2024成都中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題 二次函數(shù)-等腰三角形存在性問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（含答案）

2024成都中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題二次函數(shù)--等腰三角形存在性問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（學(xué)生版）目標(biāo)層級(jí)圖

課中講解探究等腰三角形的四步走：1.先分類(lèi)；2.設(shè)坐標(biāo)；3.列方程；4.驗(yàn)證.如圖：拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使得三角形為等腰三角形.,如圖中的、點(diǎn),如圖中的、點(diǎn)③=,如圖中的點(diǎn)注：某些題目當(dāng)中會(huì)讓學(xué)生求“以某邊為底邊的等腰三角形”時(shí)，參考③即可.具體方法如下：（以上圖為例）①②:設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)之后，利用兩點(diǎn)之間距離公式表示出相應(yīng)的線段，并利用相等建立方程求解;:可用①②的方法，亦可求出中垂線的解析式，再求交點(diǎn)的坐標(biāo).

一.等腰三角形存在性問(wèn)題內(nèi)容講解（一）兩定一動(dòng)例1.如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線表達(dá)式和直線的表達(dá)式．（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，求證：．（3）如圖2，若點(diǎn)在第四象限內(nèi)，當(dāng)時(shí)，求的面積．*（4）當(dāng)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)．

例2.如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，已知，（1）求拋物線和直線的函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)是線段上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與直線相交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段有最大值，請(qǐng)求出線段的最大值及點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形有最大面積？求出四邊形的最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；*（3）動(dòng)點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．

（二）兩動(dòng)一定例3.如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)在拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．*①當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的值；②過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．

例4.拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合）．過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)?shù)拿娣e為5時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；*（3）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．

過(guò)關(guān)檢測(cè)1.如圖，拋物線與軸交于、，與軸交于，且，，拋物線的對(duì)稱軸與軸交于，點(diǎn)從出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)止，過(guò)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)（1）求這個(gè)拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒時(shí)，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)；*（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，是等腰三角形？

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于原點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．（1）求拋物線的表達(dá)式，并寫(xiě)出它的對(duì)稱軸；（2）若點(diǎn)為線段上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值．（3）求的值．*（4）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得為以為腰的等腰三角形，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．

3.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、，已知，．（1）求拋物線的解析式；*（2）如圖1，為線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，拋物線的頂點(diǎn)為，軸于點(diǎn)，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，是軸一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值以及此時(shí)點(diǎn)、的坐標(biāo)．

4.如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)．（1）求該拋物線的一般式；（2）若點(diǎn)為該拋物線上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；*（3）若點(diǎn)為對(duì)稱軸上異于，的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．

二.等邊三角形存在性問(wèn)題內(nèi)容講解例1.如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸相交于，兩點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，且位于軸的上方，將沿直線翻折得到△，若點(diǎn)恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；*（3）設(shè)是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求直線的函數(shù)表達(dá)式．

例2.如圖，已知直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)，使與全等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且為直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；*（4）拋物線上是否存在一點(diǎn)，使為等邊三角形？若存在求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

過(guò)關(guān)檢測(cè)1.如圖，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，將拋物線向右平移個(gè)單位得到拋物線，交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）以為斜邊向上作等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求拋物線的解析式；*（3）若拋物線的對(duì)稱軸存在點(diǎn)，使為等邊三角形，求的值．

學(xué)習(xí)任務(wù)1.如圖，拋物線與直線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；*（2）在軸上是否存在一點(diǎn)，使是以為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)你求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）過(guò)點(diǎn)作直線平行軸且交拋物線于點(diǎn)，在軸的正半軸上找一點(diǎn)，使得，連接交軸于點(diǎn)，直線上是否存在一點(diǎn)使得的面積與的面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2.如圖，拋物線經(jīng)過(guò)的三個(gè)頂點(diǎn)，已知軸，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且．（1）求拋物線的對(duì)稱軸；（2）寫(xiě)出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)并求拋物線的解析式；*（3）探究：若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上且在軸下方的動(dòng)點(diǎn)，是否存在是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

3.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，與軸交于點(diǎn)．若點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿，邊運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．（1）直接寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)，運(yùn)動(dòng)到秒時(shí)，將沿翻折，若點(diǎn)恰好落在拋物線上點(diǎn)處，求出點(diǎn)坐標(biāo)；*（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

4.如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，．點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求此拋物線的表達(dá)式：（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)，并求出當(dāng)為何值時(shí)有最大值，最大值是多少？*（3）試探究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

5.如圖，拋物線的解析式為，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，拋物線對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)．（1）點(diǎn)是線段上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線平行于軸，交于點(diǎn)，若線段長(zhǎng)度保持不變，沿直線移動(dòng)得到，當(dāng)線段最大時(shí)，求的最小值；*（2）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)是為等邊三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出三角形邊長(zhǎng)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直角三角形，且，，．（1）求經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式；*（2）為拋物線對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，若為等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；*（3）直線上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（4）設(shè)點(diǎn)是拋物線頂點(diǎn)，，是拋物線上兩點(diǎn)，要使為等邊三角形，求點(diǎn)，的坐標(biāo)．2024成都中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題二次函數(shù)--等腰三角形存在性問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）目標(biāo)層級(jí)圖本節(jié)內(nèi)容本節(jié)涉及主要內(nèi)容是二次函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，等腰三角形存在性問(wèn)題。分為兩個(gè)板塊，分別是通過(guò)兩圓一線求等腰三角形存在性問(wèn)題以及構(gòu)造等邊三角形創(chuàng)造手拉手相似或者全等求等邊三角形存在性問(wèn)題。本節(jié)題目都是考試中25題綜合性題目，難度偏高，綜合性較強(qiáng)，有些題目會(huì)涉及到其他專(zhuān)題的內(nèi)容，比如例2求面積最值，過(guò)關(guān)檢測(cè)第2題求線段最值，第3題求胡不歸問(wèn)題。而等腰三角形存在性問(wèn)題中細(xì)分為兩個(gè)板塊，分別為兩個(gè)定點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以及兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn)。后者難度相對(duì)高一點(diǎn)，需要老師提前刷講義。本講義涉及28題，所以計(jì)算量較大，建議老師合理分配講解時(shí)間與計(jì)算時(shí)間。

課中講解探究等腰三角形的四步走：1.先分類(lèi)；2.設(shè)坐標(biāo)；3.列方程；4.驗(yàn)證.如圖：拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使得三角形為等腰三角形.=,如圖中的、點(diǎn)②=,如圖中的、點(diǎn)③=,如圖中的點(diǎn)注：某些題目當(dāng)中會(huì)讓學(xué)生求“以某邊為底邊的等腰三角形”時(shí)，參考③即可.具體方法如下：（以上圖為例）①②:設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)之后，利用兩點(diǎn)之間距離公式表示出相應(yīng)的線段，并利用相等建立方程求解;:可用①②的方法，亦可求出中垂線的解析式，再求交點(diǎn)的坐標(biāo).

一.等腰三角形存在性問(wèn)題內(nèi)容講解（一）兩定一動(dòng)例1.如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線表達(dá)式和直線的表達(dá)式．（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，求證：．（3）如圖2，若點(diǎn)在第四象限內(nèi)，當(dāng)時(shí)，求的面積．（4）當(dāng)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）待定系數(shù)法即可求得；（2）先把點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入直線，求得，從而求得，得出，因?yàn)?，，即可求得；?）分三種情況：當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，分別求解，即可求得．【解答】方法一：解：（1）由拋物線可知，經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，，解得拋物線表達(dá)式：；設(shè)直線的解析式為，則，解得．直線的表達(dá)式：．故拋物線表達(dá)式：；直線的表達(dá)式：．（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，把代入，得，又，又，又．（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又解得，（不合題意舍去），、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，（4），，，．設(shè)，則，，，當(dāng)時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，則，解得，，，，，．方法二：（1）略．（2），把代入，，即，，，，，，，，，．（3）設(shè)，，，，解得：，（舍，、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．（4）設(shè)，，，，是等腰三角形，，，，，（舍，，，，，，，，，，，，．例2.如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，已知，（1）求拋物線和直線的函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)是線段上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與直線相交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段有最大值，請(qǐng)求出線段的最大值及點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形有最大面積？求出四邊形的最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）動(dòng)點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）將、點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式即可求解，同理可得直線的表達(dá)式；（2）①，，即可求解；②，即可求解；（3）是以為腰的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的位置如圖所示、、，分別求解即可．【解答】解：（1）將、點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：；設(shè)：直線的表達(dá)式為：，將、坐標(biāo)代入上式得：，解得：，故直線的表達(dá)式為：；（2）①設(shè)，則點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為2，此時(shí)點(diǎn)；②，，當(dāng)時(shí)，最大值為，此時(shí)點(diǎn)；（3）是以為腰的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的位置如圖所示、、，當(dāng)，即點(diǎn)處于點(diǎn)的位置，，即點(diǎn)坐標(biāo)為，，同理可得點(diǎn)、的坐標(biāo)為，、，．點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或，．（二）兩動(dòng)一定例3.如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)在拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的值；②過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）先由直線求出，的坐標(biāo)，再將其代入拋物線中，即可求出拋物線解析式；（2）①用含的代數(shù)表示出，的坐標(biāo)，再求出含的代數(shù)式的的長(zhǎng)度，將等腰三角形分三種情況進(jìn)行討論，即可分別求出的值；②當(dāng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上時(shí)，存在兩種情形，一種是點(diǎn)落在軸上，一種是點(diǎn)落在軸上，分情況即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）直線經(jīng)過(guò)，，，，拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，，，，拋物線的解析式為；（2）點(diǎn)在拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，，①軸，交直線于點(diǎn)，，，，，，當(dāng)時(shí)，，解得，（舍去）；當(dāng)時(shí)，，即，，解得，（舍去）；當(dāng)時(shí)，取中點(diǎn)，作于，則，，，，，，，，解得，（舍去），綜上，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的值為，2，；②，，，理由如下，當(dāng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上時(shí)，存在兩種情形：如圖，當(dāng)點(diǎn)落在軸上時(shí)，點(diǎn)在直線上，，解得，（舍去），；如圖，當(dāng)點(diǎn)落在軸上時(shí)，△，，，，，，在中，，，，，綜上所述，當(dāng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，．例4.拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合）．過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)?shù)拿娣e為5時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）函數(shù)的表達(dá)式為：，即可求解；（2）確定、的表達(dá)式，聯(lián)立求得點(diǎn)，，，即可求解；（3）分當(dāng)、、三種情況，分別求解即可．【解答】解：（1）函數(shù)的表達(dá)式為：；（2）拋物線的對(duì)稱軸為，則點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：并解得：函數(shù)的表達(dá)式為：，，故直線表達(dá)式中的值為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，同理可得直線的表達(dá)式為：，解得：，故點(diǎn)，，，解得：或，故點(diǎn)或；（3）由（2）確定的點(diǎn)的坐標(biāo)得：，，，①當(dāng)時(shí)，即：，解得：或舍去），②當(dāng)時(shí)，同理可得：，③當(dāng)時(shí)，同理可得：（舍去，故點(diǎn)或或或過(guò)關(guān)檢測(cè)1.如圖，拋物線與軸交于、，與軸交于，且，，拋物線的對(duì)稱軸與軸交于，點(diǎn)從出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)止，過(guò)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)（1）求這個(gè)拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒時(shí)，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，是等腰三角形？【分析】（1）根據(jù)，得出、、三點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解即可；（2）；由于、坐標(biāo)已知，所以只需表示出、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差即可，而、、三點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，因此，設(shè)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示，這樣就把的面積表示成了關(guān)于點(diǎn)的橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，配方即可求出最大值，同時(shí)可求出點(diǎn)坐標(biāo)；（3）分三種情況分別討論：；；．【解答】解：（1），，，，，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式可得：，拋物線的解析式為：；（2），，的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，當(dāng)，，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，；（3），，，，．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，則，；①若，如圖1，則，，即：，解得：或（舍去）；②若，如圖2，則，即：，解得：；③若，如圖3，則，，即：，解得：；綜上所述：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：1秒、秒、2秒時(shí)，是等腰三角形．2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于原點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．（1）求拋物線的表達(dá)式，并寫(xiě)出它的對(duì)稱軸；（2）若點(diǎn)為線段上方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值．（3）求的值．（4）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得為以為腰的等腰三角形，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）把點(diǎn)，點(diǎn)分別代入，可求和的值，即可得到拋物線的表達(dá)式，根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸，代入求值即可；（2）求出解析式為：，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，利用參數(shù)表示的長(zhǎng)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；（3）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，由等腰直角三角形的性質(zhì)求出線段和的長(zhǎng)，即可求解；（4）分點(diǎn)為頂點(diǎn)和點(diǎn)為頂點(diǎn)兩種情況討論，由兩點(diǎn)距離公式可求解．【解答】解：（1）把點(diǎn)，點(diǎn)分別代入得：，解得：，即拋物線的表達(dá)式為：，它的對(duì)稱軸為：；（2）把點(diǎn)代入得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為：，由點(diǎn)，得直線的解析式為：，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值為；（3）如圖1，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，，，，為等腰直角三角形，，，在等腰中，，，，；（4）存在，設(shè)點(diǎn)，若，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)共線，不合題意舍去，點(diǎn)坐標(biāo)為若，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，，，點(diǎn)坐標(biāo)為或，綜上所述：點(diǎn)或或．3.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、，已知，．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，為線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，拋物線的頂點(diǎn)為，軸于點(diǎn)，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，是軸一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值以及此時(shí)點(diǎn)、的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；（2）由待定系數(shù)法即可求得直線的解析式，再設(shè)，即可得，即可求得的長(zhǎng)，然后分三種情況討論，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，構(gòu)造與軸成角，將轉(zhuǎn)化為線段到的距離，從而可知、、、在同一條直線上時(shí)，取最小值，根據(jù)的長(zhǎng)和即可求出最小值．根據(jù)直線求出直線解析式，即求出坐標(biāo)．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、，把，代入解析式得，，解得，．故該拋物線解析式為：．（2）令，解得，，即，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，故直線的解析式為；設(shè)，，，，是等腰直角三角形，，當(dāng)時(shí)，則，軸，，，，直線的解析式為，解得或，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，則，，軸，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入得，，解得或，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，解得或，此時(shí)，；綜上，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或，．（3）的最小值為，坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，．理由如下：如圖，取點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，，直線解析式為：，，，過(guò)點(diǎn)作，，，取最小值時(shí)，、、、在同一條直線上，即，設(shè)直線解析式為，故直線解析式為為，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)為，軸，在、上，坐標(biāo)為，是軸一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，也是與軸交點(diǎn)，，．，，，綜上所述：的最小值為，坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，．4.如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)．（1）求該拋物線的一般式；（2）若點(diǎn)為該拋物線上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)為對(duì)稱軸上異于，的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）將，，三點(diǎn)的坐標(biāo)直接代入解析式即可求出、，的值；（2）過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，求出直線的解析式為，可設(shè)，則，根據(jù)可得出的表達(dá)式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出答案．（3）設(shè)點(diǎn)，可得出點(diǎn)，，分當(dāng)、、三種情況，得出的方程分別求解即可．【解答】解：（1）把，，，代入拋物線解析式得：，解得：，拋物線解析式為；（2）拋物線解析式為，拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為，，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，可設(shè)，，，．當(dāng)時(shí)，取得最大值，．此時(shí)．，．（3）拋物線的對(duì)稱軸為，則點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：并解得：函數(shù)的表達(dá)式為：，，故直線表達(dá)式中的值為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，同理可得直線的表達(dá)式為：，解得：，故點(diǎn)，，，，，①當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍去），．②當(dāng)時(shí)，，解得：，或．③當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍去）．．綜合以上可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．

二.等邊三角形存在性問(wèn)題內(nèi)容講解例1.如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸相交于，兩點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，且位于軸的上方，將沿直線翻折得到△，若點(diǎn)恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求直線的函數(shù)表達(dá)式．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，把點(diǎn)，，的坐標(biāo)代入得到方程組求解即可；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，由翻折得，求出的長(zhǎng)，可得，求出的長(zhǎng)，則坐標(biāo)可求；（3）由題意可知△為等邊三角形，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在軸的上方時(shí)，點(diǎn)在軸上方，連接，．證出△，可得垂直平分，則點(diǎn)在直線上，可求出直線的解析式，②當(dāng)點(diǎn)在軸的下方時(shí)，點(diǎn)在軸下方．同理可求出另一直線解析式．【解答】解：（1）由題意得：解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）拋物線與軸交于，，，拋物線的對(duì)稱軸為直線，如圖，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，由翻折得，在中，由勾股定理，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，由翻折得，在中，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）解：?。?）中的點(diǎn)，，連接，，，△為等邊三角形．分類(lèi)討論如下：①當(dāng)點(diǎn)在軸的上方時(shí)，點(diǎn)在軸上方，連接，．，△為等邊三角形，，，，，△，．點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，，，又，垂直平分，由翻折可知垂直平分，點(diǎn)在直線上，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則，解得，直線的函數(shù)表達(dá)式為．②當(dāng)點(diǎn)在軸的下方時(shí)，點(diǎn)在軸下方．，△為等邊三角形，，，．，△，，，，．，設(shè)與軸相交于點(diǎn)，在中，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則，解得，直線的函數(shù)表達(dá)式為．綜上所述，直線的函數(shù)表達(dá)式為或．例2.如圖，已知直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)，使與全等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且為直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）拋物線上是否存在一點(diǎn)，使為等邊三角形？若存在求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）已知點(diǎn)坐標(biāo)可確定直線的解析式，進(jìn)一步能求出點(diǎn)的坐標(biāo)．點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，那么可以將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)待定系數(shù)法可解．（2）首先由拋物線的解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，在和中，已知的條件是公共邊，若與不相等，那么這兩個(gè)三角形不能構(gòu)成全等三角形；若等于，那么還要滿足的條件為：，各自去掉一個(gè)直角后容易發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)正好在第二象限的角平分線上，聯(lián)立直線與拋物線的解析式，直接求交點(diǎn)坐標(biāo)即可，同時(shí)還要注意點(diǎn)在第二象限的限定條件．（3）分別以、、為直角頂點(diǎn)，分類(lèi)進(jìn)行討論．找出相關(guān)的相似三角形，依據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解即可．（4）根據(jù)等邊三角形的邊相等，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，點(diǎn)在函數(shù)圖象上；否則，點(diǎn)不在函數(shù)圖象上．【解答】解：（1）把代入，得，，令，解得：，的坐標(biāo)是．為頂點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析為，把代入得：，解得，．（2）存在．，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)平分第二象限，即的解析式為．設(shè)，則，解得，舍），，．（3）①如圖，當(dāng)時(shí)，，，即，，，即；②如圖，當(dāng)時(shí)，，，即，，即；③如圖，當(dāng)時(shí)，作軸于，則△，，即，，或3，即，．綜上，點(diǎn)坐標(biāo)為或或或．（4）拋物線上不存在一點(diǎn)，使為等邊三角形，理由如下：設(shè)，由為等邊三角形，得，由①，得③，把③代入②，得．解得，，，，，，，．將代入拋物線的解析式，當(dāng)時(shí)，，不在拋物線上；當(dāng)時(shí)，不在拋物線上；綜上所述：拋物線上不存在一點(diǎn)，使為等邊三角形．過(guò)關(guān)檢測(cè)1.如圖，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，將拋物線向右平移個(gè)單位得到拋物線，交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）以為斜邊向上作等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求拋物線的解析式；（3）若拋物線的對(duì)稱軸存在點(diǎn)，使為等邊三角形，求的值．【分析】（1）把及代入，求出拋物線的解析式，即可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，（2）先求出的解析式，確定，，的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)作對(duì)稱軸，垂足為，利用為等腰直角三角形，求出角的關(guān)系可證得，再由列出方程求解得出的值，即可得出的解析式．（3）連接，，由拋物線對(duì)稱性可知，由為等邊三角形，可得，，由，，三點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，可得，利用勾股定理求出，列出方程求出的值即可．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，，解得，拋物線的解析式為，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，（2）如圖1，拋物線向右平移個(gè)單位得到拋物線，的解析式為，，，，過(guò)點(diǎn)作對(duì)稱軸，垂足為，為等腰直角三角形，，，，，，，，，由得，解得，（舍去），拋物線的解析式為：．（3）如圖2，連接，，由拋物線對(duì)稱性可知，為等邊三角形，，，，，三點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，，，由勾股定理得，，解得，（舍去），．

學(xué)習(xí)任務(wù)1.如圖，拋物線與直線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）在軸上是否存在一點(diǎn)，使是以為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)你求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）過(guò)點(diǎn)作直線平行軸且交拋物線于點(diǎn)，在軸的正半軸上找一點(diǎn)，使得，連接交軸于點(diǎn)，直線上是否存在一點(diǎn)使得的面積與的面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）先利用正比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)，再把求得的點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中，便可求得拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分兩種情況：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)．列出的方程便可求得結(jié)果；（3）先用待定系數(shù)法求出直線、、的解析式，再分再種情況：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)直線同旁時(shí)；當(dāng)點(diǎn)與在直線兩旁時(shí)，分別求出點(diǎn)坐標(biāo)便可．【解答】解：（1）把代入中，得，，把代入中，得，拋物線的解析式為；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，有，解得，，或，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，；當(dāng)時(shí)，有，解得，（舍，或，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，綜上，在軸上是否存在一點(diǎn)，使是以為腰的等腰三角形，其點(diǎn)坐標(biāo)為，或，或；（3）過(guò)點(diǎn)作直線平行軸且交拋物線于點(diǎn)，，，，，設(shè)直線的解析式為：，則，解得，，直線的解析式為：，，同理得，的解析式為，直線的解析式為，直線的解析式為，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在直線同旁時(shí)，的面積與的面積相等，，即點(diǎn)在上，為與的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組，解得，，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)直線兩旁時(shí)，延長(zhǎng)到，使得，過(guò)作，與交于點(diǎn)，，的面積與的面積相等，，設(shè)的解析式為，把代入，得，的解析式為，聯(lián)立方程組，解得，，；綜上，直線上存在一點(diǎn)使得的面積與的面積相等，其點(diǎn)坐標(biāo)為或．2.如圖，拋物線經(jīng)過(guò)的三個(gè)頂點(diǎn)，已知軸，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且．（1）求拋物線的對(duì)稱軸；（2）寫(xiě)出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)并求拋物線的解析式；（3）探究：若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上且在軸下方的動(dòng)點(diǎn)，是否存在是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)拋物線的解析式，利用對(duì)稱軸公式，可直接求出其對(duì)稱軸．（2）令，可求出點(diǎn)坐標(biāo)，由軸可知，關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，可求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)可求出點(diǎn)坐標(biāo)．（3）分三種情況討論：①以為腰且頂角為，先求出的值，再利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出的長(zhǎng)，即可求出的坐標(biāo)；②以為腰且頂角為角，根據(jù)的長(zhǎng)和的長(zhǎng)，求出的縱坐標(biāo)，已知其橫坐標(biāo)，可得其坐標(biāo)；③以為底，頂角為角時(shí)，依據(jù)△即可求出和的長(zhǎng)，可得坐標(biāo)．【解答】解：（1）拋物線的對(duì)稱軸；（2分）（2）由拋物線可知，對(duì)稱軸，，，又，，在中，由勾股定理，得，，，，（5分）把點(diǎn)坐標(biāo)代入中，解得，（6）．（7分）（3）存在符合條件的點(diǎn)共有3個(gè)．以下分三類(lèi)情形探索．設(shè)拋物線對(duì)稱軸與軸交于，與交于．過(guò)點(diǎn)作軸于，易得，，，．①以為腰且頂角為角的有1個(gè)：△．（8分）在中，，，．（9分）②以為腰且頂角為角的有1個(gè)：△．在中，（10分），．（11分）③以為底，頂角為角的有1個(gè)，即△．畫(huà)的垂直平分線交拋物線對(duì)稱軸于，此時(shí)平分線必過(guò)等腰的頂點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作垂直軸，垂足為，，，，，．．于是，（13分）．（14分）3.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，與軸交于點(diǎn)．若點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿，邊運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．（1）直接寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)，運(yùn)動(dòng)到秒時(shí)，將沿翻折，若點(diǎn)恰好落在拋物線上點(diǎn)處，求出點(diǎn)坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）將，兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中，求得、，進(jìn)而可求解析式；（2）如圖，點(diǎn)關(guān)于與點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)及已知條件可得，那么四邊形為菱形．由，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出，，得到．又，所以．將點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，進(jìn)而求解即可；（3）以，，為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論：①；②；③．可通過(guò)畫(huà)圖得點(diǎn)大致位置，再利用勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：（1）二次函數(shù)的圖象與軸交于，，，解得，二次函數(shù)的解析式為；（2）如圖，點(diǎn)關(guān)于與點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，四邊形為菱形．，，，，，．，．在二次函數(shù)上，，，或（與重合，舍去），；（3）存在滿足條件的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或或．如圖，過(guò)點(diǎn)作于，此時(shí)，，，，，，，，，．，，，，．①作的垂直平分線，交軸于，此時(shí)，即為等腰三角形．設(shè)，則，，在中，，解得，，，，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上；②以為圓心，長(zhǎng)半徑畫(huà)圓，交軸于，此時(shí)，，，，，；③當(dāng)時(shí)，，或，或．綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或或．4.如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，．點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求此拋物線的表達(dá)式：（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)，并求出當(dāng)為何值時(shí)有最大值，最大值是多少？（3）試探究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由二次函數(shù)交點(diǎn)式表達(dá)式，即可求解．（2）由即可求解．（3）分、、三種情況，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理可求坐標(biāo)，時(shí)，先求再求，即可得到坐標(biāo)，時(shí)，聯(lián)立解得不合題意．【解答】解：（1）由二次函數(shù)交點(diǎn)式表達(dá)式得：，即：，解得：，則拋物線的表達(dá)式為，（2）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，，，，有最大值，當(dāng)時(shí)，的最大值為．（3）存在，理由：點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為、、，則，，，，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：并解得：①，同理可得直線的表達(dá)式為：，設(shè)直線的中點(diǎn)為，，過(guò)點(diǎn)與垂直直線的表達(dá)式中的值為，同理可得過(guò)點(diǎn)與直線垂直直線的表達(dá)式為：②，①當(dāng)時(shí)，如圖1，則，設(shè)：，則，由勾股定理得：，解得：或4（舍去，故點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，如圖1，，則，則，故點(diǎn)，．③當(dāng)時(shí)，聯(lián)立①②，，解得，（舍去），綜上所述點(diǎn)的坐標(biāo)為：或，．5.如圖，拋物線的解析式為，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，拋物線對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)．（1）點(diǎn)是線段上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作