(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題04解析幾何之兩條直線的位置關(guān)系必考點(diǎn)專練(原卷版+解析)

專題04：解析幾何之兩條直線的位置關(guān)系必考點(diǎn)專練（原卷版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號：___________一、單選題1．過點(diǎn)（1，3）且與原點(diǎn)相距為1的直線共有（）.A．0條 B．1條 C．2條 D．3條2．若，且分別是直線的法向量，則的值分別可以是（）A．2，1 B．1，2 C． D．3．設(shè)，則“”是“直線和直線平行”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．(2023·上海交大附中高二開學(xué)考試）已知直線及與函數(shù)圖像的交點(diǎn)分別為A，B，與函數(shù)圖像的交點(diǎn)分別為C，D，則直線與（）A．相交，且交點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) B．相交，且交點(diǎn)在第一象限C．相交，且交點(diǎn)在第二象限 D．相交，且交點(diǎn)在第四象限5．(2023·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二期中）對于直線，下列說法不正確的是A．無論如何變化，直線的傾斜角的大小不變B．無論如何變化，直線一定不經(jīng)過第三象限C．無論如何變化，直線必經(jīng)過第一、二、三象限D(zhuǎn)．當(dāng)取不同數(shù)值時(shí)，可得到一組平行直線6．(2023·上海市金山中學(xué)高二期中）若直線與平行，則與間的距離為（）A． B．C． D．7．是“直線與直線相互垂直”的（）.A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．(2023·上海市楊浦高級中學(xué)高二期末）已知、、、、、，直線：，：，則“”是“直線與平行”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件9．(2023·上海青浦·高二期末）已知直線l1∶xsina+y=0與直線l2∶3x+y+c=0，則下列結(jié)論中正確的是（）A．直線l1與直線l2可能重合B．直線l1與直線l2可能垂直C．直線l1與直線l2可能平行D．存在直線l1外一點(diǎn)P，直線l1繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后可與直線l2重合10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知過點(diǎn)和的直線與直線平行，則的值為（）A．0 B．10 C．2 D．二、填空題11．已知直線：、：，若，則實(shí)數(shù)_________.12．直線與直線的夾角為______________.13．(2023·上海·南洋中學(xué)高三月考）若直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為______.14．(2023·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高二期末）已知直線與平行，則___________.15．(2023·上海市奉賢中學(xué)高三月考）直線和直線是平行直線，則實(shí)數(shù)________.16．(2023·上海徐匯·高二期末）若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)m的值為____________17．(2023·上海靜安·高二期末）兩條直線2x+y-2=0和2x+4y-5=0的夾角大小為__________.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）18．(2023·上海市洋涇中學(xué)高二月考）直線與直線的夾角大小為____________（用反三角表示）．19．若直線和平行，則實(shí)數(shù)的值為__________．20．已知直線和的夾角為，那么的值為____________.三、解答題21．求證：不論取何實(shí)數(shù)，直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo).22．已知，，求當(dāng)為何值時(shí)，與相交、平行或重合．23．(2023·上海市新場中學(xué)高二月考）已知直線和.（1）當(dāng)為何值時(shí)兩直線平行；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與所成夾角的大小.（用反三角表示）24．已經(jīng)直線與兩點(diǎn)（1）若與直線平行，求它們之間的距離以及的傾斜角；（2）若與線段無公共點(diǎn)，求的取值范圍.25．當(dāng)m為何值時(shí)，直線與直線.（1）相交；（2）垂直；（3）平行；（4）重合.26．(2023·上海崇明·一模）直線與直線的夾角大小等于_______.(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).27．已知等腰三角形的底邊所在直線，一條腰所在直線，另一條腰過點(diǎn)，求這條腰所在直線方程.28．求直線關(guān)于對稱的直線方程．29．已知為實(shí)數(shù)，設(shè)直線的方程為，直線的方程為.（1）若與平行，求的值；（2）當(dāng)與相交時(shí)，用表示交點(diǎn)的坐標(biāo)，并說明點(diǎn)一定在某一條定直線上.30．從點(diǎn)出發(fā)的一束光線依次經(jīng)過直線和反射后回到點(diǎn)．設(shè)和上反射點(diǎn)分別為和，求直線的方程．專題04：解析幾何之兩條直線的位置關(guān)系必考點(diǎn)專練（解析版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號：___________一、單選題1．過點(diǎn)（1，3）且與原點(diǎn)相距為1的直線共有（）.A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】分類討論，當(dāng)斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證成立；當(dāng)斜率存在時(shí)，求出點(diǎn)斜式方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出斜率即可求解.【詳解詳析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)（1，3）的直線為，原點(diǎn)到直線的距離為1，滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則直線方程為，即，則原點(diǎn)到直線的距離，解得，即直線方程為，即滿足題意的直線有2條.故選：C【名師指路】本題考查了點(diǎn)斜式方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題.2．若，且分別是直線的法向量，則的值分別可以是（）A．2，1 B．1，2 C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】由已知可得，從而有，求出關(guān)系，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解詳析】，分別是直線，的法向量，，，選項(xiàng)A，滿足，選項(xiàng)B，C，D均不滿足.故選：A.【名師指路】本題考查直線與法向量間的關(guān)系，以及直線與直線的位置關(guān)系，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3．設(shè)，則“”是“直線和直線平行”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】先判斷當(dāng)成立是否能推出兩條直線平行；再判斷當(dāng)兩條直線平行時(shí)，一定有成立，利用充要條件的定義得到結(jié)論．【詳解詳析】解：當(dāng)時(shí)，兩條直線的方程分別是和，此時(shí)兩條直線平行成立反之，當(dāng)兩條直線平行時(shí)，有但即或，時(shí)，兩條直線都為，重合，舍去所以“”是“直線和直線平行”的充要條件．故選：．【名師指路】本題考查充分條件、必要條件的判定、兩直線平行的判定等知識，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力和基本計(jì)算能力．4．(2023·上海交大附中高二開學(xué)考試）已知直線及與函數(shù)圖像的交點(diǎn)分別為A，B，與函數(shù)圖像的交點(diǎn)分別為C，D，則直線與（）A．相交，且交點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) B．相交，且交點(diǎn)在第一象限C．相交，且交點(diǎn)在第二象限 D．相交，且交點(diǎn)在第四象限【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】分別求出直線與和的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求直線方程可得出答案.【詳解詳析】由得，得，所以直線AB的方程為，即由得，得所以直線CD的方程為，即，直線與相交，且交點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，故選：A.【名師指路】本題考查直線與對數(shù)函數(shù)的交點(diǎn)問題，直線與直線的位置關(guān)系問題，屬于基礎(chǔ)題.5．(2023·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二期中）對于直線，下列說法不正確的是A．無論如何變化，直線的傾斜角的大小不變B．無論如何變化，直線一定不經(jīng)過第三象限C．無論如何變化，直線必經(jīng)過第一、二、三象限D(zhuǎn)．當(dāng)取不同數(shù)值時(shí)，可得到一組平行直線【標(biāo)準(zhǔn)答案】C直線，化為：，根據(jù)直線斜率與在軸上的截距的意義即可判斷出正誤．【詳解詳析】直線，化為：，可得斜率，傾斜角為軸上的截距為，因此無論如何變化，直線必經(jīng)過第一、二、四象限，C錯(cuò)；直線一定不經(jīng)過第三象限，B對；直線的傾斜角的大小不變，A對；當(dāng)取不同數(shù)值時(shí)，可得到一組平行直線，D對；故選：．6．(2023·上海市金山中學(xué)高二期中）若直線與平行，則與間的距離為（）A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】由兩直線平行的判定有且求參數(shù)a，應(yīng)用平行線距離公式求與間的距離.【詳解詳析】∵直線與平行，∴且，解得．∴直線與間的距離．故選：B．7．是“直線與直線相互垂直”的（）.A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】對分類討論，利用兩條相互垂直的直線與斜率之間的關(guān)系即可得出．【詳解詳析】解：對于：直線與直線，當(dāng)時(shí)，分別化為：，，此時(shí)兩條直線不垂直，舍去；當(dāng)時(shí)，分別化為：，，此時(shí)兩條直線相互垂直，因此滿足條件；當(dāng)，0時(shí)，兩條直線的斜率分別為：，，由于兩條直線垂直，可得，解得或（舍去）．綜上可得：兩條直線相互垂直的充要條件為：或．是“直線與直線相互垂直”的充分而不必要條件．故選：．【名師指路】本題考查了兩條相互垂直的直線與斜率之間的關(guān)系，考查了分類討論思想、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8．(2023·上海市楊浦高級中學(xué)高二期末）已知、、、、、，直線：，：，則“”是“直線與平行”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】判斷是否可以推出；再判斷是否可以推出，結(jié)合充分必要條件的定義即可得出結(jié)果.【詳解詳析】當(dāng)時(shí)，兩直線可能平行，也可能重合，故充分性不成立；當(dāng)時(shí)，與可能都等于0，故不一定成立，故必要性不成立；綜上所述，是的既非充分又非必要條件.故選：9．(2023·上海青浦·高二期末）已知直線l1∶xsina+y=0與直線l2∶3x+y+c=0，則下列結(jié)論中正確的是（）A．直線l1與直線l2可能重合B．直線l1與直線l2可能垂直C．直線l1與直線l2可能平行D．存在直線l1外一點(diǎn)P，直線l1繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后可與直線l2重合【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】由直線位置關(guān)系的平行、重合、垂直的條件可得答案.【詳解詳析】直線l1∶xsina+y=0的斜率為，與直線l2∶3x+y+c=0斜率為，若直線l1與直線l2重合，則，且，由于，故A錯(cuò)誤；若，則，直線l1與直線l2可能垂直，故B正確；若直線l1與直線l2平行，則，由于，故C錯(cuò)誤；由AC知，直線l1與直線l2既不可能重合也不可能平行，只能相交，故直線l1不可能繞P旋轉(zhuǎn)后與直線l2重合，故D錯(cuò)誤.故選：B.10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知過點(diǎn)和的直線與直線平行，則的值為（）A．0 B．10 C．2 D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】利用過點(diǎn)和的直線與直線的斜率相等可得答案.【詳解詳析】∵直線的斜率等于，∴過點(diǎn)和的直線的斜率也是，，解得，故選：D.二、填空題11．已知直線：、：，若，則實(shí)數(shù)_________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】0或若直線：與直線：垂直，則，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即得.【詳解詳析】直線：、：，且，,即，解得或.故答案為：或.【名師指路】本題考查直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.12．直線與直線的夾角為______________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】先利用斜率之積為，判定兩直線垂直，即可得解.【詳解詳析】由直線與直線的方程可知，兩直線的斜率分別為：，∴，∴,∴兩直線的夾角為.故答案為：.【名師指路】本題考查兩直線的夾角的求法，關(guān)鍵根據(jù)兩直線的方程求得斜率，根據(jù)斜率是否乘積為，從而判定兩直線是否垂直是關(guān)鍵點(diǎn).13．(2023·上海·南洋中學(xué)高三月考）若直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】或【思路指引】利用求解.【詳解詳析】因?yàn)橹本€與垂直，則，解得：或.故答案為：或.【名師指路】本題考查直線的垂直問題，比較簡單.一般地，兩直線平行時(shí)有；兩直線垂直時(shí).14．(2023·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高二期末）已知直線與平行，則___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)平行可得斜率相等列出關(guān)于參數(shù)的方程，解方程進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.【詳解詳析】因?yàn)橹本€與平行，所以，解得或，又因?yàn)闀r(shí)，，，所以直線，重合故舍去，而,,，所以兩直線平行.所以，故答案為：3.【名師指路】(1)當(dāng)直線的方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．(2)在判斷兩直線的平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．15．(2023·上海市奉賢中學(xué)高三月考）直線和直線是平行直線，則實(shí)數(shù)________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)直線平行的等價(jià)條件列關(guān)于的方程即可求解.【詳解詳析】因?yàn)橹本€和直線是平行直線，所以，解得：，故答案為：.16．(2023·上海徐匯·高二期末）若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)m的值為____________【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】利用兩條直線平行的充要條件，列式求解即可．【詳解詳析】解：因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得．故答案為：．17．(2023·上海靜安·高二期末）兩條直線2x+y-2=0和2x+4y-5=0的夾角大小為__________.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】先求出兩條直線的斜率，再利用兩條直線的夾角公式求出兩條直線的夾角的正切值，即可求得兩條直線的夾角.【詳解詳析】設(shè)兩條直線的斜率為的斜率為，這兩條直線的夾角為則由兩條直線的夾角公式可得，可得，故答案為：18．(2023·上海市洋涇中學(xué)高二月考）直線與直線的夾角大小為____________（用反三角表示）．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】構(gòu)造三角形，結(jié)合余弦定理求得夾角的大小.【詳解詳析】，，，，所以，所以兩直線夾角的大小為.故答案為：19．若直線和平行，則實(shí)數(shù)的值為__________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】或2【詳解詳析】試題分析：依題意可得,解得或．考點(diǎn)：兩直線平行．20．已知直線和的夾角為，那么的值為____________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】3或【思路指引】利用兩直線夾角的正切公式：（為兩直線的夾角且,），得到方程，求解出參數(shù)的值即可.【詳解詳析】因?yàn)榈男甭?，的斜率，又因?yàn)閮芍本€的夾角為，所以，解得：或.故答案為或.【名師指路】本題考查兩直線夾角的正切公式的運(yùn)用，難度一般.已知兩條直線的夾角為（）且兩條直線的斜率為，則.三、解答題21．求證：不論取何實(shí)數(shù)，直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo).【標(biāo)準(zhǔn)答案】證明見解析，.通過直線方程變形轉(zhuǎn)化成兩直線的交點(diǎn)系方程即可求出定點(diǎn)或通過先取兩條特殊直線求交點(diǎn)，最后驗(yàn)證該點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程即可.【詳解詳析】解：證法一將直線方程變形為，它表示過兩直線和的交點(diǎn)的直線系，則，解方程組得.所以此直線恒過定點(diǎn).證法二令，得.再令得.兩直線和的交點(diǎn)是，將點(diǎn)代入直線方程，左邊.所以此直線恒過定點(diǎn).【名師指路】本題考查直線過定點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.22．已知，，求當(dāng)為何值時(shí)，與相交、平行或重合．【標(biāo)準(zhǔn)答案】見解析【思路指引】利用兩直線相交、平行和重合的等價(jià)條件列出關(guān)于的等式或不等式，即可解得的值或取值范圍.【詳解詳析】已知，.若直線與相交，則，即，解得且且；若直線與平行，則，解得或；若直線與重合，則，解得.綜上所述，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，與重合；當(dāng)且且時(shí)，與相交．【名師指路】本題考查利用兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.23．(2023·上海市新場中學(xué)高二月考）已知直線和.（1）當(dāng)為何值時(shí)兩直線平行；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與所成夾角的大小.（用反三角表示）【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）【思路指引】（1）根據(jù)兩直線平行的等價(jià)條件且即可求解；（2）分別求出直線，的斜率，設(shè)直線與所成夾角為，再利用公式即可求夾角的正切值，即可求解.【詳解詳析】（1）若直線和平行.則且，解得：，（2）當(dāng)時(shí)，直線和.直線的斜率為，直線的斜率為，設(shè)直線與所成夾角為，則，可得，所以直線與所成夾角為.24．已經(jīng)直線與兩點(diǎn)（1）若與直線平行，求它們之間的距離以及的傾斜角；（2）若與線段無公共點(diǎn)，求的取值范圍.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；；（2）【思路指引】（1）由兩點(diǎn)連線斜率公式可求得，即，從而得到直線方程及、直線方程；根據(jù)反三角函數(shù)可求得傾斜角，利用平行直線間距離公式可求得所求距離；（2）首先確定直線恒過定點(diǎn)，可知臨界狀態(tài)為，利用兩點(diǎn)連線斜率公式求得，可知，從而得到結(jié)果.【詳解詳析】（1）由坐標(biāo)可得：直線方程為：，即與直線平行，即設(shè)直線傾斜角為直線與直線之間距離（2）由題意知，直線恒過點(diǎn)，與線段無公共點(diǎn)，即【名師指路】本題是對直線部分知識的綜合考查，涉及到直線斜率與傾斜角的關(guān)系、兩條直線平行的位置關(guān)系的應(yīng)用、平行直線間距離公式、根據(jù)直線與線段交點(diǎn)情況求解斜率范圍的問題，屬于基礎(chǔ)題.25．當(dāng)m為何值時(shí)，直線與直線.（1）相交；（2）垂直；（3）平行；（4）重合.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）且；（2）；（3）；（4）.【思路指引】若兩直線，（1）由相交，有；（2）由垂直，有；（3）（4）由平行或重合，有；根據(jù)以上不同情況列方程求m的值.【詳解詳析】（1）兩線相交，則，即，得且；（2）兩線垂直，則，即，得；（3）兩線平行，則，即，得且，當(dāng)時(shí)，兩直線方程均為為同一直線，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線方程分別為、.∴.（4）由（3）知：兩線重合，有.【名師指路】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：兩直線平行求參數(shù)后，注意驗(yàn)證參數(shù)值，判斷兩直線是平行，還是重合，進(jìn)而確定正確的參數(shù)值.26．(2023·上海崇明·一模）直線與直線的夾角大小等于_______.(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】先分別求出兩條直線的斜率，再套用夾角公式即可求出答案.【詳解詳析】直線與直線的斜率分別為0和2，設(shè)它們的夾角為，所以，則.故答案為：.27．已知等腰三角形的底邊所在直線，一條腰所在直線，另一條腰過點(diǎn)，求這條腰所在直線方程.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】設(shè)的斜率分別為，到的角為，到的角為，根據(jù)三角形為等腰三角形，利用到角公式，由，即求解.【詳解詳析】設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?，，所以，設(shè)到的角為，到的角為，所以，因?yàn)槿切螢榈妊切?，所以，所以，解得，又因?yàn)榱硪粭l腰過點(diǎn)，所以的直線方程為：，即【名師指路】本題主要考查兩直線成角的概念已經(jīng)到角公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.28．求直線關(guān)于對稱的直線方程．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】設(shè)上任意一點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為在直線上，利用直線是的垂直平分線，建立方程關(guān)系，將用表示，代入直線方程，整理即可；由于相交，可得直線也過該交點(diǎn)，在直線再取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，且在直線上，即可求解；或利用分別與夾角相等，設(shè)直線的斜率為，確定三直線的方向向量，應(yīng)用夾角公式建立方程，求解即可.【詳解詳析】解法1：設(shè)上任意一點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則．由于在直