(滬教版2021選擇性必修一)高二數學專題訓練專題04橢圓的性質綜合難點專練(原卷版+解析)

專題04橢圓的性質綜合難點專練（原卷版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．(2023·上海市實驗學校高二期末）設P是橢圓上一點，M、N分別是兩圓：和上的點，則的最小值、最大值的分別為（）A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．9，112．若曲線與曲線恰有兩個不同交點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．3．橢圓與直線的交點情況是（）A．沒有交點 B．有一個交點 C．有兩個交點 D．由的取值而確定4．設、是橢圓上相異的兩點.設、.命題甲：若，則與關于軸對稱；命題乙：若，則與關于軸對稱.關于這兩個命題的真假，以下四個論述中，正確的是（）A．甲和乙都是真命題 B．甲是真命題，乙是假命題C．甲是假命題，乙是真命題 D．甲和乙都是假命題5．在圓錐曲線中，我們將焦距與長軸長的比值稱為離心率，已知橢圓與x軸正半軸交于點A，若該橢圓上總存在點P（異于A），使（O為坐標原點），則橢圓離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知三角形的三個頂點都在橢圓：上，設它的三條邊，，的中點分別為，，，且三條邊所在線的斜率分別為，，，且，，均不為0.為坐標原點，若直線，，的斜率之和為1.則（）A． B． C． D．7．(2023·上海奉賢·高二期末）直線與橢圓相交于兩點、，點使得的面積為，則這樣的點在橢圓上的個數有（）A．個 B．個 C．個 D．個8．已知橢圓過右焦點F作不垂直于x軸的弦交橢圓于A，B兩點，AB的垂直平分線交x軸于N，則|NF|：|AB|等于（）A． B． C． D．9．已知橢圓C：的左右頂點分別為A、B，F為橢圓C的右焦點，圓上有一個動點P，P不同于A、B兩點，直線PA與橢圓C交于點Q，則的取值范圍是（）A． B．C． D．10．下面是對曲線的一些結論，正確的結論是（）①的取值范圍是；②曲線是中心對稱圖形；③曲線上除點，外的其余所有點都在橢圓的內部；④過曲線上任一點作軸的垂線，垂線段中點的軌跡所圍成圖形的面積不大于；A．①②④ B．②③④ C．①② D．①③④二、填空題11．(2023·上海黃浦·三模）已知橢圓的右頂點為右焦點為以為圓心，為半徑的圓與橢圓相交于兩點，若直線過點則的值為_____．12．(2023·上海嘉定·三模）設橢圓，直線l過的左頂點A交y軸于點P，交于點Q，若為等腰三角形（O為坐標原點），且Q是的中點，則的長軸長等于________.13．(2023·上海長寧·二模）設分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且不是橢圓的頂點．若，且，則實數的值為_____．14．(2023·上海市控江中學高三月考）設橢圓的左頂點，過點的直線與相交于另一個點，與軸相交于點，若，，則___________.15．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知F1，F2是橢圓C：（a>0，b>0）的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且，若△PF1F2的面積為9，則b=_________.16．(2023·上海徐匯·高二期末）設直線與橢圓的交點為、，點為橢圓上的動點，則使的面積為的點的個數是________________．17．(2023·上海市建平中學高二月考）橢圓的焦點坐標為________．18．(2023·上?！偷└街星嗥址中８叨驴迹┮阎獧E圓，焦點F1（-c，0），F2（c，0）（c>0），若過F1的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點P，且PF2⊥x軸，則橢圓的離心率是_______.19．如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左右焦點分別為，，橢圓的弦與分別垂直于軸與軸，且相交于點.已知線段，，，的長分別為2，4，6，12，則的面積為___________.20．在平面直角坐標系xOy中，已知點A在橢圓上，點P滿足，且，則線段OP在x軸上的投影長度的最大值為_______三、解答題21．(2023·上海市七寶中學高三期中）如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉一周形成的曲面）的一部分．過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點上，片門位于該橢圓的另一個焦點上．橢圓有光學性質：從一個焦點出發(fā)的光線，經過橢圓面反射后經過另一個焦點，即橢圓上任意一點P處的切線與直線、的夾角相等．已知，垂足為，，，以所在直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立如圖的平面直角坐標系．(1)求截口BAC所在橢圓C的方程；(2)點P為橢圓C上除長軸端點和短軸端點外的任意一點．①是否存在m，使得P到和P到直線的距離之比為定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，請說明理由；②若的角平分線PQ交y軸于點Q，設直線PQ的斜率為k，直線、的斜率分別為，，請問是否為定值，若是，求出這個定值，若不是，請說明理由．22．(2023·上海市復興高級中學高三期中）已知橢圓的左?右焦點分別為?，點在橢圓上，且，點，是橢圓上關于坐標原點O對稱的兩點.(1)求橢圓的標準方程；(2)若點在第一象限，軸于點，直線交橢圓于點（不同于Q點），試求的值；(3)已知點在橢圓上，直線與圓相切，連接，問：是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由.23．(2023·上海市建平中學高三月考）已知橢圓：上任意一點到焦點距離的最大值與最小值之比為，長軸長為，左右頂點分別為、.(1)求橢圓的方程；(2)設直線：與軸交于點，點是橢圓上異于、的動點，直線、分別交直線于、兩點，求證：為定值；(3)如圖，原點到：的距離為1，直線與橢圓交于、兩點，直線：與平行且與橢圓相切于點（、位于直線的兩側），記、的面積分別為、，若，求實數的取值范圍.24．(2023·上海虹口·一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線交橢圓于，兩點，交軸于點.(1)若直線的傾斜角為時，求的值；(2)若點在第一象限，滿足，求的值；(3)在軸上是否存在定點，使得是一個確定的常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.25．(2023·上海楊浦·一模）如圖，橢圓的左?右焦點分別為?，過右焦點與x軸垂直的直線交橢圓于M?N兩點，動點P?Q分別在直線MN與橢圓C上.已知，的周長為.(1)求橢圓C的方程；(2)若線段PQ的中點在y軸上，求三角形的面積；(3)是否存在以?為鄰邊的矩形，使得點E在橢圓C上？若存在，求出所有滿足條件的點Q的橫坐標；若不存在，說明理由.26．(2023·上海金山·一模）已知為橢圓C：內一定點，Q為直線l：上一動點，直線PQ與橢圓C交于A?B兩點（點B位于P?Q兩點之間），O為坐標原點.(1)當直線PQ的傾斜角為時，求直線OQ的斜率；(2)當AOB的面積為時，求點Q的橫坐標；(3)設，，試問是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.27．(2023·上海市建平中學高二月考）給定橢圓，稱圓為橢圓E的“伴隨圓”．已知橢圓E中，離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)若直線與橢圓E交于A、B兩點，與其“伴隨圓”交于C、D兩點，．①請將用含有k的關系式表示（不需給出k的范圍）；②當時，求的面積28．(2023·上海崇明·一模）如圖，已知橢圓的左焦點為，點是橢圓上位于第一象限的點，M，N是軸上的兩個動點(點位于軸上方)，滿足且，線段PN交軸于點.(1)若，求點的坐標；(2)若四邊形為矩形，求點的坐標；(3)求證:為定值.專題04橢圓的性質綜合難點專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．(2023·上海市實驗學校高二期末）設P是橢圓上一點，M、N分別是兩圓：和上的點，則的最小值、最大值的分別為（）A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．9，11【標準答案】C【思路指引】兩圓的圓心是橢圓的焦點，，的最大值與最小值是到圓心的距離加上半徑、減去半徑，結合橢圓定義可得．【詳解詳析】由題意橢圓的焦點分別是，恰好是已知兩圓圓心，兩圓半徑都是1，，，，，，∴，．故選：C．2．若曲線與曲線恰有兩個不同交點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【標準答案】A【思路指引】分別在曲線為橢圓、雙曲線和圓三種情況下，由數形結合的方式得到不等關系，從而求得結果.【詳解詳析】①當曲線為橢圓時，若兩曲線恰有兩個交點，則需如下圖所示：則，解得：②當曲線為雙曲線時，如下圖所示：若為雙曲線的漸近線，則兩曲線恰有兩個交點，解得：③當曲線為圓，即時，兩曲線有個不同交點，不合題意綜上所述：實數的取值范圍為故選【名師指路】本題考查根據兩曲線交點個數求解參數范圍的問題，關鍵是能夠通過分類討論的方式，根據曲線方程表示的不同曲線，利用數形結合的方式得到不等關系.3．橢圓與直線的交點情況是（）A．沒有交點 B．有一個交點 C．有兩個交點 D．由的取值而確定【標準答案】C先將轉化為：，令，解出直線過定點，再將代入，判斷點與橢圓的位置關系.【詳解詳析】已知可轉化為：，令，解得，所以直線過定點，將代入可得，所以點在橢圓的內部，所以直線與橢圓必相交，所以必有兩個交點.故選：C【名師指路】本題主要考查了點與橢圓，直線與橢圓的位置關系，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于基礎題.4．設、是橢圓上相異的兩點.設、.命題甲：若，則與關于軸對稱；命題乙：若，則與關于軸對稱.關于這兩個命題的真假，以下四個論述中，正確的是（）A．甲和乙都是真命題 B．甲是真命題，乙是假命題C．甲是假命題，乙是真命題 D．甲和乙都是假命題【標準答案】A設點、，則或，利用兩點間的距離公式結合命題中的等式，化簡計算可判斷出兩個命題的真假.【詳解詳析】設點、，則，可得，.對于命題甲：，同理可得，，則，整理得，，，所以，，則，必有，所以，則與關于軸對稱，命題甲正確；同理可知命題乙也正確.故選：A.【名師指路】本題主要考查橢圓的對稱性的應用，考查橢圓方程的應用，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.5．在圓錐曲線中，我們將焦距與長軸長的比值稱為離心率，已知橢圓與x軸正半軸交于點A，若該橢圓上總存在點P（異于A），使（O為坐標原點），則橢圓離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【標準答案】B【思路指引】設，利用可得關于的方程，再結合該點在橢圓上可得，利用可求離心率的范圍.【詳解詳析】由橢圓方程可得，設，則，因為，故，故，又，故，整理得到：，因為當時，，故方程有一個解為.所以此方程的另一個解為，故的橫坐標為，所以，即即，所以，故選：B.【名師指路】方法點睛：橢圓離心率的范圍計算，一般利用題設條件構建關于的不等式關系，構建時常依據坐標的范圍、幾何量的范圍等.6．已知三角形的三個頂點都在橢圓：上，設它的三條邊，，的中點分別為，，，且三條邊所在線的斜率分別為，，，且，，均不為0.為坐標原點，若直線，，的斜率之和為1.則（）A． B． C． D．【標準答案】A設，，，，，，利用，在橢圓上，代入橢圓方程，兩式相減得：，同理可得：，，再利用已知條件即可得出結果.【詳解詳析】設，，，，，，因為，在橢圓上，所以，，兩式相減得：，即，同理可得，，所以因為直線??的斜率之和為1，所以，故選：A.【名師指路】關鍵點睛：本題主要考查橢圓的簡單性質的應用.利用平方差法轉化求解斜率是解決本題的關鍵.7．(2023·上海奉賢·高二期末）直線與橢圓相交于兩點、，點使得的面積為，則這樣的點在橢圓上的個數有（）A．個 B．個 C．個 D．個【標準答案】C【思路指引】設點，其中，利用點到直線的距離公式以及三角形的面積公式可得出或，觀察直線、與函數的圖象的公共點個數，由此可得出結論.【詳解詳析】設點、，因為點在橢圓上，設點，其中，設點到直線的距離為，則，因為，，所以，，所以，或，可得或，因為，則，如下圖所示：直線與函數的圖象只有個公共點，直線與函數的圖象有個公共點，因此，滿足條件的點共有個.故選：C.8．已知橢圓過右焦點F作不垂直于x軸的弦交橢圓于A，B兩點，AB的垂直平分線交x軸于N，則|NF|：|AB|等于（）A． B． C． D．【標準答案】B【思路指引】設出直線的參數方程，代入橢圓方程，化簡后寫出韋達定理.利用直線參數的幾何意義表示出，由此求得兩者的比值.【詳解詳析】依題意可知，橢圓的右焦點為.設直線的參數方程為（為參數，為直線的傾斜角，）.代入橢圓，化簡得，所以.設的中點為，則中點對應的參數，所以.而.所以.故選：B.【名師指路】本小題主要考查直線和橢圓的位置關系，考查運算求解能力，屬于中檔題.9．已知橢圓C：的左右頂點分別為A、B，F為橢圓C的右焦點，圓上有一個動點P，P不同于A、B兩點，直線PA與橢圓C交于點Q，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【標準答案】D【思路指引】橢圓焦點在軸上，由在圓，則，有，設，求出，令，，分離常數，求解得出結論.【詳解詳析】橢圓C：的左右頂點分別為，右焦點，點圓上且不同于，，設，令，，且不等于0.故選:D.【名師指路】本題考查了橢圓的標準方程及其性質、相互垂直的直線斜率之間的關系、三角函數求值、函數的性質、換元方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題.10．下面是對曲線的一些結論，正確的結論是（）①的取值范圍是；②曲線是中心對稱圖形；③曲線上除點，外的其余所有點都在橢圓的內部；④過曲線上任一點作軸的垂線，垂線段中點的軌跡所圍成圖形的面積不大于；A．①②④ B．②③④ C．①② D．①③④【標準答案】C由曲線方程性質可知①正確；關于原點對稱的兩個點點，是否都在曲線上，可判斷②；令代入驗證即可判斷③；通過軌跡法求得垂線段中點的軌跡方程，判斷軌跡中的點與的關系即可判斷④.【詳解詳析】，可知，即，，，，①正確；將方程中的換成，換成方程不變，故②正確；，令，則，當時，，點在橢圓的外部，故③錯誤；過曲線上任一點作軸的垂線，垂線段中點的軌跡為，即，在上任取一點，，，，即在外，圍成圖形的面積大于，故④錯誤.故選：C【名師指路】方法點睛：關于對稱點的問題可以利用以下知識解決：①點關于軸對稱的點為；②點關于軸對稱的點為；③點關于原點對稱的點為；④點關于軸對稱的點為.二、填空題11．(2023·上海黃浦·三模）已知橢圓的右頂點為右焦點為以為圓心，為半徑的圓與橢圓相交于兩點，若直線過點則的值為_____．【標準答案】【思路指引】由對稱性得弦是橢圓的通徑，由通徑長可得關系式，從而求得．【詳解詳析】由已知，，因為過焦點，所以由對稱性知軸，所以，，所以．故答案為：．12．(2023·上海嘉定·三模）設橢圓，直線l過的左頂點A交y軸于點P，交于點Q，若為等腰三角形（O為坐標原點），且Q是的中點，則的長軸長等于________.【標準答案】【思路指引】由題意可得，代入橢圓方程求解即可.【詳解詳析】設，由題意可得：，因為Q是的中點，所以∴，∴，代入橢圓方程可得：，解得，∴橢圓的長軸長等于故答案為：.13．(2023·上海長寧·二模）設分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且不是橢圓的頂點．若，且，則實數的值為_____．【標準答案】1【思路指引】由已知向量條件結合橢圓的對稱性推出四邊形一定為平行四邊形，可得，即.【詳解詳析】因為，所以，所以，又，且不是橢圓的頂點．根據橢圓的對稱性可知，四邊形一定為平行四邊形，如圖：所以，所以，即，故答案為：．【名師指路】關鍵點點睛：根據橢圓的對稱性求解是解題關鍵.14．(2023·上海市控江中學高三月考）設橢圓的左頂點，過點的直線與相交于另一個點，與軸相交于點，若，，則___________.【標準答案】【思路指引】由橢圓方程及已知條件知：、，進而求出的坐標，由在橢圓上求參數a即可.【詳解詳析】由題設，知：，若直線與軸相交于x軸上方，由知：，∵，即是的中點，∴，又在橢圓上，∴，解得.故答案為：15．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知F1，F2是橢圓C：（a>0，b>0）的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且，若△PF1F2的面積為9，則b=_________.【標準答案】3【思路指引】結合已知三角形面積根據橢圓的定義可得．【詳解詳析】設，，因為，所以，所以，又，所以，，．故答案為：3．16．(2023·上海徐匯·高二期末）設直線與橢圓的交點為、，點為橢圓上的動點，則使的面積為的點的個數是________________．【標準答案】2【思路指引】先求交點A，B得，再求與直線平行且與橢圓相切的直線方程，最后根據兩直線距離判定點的個數.【詳解詳析】由題意知，直線恰好經過橢圓的兩個頂點，，故，若的面積為，則（為邊上的高），所以．聯立與橢圓方程，得．令，得，即當直線平移到直線或時，與橢圓相切，它們與直線的距離或，當，所以有個點符合要求；當，沒有滿足題意的點；所以一共有個點符合要求．故答案為：217．(2023·上海市建平中學高二月考）橢圓的焦點坐標為________．【標準答案】【思路指引】由橢圓的幾何性質可直接求解.【詳解詳析】將橢圓化成標準式得，故，焦點在軸上，所以，，故橢圓的焦點坐標為，故答案為：18．(2023·上海·復旦附中青浦分校高二月考）已知橢圓，焦點F1（-c，0），F2（c，0）（c>0），若過F1的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點P，且PF2⊥x軸，則橢圓的離心率是_______.【標準答案】【思路指引】由幾何關系可得為，結合相似三角形可得的比例關系，聯立焦點三角形公式即可求解【詳解詳析】由題可知，，，故，因為過F1的直線和圓相切，所以，又PF2⊥x軸，故，即，設則，橢圓離心率故答案為：19．如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左右焦點分別為，，橢圓的弦與分別垂直于軸與軸，且相交于點.已知線段，，，的長分別為2，4，6，12，則的面積為___________.【標準答案】根據圖形以及線段，，，的長求出，將代入，可得，然后利用三角形面積公式可得答案.【詳解詳析】因為橢圓的弦與分別垂直于軸與軸，且相交于點，線段，，，的長分別為2，4，6，12，由圖可知，是第一象限的點，根據橢圓的對稱性可得，，，即，將代入，可得，解得，，則的面積為，故答案為：【名師指路】關鍵點點睛：本題主要考查橢圓的方程與幾何性質，解題的關鍵是利用對稱性求出，然后代入橢圓方程確定的值.20．在平面直角坐標系xOy中，已知點A在橢圓上，點P滿足，且，則線段OP在x軸上的投影長度的最大值為_______【標準答案】10由已知可得，，三點共線，先設與軸的夾角為，為在軸上的投影，從而有線段在軸上的投影長度為，結合橢圓方程及基本不等式可求．【詳解詳析】，，則，，三點共線，，設與軸的夾角為，為在軸上的投影，則線段在軸上的投影長度為，當且僅當即時取得最大值10．故答案為：10．【名師指路】方法點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號取得的條件）的條件才能應用，否則會出現錯誤.三、解答題21．(2023·上海市七寶中學高三期中）如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉一周形成的曲面）的一部分．過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點上，片門位于該橢圓的另一個焦點上．橢圓有光學性質：從一個焦點出發(fā)的光線，經過橢圓面反射后經過另一個焦點，即橢圓上任意一點P處的切線與直線、的夾角相等．已知，垂足為，，，以所在直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立如圖的平面直角坐標系．(1)求截口BAC所在橢圓C的方程；(2)點P為橢圓C上除長軸端點和短軸端點外的任意一點．①是否存在m，使得P到和P到直線的距離之比為定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，請說明理由；②若的角平分線PQ交y軸于點Q，設直線PQ的斜率為k，直線、的斜率分別為，，請問是否為定值，若是，求出這個定值，若不是，請說明理由．【標準答案】(1).(2)①存在②是定值【思路指引】（1）設所求橢圓方程為，由橢圓的性質求得，，可得橢圓的方程；（2）①存在,設橢圓上的點,直接計算，即可探索出存在m；②由（1）得橢圓的方程為，設橢圓上的點，有，證明橢圓在點處的切線方程為，再由右光學性質得直線，由此可求得定值.(1)設所求橢圓方程為，則，由橢圓的性質：，所以，，所以橢圓的方程為.(2)由橢圓的方程為，則.①存在直線，使得P到和P到直線的距離之比為定值.設橢圓上的點,則，P到直線的距離，所以，所以，當時，（定值）.即存在，使得P到和P到直線的距離之比為定值.②設橢圓上的點，則，又橢圓在點處的切線方程為，證明如下：對于橢圓，當，，則，所以橢圓在處的切線方程為，又由，可以整理切線方程為：，即切線方程為，即，也即.所以橢圓在點處的切線方程為，同理可證：當，橢圓在點處的切線方程為，綜述：橢圓在點處的切線方程為，所以在點處的切線的斜率為，又由光學性質可知：直線，所以，則.所以，，那么.22．(2023·上海市復興高級中學高三期中）已知橢圓的左?右焦點分別為?，點在橢圓上，且，點，是橢圓上關于坐標原點O對稱的兩點.(1)求橢圓的標準方程；(2)若點在第一象限，軸于點，直線交橢圓于點（不同于Q點），試求的值；(3)已知點在橢圓上，直線與圓相切，連接，問：是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由.【標準答案】(1)(2)(3)為定值，理由見解析.【思路指引】（1）由已知可得，設，，根據求得的值，再由求得的值，進而可得橢圓的標準方程；（2）設，，，計算，，可得，即可得；（3）直線的斜率不存在時，的方程為或，求出，，三點坐標，可得、的長，即可得的值，當直線的斜率存在時，設，可得，設直線的方程為：，與橢圓方程聯立可得，，由弦長公式計算，由兩點間距離公式計算，即可得，即可得結論.(1)設橢圓的半焦距為，由點在橢圓上，可得，，，，由，可得，所以，所以橢圓的標準方程為.(2)設，，，所以，，所以，可得，所以(3)當直線的斜率不存在時，由題意可得：直線的方程為或，當直線的方程為時，的方程為，可得，，，則，，所以，其他情況由對稱性，同理可得，當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，即，可得，設，可得，由可得，所以，，所以，，，所以，綜上所述：為定值.【名師指路】思路點睛：解決圓錐曲線定值、定點的方法：（1）從特殊入手，求出定值、定點、定線，再證明定值、定點、定線與變量無關；（2）直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量是此類問題的特點，設而不求的方法、整體思想和消元思想的運用可以有效的簡化運算.23．(2023·上海市建平中學高三月考）已知橢圓：上任意一點到焦點距離的最大值與最小值之比為，長軸長為，左右頂點分別為、.(1)求橢圓的方程；(2)設直線：與軸交于點，點是橢圓上異于、的動點，直線、分別交直線于、兩點，求證：為定值；(3)如圖，原點到：的距離為1，直線與橢圓交于、兩點，直線：與平行且與橢圓相切于點（、位于直線的兩側），記、的面積分別為、，若，求實數的取值范圍.【標準答案】(1)(2)證明見解析(3)【思路指引】（1）根據，解得答案.（2）設，計算直線方法解得交點，代入化簡得到證明.（3）根據距離的相切得到，，得到，根據得到答案.(1)根據題意，，解得，，則.故橢圓方程為：.(2)設，，，，故：，取得到，即.同理可得，.(3)，即，，化簡得到，，整理得到.，故，故，故，故.24．(2023·上海虹口·一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線交橢圓于，兩點，交軸于點.(1)若直線的傾斜角為時，求的值；(2)若點在第一象限，滿足，求的值；(3)在軸上是否存在定點，使得是一個確定的常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.【標準答案】(1)(2)(3)存在使得是一個確定的常數.【思路指引】（1）根據題意求得，進而求得直線的方程，令，即可求解；（2）設，根據，得到，聯立方程組，求得，進而求得的值；（3）按照直線斜率是否為0討論，設直線的方程為，聯立方程組求得，設，結合向量的數量積的公式，化簡得到，從而得到，求得，即可得到答案.(1)解：由橢圓，可得，則，所以，又因為直線的傾斜角為，可得直線的斜率為，所以直線的方程為，令，解得，即.(2)解：設，可得，因為，即，整理得，由且，解得，即，又由，所以直線的方程為，令，解得，即.(3)解：當直線l斜率不為0時，設直線的方程為，，，聯立方程組，整理得，則，且，設，可得，則，令，可得，解得，此時點，；當直線斜率為0時，直線的方程為，，若點，則成立；所以存在定點，使得是一個確定的常數25．(2023·上海楊浦·一模）如圖，橢圓的左?右焦點分別為?，過右焦點與x軸垂直的直線交橢圓于M?N兩點，動點P?Q分別在直線MN與橢圓C上.已知，的周長為.(1)求橢圓C的方程；(2)若線段PQ的中點在y軸上，求三角形的面積；(3)是否存在以?為鄰邊的矩形，使得點E在橢圓C上？若存在，求出所有滿足條件的點Q的橫坐標；若不存在，說明理由.【標準答案】(1)；(2)；(3)存在，且點坐標為,.【思路指引】（1）的周長是，求得，由焦距得，然后求得得橢圓方程；（2）線段PQ的中點在y軸上，得點橫坐標，代入橢圓方程得點縱坐標，此時軸，易得其面積；（3）假設存在以?為鄰邊的矩形，使得點E在橢圓C上，設，，，由平行四邊形對角線互相平分把點坐標用點坐標表示，然后把坐標代入橢圓方程，利用垂直得向量的數量積為0，得出的關系，結合起來可得或，再分別代入求得，得結論．(1)由已知，所以，，從而，橢圓方程為；(2)顯然，線段PQ的中點在y軸上，則，軸，，，所以；(3)假設存在以?為鄰邊的矩形，使得點E在橢圓C上，設，，，，因為四邊形是矩形，一定為平行四邊形，所以，，都在橢圓上，，變形得①，又，所以，即，②，②代入①得，或，時，，，此時與重合，點坐標為；時，（舍去），，點坐標為．所以存在滿足題意的點，其坐標為,.【名師指路】本題考查求橢圓標準方程，直線與橢圓中的存在性命題．解題方法是假設存在，設出點的坐標，由平行四邊形求出點坐標，然后