高中數(shù)學(xué)排列綜合測試題(含答案)

高中數(shù)學(xué)排列綜合測試題(含答案)

選修2-31.2.1第2課時(shí)排列2

一、選擇題

1.下列各式中與排列數(shù)Amn不相等的是0

A.n(n—1)!(n—m)!

B.(n-m+1)(n-m+2)(n—m+3)…n

C.nn—m+1An—1n

D.A1nAm—1n—1

［答案］C

［解析］由排列數(shù)公式易知A、B、D都等于Amn,故選C.

2.用1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三

位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()

A.36B.30

C.40D.60

［答案］A

［解析］奇數(shù)的個(gè)位數(shù)字為1、3或5,偶數(shù)的個(gè)位數(shù)字為2、

4.故奇數(shù)有35A35=36個(gè).

3.上午要上語文、數(shù)學(xué)、體育和外語四門功課，而體育教

師因故不能上第一節(jié)和第四節(jié)，則不同排課方案的種數(shù)是()

A.24B.22

C.20D.12

［答案］D

［解析］先排體育有2種排法，故不同排課方案有：2A33=

12種.

［點(diǎn)評(píng)］有受限元素時(shí)，一般先將受限元素排好，即“特殊

優(yōu)先”.

4.5個(gè)人排成一■排，如果甲必須站在排頭或排尾，而乙不能

站在排頭或排尾，那么不同站法總數(shù)為0

A.18B.36

C.48D.60

［答案］B

［解析］甲在排頭或排尾站法有A12種，再讓乙在中間3個(gè)

位置選一個(gè)，有A13種站法，其余3人有A33種站法，故共

有A12Al3A33=36種站法.

5.由數(shù)字0、1、2、3、4、5可以組成能被5整除，且無重

復(fù)數(shù)字的不同的五位數(shù)有()

A.(2A45—A34)個(gè)

B.(2A45—A35)個(gè)

C.2A45個(gè)

D.5A45個(gè)

［答案］A

［解析］能被5整除，則個(gè)位須填5或0,有2A45個(gè)，但其

中個(gè)位是5的含有0在首位的排法有A34個(gè)，故共有(2A45

—A34)個(gè).

［點(diǎn)評(píng)］可用直接法求解：個(gè)位數(shù)字是0時(shí)有A45種；個(gè)位

數(shù)字是5時(shí)，首位應(yīng)用1、2、3、4中選1個(gè)，故有4A34種,

共有A45+4A34個(gè).

6.6人站成一排，甲、乙、丙3人必須站在一起的所有排列

的總數(shù)為（）

A.A66B.3A33

C.A33A33D.4!3!

［答案］D

［解析］甲、乙、丙三人站在一起有A33種站法，把3人作

為一個(gè)元素與其他3人排列有A44種，共有A33A44種.故

選D.

7.6人站成一排，甲、乙、丙3個(gè)人不能都站在一起的排法

種數(shù)為（）

A.720B.144

C.576D.684

［答案］C

［解析］“不能都站在一起”與“都站在一起”是對(duì)立事

件，由間接法可得A66—A33A44=576.

［點(diǎn)評(píng)］不能都站在一起，與都不相鄰應(yīng)區(qū)分.

8.由數(shù)字1、2、3、4、5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的5位

數(shù)中，大于23145且小于43521的數(shù)共有0

A.56個(gè)B.57個(gè)

C.58個(gè)D.60個(gè)

［答案］C

［解析］首位為3時(shí)，有A44個(gè)=24個(gè)；

首位為2時(shí)，千位為3,則有A12A22+1=5個(gè)，千位為4或

5時(shí)有A12A33=12個(gè);

首位為4時(shí)，千位為1或2,有A12A33=12個(gè)，千位為3時(shí)，

有A12A22+1=5個(gè).

由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有適合題意的數(shù)字24+5+12+

12+5=58（個(gè)）.

9.用0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的6位數(shù)，其中

個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的六位數(shù)共有（）

A.300個(gè)B.464個(gè)

C.600個(gè)D.720個(gè)

［答案］A

［解析］解法1:確定最高位有A15種不同方法.確定萬位、

千位、百位，從剩下的5個(gè)數(shù)字中取3個(gè)排列，共有A35種

不同的方法，剩下兩個(gè)數(shù)字，把大的排在十位上即可，由分

步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有A15A35=300（個(gè)）.

解法2：由于個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字與十位數(shù)字小于個(gè)位數(shù)

字的應(yīng)各占一半，故有12Al5A55=300（個(gè)）.

10.（2019廣東理，8）為了迎接2019年廣州亞運(yùn)會(huì)，某大樓

安裝了5個(gè)彩燈，它們閃亮的順序不固定.每個(gè)彩燈只能閃

亮紅、橙、黃、綠、藍(lán)中的一種顏色，且這5個(gè)彩燈所閃亮

的顏色各不相同，記這5個(gè)彩燈有序地各閃亮一次為一個(gè)閃

爍.在每個(gè)閃爍中，每秒鐘有且僅有一個(gè)彩燈閃亮，而相鄰

兩個(gè)閃爍的時(shí)間間隔均為5秒.如果要實(shí)現(xiàn)所有不同的閃爍,

那么需要的時(shí)間至少是()

A.1205秒B.1200秒

C.1195秒D.1190秒

［答案］C

［解析］由題意每次閃爍共5秒，所以不同的閃爍為A55=

120秒，而間隔為119次，所以需要的時(shí)間至少是5A55+(A55

-1)5=1195秒.

［點(diǎn)評(píng)］本題情景新穎，考查了排列知識(shí)在生活中的應(yīng)用以

及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力、分析解決問題的能

力.

二、填空題

11.三個(gè)人坐在一排八個(gè)座位上，若每人的兩邊都要有空位,

則不同的坐法種數(shù)為.

［答案］24

［解析］“每人兩邊都有空位”是說三個(gè)人不相鄰，且不能

坐兩頭，可視作5個(gè)空位和3個(gè)人滿足上述兩要求的一個(gè)排

列，只要將3個(gè)人插入5個(gè)空位形成的4個(gè)空檔中即可.

有A34=24種不同坐法.

12.在所有無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，千位上的數(shù)字比個(gè)位上

的數(shù)字大2的數(shù)共有個(gè).

［答案］448

［解析］千位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大2,有8種可能，即（2,0）,

（3,1）-（9,7）前一個(gè)數(shù)為千位數(shù)字，后一個(gè)數(shù)為個(gè)位數(shù)

字.其余兩位無任何限制.

共有8A28=448個(gè).

13.7個(gè)人排一排，甲不在排頭、乙不在排尾、丙不在正中

間的排法有種？

［答案］456

［解析］由題意知有A77-3A66+3A45-A44=456種.

14.（2019浙江理，17）有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加

“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“握力”、

“臺(tái)階”五個(gè)項(xiàng)目的測試，每位同學(xué)上、下午各測試一個(gè)項(xiàng)

目，且不重復(fù).若上午不測“握力”項(xiàng)目，下午不測“臺(tái)階”

項(xiàng)目，其余項(xiàng)目上、下午都各測試一人，則不同的安排方式

共有種（用數(shù)字作答）.

［答案］264

［解析］由條件上午不測“握力”，則4名同學(xué)測四個(gè)項(xiàng)目，

則A44；下午不測“臺(tái)階”但不能與上午所測項(xiàng)目重復(fù)，如

甲乙丙丁

上午臺(tái)階身高立定肺活量

下午

,下午甲測“握力”乙丙丁所測不與上午重復(fù)有2種，甲測

“身高”“立定”、“肺活量”中一種，則33=9,故A44(2

+9)=264種.

三、解答題

15.一場晚會(huì)有5個(gè)演唱節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目，要求排出一

個(gè)節(jié)目單.

(1)3個(gè)舞蹈節(jié)目不排在開始和結(jié)尾，有多少種排法？

⑵前四個(gè)節(jié)目要有舞蹈節(jié)目，有多少種排法？

(以上兩個(gè)題只列出算式)

［解析］(1)先從5個(gè)演唱節(jié)目中選兩個(gè)排在首尾兩個(gè)位置

有A25種排法，再將剩余的3個(gè)演唱節(jié)目，3個(gè)舞蹈節(jié)目排

在中間6個(gè)位置上有A66種排法，故共有A25A66種排法.

⑵先不考慮排列要求，有A88種排列，其中前四個(gè)節(jié)目沒

有舞蹈節(jié)目的情況，可先從5個(gè)演唱節(jié)目中選4個(gè)節(jié)目排在

前四個(gè)位置，然后將剩余四個(gè)節(jié)目排列在后四個(gè)位置，有

A45A44種排法，所以前四個(gè)節(jié)目要有舞蹈節(jié)目的排法有(A88

一A45A44)種.

16.六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？

(1)甲不站右端，也不站左端；

(2)甲、乙站在兩端；

⑶甲不站左端，乙不站右端.

［解析］(1)解法一：因甲不站左右兩端，故第一步先從甲

以外的5個(gè)人中任選二人站在左右兩端，有A25種不同的站

法；第二步再讓剩下的4個(gè)人站在中間的四個(gè)位置上，有A44

種不同的站法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有A25A44=480種不

同的站法.

解法二：因甲不站左右兩端，故第一步先讓甲排在左右兩端

之間的任一位置上，有A14種不同的站法；第二步再讓余下

的5個(gè)人站在其他5個(gè)位置上，有A55種不同的站法，故共

有A14A55=480種不同的站法.

解法三：我們對(duì)6個(gè)人，不考慮甲站位的要求，做全排列，

有A66種不同的站法；但其中包含甲在左端或右端的情況，

因此減去甲站左端或右端的排列數(shù)2A55,于是共有A66-

2A55=480種不同的站法.

⑵解法一：首先考慮特殊元素，讓甲、乙先站兩端，有A22

種不同的站法；再讓其他4個(gè)人在中間4個(gè)位置做全排列，

有A44種不同的站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有A22A44

=48種不同的站法.

解法二：”位置分析法”，首先考慮兩端2個(gè)位置，由甲、

乙去站，有A22種站法，再考慮中間4個(gè)位置，由剩下的4

個(gè)人去站，有A44種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有

A22A44=48種不同的站法.

⑶解法一：“間接法”，甲在左端的站法有A55種，乙在

右端的站法有A55種，而甲在左端且乙在右端的站法有A44

種，故共有A66-2A55+A44=504種不同的站法.

解法二：“直接法”，以元素甲的位置進(jìn)行考慮，可分兩類：

a.甲站右端有A55種不同的站法；b.甲在中間4個(gè)位置之一，

而乙不在右端，可先排甲后排乙，再排其余4個(gè)，有A14Al4A44

種不同的站法，故共有A55+A14Al4A44=504種不同的站法.

17.用0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字：（1）可組成多少個(gè)五位數(shù)；

⑵可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；（3）可組成多少個(gè)無

重復(fù)數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù)；（4）可組成多少個(gè)無重

復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù).

［解析］（1）各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù)，故由分步乘法計(jì)

數(shù)原理，45555=2500（個(gè)）.

⑵方法一：先排萬位，從1,2,3,4中任取一個(gè)有A14種填

法，其余四個(gè)位置四個(gè)數(shù)字共有A44種，

故共有A14A44=96（個(gè)）.

方法二：先排0,從個(gè)、十、百、千位中任選一個(gè)位置將0

填入有A14種方法，其余四個(gè)數(shù)字全排有A44種方法，

故共有A14A44=96（個(gè)）.

（3）構(gòu)成3的倍數(shù)的三位數(shù)，各個(gè)位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)，

將0,1,2,3,4按除以3的余數(shù)分成3類，按取0和不取0分

類：

①取0,從1和4中取一個(gè)數(shù)，再取2進(jìn)行排，先填百位A12,

其余任排有A22,故有2Al2A22種.

②不取0,則只能取3,從1或4中再任取一個(gè)，再取2然

后進(jìn)行全排為2A33,所以共有2Al2A22+2A33=8+12=

20（個(gè)）.

⑷考慮特殊位置個(gè)位和萬位，先填個(gè)位，從1、3中選一個(gè)

填入個(gè)位有A12種填法，然后從剩余3個(gè)非0數(shù)中選一個(gè)填

入萬位，有A13種填法，包含0在內(nèi)還有3個(gè)數(shù)在中間三位

置上全排列,排列數(shù)為A33,故共有A12Al3A33=36（個(gè)）.

18.由1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)

排成一遞增數(shù)列，則首項(xiàng)為12345,第2項(xiàng)是12354,…

直到末項(xiàng)（第120項(xiàng)）是54321.問：

（1）43251是第幾項(xiàng)?

⑵第93項(xiàng)是怎樣的一個(gè)