杭州2023年高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3,請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/（x）=sin（s+*）3>0J°|wg,、=一（為/⑴的零點(diǎn)'x=（為y=圖象的對稱軸'且

在區(qū)間（?,（）上單調(diào)，則0的最大值是（)

A.12B.11C.1()D.9

ia

1-tan—

3萬

2.已知sina-2cos。=1,ae(^,——),則-----2=()

2ia

1+tan—

2

1

A.---B.—2C.-D.2

22

3.以下三個命題：①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項指標(biāo)檢測，這樣

的抽樣是分層抽樣；②若兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1；③對分類變量x與丫的隨機(jī)

變量二的觀測值左來說，A?越小，判斷“x與丫有關(guān)系”的把握越大；其中真命題的個數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

4.已知數(shù)列｛4｝是公差為"（dwO）的等差數(shù)列，且4，生，&成等比數(shù)列，則3=（）

a

A.4B.3C.2D.1

2

5.函數(shù)=的一個零點(diǎn)在區(qū)間（1,2）內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)

6.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，若％=2,4+4=5,則$6=（）

A.10B.9C.8D.7

7.單位正方體A5CD-4與G2,黑、白兩螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段白螞蟻爬

地的路線是黑螞蟻爬行的路線是48T它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段

所在直線必須是異面直線（ieM）.設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個頂點(diǎn)處，這時黑、白兩螞

蟻的距離是（）

A.1B.V2C.V3D.

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為()

15

D.—

16

9.自2019年12月以來，在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，研究表明，該新型冠狀病毒具有很強(qiáng)的傳染性各

級政府反應(yīng)迅速，采取了有效的防控阻擊措施，把疫情控制在最低范圍之內(nèi).某社區(qū)按上級要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體格

檢查登記，有3個不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶，負(fù)責(zé)該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有4名醫(yī)生，現(xiàn)要求這4名醫(yī)生都

要分配出去，且每個住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記，則不同的分配方案共有()

A.12種B.24種C.36種D.72種

logiX,0<A；,1,

10.若函數(shù)/(x)={2函數(shù)g(x)=/(x)+丘只有1個零點(diǎn)，則攵的取值范圍是()

—x(x-l)(x-3),x>1,

A.(-1,0)B.(-00,0)51,+°°)C.(-<?,-I)U(0,+00)D.(0,1)

11.已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有一點(diǎn)「(-3,4),貝！|sin2a=().

1224168

A.----B.----C.—D.-

252555

12.設(shè)機(jī)，〃是兩條不同的直線,a,￡是兩個不同的平面，下列命題中正確的是()

A.若加//a,根/〃?,則B.若加_L〃，則〃_La

C.若加_La,〃〃/〃，則D.若則〃?//￡

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(1,2),則cosOr-a)的值是.

14.已知尸為拋物線Gx2=&,的焦點(diǎn)，p為C上一點(diǎn)，M(-4,3),則A/WF周長的最小值是.

15.高三(1)班共有56人，學(xué)號依次為1,2,3,…，56,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為4的樣本，已知學(xué)

號為6,34,48的同學(xué)在樣本中，那么還有一個同學(xué)的學(xué)號應(yīng)為.

16.已知兩圓相交于兩點(diǎn)A(a,3),3(—1,1),若兩圓圓心都在直線x+y+8=0上，則a+b的值是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知動圓M恒過點(diǎn)(0,；］,且與直線曠=-；相切.

(1)求圓心M的軌跡E的方程；

(2)設(shè)P是軌跡E上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，OP的平行線/交軌跡E于A，B兩點(diǎn),交軌跡E在P處的切線于點(diǎn)T,問:

是否存在實(shí)常數(shù)/I使|PT|2=/l|L4H78|,若存在，求出X的值；若不存在，說明理由.

18.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為

17

pcos0=tn,曲線孰的極坐標(biāo)方程為人次.

(1)求曲線G的直角坐標(biāo)方程和曲線G的參數(shù)方程;

(2)設(shè)曲線G與曲線在第二象限的交點(diǎn)為A，曲線G與*軸的交點(diǎn)為“，點(diǎn)用(1,0),求的周長/的最

大值.

19.(12分)尸是圓f+y2=4上的動點(diǎn)，尸點(diǎn)在X軸上的射影是O,點(diǎn)M滿足=戶.

(1)求動點(diǎn)M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；

(2)過點(diǎn)N(3,0)的直線/與動點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A,B,求以。A,08為鄰邊的平行四邊形O4E5的頂

點(diǎn)E的軌跡方程.

x=acos(p

20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為《,.Ca>b>0,。為參數(shù))，在以。為極點(diǎn),

y=Osin。

x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線是圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)的圓.已知曲線G上的點(diǎn)M1，彳對應(yīng)的

參數(shù)8=7,射線6=2與曲線交于點(diǎn)71

（I）求曲線G，的直角坐標(biāo)方程

（2）若點(diǎn)A,3為曲線G上的兩個點(diǎn)且Q4_LQB,求77、+￡廠的值.

\OA［|OBI-

21.（12分）某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，從流水線上隨機(jī)抽取10（）件產(chǎn)品，統(tǒng)計其質(zhì)量指標(biāo)值并繪制頻率分布直方圖（如

圖1）：規(guī)定產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值在［65,85）的為劣質(zhì)品，在［85,105）的為優(yōu)等品，在［105,115］的為特優(yōu)品，銷售時劣

質(zhì)品每件虧損0.8元，優(yōu)等品每件盈利4元，特優(yōu)品每件盈利6元，以這1（）0件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于各區(qū)間的頻率代

替產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于該區(qū)間的概率.

率

哽

綱

?-

C

-)4k)

.O。5(

)2

。0e140

120

(w

1100

Q/O

I80

tf60

Cf/i4()

20

0.005

0>~~>—■_■>~>—■-I-

()102030405060

06575K595105115質(zhì)M指標(biāo)值

年膏制I費(fèi)用萬元)

圖1圖2

（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤；

（2）該企業(yè)主管部門為了解企業(yè)年營銷費(fèi)用X（單位：萬元）對年銷售量y（單位：萬件）的影響，對該企業(yè)近5年

的年營銷費(fèi)用X,和年銷售量K，G=1,2,3,4,5）數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計量的值.

5

E匕之(％-好

;=1/=1/=!/=1

16.3523.40.541.62

］5_］5

表中/=lnXj,v,.=Inx,元=￡工%,"=匕.

5/=i5/=i

根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y="可以作為年銷售量（萬件）關(guān)于年營銷費(fèi)用》（萬元）的回歸方程.

①求y關(guān)于x的回歸方程;

②用所求的回歸方程估計該企業(yè)每年應(yīng)投入多少營銷費(fèi)，才能使得該企業(yè)的年收益的預(yù)報值達(dá)到最大？（收益=銷售

利潤一營銷費(fèi)用，取e3-59=36）

附：對于一組數(shù)據(jù)（％,巧），（/，%），…，（"”匕），其回歸直線。=2+的斜率和截距的最小二乘估計分別為

八（匕-工）

/=歸-5---------------------,a=v-0u.

i=l

丫2

22.（10分）已知斗鳥為橢圓E：W2+4v=l（a>6>°）的左、右焦點(diǎn)，離心率為務(wù)1，點(diǎn)P（2,3）在橢圓上.

（1）求橢圓E的方程；

1,1

（2）過月的直線4,4分別交橢圓于A、c和ED,且4^/2,問是否存在常數(shù)X,使得百，九而成等差數(shù)列？

若存在，求出2的值；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

由題意可得。?（-巧+9=跣，且。1+9=故有。=2火-幻+1①，再根據(jù):二求得以，12②,

4422G34

由①②可得。的最大值，檢驗"的這個值滿足條件.

【詳解】

解：函數(shù)f（x）=sin（0x+e）（0>O,\<p\?,

x=一￡為/（x）的零點(diǎn)，x=三為y=/（x）圖象的對稱軸，

44

二.69?（）+9=左4，且69*卜甲=k'兀-,k、A'￡Z,「.3=2（〃一攵）+1,即0為奇數(shù)①.

442

???/（X）在G，9單調(diào)，.?，二彳，.”,12②.

432G34

由①②可得①的最大值為1.

TT___TTTT

當(dāng)?=11時，由*=一為y=/（x）圖象的對稱軸，可得1以7+。=&乃+彳，kwZ,

442

故有e=-f,&T）+<P=k兀,滿足％=-￡為/（X）的零點(diǎn)，

7T7T

同時也滿足滿足/（X）在上單調(diào),

4'3

故<y=ll為①的最大值，

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征，正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對稱性，屬于中檔題.

2.B

【解析】

結(jié)合si/a+cos2a=1求得sina,cosa的值，由此化簡所求表達(dá)式，求得表達(dá)式的值.

【詳解】

[sintz-2cos?=13734

由4.22,，以及ae（4,二），解得sin。=一二,cos。=一一.

sm-a+cosa=1255

ica.a

l-2cos—sin

22

1+tan

2

l-sincz

cosa4

5

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值，考查二倍角公式，屬于中檔題.

3.C

【解析】

根據(jù)抽樣方式的特征，可判斷①；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可判斷②；根據(jù)獨(dú)立性檢驗的方法和步驟，可判斷③.

【詳解】

①根據(jù)抽樣是間隔相同，且樣本間無明顯差異，故①應(yīng)是系統(tǒng)抽樣，即①為假命題；

②兩個隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1;兩個隨機(jī)變量相關(guān)性越弱，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接

近于0;故②為真命題；

③對分類變量x與y的隨機(jī)變量K2的觀測值攵來說，女越小，“x與y有關(guān)系”的把握程度越小，故③為假命題.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關(guān)系數(shù)、獨(dú)立性檢驗等知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

4.A

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計算得到答案.

【詳解】

由4，%，4成等比數(shù)列得而=。-4,即（q+2d）2=4（q+5d）,已知dwO,解得號=4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本量的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.

5.C

【解析】

2

顯然函數(shù)/（%）=2、——a在區(qū)間（1,2）內(nèi)連續(xù)，由/（X）的一個零點(diǎn)在區(qū)間（1,2）內(nèi)，則/⑴"2）＜（）,即可求解.

【詳解】

2

由題，顯然函數(shù)〃尤）=2,―1-〃在區(qū)間（1,2）內(nèi)連續(xù)，因為〃x）的一個零點(diǎn)在區(qū)間（1,2）內(nèi)，所以“1）/（2）＜0,即

（2-2-a）（4-l-a）＜0,解得0＜"3,

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

根據(jù)題意外=4+2"=2,q+%=2q+3d=5,解得《=4,d=-l,得到答案.

【詳解】

%=q+2d=2,q+為=2q+3d=5,解得q=4,d=—\,故§6=6q+15d=9.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的求和，意在考查學(xué)生的計算能力.

7.B

【解析】

根據(jù)規(guī)則，觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過幾段后又回到起點(diǎn)，得到每爬1步回到起點(diǎn)，周期為1.計算黑螞蟻爬完2020段

后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個點(diǎn)以及計算白螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個點(diǎn)，即可計算出它們的距離.

【詳解】

由題意，白螞蟻爬行路線為AAITAIQI—OIGTGCTCBTBA,

即過1段后又回到起點(diǎn)，

可以看作以1為周期，

由2020+6=336…4,

白螞蟻爬完2020段后到回到C點(diǎn)；

同理，黑螞蟻爬行路線為

黑螞蟻爬完2020段后回到點(diǎn)，

所以它們此時的距離為J5.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，考查空間想象與推理能力，屬于中等題.

8.D

【解析】

由程序框圖確定程序功能后可得出結(jié)論.

【詳解】

執(zhí)行該程序可得s=0+*盤

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查程序框圖.解題可模擬程序運(yùn)行，觀察變量值的變化，然后可得結(jié)論，也可以由程序框圖確定程序功能，然

后求解.

9.C

【解析】

先將4名醫(yī)生分成3組，其中1組有2人，共有C；種選法，然后將這3組醫(yī)生分配到3個不同的住戶中去，有種

方法，由分步原理可知共有用種.

【詳解】

不同分配方法總數(shù)為C：A；=36種.

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查的是排列組合知識，解此類題時一般先組合再排列，屬于基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

轉(zhuǎn)化g(x)=/(x)+依有1個零點(diǎn)為丁=/(/與^=一丘的圖象有1個交點(diǎn)，求導(dǎo)研究臨界狀態(tài)相切時的斜率，數(shù)形

結(jié)合即得解.

【詳解】

g(x)=/(%)+kx有1個零點(diǎn)

等價于y=/(幻與y=-乙的圖象有1個交點(diǎn).

J'

記〃(x)=-x(x-l)(x-3)(%>1),則過原點(diǎn)作力(x)的切線,

設(shè)切點(diǎn)為(％,%),

則切線方程為y-〃(%)=%),

又切線過原點(diǎn)，即〃(無0)=/7'(%0)%，

將h(x0)=-Xo(xo-l)(x0-3),,

/?'(%)——3蒞+8XQ—3

代入解得%=2.

所以切線斜率為〃'(2)=-3x22+8x2-3=1,

所以左＜—1或左＞0.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)零點(diǎn)問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.

11.B

【解析】

根據(jù)角終邊上的點(diǎn)坐標(biāo)，求得sina,cosa,代入二倍角公式即可求得sin2a的值.

【詳解】

43

因為終邊上有一點(diǎn)P(-3,4),所以sina=g,cosa=-,

4

/.sin2a=2sincosa=2x—x

5

故選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查二倍角公式，熟練記憶公式即可解決，屬于簡單題目.

12.C

【解析】

在A中，a與夕相交或平行；在B中，〃//a或〃ua；在C中，由線面垂直的判定定理得〃_La；在D中，加與

方平行或加＜=萬.

【詳解】

設(shè)〃，7是兩條不同的直線，/，是兩個不同的平面，貝U：

在A中，若mila,mlip,則e與￡相交或平行，故A錯誤：

在B中，若〃mln,則〃//a或〃ua,故B錯誤；

在C中，若〃?_La,m//n,則由線面垂直的判定定理得〃_La,故C正確；

在D中，若a工。,mla,則心與￡平行或加匚耳，故D錯誤.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，是中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.班

5

【解析】

試題分析：由三角函數(shù)定義知cosa=0=9,又由誘導(dǎo)公式知cos（乃-a）=-cosa=-*,所以答案應(yīng)填：

----?

5

考點(diǎn)：1、三角函數(shù)定義；2、誘導(dǎo)公式.

14.5+V17

【解析】

△PMF的周長最小，即求|9|+|小|最小，過P做拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為。，轉(zhuǎn)化為求IPMI+IPQI最小,

數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】

如圖，尸為拋物線c：7=8y的焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn)，MC-4,3),

拋物線C：d=8了的焦點(diǎn)為尸(0,2),準(zhǔn)線方程為y=-2.

過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q,則有IPERPQI

\PM\+\PFHPM\+\PQ\>\MQ\=5,

當(dāng)且僅當(dāng)M,P,Q三點(diǎn)共線時，等號成立，

所以△PMF的周長最小值為5+/母+(3-2)2=”后.

故答案為：5+V17.

本題考查拋物線定義的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題.

15.20

【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義將56人按順序分成4組，每組14人，則1至14號為第一組，15至28號為第二組，29號至42

號為第三組，43號至56號為第四組.而學(xué)號6,34,48分別是第一、三、四組的學(xué)號，所以還有一個同學(xué)應(yīng)該是15+6-1=20

號，故答案為20.

16.-1

【解析】

根據(jù)題意，相交兩圓的連心線垂直平分相交弦，可得A8與直線x+y+0=0垂直，且AB的中點(diǎn)在這條直線

x+y+b=O±.,列出方程解得即可得到結(jié)論.

【詳解】

由A(a,3),3(—1,1),設(shè)AB的中點(diǎn)為

根據(jù)題意，可得巴1+2+b=0,且心8=2土=1,

217+1

解得，a=\,b=—2,故a+/?=—l.

故答案為：一1.

【點(diǎn)睛】

本題考查相交弦的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于利用相交弦的性質(zhì)，即兩圓的連心線垂直平分相交弦，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)x2=2y；(2)存在，

2

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的定義，容易知其軌跡為拋物線；結(jié)合已知點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得方程；

(2)由拋物線方程求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)出直線/的方程，利用導(dǎo)數(shù)求得點(diǎn)T的坐標(biāo)，聯(lián)立直線/的方程和拋物線方程,

結(jié)合韋達(dá)定理，求得|啊,|用，進(jìn)而求得|P7f與|刑|詞之間的大小關(guān)系，即可求得參數(shù)/L

【詳解】

(1)由題意得，點(diǎn)M與點(diǎn)(0,；]的距離始終等于點(diǎn)M到直線y=-g的距離，

由拋物線的定義知圓心M的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線y=-g為準(zhǔn)線的拋物線，

則K=1,“=1..?.圓心M的軌跡方程為r=2y.

22'

(2)因為P是軌跡E上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，

由(1)不妨取P(2,2),所以直線。尸的斜率為1.

因為〃/OP,所以設(shè)直線/的方程為y=x+，〃，根。0.

由y=得、=x,則￡在點(diǎn)尸處的切線斜率為2,

所以E在點(diǎn)P處的切線方程為y=2x—2.

y=x+m[x=m+2,

由「cc9得cr所以丁(加+2,2加+2),

y=2x-2,[y=2m4-2,

所以IP?T=[(m+2)—+[(2加+2)—2『=5加2.

y=x+m,

由「2c消去y得％2-2x-2m=(),

x=2y

由A=4+8帆＞0,得相＞—且加。0.

2

設(shè)A(X],y)，8(孫必)，

貝!j%+%=2,XjX2=-2m.

因為點(diǎn)7,A,3在直線/上，

所以|以|=夜|%—(〃2+2)|,|7BhV2|x2-(m+2)|,

所以|L4H7B|=2,一(加+2)|卜一(加+2)|

=21-2m-2(m+2)+(m+2)21=2m2,

所以IPT|2=：1771Hm.

2

."5

??A——

2

故存在％=使得IPTFM?%”7sl.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線軌跡方程的求解，以及拋物線中定值問題的求解，涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬綜合性中檔題.

x=2cosa_

18.(1)曲線G的直角坐標(biāo)方程為％=加，曲線C,的參數(shù)方程為r-.(a為參數(shù))(2)2百+3

y=V3sin。

【解析】

(1)將x=pcos夕代入pcos8=，z?,可得x=7〃，

所以曲線G的直角坐標(biāo)方程為x=m.

由/122c可得3，+/sir?6=12,

3+sirr。

將丁=仆皿6,22=/+y2代入上式，可得3x2+3y2+_/=12,

Y22fx=2cos?

整理可得±+2v_=l,所以曲線。2的參數(shù)方程為q.(a為參數(shù)).

43[y=\/3sina

冗

(2)由題可設(shè)A(2cosa,Gsina),—<a<71,〃(2cosa,0),

2

所以|A”|=6sina,||=l-2cos(7,

|AM|=-J(l-2cosa)2+3sin2a=Jcos?a-4cosa+4=2-cosa,

所以/=|AH|+|4M|+|AM|=>/3sina+(1-2cosa)+(2-cosa)

=V5sin6Z-3cosa+3=273sin(a--)+3,

3

乃ee,..n兀2兀

因為二■<&<;?",所以二〈口一彳*;：-,

2o33

所以當(dāng)a-g=I，即。=乎時，/取得最大值為26+3，

326

所以AA3的周長/的最大值為2百+3.

2

19.(1)點(diǎn)M的軌跡C的方程為土+產(chǎn)=1,軌跡C是以(-6,0),(6,0)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓(2)

4

x2+4y之一6x=0(0<x<g)

【解析】

(1)設(shè)M(x,y),根據(jù)。A/=；。戶可求得P(x,2y),代入圓的方程可得所求軌跡方程；根據(jù)軌跡方程可知軌跡是

以卜6,0),(6,0)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓；

(2)設(shè)=3),與橢圓方程聯(lián)立，利用/>0求得二<；；利用韋達(dá)定理表示出西+馬與X+必，根據(jù)平

行四邊形和向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得礪，消去A后得到軌跡方程；根據(jù)二<；求得x的取值范圍，進(jìn)而得到最終結(jié)果.

【詳解】

(1)設(shè)M(x,y),則Z)(x,0)

由QA/=；Z)戶知：P(x,2y)

?.,點(diǎn)P在圓=4上x2+4y2=4

2

二點(diǎn)"的軌跡。的方程為：工+產(chǎn)=1

4'

軌跡C是以(一百,0),(百,0)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓

(2)設(shè)E(x,y),由題意知/的斜率存在

2

2222

設(shè)/:y=Z(x—3),代入?+y2=i得：(1+4A:)x-24kx+36k-4=0

21

則公式―2張?)—-40+4公)(36&J,>0,解得：k2<-

設(shè)則％+々=三巨

A(%，x),B(x2,y2),

1十^rK

24k3,,-6k

y+y=左(玉一3)+%(工2-3)=攵(玉+々)-6女=-----7-6k=-

2]+4&21+4/

???四邊形Q4EB為平行四邊形

OE=OA+OB=(x,+x2,yi+y2,)=

'24k2

X-2

又面=(x,y)：.\1+4公，消去攵得：/+4,2一61=0

—6k

???7-=-=6(1+於)-6q(\

51+4公1+4/1+4-〔'3)

二頂點(diǎn)E的軌跡方程為d+4)J-6x=0(0<x<g)

【點(diǎn)睛】

本題考查圓錐曲線中的軌跡方程的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用已知中所給的等量關(guān)系建立起動點(diǎn)橫縱坐標(biāo)滿足的關(guān)系

式，進(jìn)而通過化簡整理得到結(jié)果；易錯點(diǎn)是求得軌跡方程后，忽略x的取值范圍.

2,3

20.(1)yr+y=1.(x-l)"+y2=1.(2)-

【解析】

(D先求解a,b,消去參數(shù)。，即得曲線G的直角坐標(biāo)方程；再求解R，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，即得曲

線。2的直角坐標(biāo)方程;

(2)由于。4_LOB,可設(shè)4(門,8),8。2，。+彳，代入曲線G直角坐標(biāo)方程，可得夕”2，。的關(guān)系，轉(zhuǎn)化

]1_11cos20.20)(sin202力

iW+iW-----+sin-0+-------+cos6),可得解.

2)I2J

【詳解】

TTx=acos(p

(1)將％1,及對應(yīng)的參數(shù)。二，代入

y=bsin(p

1兀

1=6?COS-

廠4,即,a—yj2

得

J2.nb=1

——=Asin—

[24

X=J^COS0,。為參數(shù),

所以曲線G的方程為

y=sincp

所以曲線G的直角坐標(biāo)方程為y+r=i.

設(shè)圓的半徑為R,由題意，圓。2的極坐標(biāo)方程為

夕=2Rcos6（或"一農(nóng)1+9二心），

將點(diǎn)代入°=2Rcos。，得l=2Rcos工，即R=l,

\373

所以曲線的極坐標(biāo)方程為夕=2cos8,

所以曲線的直角坐標(biāo)方程為(x—iy+y2=i.

(2)由于O4_LQB,故可設(shè)A(g,e),80,。+1

代入曲線G直角坐標(biāo)方程,

22萬

可得之罷g+p；sin?=l,Wsin2022i

---+p2cos0=\,

I111

----1----

所以|CA|2+|。3『八2八2

P\Pl

、

厘+s曲+sin203

-----+cos~e

I2J22

/

【點(diǎn)睛】

本題考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)，參數(shù)方程和一般方程的互化以及極坐標(biāo)的幾何意義的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)

化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

21.（1）3元.（2）①=36/②216萬元

【解析】

(D每件產(chǎn)品的銷售利潤為X,由已知可得X的取值，由頻率分布直方圖可得劣質(zhì)品、優(yōu)等品、特優(yōu)品的概率，從

而可得X的概率分布列，依期望公式計算出期望即為平均銷售利潤；

(2)①對y=取自然對數(shù)，得lny=ln(a-x")=lna+Mnx,

令〃=lnx,v=\ny,c=lna,則u=c+4/,這就是線性回歸方程，由所給公式數(shù)據(jù)計算出系數(shù)，得線性回歸方程,

從而可求得)，=”?■?；

②求出收益z=3y-x=3x36l-x=H)8)_x，可設(shè)仁)換元后用導(dǎo)數(shù)求出最大值?

【詳解】

解：(1)設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤為X,則X的可能取值為-0.8,4,6.由頻率分布直方圖可得產(chǎn)品為劣質(zhì)品、優(yōu)

等品、特優(yōu)品的概率分別為0.25、0.65、0.1.

所以P(X=-0.8)=025；P(X=4)=0.65；P(X=6)=0.1.所以X的分布列為

X-0.846

P0.250.650.1

所以E(X)=(-0.8)x0.25+4x0.65+6x0.1=3(元).

即每件產(chǎn)品的平均銷售利潤為3元.

(2)①由.v=ex",得Iny=ln(a-x")=lna+匕Inx,

令〃=lnx,v=lny,c=lna,貝!Jy=c+8〃，

5

,Z(…)(D0541

由表中數(shù)據(jù)可得。=上y------------=777=-

/—\21.625

(=1

A?3411635

則2="—51=^——x-^=4.68-1.09=3.59,

535

所以￡=3.59+g〃，即ln3=3.59+；lnx=ln/-.戶)，

因為取/59=36,所以$=361，故所求的回歸方程為y=36).

②設(shè)年收益為z萬兀，則z=3y-x=3x36--x=l()8x§-x

令1=%>0，則z=108t-/,z*=108-3r=-3(r-36),當(dāng)0<r<6時，z'>0,

當(dāng)，>6時，z'<0,所以當(dāng)f=6,即x=216時，2有最大值432.

即該企業(yè)每年應(yīng)該投入216萬元營銷費(fèi)，能使得該企業(yè)的年收益的預(yù)報值達(dá)到最大，最大收益為432萬元.

【點(diǎn)睛】

本題考查頻率分布直方圖，