：以D為坐標(biāo)原點，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.點睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.4．(2023·上海虹口·高二期中）閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，過點P（x0，y0，z0）且一個法向量為＝（a，b，c）的平面α的方程為a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0；過點P（x0，y0，z0）且一個方向向量為＝（u，v，w）（uvw≠0）的直線l的方程為，閱讀上面材料，并解決下面問題：已知平面α的方程為x+2y﹣2z﹣4＝0，直線l是兩平面3x﹣2y﹣7＝0與2y﹣z+6＝0的交線，則直線l與平面α所成角的大小為（）A．a(chǎn)rcsin B．a(chǎn)rcsinC．a(chǎn)rcsin D．a(chǎn)rcsin【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】先根據(jù)兩個平面的方程，求出平面交線的方向向量，結(jié)合已知平面的方程確定平面的法向量，然后求解.【詳解詳析】平面α的法向量為＝（1，2，﹣2），聯(lián)立方程組，令x＝1，得y＝﹣2，z＝2，令x＝3，得y＝1，z＝8，故點P（1，﹣2，2）和點Q（3，1，8）為直線l的兩個點，∴＝（2，3，6）為直線l的方向向量，∵，∴直線l與平面α所成角的正弦值為，故選B．【名師指路】本題主要考查直線和平面所成角的正弦，屬于信息提供題目，理解題中所給的信息是求解關(guān)鍵.5．(2023·上海市徐匯中學(xué)高二月考）過平面外一點引斜線段、以及垂線段，若與所成角是，，，則線段長的取值范圍是（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】畫出已知圖形，可得出是以為斜邊的直角三角形，求出的長度，則線段長的范圍即可求出.【詳解詳析】如下圖所示：，，.又，，、平面，平面.平面，，在中，，，.在平面內(nèi)，要使得是以為斜邊的直角三角形，則，即，因此，線段長的取值范圍是.故選C.【名師指路】本題考查線段長度的取值范圍的求解，同時也考查了線面角的定義，解題的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出線面垂直，得出線線垂直關(guān)系，從而構(gòu)造直角三角形來求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.6．(2023·上海·華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高二期中）已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，的中點為，底面，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解詳析】設(shè)三棱柱的棱長為，，為的中點，則，平面，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則點、、，所以，，.因此，異面直線與所成角的余弦值為.故選：D.【名師指路】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.7．(2023·上海·復(fù)旦附中高三開學(xué)考試）在正方體中，點O為線段BD的中點.設(shè)點P在線段上，直線OP與平面所成的角為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】建立三維直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，然后求出OP與法向量夾角的余弦值就是直線OP與平面所成的角正弦.【詳解詳析】設(shè)正方形的棱長為1，分別以、、為，，軸正方向建立直角坐標(biāo)系，令，則，，，，，設(shè)平面的法向量為由解得平面的一個法向量為故選：B8．(2023·上?！げ軛疃懈叨谀┰谡襟w中，點（異于點）是棱上一點，則滿足與，所成的角為45°的點的個數(shù)為A．0 B．3 C．4 D．6【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】建立空間坐標(biāo)系，通過分類討論，利用向量法求異面直線所成的夾角，即可找出滿足條件的點P的個數(shù)．【詳解詳析】如圖建立坐標(biāo)系，不妨設(shè)棱長，則，，①在中，，因此．同理,,與成角都為．故當(dāng)P位于棱,,上時，與所成角都為，故不滿足條件．②當(dāng)點P位于棱AD上時，設(shè)，，則，，若，滿足于所成角為，則，即，無正數(shù)解（舍），同理當(dāng)P位于上時，也不符合題意．③當(dāng)P位于棱上時，設(shè)，則，，若滿足于所成角為，則，即，因為，所以，滿足條件，此時．④同理可求得棱上一點，棱上一點也滿足題意，其它棱上沒有滿足條件的點P．綜上，滿足條件的P點共有3個，故選B【名師指路】本題考查線線角的求法，即求兩條直線方向向量夾角，通過推理分析，即可求解，計算難度較大，屬中檔題．9．(2023·上海中學(xué)高二期末）a，b為空間兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與a，b都垂直，斜邊以為旋轉(zhuǎn)軸選擇，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線與a成60°角時，與b成30°角；②當(dāng)直線與a成60°角時，與b成60°角；③直線與a所成角的最小值為45°；④直線與a所成角的最大值為60°；其中正確的是_______.（填寫所以正確結(jié)論的編號）.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的邊長為1的正方體，，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸，則點保持不變，點的運動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐標(biāo)原點，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．【詳解詳析】解：由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，故，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸，則點保持不變，點的運動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐標(biāo)原點，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，直線的方向單位向量，1，，，直線的方向單位向量，0，，，設(shè)點在運動過程中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)，，，其中為與的夾角，，，在運動過程中的向量，，，，，設(shè)與所成夾角為，，則，，，，③正確，④錯誤．設(shè)與所成夾角為，，，當(dāng)與夾角為時，即，，，，，，，此時與的夾角為，②正確，①錯誤．故選：．【名師指路】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．10．(2023·上海市控江中學(xué)高二期中）如圖，平面平面，，，．平面內(nèi)一點P滿足，記直線與平面所成角為，則的最大值是（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令，即可得到、的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)，則，即可得到，再求出平面的法向量，依題意根據(jù)正弦函數(shù)、正切函數(shù)的單調(diào)可知，要求的最大值，即可求的最大值，利用空間向量法表示出線面角的正弦值，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，從而根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出；【詳解詳析】解：如圖以平面為平面，平面為平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，令，則，，顯然平面的法向量可以為，設(shè)，則，，，因為，所以，即，因為直線與平面所成角為，因為，顯然，即，因為與在均單調(diào)遞增，要求的最大值，即可求的最大值，所以，所以當(dāng)時，又，所以故選：A二、填空題11．(2023·上海市七寶中學(xué)高二期末）已知，，則直線和所成角的余弦值是__________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】利用向量夾角余弦函數(shù)公式直接求解即可．【詳解詳析】設(shè)直線和所成角為，，1，，，0，，．直線和所成角的余弦值為．故答案為：．【名師指路】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查向量夾角余弦函數(shù)公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．12．(2023·上海交大附中高二開學(xué)考試）已知直線l的一個方向向量，平面α的一個法向量，若l⊥α，則m+n=____.【標(biāo)準(zhǔn)答案】-16【思路指引】由l⊥α得，結(jié)合向量坐標(biāo)關(guān)系即可求解．【詳解詳析】∵l⊥α，∴，又，，∴==，解得m=-6，n=-10，∴m+n=-16．故答案為：-1613．(2023·上海·華師大二附中高二月考）正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是棱AB、BB1的中點，則異面直線A1E與C1F所成角的余弦值為__________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】或者0.4【思路指引】建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線所成角的向量求法求解.【詳解詳析】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為2，則A1（2，0，2），E（2，1，0），C1（0，2，2），F(xiàn)（2，2，1），＝（0，1，﹣2），＝（2，0，﹣1），設(shè)異面直線A1E與C1F所成角為，則異面直線A1E與C1F所成角的余弦值為：cos＝＝．故答案為：．14．(2023·上海市甘泉外國語中學(xué)高二期中）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是棱AB、CC1的中點，異面直線A1E與B1F所成角的余弦值是___.【標(biāo)準(zhǔn)答案】或者0.4【思路指引】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解詳析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：設(shè)正方體的棱長為2，則，所以，則，所以異面直線A1E與B1F所成角的余弦值是，故答案為：15．(2023·上海市行知中學(xué)高二期中）在棱長為的正方形中，，分別是和的中點，則直線與所成角的余弦值為___．【標(biāo)準(zhǔn)答案】或者0.4【思路指引】以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出、的坐標(biāo)，由利用空間向量夾角公式即可求解.【詳解詳析】如圖：以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以直線與所成角的余弦值為，故答案為：.16．(2023·上?！げ軛疃懈叨驴迹┤羝矫娴姆ㄏ蛄?，直線的方向向量為，則與所成角的大小為___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】##【思路指引】設(shè)直線與平面所成角為，則，直接利用直線與平面所成的角的向量計算公式，即可求出直線與平面所成的角．【詳解詳析】解：已知直線的方向向量為，平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，，，所以直線與平面所成角為.故答案為：.17．(2023·上海市七寶中學(xué)高三開學(xué)考試）直線的一個方向向量，直線的一個法向量，則直線與直線的夾角是______【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】先求得直線的一個方向向量,先用兩個方向向量的數(shù)量積的定義，求得直線與直線的夾角的余弦值,可得直線與直線的夾角．【詳解詳析】解：直線的一個方向向量,直線的一個法向量,故直線的一個方向向量,設(shè)直線與直線的夾角是,則，,故答案為:.【名師指路】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義,直線的方向向量和法向量,屬于基礎(chǔ)題.18．(2023·上?！じ呷驴迹┰陂L方體中，，分別為棱，的中點，若，則異面直線與所成的角為________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合，求出的坐標(biāo)，利用向量夾角公式可求.【詳解詳析】以為坐標(biāo)原點,所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè),則,,,因為,所以,即有.因為,所以,即異面直線和所成角為.故答案為：.【名師指路】本題主要考查異面直線所成角的求解，異面直線所成角主要利用幾何法和向量法，幾何法側(cè)重于把異面直線所成角平移到同一個三角形內(nèi)，結(jié)合三角形知識求解；向量法側(cè)重于構(gòu)建坐標(biāo)系，利用向量夾角公式求解.19．(2023·上?！とA師大二附中高二期中）正方體中，與平面所成角的正弦值為___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】設(shè)正方體的棱長為，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解詳析】設(shè)正方體的棱長為，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，則，，.因此，與平面所成角的正弦值為.故答案為：.20．(2023·上海市建平中學(xué)高二期中）正方體中，是線段上的一個動點，則直線與平面所成角的范圍是________（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，用參數(shù)表示點坐標(biāo)，根據(jù)線面角的向量公式并結(jié)合未知數(shù)的范圍求解，最后轉(zhuǎn)化為反三角函數(shù)形式即可.【詳解詳析】如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為.則，所以，.又因為是線段上的一個動點，所以,.所以,所以.設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令得.設(shè)直線與平面所成角為，則.又因為，顯然，當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時.直線與平面所成角的范圍是.故答案為:三、解答題21．(2023·上海中學(xué)高二期中）如圖，在圓柱中，它的軸截面是一個邊長為2的正方形，點C為棱的中點，點為弧的中點．(1)求異面直線OC與所成角的大?。?2)求直線與圓柱底面所成角的正弦值.【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)(2)【思路指引】（1）用向量法求解即可；（2）用向量法求解即可；(1)以為原點，直線分別為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，于是，所以，所以異面直線OC與所成角的大小為；(2)是圓柱底面的一個法向量，又，設(shè)直線與圓柱底面所成角的大小為，則，直線與圓柱底面所成角的正弦值為；22．(2023·上?！?fù)旦附中高二期中）已知三棱錐中，(1)若，且二面角為，求三棱錐體積．(2)若，面面，D是的中點，設(shè)Q是線段上的動點，當(dāng)與所成角取得最小值時，求線段的長度．【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)；(2).【思路指引】（1）取的中點，連接，由題意得出，從而可求出棱錐的高，然后利用棱錐的體積公式即可求出答案.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計算向量與，根據(jù)取最大值時，求線段的長度即可．(1)取的中點，連接，因為，所以，所以為二面角的一個平面角，即，又因為，所以，設(shè)三棱錐的高為，則，所以.(2)因為，所以由余弦定理，得，，所以為鈍角，因為面面，且面面，所以過作的垂線，交的延長線于點，連接，則面，，所以以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，在等腰直角三角形和中，，所以，設(shè)，，，則，設(shè)，設(shè)直線與所成的角為，則，令，所以，令，因為，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取最大值，且最大值為，所以，所以當(dāng)與所成角取得最小值時，線段的長度為.23．(2023·上海市復(fù)興高級中學(xué)高二期末）如圖，已知菱形中，，直角梯形中，，，，分別為中點，平面平面.(1)求證：平面；(2)異面直線與所成角的大小；(3)線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，【思路指引】（1）根據(jù)題意得，進而結(jié)合平面平面即可證明平面；（2）根據(jù)題意，以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可；（3）假設(shè)存在，設(shè)，，再根據(jù)線面角的向量法求解即可.(1)證明：因為在菱形中，，所以為等邊三角形，因為分別為中點，所以因為平面平面，平面平面，平面.所以平面.(2)解：因為直角梯形中，，，平面，所以，以點為坐標(biāo)原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，，，，，，，所以，，所以，所以異面直線與所成角的大小為(3)解：假設(shè)線段上是存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時，則，由（1）知平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，解得所以線段上是存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時.24．(2023·上海金山·高二期末）如圖，在直棱柱中，已知，點分別的中點.(1)求異面直線與所