2024成都中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題 矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定(含答案)

2024成都中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定基礎(chǔ)題1.(2023上海)在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列說(shuō)法能使四邊形ABCD為矩形的是()A.AB∥CDB.AD＝BCC.∠A＝∠BD.∠A＝∠D2.(2023自貢)如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形OBCD兩邊與坐標(biāo)軸正半軸重合，點(diǎn)C的坐標(biāo)是()A.(3，－3)B.(－3，3)C.(3，3)D.(－3，－3)第2題圖3.(2022玉林)若順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是正方形，則四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD一定是()A.互相平分B.互相垂直C.互相平分且相等D.互相垂直且相等4.(2023深圳)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝6，將線段AB水平向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度得到線段EF，若四邊形ECDF為菱形時(shí)，則a的值為()第4題圖A.1B.2C.3D.45.(2023十堰)如圖，將四根木條用釘子釘成一個(gè)矩形框架ABCD，然后向左扭動(dòng)框架，觀察所得四邊形的變化．下面判斷錯(cuò)誤的是()A.四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅蜝.對(duì)角線BD的長(zhǎng)度減小C.四邊形ABCD的面積不變D.四邊形ABCD的周長(zhǎng)不變第5題圖6.如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，EF＝2，BD＝8，則該菱形的面積為()第6題圖A.12B.16C.20D.327.(2023杭州)如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.若∠AOB＝60°，則eq\f(AB,BC)＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3)－1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)第7題圖8.(2023大慶)將兩個(gè)完全相同的菱形按如圖方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，則β＝()第8題圖A.45°＋eq\f(1,2)αB.45°＋eq\f(3,2)αC.90°－eq\f(1,2)αD.90°－eq\f(3,2)α9.(2023河北)如圖，在Rt△ABC中，AB＝4，點(diǎn)M是斜邊BC的中點(diǎn)，以AM為邊作正方形AMEF.若S正方形AMEF＝16，則S△ABC＝()A.4eq\r(3)B.8eq\r(3)C.12D.16第9題圖10.[新考法—條件開(kāi)放](2023齊齊哈爾)如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于點(diǎn)O.請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：________，使四邊形ABCD成為菱形．第10題圖11.(2023懷化)如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，PE⊥AD于點(diǎn)E，PE＝3.則點(diǎn)P到直線AB的距離為_(kāi)_______．第11題圖12.(2023紹興)如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，連接AC，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，交直線AD于點(diǎn)E，連接CE，則∠AEC的度數(shù)是________．第12題圖13.(2023河南)矩形ABCD中，M為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AD上，且AN＝AB＝1.當(dāng)以點(diǎn)D，M，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，AD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．14.[新考法—條件開(kāi)放](2023十堰)如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，分別以點(diǎn)B，C為圓心，eq\f(1,2)AC，eq\f(1,2)BD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接BP，CP.(1)試判斷四邊形BPCO的形狀，并說(shuō)明理由；(2)請(qǐng)說(shuō)明當(dāng)?ABCD的對(duì)角線滿足什么條件時(shí)，四邊形BPCO是正方形？第14題圖15.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，且BE＝DF，連接AE，CF，EH⊥CF于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥AE于點(diǎn)G.(1)判斷四邊形EGFH的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若AE＝5，tan∠DAE＝2，EG＝2GF，求AG的長(zhǎng)．第15題圖拔高題16.(2022青羊區(qū)模擬)我們規(guī)定菱形與正方形接近程度稱為“接近度”，設(shè)菱形相鄰兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為α，β，將菱形的“接近度”定義為|α－β|，于是|α－β|越小，菱形越接近正方形．第16題圖①若菱形的一個(gè)內(nèi)角為80°，則該菱形的“接近度”為_(kāi)_______；②當(dāng)菱形的“接近度”等于________時(shí)，菱形是正方形．課時(shí)2基礎(chǔ)題1.(2023湘潭)如圖，菱形ABCD中，連接AC，BD，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為()A.20°B.60°C.70°D.80°第1題圖2.如圖，在菱形ABCD中，AC，BD為菱形的對(duì)角線，∠DBC＝60°，BD＝10，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為()第2題圖A.3B.4C.5D.63.如圖所示，將一張矩形紙片沿虛線對(duì)折兩次，當(dāng)剪刀與紙片的夾角∠ABC＝45°時(shí)，已知AB＝4cm，則剪下來(lái)圖形的周長(zhǎng)為()第3題圖A.4cmB.4eq\r(2)cmC.16cmD.16eq\r(2)cm4.(2022青島改編)如圖，O為正方形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，△ACE為等邊三角形．若AB＝2，則OE的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．第4題圖5.[新考法—數(shù)學(xué)文化](2023內(nèi)江)出入相補(bǔ)原理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要成就之一，最早是由三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)建．“將一個(gè)幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分別為點(diǎn)F，G，則EF＋EG＝________.第5題圖6.(2023天津)如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD的外側(cè)，作等腰三角形ADE，EA＝ED＝eq\f(5,2).第6題圖(1)△ADE的面積為_(kāi)_______；(2)若F為BE的中點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)，與CD相交于點(diǎn)G，則AG的長(zhǎng)為_(kāi)_______．7.(2023內(nèi)江)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：FA＝BD；(2)連接BF，若AB＝AC，求證：四邊形ADBF是矩形．第7題圖8.(2023蘭州)如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，CD∥OE，直線CE是線段OD的垂直平分線，CE分別交OD，AD于點(diǎn)F，G，連接DE.(1)判斷四邊形OCDE的形狀，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)CD＝4時(shí)，求EG的長(zhǎng)．第8題圖拔高題9.(2023紹興改編)如圖，在矩形ABCD中，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，∠ABD＝60°，動(dòng)點(diǎn)E在線段OB上，動(dòng)點(diǎn)F在線段OD上，點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，分別向終點(diǎn)B，D運(yùn)動(dòng)，且始終保持OE＝OF.點(diǎn)E關(guān)于AD，AB的對(duì)稱點(diǎn)為E1，E2；點(diǎn)F關(guān)于BC，CD的對(duì)稱點(diǎn)為F1，F(xiàn)2.當(dāng)E，F(xiàn)，O三點(diǎn)重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點(diǎn)時(shí)，當(dāng)E，F(xiàn)分別運(yùn)動(dòng)到B，D兩點(diǎn)時(shí)，四邊形E1E2F1F2形狀的變化依次是()第9題圖A.菱形→平行四邊形→矩形B.菱形→矩形→菱形C.平行四邊形→矩形→平行四邊形D.平行四邊形→菱形→正方形10.(2023武侯區(qū)二診節(jié)選)如圖①，在矩形ABCD中，AD＝nAB(其中n>1)，點(diǎn)P是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合)，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，連接PE，將矩形ABCD沿直線PE進(jìn)行翻折，其頂點(diǎn)A翻折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O，連接PO并延長(zhǎng)，交BC邊于點(diǎn)F(點(diǎn)F不與點(diǎn)C重合)，過(guò)點(diǎn)F作∠PFC的平分線FG，交矩形ABCD的邊于點(diǎn)G.(1)求證：PE∥FG；(2)如圖②，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若E，O，G三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)D剛好重合，求n的值．圖①圖②第10題圖參考答案與解析1.C2.C【解析】∵正方形的邊長(zhǎng)為3，∴DC＝BC＝3，DC與BC分別垂直于y軸和x軸．∵點(diǎn)C在第一象限，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，3).3.D【解析】如解圖，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則EH∥DB∥GF，HG∥AC∥EF，EF＝eq\f(1,2)AC，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BD，∴四邊形EFGH為平行四邊形．要使其為正方形，即EF⊥FG，F(xiàn)E＝FG，則AC⊥BD，AC＝BD，即對(duì)角線一定互相垂直且相等．第3題解圖4.B【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，CE∥FD，CD＝AB＝4.∵將線段AB水平向右平移得到線段EF，∴AB∥EF∥CD，∴四邊形ECDF為平行四邊形，當(dāng)CD＝CE＝4時(shí)，?ECDF為菱形，此時(shí)a＝BE＝BC－CE＝6－4＝2.5.C【解析】將四根木條用釘子釘成一個(gè)矩形框架ABCD，然后向左扭動(dòng)框架，∵兩組對(duì)邊的長(zhǎng)度分別相等，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故A正確，∵向左扭動(dòng)框架，∴BD的長(zhǎng)度減小，故B正確；∵平行四邊形ABCD的底不變，高變小了，∴平行四邊形ABCD的面積變小，故C錯(cuò)誤；∵平行四邊形ABCD的四條邊長(zhǎng)度不變，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)不變，故D正確．6.B【解析】如解圖，連接AC，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴AC＝2EF＝4.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴S菱形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)×4×8＝16.第6題解圖7.D【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∠ABC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠AOB＝60°，∴∠ACB＝eq\f(1,2)∠AOB＝30°，∴eq\f(AB,BC)＝tan∠ACB＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).8.D【解析】∵四邊形ABCD和四邊形BGHF是完全相同的菱形，∴∠DBE＝∠BAD＝α，AB＝AD，∠ABD＝∠CBD＝∠CBE＋∠DBE＝β＋α.∴∠ADB＝∠ABD＝β＋α.∵∠BAD＋∠ADB＋∠ABD＝180°，∴α＋β＋α＋β＋α＝180°，∴β＝90°－eq\f(3,2)α.9.B【解析】∵S正方形AMEF＝16，∴AM＝4.∵M(jìn)是斜邊BC的中點(diǎn)，∴AM是Rt△ABC斜邊上的中線，∴BC＝2AM＝8.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝eq\r(BC2－AB2)＝4eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(1,2)×4×4eq\r(3)＝8eq\r(3).10.AD∥BC(答案不唯一)【解析】當(dāng)AD∥BC，AD＝BC時(shí)，四邊形ABCD為平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．11.3【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是正方形，AC是對(duì)角線，∴∠DAC＝∠BAC.∵PE⊥AD，PF⊥AB，∴∠AEP＝∠AFP.∵AP＝AP，∴△AEP≌△AFP(AAS)，∴PE＝PF.∵PE＝3，∴點(diǎn)P到直線AB的距離為PF＝3.第11題解圖12.10°或80°【解析】如解圖，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，交直線AD于點(diǎn)E和E′.在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC，∵∠DAB＝40°，∴∠DAC＝20°.∵AC＝AE，∴∠AEC＝(180°－20°)÷2＝80°.∵AE′＝AC，∴∠AE′C＝∠ACE′＝10°.綜上所述，∠AEC的度數(shù)是10°或80°.第12題解圖13.2或eq\r(2)＋1【解析】分兩種情況，①當(dāng)∠DNM＝90°時(shí)，如解圖①，則MN∥AB，∴eq\f(AN,BM)＝eq\f(AD,BD).∵M(jìn)是BD的中點(diǎn)，∴BD＝2BM，∴AD＝2AN＝2；②當(dāng)∠DMN＝90°時(shí)，如解圖②，連接BN，∵M(jìn)是BD的中點(diǎn)，∠DMN＝90°，∴BN＝DN＝eq\r(AB2＋AN2)＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，∴AD＝eq\r(2)＋1.綜上所述，AD的長(zhǎng)為2或eq\r(2)＋1.圖①圖②第13題解圖14.解：(1)四邊形BPCO為平行四邊形．理由如下：由作法得，BP＝eq\f(1,2)AC，CP＝eq\f(1,2)BD，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OC＝eq\f(1,2)AC，OB＝eq\f(1,2)BD,∴OC＝BP，OB＝CP,∴四邊形BPCO為平行四邊形．(2)當(dāng)?ABCD的對(duì)角線垂直且相等時(shí)，四邊形BPCO為正方形．理由：∵AC⊥BD，∴四邊形BPCO為矩形，∵AC＝BD，∴OB＝OC，∴四邊形BPCO為正方形．15.解：(1)四邊形EGFH是矩形．理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵BE＝DF，∴AD－DF＝BC－BE，∴AF＝CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AE∥CF，∴∠AEH＋∠FHE＝180°.∵EH⊥CF，F(xiàn)G⊥AE，∴∠FGE＝∠FHE＝∠GEH＝90°，∴四邊形EGFH是矩形；(2)∵FG⊥AE，∴∠AGF＝90°.在Rt△AGF中，tan∠DAE＝eq\f(GF,AG)＝2，∴GF＝2AG.∵EG＝2GF，∴EG＝4AG.∵AE＝AG＋EG＝5，∴AG＝1，即AG的長(zhǎng)為1.16.20°；0°【解析】①∵菱形相鄰兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和為180°，∴α＋β＝180°，即80°＋β＝180，解得β＝100°，∴該菱形的“接近度”為|α－β|＝|80°－100°|＝20°；②∵當(dāng)α＝β＝90°時(shí)，菱形是正方形，∴|α－β|＝0°時(shí)，菱形是正方形．課時(shí)21.C【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴∠DCA＝∠1＝20°，∴∠2＝90°－∠DCA＝70°.2.C【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝DC，BE＝DE，∵∠DBC＝60°，∴△BDC是等邊三角形，∴CD＝BD＝10.∵點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，∴EF＝eq\f(1,2)CD＝5.3.D【解析】由折疊可知，剪下的圖形兩條對(duì)角線互相垂直且平分，此時(shí)圖形為菱形，∵∠ABC＝45°，∴剪下的圖形有一個(gè)角為90°，∴有一個(gè)角為90°的菱形是正方形，∵AB＝4cm，根據(jù)勾股定理得BC＝4eq\r(2)cm，故剪下來(lái)圖形的周長(zhǎng)為4×4eq\r(2)＝16eq\r(2)cm.4.eq\r(6)【解析】∵四邊形ABCD為正方形，AB＝2，∴AC＝2eq\r(2).∵O為正方形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，△ACE為等邊三角形，∴∠AOE＝90°，∴AC＝AE＝2eq\r(2)，AO＝eq\r(2)，∴OE＝eq\r(6).5.eq\f(60,13)【解析】如解圖，連接OE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AB＝CD＝5，AD＝BC＝12.在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝13.∴AC＝BD＝13.∵AC與BD交于點(diǎn)O，∴AO＝CO＝BO＝DO＝eq\f(13,2).∵S△BCO＝eq\f(1,4)S四邊形ABCD＝eq\f(1,4)×12×5＝15，∴S△BCO＝S△BEO＋S△CEO＝eq\f(1,2)BO·EG＋eq\f(1,2)CO·EF＝eq\f(1,2)×eq\f(13,2)(EG＋EF)＝15，∴EF＋EG＝15×eq\f(4,13)＝eq\f(60,13).第5題解圖6.(1)3【解析】(1)如解圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，∵△ADE是等腰三角形，EA＝ED＝eq\f(5,2)，AD＝3，∴AM＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(3,2)，∴EM＝eq\r(AE2－AM2)＝eq\r(（\f(5,2)）2－（\f(3,2)）2)＝2，∴S△ADE＝eq\f(1,2)AD·EM＝eq\f(1,2)×3×2＝3.(2)eq\r(13)【解析】如解圖，延長(zhǎng)EM交AG于點(diǎn)N，∵∠BAD＝∠AME＝90°，∴AB∥NE，∴∠ABF＝∠FEN，∠BAF＝∠ENF.又∵點(diǎn)F為BE中點(diǎn)，∴BF＝EF，∴△AFB≌△NFE，∴EN＝BA＝3.由(1)知，EM＝2，∴NM＝1.∵∠NMD＝∠ADC＝90°，且M為AD中點(diǎn)，∴NM∥GD，∴NM為△AGD的中位線，∴GD＝2NM＝2，∴AG＝eq\r(AD2＋GD2)＝eq\r(13).第6題解圖7.證明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE.又∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE.在△AFE和△DCE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFE＝∠DCE，,∠AEF＝∠DEC，,AE＝DE，))∴△AFE≌△DCE，∴AF＝DC.又∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∴AF＝BD；(2)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．又∵D是BC的中點(diǎn)，∴∠ADB＝90°，由(1)知FA＝BD，又∵FA∥BD，∴四邊形ADBF是平行四邊形．又∵∠ADB＝90°，∴四邊形ADBF是矩形．8.解：(1)四邊形OCDE為菱形，理由如下：∵CE是線段OD的垂直平分線，∴OF＝DF，OC＝DC.∵CD∥OE，∴∠EOF＝∠CDF.∵∠EFO＝∠CFD，∴△OFE≌△DFC，∴OE＝CD，∴四邊形OCDE是平行四邊形．又∵OC＝CD，∴四邊形OCDE是菱形；(2)∵四邊形ABCD是矩形，∴DO＝OC＝OA，由(1)可知，OC＝DC，∴OC＝DO＝CD，∴△OCD是等邊三角形，∴∠DCO＝∠CDO＝60°，∴∠FDG＝90°－60°＝30°.∵四邊形OCDE是菱形，∴∠DEC＝∠DCE＝30°，∠CGD＝90°－∠DCE＝60°，∴∠EDG＝30°，∴DG＝EG.∵CD＝4，∴tan∠DCG＝eq\f(DG,CD)＝eq\f(DG,4)，∴DG＝4·tan30°＝4×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(4\r(3),3)，∴EG＝eq\f(4\r(3),3).9.B【解析】∵四邊形ABCD為矩形，∠ABD＝60°，∴∠CDF＝60°，∠EDA＝∠CBD＝30°.∵OE＝OF，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，∴DF＝EB.由對(duì)稱的性質(zhì)得DF＝DF2，BF＝BF1，BE＝BE2，DE＝DE1，∠F2DC＝∠CDF＝60°，∠EDA＝∠E1DA＝30°，∠F1BC＝∠FBC＝30°，∴E1F2＝E2F1，∠E1DB