專題01 一元一次不等式與一元一次不等式組（解析版）-2024年九年級數(shù)學(xué)暑假講義（北師版）

專題01一元一次不等式與一元一次不等式組目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點一不等式的定義】 2【考點二不等式的性質(zhì)】 3【考點三一元一次不等式的定義】 5【考點四根據(jù)一元一次不等式的解集求參數(shù)】 6【考點五求一元一次不等式的解集】 7【考點六方程(組)與一元一次不等式結(jié)合求參數(shù)的問題】 9【考點七一元一次不等式與一次函數(shù)】 10【考點八求一元一次不等式組的解集】 14【考點九利用一元一次不等式組的整數(shù)解求參數(shù)的取值范圍】 17【考點十根據(jù)一元一次不等式組的解集的情況求參數(shù)的取值范圍】 19【考點十一方程與不等式（組）解決實際問題】 20【過關(guān)檢測】 261.不等式的概念2.不等式的基本性質(zhì)3.一元一次不等式的解法4.一元一次不等式組列一元一次不等式（組）解實際問題的一般步驟：（1）審題；（2）設(shè)未知數(shù)，找不等量關(guān)系式；（3）設(shè)元，根據(jù)不等量關(guān)系式列不等式（組）；（4）解不等式（組），檢驗并作答?？键c剖析【考點一不等式的定義】例題：（22-23八年級下·四川達州·期末）在數(shù)學(xué)表達式：，，，，，中，是一元一次不等式的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】一元一次不等式的定義：含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1，未知數(shù)的系數(shù)不為0，左右兩邊為整式的不等式；根據(jù)一元一次不等式的定義，對各個表達式逐一分析，即可得出答案．【詳解】解：是不等式，不是一元一次不等式；是整式，不是一元一次不等式；是方程，不是一元一次不等式；是整式，不是一元一次不等式；是一元一次不等式；有兩個未知數(shù)，不是一元一次不等式；∴是一元一次不等式的只有1個，故選：A．【點睛】本題考查了一元一次不等式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次不等式的定義，從而完成求解．【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級下·山東淄博·期末）在下列數(shù)學(xué)表達式中，不等式的個數(shù)是（

）①；②；③；④；⑤．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】由不等號（，，，，）連接的式子叫不等式，據(jù)此進行判斷．【詳解】不等式有：①；②；④；⑤．所以共有4個故選擇：C．【點睛】本題考查來了不等式的定義，熟練掌握不等式的定義是解題的關(guān)鍵．2．（22-23七年級下·遼寧撫順·期末）下列數(shù)學(xué)式子：①；②；③；④；⑤；其中是不等式的有（

）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】C【分析】根據(jù)不等式的定義：用不等號連接的式子是不等式，逐個進行判斷即可．【詳解】解：①，是不等式，符合題意；②，是不等式，符合題意；③，是等式，不符合題意；④，是多項式，不符合題意；⑤，是不等式，符合題意；綜上：是不等式的有①②⑤，共3個，故選：C．【點睛】本題主要考查了不等式的定義，解題的關(guān)鍵是掌握用不等號連接的式子是不等式．【考點二不等式的性質(zhì)】例題：（23-24八年級上·浙江紹興·期末）若，則下列式子中一定成立的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，根據(jù)不等式的性質(zhì)進行計算，逐一判斷即可解答．熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，故不符合題意；B、，故不符合題意；C、，故符合題意；D、，的符號不確定不一定成立故不符合題意；故選：C．【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級下·四川涼山·期末）已知，下列變形一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查不等式的性質(zhì)，不等式性質(zhì)一：不等式兩邊同時加上可減去同一個數(shù)或整式，不等號不變；不等式性質(zhì)二：不等式兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)，不等號不變；不等式性質(zhì)三：不等式兩邊同時乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號要改變方向．根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項判定即可．【詳解】解：∵，A.，故此選項不符合題意；B.不能推出，故此選項不符合題意；

C.當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，故此選項不符合題意；

D.一定成立，故此選項符合題意，故選：D．2．（22-23八年級上·浙江寧波·期末）已知，則下列各式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了不等式的性質(zhì)．根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A．若，則，故本選項錯誤，不符合題意；B．若，則，故本選項錯誤，不符合題意；C．若，，則，故本選項錯誤，不符合題意；D．若，，則，故本選項正確，符合題意；故選：D．【考點三一元一次不等式的定義】例題：（23-24八年級上·湖南·期末）下列不等式是一元一次不等式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元一次不等式的定義．熟練掌握含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫作一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元一次不等式的定義進行判斷作答即可．【詳解】A中不含未知數(shù)，不是一元一次不等式，故不符合題意；B中是一元一次不等式，故符合題意；C中中含有兩個未知數(shù)，不是一元一次不等式，故不符合題意；D中未知數(shù)的最高次數(shù)為2，不是一元一次不等式，故不符合題意．故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級下·山東泰安·期末）下列式子是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】只含有一次未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為1的不等式叫一元一次不等式，根據(jù)一元一次不等式的定義可直接判斷求解．【詳解】解：A、此不等式中不是整式，不是一元一次不等式，故此選項不符合題意；B、此不等式是一元一次不等式，故此選項符合題意；C、此不等式含有2個未知數(shù)，不是一元一次不等式，故此選項不符合題意；D、此不等式最高次數(shù)是2次，不是一元一次不等式，故此選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查一元一次不等式的定義，掌握一元一次不等式的定義是解題的關(guān)鍵．要注意：一元一次不等式中必須只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是一次，并且不等式左右兩邊必須是整式．2．（22-23七年級下·福建福州·期末）下列不等式中，屬于一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元一次不等式的三個特點：不等式的兩邊都是整式；只含個未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)為次，進行求解即可．【詳解】解：不含未知數(shù)，錯誤；B.符合一元一次不等式的定義，正確；C.分母含未知數(shù)，錯誤；D.含有兩個未知數(shù)，錯誤．故選：B．【點睛】本題考查一元一次不等式的定義，熟記一元一次不等式的三個特點是關(guān)鍵．【考點四根據(jù)一元一次不等式的解集求參數(shù)】例題：（22-23八年級上·江西南昌·期末）已知關(guān)于的不等式的解集如圖所示，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)：系數(shù)化解得不等式，然后根據(jù)數(shù)軸可知不等式的解，即可解得的值．【詳解】合并同類項，得，結(jié)合題圖把系數(shù)化為1，得，則有=，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集、解一元一次不等式的知識，掌握解關(guān)于的不等式是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級下·寧夏銀川·期末）關(guān)于x的不等式的解集為，則k的取值范圍為．【答案】/【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，不等式的兩邊同乘或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變，可得答案．【詳解】解：不等式的解集為，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了一元一次不等式的性質(zhì)，解一元一次不等式，掌握不等式性質(zhì)，不等式的兩邊同時乘以或除以一個正數(shù)，不等號的方向不變是解題關(guān)鍵．2．（22-23八年級下·寧夏中衛(wèi)·期末）不等式的解集為，則【答案】【分析】按照解一元一次不等式的步驟進行計算可得，然后根據(jù)已知易得，從而可得，最后把m的值代入式子中進行計算，即可解答．【詳解】解：，，，，，，∵不等式的解集為，∴，解得：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．【考點五求一元一次不等式的解集】例題：（23-24七年級上·江蘇蘇州·期末）解不等式，并將其解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】，數(shù)軸見解析．【分析】本題考查的是解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式解集，先去分母，再移項，合并同類項，求出x的取值范圍在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】解：去分母，得，移項，合并同類項，得，分母化為1，得．在數(shù)軸上表示如下：．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級上·江蘇蘇州·期末）解不等式:，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.【答案】，數(shù)軸見解析【分析】本題考查的是解一元一次不等式，先去分母，再去括號，移項，合并同類項，把的系數(shù)化為1，再把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】解：2．（22-23七年級下·吉林白山·期末）解不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】，數(shù)軸見解析【分析】先根據(jù)不等式的解法求解不等式，然后把解集在數(shù)軸上表示出來．【詳解】解：，去分母得：，去括號得：，移項得：，合并得：，系數(shù)化為1得：，在數(shù)軸上表示為：【點睛】本題考查了解簡單不等式的能力，以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，解不等式要依據(jù)不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或整式不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)不等號的方向不變；（3）不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負(fù)數(shù)不等號的方向改變．3．（23-24七年級下·貴州黔南·期末）小米同學(xué)求解一元一次不等式的過程：解不等式：.解：去分母，得.第一步去括號，得.第二步移項，得.第三步合并同類項，得.第四步系數(shù)化為1，得.第五步所以原不等式的解為.(1)該解題過程中從第_________步開始出現(xiàn)錯誤；(2)請你按照上面演算步驟寫出正確的解答過程.【答案】(1)一(2)見詳解【分析】本題主要考查一元一次不等式的解法，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)去分母可進行求解；（2）根據(jù)一元一次不等式的解法可進行求解．【詳解】（1）由題意可知解題過程中從第一步開始出現(xiàn)錯誤；故答案為一；（2）解：去分母得：，去括號，得：，移項，得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，∴原不等式的解集為．【考點六方程(組)與一元一次不等式結(jié)合求參數(shù)的問題】例題：（23-24八年級上·寧夏銀川·期末）已知方程組的解滿足，則a的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查的是解二元一次方程組及解一元一次不等式．兩式相加求得，再由得出的取值范圍即可．【詳解】解：，①②得，，解得；，解得．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級下·四川樂山·期末）已知關(guān)于x的方程的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是．【答案】【分析】方程變形后求出解，根據(jù)解為負(fù)數(shù)求出m的范圍即可．【詳解】解：方程，移項得：，∴根據(jù)題意得：，解得：，所以m的取值范圍是．【點睛】點評：本題考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是把字母m看作一個常數(shù)來解，本題是常見的題型要求掌握．2．（23-24八年級上·廣西貴港·期末）關(guān)于的二元一次方程組的解滿足不等式，則的取值范圍是．【答案】/【分析】本題考查了解一元一次不等式，二元一次方程組的解．先利用整體的思想求出，從而可得，進而可得，然后按照解一元一次不等式的步驟進行計算，即可解答．【詳解】解：，①②得：，解得：，，，解得：，故答案為：．【考點七一元一次不等式與一次函數(shù)】例題：（22-23八年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，直線交軸、軸分別于點、，直線與直線交于點，與軸交于點．已知，點的橫坐標(biāo)為．(1)求直線的解析表達式；(2)觀察圖像，直接寫出不等式的解集．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與不等式的關(guān)系；（1）先根據(jù)點與圖象的關(guān)系求出的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解；（2）根據(jù)函數(shù)與不等式的關(guān)系求解．【詳解】（1）當(dāng)時，，，由題意得：，解得：，直線的解析表達式為；（2）由圖象得：當(dāng)時，直線高，不等式的解集為：．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，已知直線經(jīng)過點A，B，直線與該直線交于點C．

(1)求直線的表達式；(2)求兩直線交點C的坐標(biāo)；(3)根據(jù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式的解集．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本題主要考查的是待定系數(shù)法求解析式和一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系（1）利用待定系數(shù)法代入求解即可；（2）兩直線的解析式聯(lián)立方程組，解方程組得到點的坐標(biāo)；（3）根據(jù)圖象，找出點右邊的部分的的取值范圍即可．【詳解】（1）解：直線經(jīng)過點，，，解得，直線的表達式為；（2）解：直線與直線相交于點，，解得，點的坐標(biāo)為，；（3）解：由圖象可知，點右邊直線在的上面，不等式的解集為．2．（22-23八年級上·云南文山·期末）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點A，直線與x軸交于點，與相交于點．(1)請根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)時，的取值范圍是__________．(2)求點的坐標(biāo)．(3)在軸上一點．若，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題考查一次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是掌握求一次函數(shù)交點的方法，平面直角坐標(biāo)系中三角形面積的表示方法，通過函數(shù)圖象得出不等式解集的方法．（1）先分別求出A、D、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)題意，x的取值范圍是當(dāng)直線在直線上方且兩條直線都在x軸上方時x的范圍；（2）由（1）直接得出即可；（3）設(shè)，先求出直線與y軸的交點坐標(biāo)，然后得出關(guān)于m的方程求解即可?！驹斀狻浚?）解：聯(lián)立方程組，解得，∴，對于，當(dāng)時，，解得，∴，對于，當(dāng)時，，解得，∴，根據(jù)題意，直線在直線上方時，x的取值范圍是，滿足兩條直線都在x軸上方，則，∴當(dāng)時，的取值范圍是，故答案為：；（2）解：由（1）知：；（3）解：設(shè)，與y軸相交于F，對于，當(dāng)時，，∴，∴，∵，∴，∴或，∴點E的坐標(biāo)為或.【考點八求一元一次不等式組的解集】例題：（23-24七年級下·貴州黔南·期末）解不等式組，并在數(shù)軸表示不等式組的解集．【答案】，數(shù)軸表示見解析．【分析】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，先求出不等式組的解集，再把解集在數(shù)軸上表示出來即可，掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：解得，，解得，，∴不等式組的解集為，在數(shù)軸上表示不等式組的解集如圖所示：【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級下·湖南衡陽·期末）解不等式組，把不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來；

【答案】畫圖見解析，不等式組的解集是．【分析】本題主要考查了一元一次不等式組的求解，以及用數(shù)軸表示解集，熟練掌握解不等式組的方法與步驟是關(guān)鍵．分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到來確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式①得：．解不等式②得：，把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來．

∴不等式組的解集是．2．（22-23七年級下·云南昆明·期末）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】，見解析【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】由得：，由得：，則不等式組的解集為，將解集表示在數(shù)軸上如下：3．（22-23八年級下·四川達州·期末）解不等式組，并寫出它的非負(fù)整數(shù)解．【答案】非負(fù)整數(shù)解為：，，，；【分析】本題考查解不等式組，先解不等式①②，再由同大取大，同小取小，相交取中間相背無解直接求解即可得到答案；【詳解】解：解不等式得，，解不等式得，，∴不等式組的解集為：，它的非負(fù)整數(shù)解為：，，，．4．（22-23七年級下·遼寧葫蘆島·期末）解不等式組把解集在數(shù)軸上表示出來．并寫出其整數(shù)解

【答案】，圖見解析，整數(shù)解為3，4，5，6，7，8【分析】本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解答本題的關(guān)鍵．先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再求兩個不等式解集的公共部分即可得到不等式組的解集，然后畫數(shù)軸表示，再結(jié)合數(shù)軸找出整數(shù)解即可．【詳解】，解不等式①，得：，解不等式②，得：，故不等式組的解集為：，把解集在數(shù)軸上表示出來為：

則整數(shù)解是：3，4，5，6，7，8．【考點九利用一元一次不等式組的整數(shù)解求參數(shù)的取值范圍】例題：（22-23七年級下·黑龍江佳木斯·期末）關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解有5個，則a的取值范圍是【答案】/【分析】先表示出不等式組的解集，再由整數(shù)解的個數(shù)，可得a的取值范圍．【詳解】解：由，解得：，∵不等式組的整數(shù)解共有5個，則其整數(shù)解為：，，，0，1，∴．故答案為：．【點睛】本題考查解一元一次不等式組和一元一次不等式組的整數(shù)解等知識點，關(guān)鍵是能根據(jù)不等式組的解集和已知得出a的取值范圍．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級下·四川成都·期末）若關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解只有2，3，4，且a，b均為整數(shù)，則的最大值為．【答案】10【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為：，∵整數(shù)解只有2，3，4，∴，解得：，∵a，b均為整數(shù)，∴當(dāng)時，最大值為：．故答案為：10．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，根據(jù)整數(shù)解只有2，3，4找到不等關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．（22-23七年級下·江蘇宿遷·期末）已知關(guān)于x的不等式組的解集中至少有個整數(shù)解，則整數(shù)的最小值是．【答案】【分析】表示出不等式組的解集，由解集中至少有個整數(shù)解，確定出的范圍，進而求出整數(shù)的最小值即可．【詳解】解：不等式組整理得：，解得：，不等式組解集中至少有個整數(shù)解，即至少個整數(shù)解為，，，，，則整數(shù)的最小值為，故答案為：．【點睛】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵．【考點十根據(jù)一元一次不等式組的解集的情況求參數(shù)的取值范圍】例題：（22-23八年級下·四川成都·期末）已知一元一次不等式組的解集為．則的取值范圍是.【答案】【分析】本題考查的是解一元一次不等式組．根據(jù)不等式組取解集的方法確定出的范圍即可．【詳解】解：解不等式，得，因為一元一次不等式組的解集為．所以．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級下·重慶長壽·期末）若關(guān)于的不等式組無解，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了，求出a的取值范圍是多少即可．【詳解】解：解第一個一元一次不等式得：，關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是．故答案為：．【點睛】此題主要考查了一元一次不等式組的解集，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．2．（22-23七年級下·重慶萬州·期末）若關(guān)于x的不等式組的解集為，則的值為．【答案】【分析】解出不等式組的解集，根據(jù)題意，可以求出，的值，代入即可求值．【詳解】由，解不等式得：，解不等式得：，∵不等式組解集為：，∴，，解得：，，則：，故答案為：．【點睛】此題考查了解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解不等式組．【考點十一方程與不等式（組）解決實際問題】例題：（23-24八年級上·湖南懷化·期末）某中學(xué)為落實《教育部辦公廳關(guān)于進一步加強中小學(xué)生體質(zhì)健康管理工作的通知》文件要求，決定增設(shè)籃球、足球兩門選修課程，需要購進一批籃球和足球，已知購買2個籃球和3個足球共需費用510元；購買3個籃球和5個足球共需費用810元．(1)求籃球和足球的單價分別是多少元．(2)學(xué)校計劃采購籃球、足球共50個，并要求籃球不少于30個，且總費用不超過5460元，那么有哪幾種購買方案？【答案】(1)籃球和足球的單價分別是120元，90元(2)有三種購買方案：方案一：購買籃球30個，足球20個；方案二：購買籃球31個，足球19個；方案三：購買籃球32個，足球18個【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，一元一次不等式組的實際應(yīng)用：（1）設(shè)籃球和足球的單價分別是x元，y元，根據(jù)購買2個籃球和3個足球共需費用510元；購買3個籃球和5個足球共需費用810元列出方程組求解即可；（2）設(shè)購買籃球m個，則購買足球個，根據(jù)購買費用不超過5460元，且籃球不少于30個列出不等式組求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)籃球和足球的單價分別是x元，y元，由題意得，，解得，答：籃球和足球的單價分別是120元，90元；（2）解：設(shè)購買籃球m個，則購買足球個，由題意得，，解得，∵m為正整數(shù)，∴m的值可以為30或31或32，∴有三種購買方案：方案一：購買籃球30個，足球20個；方案二：購買籃球31個，足球19個；方案三：購買籃球32個，足球18個．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·湖北隨州·期末）“垃圾分一分，環(huán)境美十分”．某社區(qū)為積極響應(yīng)有關(guān)垃圾分類的號召，從百貨商場購進了A，B兩種品牌的垃圾桶作為可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每個貴40元，用3000元購買A品牌垃圾桶的數(shù)量是用2000元購買B品牌垃圾桶數(shù)量的2倍．(1)購買一個A品牌、一個B品牌的垃圾桶各需多少元？(2)若該社區(qū)決定再用不超過6000元購進A，B兩種品牌垃圾桶共60個，恰逢百貨商場對這兩種品牌垃圾桶的售價進行調(diào)整：A品牌按上一次購買時售價的七折出售，B品牌比上一次購買時售價提高了．那么該社區(qū)此次最多可購買多少個B品牌垃圾桶？【答案】(1)購買一個A品牌需要120元，購買一個B品牌的垃圾桶需160元(2)該學(xué)校此次最多可購買10個B品牌垃圾桶【分析】本題考查分式方程和一元一次不等式的應(yīng)用，找出等量關(guān)系即可列出方程，或找到不等關(guān)系列出不等式：（1）設(shè)一個A品牌的垃圾桶需要x元，則一個B品牌的垃圾桶需要元，根據(jù)“用3000元購買A品牌垃圾桶的數(shù)量是用2000元購買B品牌垃圾桶數(shù)量的2倍”即可列出分式方程，求解后檢驗即可解答；（2）設(shè)該學(xué)校此次購買n個B品牌垃圾桶，則購買個A品牌垃圾桶，根據(jù)“該校決定再用不超過6000元購進A，B兩種品牌垃圾桶”即可列出不等式，求解后取最大值即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)一個A品牌的垃圾桶需要x元，則一個B品牌的垃圾桶需要元．根據(jù)題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗，是該分式方程的解．∴答：購買一個A品牌需要120元，購買一個B品牌的垃圾桶需160元．（2）解：設(shè)該學(xué)校此次購買n個B品牌垃圾桶，則購買個A品牌垃圾桶．根據(jù)題意，得，解得：，∵n取整數(shù)，∴n的最大值為10，答：該學(xué)校此次最多可購買10個B品牌垃圾桶．2．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）某水果超市兩次去批發(fā)市場采購?fù)黄贩N的蘋果，第一次用800元購進了若干千克，很快實完，第二次用2200元所購數(shù)量比第一次多120千克，且每千克的進價比第一次提高了．(1)求第一次購買蘋果的進價；(2)求第二次購買蘋果的數(shù)量；(3)該水果超市按以下方案賣出第二次購買的蘋果；先以a元/千克的價格售出m千克，再以15元/千克的價格售出剩余的全部蘋果（不計損耗），共獲利1500元，若a，m均為正整數(shù)，且a不超過第二次進價的2倍，直接寫出a和m的值．【答案】(1)第一次購買蘋果的進價為10元/千克，第二次購買的進價為11元/千克(2)200千克(3)，【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)第一次購買蘋果的進價為元，根據(jù)第二次用2200元所購數(shù)量比第一次多120千克，且每千克的進價比第一次提高了，列出分式方程進行求解即可；（2）用總價除以進價，求出數(shù)量即可；（3）根據(jù)總利潤等于單價利潤乘以銷量，列出二元二次方程，用含的代數(shù)式表示出的值，根據(jù)a不超過第二次進價的2倍，求出的范圍，求出的正整數(shù)解即可．【詳解】（1）解：設(shè)第一次購買蘋果的進價為元/千克，則：第二次購買的進價為元/千克，由題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解，∴，答：第一次購買蘋果的進價為10元/千克，第二次購買的進價為11元/千克；（2）第二購買的數(shù)量為（千克）；（3）由題意，得：，整理，得：，解得：，∵，∴，∴，∵均為正整數(shù)，∴，．3．（22-23八年級上·湖北武漢·期末）武漢市某區(qū)的天然氣管道升級工程，若由乙工程隊單獨完成所需天數(shù)是由甲工程隊單獨完成所需天數(shù)的兩倍；若甲工程隊單獨做5天后，再由乙工程隊單獨做15天，恰好完成該工程的一半，共需施工費28萬元，甲工程隊每天的施工費用比乙工程隊每天的施工費用多0.8萬元，(1)單獨完成此項工程，甲、乙兩工程隊各需多少天？(2)甲、乙兩工程隊每天的施工費各為多少萬元？(3)甲、乙兩工程隊合做，若要完成全部工程的施工費不超過52萬元，且乙工程隊的施工天數(shù)大于6天，直接寫出甲工程隊施工天數(shù)．（天數(shù)為整數(shù)）【答案】(1)甲需25天，乙需50天(2)甲每天的施工費用為萬元，乙每天的施工費用為1.2萬元；(3)20天或21天【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次方程和不等式組的應(yīng)用，根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系正確列式是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)單獨完成此項工程，甲需工x天，則乙需2x天，根據(jù)題意列分式方程求解，檢驗后即可得到答案；（2）設(shè)乙每天的施工費用為y萬元，則甲每天的施工費用為萬元，根據(jù)題意列一元一次方程求解即可；（3）設(shè)甲工程隊施工天數(shù)為天，甲工程隊完成了此工程的，則乙工程隊完成了此工程的，所用時間為天，根據(jù)題意列一元一次不等式組求解即可【詳解】（1）解：設(shè)單獨完成此項工程，甲需工x天，則乙需2x天，由題意得：，．解得，檢驗：當(dāng)時，，原分式方程的解為，故甲需25天，乙需50天；（2）解：設(shè)乙每天的施工費用為y萬元，則甲每天的施工費用為萬元，由題意得：，解得，，故甲每天的施工費用為萬元，乙每天的施工費用為1.2萬元；（3）解：設(shè)甲工程隊施工天數(shù)為天，則甲工程隊完成了此工程的，乙工程隊完成了此工程的，乙工程隊所用時間為天，，解得：，甲工程隊施工天數(shù)為20天或21天．4．（22-23七年級下·內(nèi)蒙古通遼·期末）在疫情期間，重慶某醫(yī)藥公司往武漢運送醫(yī)藥物資，若用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸；用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)通過列方程組求出：輛型車輛和輛型車輛都裝滿物資一次分別運多少噸？(2)該醫(yī)藥公司準(zhǔn)備將一批醫(yī)藥物資一次性運輸至武漢，于是從租車公司租用了和兩種型號車輛共輛，其中型車輛每輛要付費元，型車輛每輛要付費元，若付費總金額不超過元，且物資不少于噸，請問怎么安排車輛總費用最少？【答案】(1)輛型車輛裝滿物資一次運噸，輛型車輛裝滿物資一次運噸(2)當(dāng)安排輛型車，輛型車時，總費用最少【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系和不等關(guān)系，正確列出二元一次方程組和一元一次不等式組．（1）設(shè)輛型車輛裝滿物資一次運噸，輛型車輛裝滿物資一次運噸，根據(jù)“用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸；用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸”，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)安排輛型車，則安排輛型車，根據(jù)“付費總金額不超過元，且物資不少于噸”，可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之可得出的取值范圍，結(jié)合為正整數(shù)，可得出各租車方案，再求出各租車方案所需總費用，比較后即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)輛型車輛裝滿物資一次運噸，輛型車輛裝滿物資一次運噸，根據(jù)題意得：，解得：．答：輛型車輛裝滿物資一次運噸，輛型車輛裝滿物資一次運噸；（2）解：設(shè)安排輛型車，則安排輛型車，根據(jù)題意得：，解得：，又為正整數(shù)，可以為，，共有種租車方案，方案：安排輛型車，輛型車，所需總費用為；（元）；方案：安排輛型車，輛型車，所需總費用為（元）．∵，當(dāng)安排輛型車，輛型車時，總費用最少．5．（22-23七年級下·四川涼山·期末）某體育用品店準(zhǔn)備購進甲、乙兩種品牌跳繩，若購買甲種跳繩根，乙種跳繩5根，需要元，若購買甲種跳繩5根，乙種跳繩3根，需要元．(1)求購進甲，乙兩種跳繩每根各需多少元？(2)若該體育用品店剛好用了元購進這兩種跳繩，考慮顧客需求，要求購進甲種跳繩的數(shù)量不少于乙種跳繩數(shù)量的3倍，且乙種跳繩數(shù)量不少于根，那么該文具店共有哪幾種購買方案？(3)若該體育用品店銷售每根甲種跳繩可獲利潤3元，銷售每根乙種跳繩可獲利潤4元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)購進甲種跳繩每根需要元，購進乙種跳繩每根需要元(2)有3種進貨方案：方案①購進甲種跳繩根，乙種跳繩根；方案②購進甲種跳繩根，乙種跳繩根；方案③購進甲種跳繩根，乙種跳繩根(3)購進甲種跳繩根，乙種跳繩根，獲利最大，最大利潤是元【分析】（1）設(shè)購進甲種跳繩每根需要a元，購進乙種跳繩每根需要b元，然后根據(jù)題意建立二元一次方程組求出其解即可；（2）設(shè)購進甲種跳繩x個，則購進乙種跳繩個，然后根據(jù)題意建立不等式組求出其解即可；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，結(jié)合題意，分別求得利潤，比較即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)購進甲種跳繩每根需要a元，購進乙種跳繩每根需要b元，由題意得：，解得：，答：購進甲種跳繩每根需要元，購進乙種跳繩每根需要元．（2）解：設(shè)購進甲種跳繩x個，則購進乙種跳繩個，根據(jù)題意得，解得：，∵為正整數(shù)，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，，不是整數(shù)，不符合題意，舍去，當(dāng)時，，當(dāng)時，，不是整數(shù)，不符合題意，舍去，當(dāng)時，，答：該商店有3種進貨方案：方案①購進甲種跳繩根，乙種跳繩根；方案②購進甲種跳繩根，乙種跳繩根；方案③購進甲種跳繩根，乙種跳繩根；（3）解：∵銷售每根甲種跳繩可獲利潤3元，銷售每根乙種跳繩可獲利潤4元，由（2）可知，方案①：購進甲種跳繩根，乙種跳繩根，則利潤為；方案②：購進甲種跳繩根，乙種跳繩根，則利潤為；方案③：購進甲種跳繩根，乙種跳繩根，則利潤為；∵，∴方案③：購進甲種跳繩根，乙種跳繩根，獲利最大，最大利潤是元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組與不等式組是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】過關(guān)檢測一、單選題1．（22-23七年級下·福建福州·期末）下列各式中，是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)一元一次不等式的定義解答即可．【詳解】解：A.，不符合一元一次不等式的定義，故不符合題意；B.，不符合一元一次不等式的定義，故不符合題意；C.，符合一元一次不等式的定義，故符合題意；D.，不符合一元一次不等式的定義，故不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查的是一元一次不等式的定義，含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式，熟練掌握此定義，是解題的關(guān)鍵．2．（22-23七年級下·四川·期末）若關(guān)于的不等式的解集是，則的值是（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】先用含的式子表示出不等式的解集，進而得到關(guān)于的方程，進行求解即可．【詳解】解：由，得：，∵不等式的解集為：，∴，∴；故選B．【點睛】本題考查根據(jù)不等式的解集求參數(shù)的值，正確的求出不等式的解集，是解題的關(guān)鍵．3．（23-24八年級上·湖南湘潭·期末）若，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，能熟記不等式的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：不等式的性質(zhì)1：不等式的兩邊都加（或減）同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變；不等式的性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個判斷即可．【詳解】解：A、將兩邊都減去3，得：，故此選項錯誤；B、將兩邊都乘以，再加上5，得：，故此選項正確；C、將兩邊都乘以，得：，故此選項錯誤；D、將兩邊都除以，得：，故此選項錯誤；故選：B．4．（23-24八年級上·陜西西安·期末）已知一次函數(shù)的圖象上兩點，，當(dāng)時，有，并且圖象不經(jīng)過第三象限，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)的坐標(biāo)特征和圖象性質(zhì)，根據(jù)一次函數(shù)和的變化規(guī)律得到一次函數(shù)的，圖象不經(jīng)過第三象限，得到一次函數(shù)的或，建立不等式組求出結(jié)果即可．解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意成立不等式組，并求出解．【詳解】解：∵時，有，∴；又∵圖象不經(jīng)過第三象限，∴，∴，解得：，故選：D．5．（23-24八年級上·江西南昌·期末）若關(guān)于y的不等式組有解，則滿足條件的整數(shù)m的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】解不等式組得，，根據(jù)不等式組有解可得，即，即可求解．【詳解】解：，由①得，，由②得，，∵關(guān)于y的不等式組有解，∴，即，∴滿足條件的整數(shù)m的最大值為7，故選：B．6．（23-24八年級上·廣西百色·期末）如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點，則下列說法錯誤的是（

）

A． B．C．關(guān)于x的方程的解是 D．關(guān)于x的不等式的解集是【答案】D【分析】本題主要考查兩條直線的交點問題，運用待定系數(shù)法可求出交點坐標(biāo)，和一次函數(shù)圖象的解析式，再結(jié)合圖形分析即可求解，掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，把交點代入一次函數(shù)中得，，解得，，∴，把點代入一次函數(shù)圖象得，，根據(jù)一次函數(shù)的圖象可得，，故A，B選項正確，不符合題意；當(dāng)時，，故C選項正確，不符合題意；當(dāng)時，，故D選項錯誤，符合題意；故選：D．二、填空題7．（22-23八年級上·浙江寧波·期末）“a的一半與3的和小于2”用不等式表示為．【答案】【分析】a的一半為，與3的和為，小于即，據(jù)此列不等式．【詳解】解：由題意得，．故答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出不等式．8．（23-24八年級上·安徽合肥·期末）已知點在第二象限，則a的值可以等于．（寫出一個符合要求的a值）【答案】【分析】本題考查了各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號特征，記住各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號是解決的關(guān)鍵．根據(jù)第二象限內(nèi)點的橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù)進行解答即可．【詳解】解：∵點在第二象限，∴，即，∴a的值可以是．故答案為：（答案不唯一）．9．（22-23七年級下·四川綿陽·期末）關(guān)于的方程組的解滿足，則的取值范圍是．【答案】/【分析】由方程組可得，結(jié)合可得，求解即可獲得答案．【詳解】解：對于方程組，由，可得，整理可得，因為，即有，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了解二元一次方程組、解一元一次不等式等知識，求出是解答本題的關(guān)鍵．10．（23-24七年級下·貴州黔南·期末）若關(guān)于的不等式組無解，則的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查了解一元一次不等式組，不等式組無解，先求出每個不等式的解集，根據(jù)不等式組無解可得，解不等式即可求解，理解不等式組無解即兩個不等式的解集沒有公共部分是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，解得，，解得，，∵不等式組無解，∴，解得，故答案為：．11．（22-23七年級下·重慶·期末）已知平面直角坐標(biāo)系中的點在第四象限，且關(guān)于x的不等式組有且只有4個整數(shù)解，則符合條件的整數(shù)m的和為．【答案】5【分析】先求出點在第四象限的取值范圍，再求出關(guān)于的不等式組的解集，根據(jù)不等式組有且只有4個整數(shù)解，得，綜合的取值范圍，即可得答案．【詳解】解：點在第四象限，，解得：，關(guān)于的不等式組，解不等式①，得，解不等式②，得，原不等式組的解集為：，關(guān)于的不等式組有且只有4個整數(shù)解，，解得：，∴，符合條件的整數(shù)有：2，3；符合條件的整數(shù)的和為：．故答案為：5．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式組的解法．12．（22-23七年級下·山東威?！て谀┤绻辉淮畏匠痰母且辉淮尾坏仁浇M的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”．在方程①，②，③中，不等式組的關(guān)聯(lián)方程是．【答案】③【分析】分別解不等式組和各一元一次方程，再根據(jù)“關(guān)聯(lián)方程”的定義即可判斷．【詳解】解：解不等式組，得：，方程①的解為；方程②的解為；方程③的解為，不等式組的關(guān)聯(lián)方程是③，故答案為：③．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解并掌握“關(guān)聯(lián)方程”的定義和解一元一次不等式、一元一次方程的能力．三、解答題13．（23-24八年級上·浙江紹興·期末）解下列不等式（組）：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解不等式或不等式組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解題方法，準(zhǔn)確計算．（1）先移項，合并同類項，然后再將系數(shù)化為1即可；（2）分別求出兩個不等式的解集，然后再求出不等式組的解集即可．【詳解】（1）解：，移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：；（2）解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為．14．（23-24七年級上·重慶北碚·期末）解不等式（組）(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查的是解一元一次不等式和一元一次不等式組，（1）不等式移項合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；（2）不等式去括號，移項合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；（3）分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；（4）分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】（1）移項，合并同類項得，系數(shù)化為1得，；（2）去括號得，移項，合并同類項得，系數(shù)化為1得，；（3）解不等式①，移項，合并同類項得，；解不等式②，去括號得，移項，合并同類項得，系數(shù)化為1得，；故不等式組的解集為：；（4）解不等式①，去分母得，移項，合并同類項得，；解不等式②，去分母得，去括號得，移項，合并同類項得，系數(shù)化為1得，；故不等式組的解集為：．15．（22-23七年級下·山東濟寧·期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線交于點．

(1)求，的值；(2)當(dāng)時，的取值范圍是______；(3)請求出當(dāng)取何值時，滿足不等式．【答案】(1)的值為，的值為(2)(3)【分析】（1）把代入，求出，再把代入，即可求出；（2）根據(jù)圖象找出直線不在直線上方的部分對應(yīng)的自變量的取值范圍即可；（3）根據(jù)圖象找出直線與直線均落在軸上方的部分對應(yīng)的自變量的取值范圍即可．【詳解】（1）把代入得：，把代入得：，解得．即的值為，的值為；（2）由圖象可知當(dāng)時，的取值范圍是．故答案為：；（3）由圖象可知當(dāng)時，滿足不等式．【點睛】本題考查兩條直線的交點問題：兩條直線的交點坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解．也考查了一次函數(shù)一元一次不等式，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．16．（23-24八年級上·廣西百色·期末）某校計劃租用甲、乙兩種型號客車送200名師生去研學(xué)基地開展綜合實踐活動，需租用甲、乙兩種型號的客車共10輛．已知租用一輛甲型客車需800元，租用一輛乙型客車需1100元．甲型客車每輛可坐16名師生，乙型客車每輛可坐22名師生．設(shè)租用甲型客車x輛，租車總費用為y元．(1)請寫出y與x之間的函數(shù)表達式．（不要求寫自變量的取值范圍）(2)據(jù)資