2024成都中考數(shù)學二輪復習專題 二次函數(shù)-等腰三角形存在性問題專項訓練（含答案）

2024成都中考數(shù)學二輪復習專題二次函數(shù)--等腰三角形存在性問題專項訓練（學生版）目標層級圖

課中講解探究等腰三角形的四步走：1.先分類；2.設坐標；3.列方程；4.驗證.如圖：拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，在對稱軸上找一點，使得三角形為等腰三角形.,如圖中的、點,如圖中的、點③=,如圖中的點注：某些題目當中會讓學生求“以某邊為底邊的等腰三角形”時，參考③即可.具體方法如下：（以上圖為例）①②:設出點坐標之后，利用兩點之間距離公式表示出相應的線段，并利用相等建立方程求解;:可用①②的方法，亦可求出中垂線的解析式，再求交點的坐標.

一.等腰三角形存在性問題內容講解（一）兩定一動例1.如圖1，拋物線經(jīng)過、兩點，交軸于點．點為拋物線上的一個動點，過點作軸的垂線交直線于點，交軸于點．（1）請直接寫出拋物線表達式和直線的表達式．（2）如圖1，當點的橫坐標為時，求證：．（3）如圖2，若點在第四象限內，當時，求的面積．*（4）當以點、、為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出動點的坐標．

例2.如圖，拋物線交軸于，兩點，交軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，直線經(jīng)過，兩點，已知，（1）求拋物線和直線的函數(shù)解析式；（2）點是線段上方拋物線上一個動點，過點作軸的垂線與直線相交于點，交軸于點．①當點運動到什么位置時，線段有最大值，請求出線段的最大值及點坐標；②當點運動到什么位置時，四邊形有最大面積？求出四邊形的最大面積及此時點的坐標；*（3）動點為拋物線對稱軸上一個動點，當是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出點的坐標．

（二）兩動一定例3.如圖，拋物線交軸于，兩點，交軸于點．直線經(jīng)過點，．（1）求拋物線的解析式；（2）點在拋物線在第一象限內的圖象上，過點作軸的垂線，垂足為，交直線于點，連接，設點的橫坐標為．*①當是等腰三角形時，求的值；②過點作直線的垂線，垂足為．點關于直線的對稱點為，當點落在坐標軸上時，請直接寫出點的坐標．

例4.拋物線與軸交于，兩點，頂點為，對稱軸交軸于點，點為拋物線對稱軸上的一動點（點不與，重合）．過點作直線的垂線交于點，交軸于點．（1）求拋物線的解析式；（2）當?shù)拿娣e為5時，求點的坐標；*（3）當為等腰三角形時，請直接寫出點的坐標．

過關檢測1.如圖，拋物線與軸交于、，與軸交于，且，，拋物線的對稱軸與軸交于，點從出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向運動到點止，過作軸的垂線交拋物線于點，交于點（1）求這個拋物線的解析式；（2）設點運動了秒時，的面積為，求關于的函數(shù)關系式，并求當最大時，點的坐標；*（3）當點運動多長時間時，是等腰三角形？

2.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于原點和點，點在拋物線上．（1）求拋物線的表達式，并寫出它的對稱軸；（2）若點為線段上方拋物線上的一點，過點作軸的垂線，交于點，求線段長度的最大值．（3）求的值．*（4）在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使得為以為腰的等腰三角形，若不存在，請說明理由，若存在，請直接寫出點的坐標．

3.在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點、、，已知，．（1）求拋物線的解析式；*（2）如圖1，為線段上一點，過點作軸的平行線，交拋物線于點，當為等腰三角形時，求點的坐標；（3）如圖2，拋物線的頂點為，軸于點，是直線上一動點，是軸一個動點，請直接寫出的最小值以及此時點、的坐標．

4.如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，頂點為，對稱軸交軸于點．（1）求該拋物線的一般式；（2）若點為該拋物線上第一象限內一動點，且點在對稱軸的右側，求四邊形面積的最大值及此時點的坐標；*（3）若點為對稱軸上異于，的動點，過點作直線的垂線交直線于點，交軸于點，當為等腰三角形時，請直接寫出點的坐標．

二.等邊三角形存在性問題內容講解例1.如圖，拋物線經(jīng)過點，與軸相交于，兩點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點在拋物線的對稱軸上，且位于軸的上方，將沿直線翻折得到△，若點恰好落在拋物線的對稱軸上，求點和點的坐標；*（3）設是拋物線上位于對稱軸右側的一點，點在拋物線的對稱軸上，當為等邊三角形時，求直線的函數(shù)表達式．

例2.如圖，已知直線與拋物線相交于，兩點，且點坐標為，點在軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點，使與全等？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點是軸上一點，且為直角三角形，求點的坐標；*（4）拋物線上是否存在一點，使為等邊三角形？若存在求出的坐標；若不存在，請說明理由．

過關檢測1.如圖，拋物線經(jīng)過原點，與軸的另一個交點為，將拋物線向右平移個單位得到拋物線，交軸于，兩點（點在點的左邊），交軸于點．（1）求拋物線的解析式及頂點坐標；（2）以為斜邊向上作等腰直角三角形，當點落在拋物線的對稱軸上時，求拋物線的解析式；*（3）若拋物線的對稱軸存在點，使為等邊三角形，求的值．

學習任務1.如圖，拋物線與直線在第一象限內交于點．（1）求拋物線的解析式；*（2）在軸上是否存在一點，使是以為腰的等腰三角形？若存在，請你求出點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）過點作直線平行軸且交拋物線于點，在軸的正半軸上找一點，使得，連接交軸于點，直線上是否存在一點使得的面積與的面積相等？若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由．

2.如圖，拋物線經(jīng)過的三個頂點，已知軸，點在軸上，點在軸上，且．（1）求拋物線的對稱軸；（2）寫出，，三點的坐標并求拋物線的解析式；*（3）探究：若點是拋物線對稱軸上且在軸下方的動點，是否存在是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點坐標；不存在，請說明理由．

3.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，與軸交于點．若點，同時從點出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別沿，邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．（1）直接寫出二次函數(shù)的解析式；（2）當，運動到秒時，將沿翻折，若點恰好落在拋物線上點處，求出點坐標；*（3）當點運動到點時，點停止運動，這時，在軸上是否存在點，使得以，，為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出點坐標；若不存在，請說明理由．

4.如圖，拋物線交軸于，兩點，與軸交于點，連接，．點是第一象限內拋物線上的一個動點，點的橫坐標為，過點作軸，垂足為點，交于點．（1）求此拋物線的表達式：（2）過點作，垂足為點，請用含的代數(shù)式表示線段的長，并求出當為何值時有最大值，最大值是多少？*（3）試探究點在運動過程中，是否存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點的坐標，若不存在，請說明理由．

5.如圖，拋物線的解析式為，拋物線與軸交于、兩點點在點的左側），與軸交于點，拋物線對稱軸與直線交于點．（1）點是線段上方拋物線上一點，過點作直線平行于軸，交于點，若線段長度保持不變，沿直線移動得到，當線段最大時，求的最小值；*（2）是拋物線上一動點，請問拋物線對稱軸上是否存在一點是為等邊三角形，若存在，請直接寫出三角形邊長，若不存在請說明理由．

6.如圖，在平面直角坐標系中，是直角三角形，且，，．（1）求經(jīng)過，，三點的拋物線表達式；*（2）為拋物線對稱軸上的任意一點，若為等腰三角形，求點的坐標；*（3）直線上是否存在點，使為等腰三角形，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．（4）設點是拋物線頂點，，是拋物線上兩點，要使為等邊三角形，求點，的坐標．2024成都中考數(shù)學二輪復習專題二次函數(shù)--等腰三角形存在性問題專項訓練（解析版）目標層級圖本節(jié)內容本節(jié)涉及主要內容是二次函數(shù)中動點問題，等腰三角形存在性問題。分為兩個板塊，分別是通過兩圓一線求等腰三角形存在性問題以及構造等邊三角形創(chuàng)造手拉手相似或者全等求等邊三角形存在性問題。本節(jié)題目都是考試中25題綜合性題目，難度偏高，綜合性較強，有些題目會涉及到其他專題的內容，比如例2求面積最值，過關檢測第2題求線段最值，第3題求胡不歸問題。而等腰三角形存在性問題中細分為兩個板塊，分別為兩個定點一個動點，以及兩個動點一個定點。后者難度相對高一點，需要老師提前刷講義。本講義涉及28題，所以計算量較大，建議老師合理分配講解時間與計算時間。

課中講解探究等腰三角形的四步走：1.先分類；2.設坐標；3.列方程；4.驗證.如圖：拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，在對稱軸上找一點，使得三角形為等腰三角形.=,如圖中的、點②=,如圖中的、點③=,如圖中的點注：某些題目當中會讓學生求“以某邊為底邊的等腰三角形”時，參考③即可.具體方法如下：（以上圖為例）①②:設出點坐標之后，利用兩點之間距離公式表示出相應的線段，并利用相等建立方程求解;:可用①②的方法，亦可求出中垂線的解析式，再求交點的坐標.

一.等腰三角形存在性問題內容講解（一）兩定一動例1.如圖1，拋物線經(jīng)過、兩點，交軸于點．點為拋物線上的一個動點，過點作軸的垂線交直線于點，交軸于點．（1）請直接寫出拋物線表達式和直線的表達式．（2）如圖1，當點的橫坐標為時，求證：．（3）如圖2，若點在第四象限內，當時，求的面積．（4）當以點、、為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出動點的坐標．【分析】（1）待定系數(shù)法即可求得；（2）先把點的橫坐標代入直線，求得，從而求得，得出，因為，，即可求得；（3）分三種情況：當時，則，當時，則，當時，則，分別求解，即可求得．【解答】方法一：解：（1）由拋物線可知，經(jīng)過、兩點，，解得拋物線表達式：；設直線的解析式為，則，解得．直線的表達式：．故拋物線表達式：；直線的表達式：．（2）如圖1，當點的橫坐標為時，把代入，得，又，又，又．（3）如圖2，設點的坐標為，又解得，（不合題意舍去），、兩點坐標分別為，，，（4），，，．設，則，，，當時，則，解得，當時，則，解得，當時，則，解得，，，，，．方法二：（1）略．（2），把代入，，即，，，，，，，，，．（3）設，，，，解得：，（舍，、兩點坐標分別為，，．（4）設，，，，是等腰三角形，，，，，（舍，，，，，，，，，，，，．例2.如圖，拋物線交軸于，兩點，交軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，直線經(jīng)過，兩點，已知，（1）求拋物線和直線的函數(shù)解析式；（2）點是線段上方拋物線上一個動點，過點作軸的垂線與直線相交于點，交軸于點．①當點運動到什么位置時，線段有最大值，請求出線段的最大值及點坐標；②當點運動到什么位置時，四邊形有最大面積？求出四邊形的最大面積及此時點的坐標；（3）動點為拋物線對稱軸上一個動點，當是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出點的坐標．【分析】（1）將、點坐標代入二次函數(shù)表達式即可求解，同理可得直線的表達式；（2）①，，即可求解；②，即可求解；（3）是以為腰的等腰三角形時，點的位置如圖所示、、，分別求解即可．【解答】解：（1）將、點坐標代入二次函數(shù)表達式得：，解得：，故拋物線的表達式為：；設：直線的表達式為：，將、坐標代入上式得：，解得：，故直線的表達式為：；（2）①設，則點，，，當時，取得最大值為2，此時點；②，，當時，最大值為，此時點；（3）是以為腰的等腰三角形時，點的位置如圖所示、、，當，即點處于點的位置，，即點坐標為，，同理可得點、的坐標為，、，．點的坐標為，或，或，．（二）兩動一定例3.如圖，拋物線交軸于，兩點，交軸于點．直線經(jīng)過點，．（1）求拋物線的解析式；（2）點在拋物線在第一象限內的圖象上，過點作軸的垂線，垂足為，交直線于點，連接，設點的橫坐標為．①當是等腰三角形時，求的值；②過點作直線的垂線，垂足為．點關于直線的對稱點為，當點落在坐標軸上時，請直接寫出點的坐標．【分析】（1）先由直線求出，的坐標，再將其代入拋物線中，即可求出拋物線解析式；（2）①用含的代數(shù)表示出，的坐標，再求出含的代數(shù)式的的長度，將等腰三角形分三種情況進行討論，即可分別求出的值；②當點落在坐標軸上時，存在兩種情形，一種是點落在軸上，一種是點落在軸上，分情況即可求出點的坐標．【解答】解：（1）直線經(jīng)過，，，，拋物線交軸于點，交軸于點，，，，拋物線的解析式為；（2）點在拋物線在第一象限內的圖象上，點的橫坐標為，，，①軸，交直線于點，，，，，，當時，，解得，（舍去）；當時，，即，，解得，（舍去）；當時，取中點，作于，則，，，，，，，，解得，（舍去），綜上，當是等腰三角形時，的值為，2，；②，，，理由如下，當點落在坐標軸上時，存在兩種情形：如圖，當點落在軸上時，點在直線上，，解得，（舍去），；如圖，當點落在軸上時，△，，，，，，在中，，，，，綜上所述，當點落在坐標軸上時，點的坐標為或，．例4.拋物線與軸交于，兩點，頂點為，對稱軸交軸于點，點為拋物線對稱軸上的一動點（點不與，重合）．過點作直線的垂線交于點，交軸于點．（1）求拋物線的解析式；（2）當?shù)拿娣e為5時，求點的坐標；（3）當為等腰三角形時，請直接寫出點的坐標．【分析】（1）函數(shù)的表達式為：，即可求解；（2）確定、的表達式，聯(lián)立求得點，，，即可求解；（3）分當、、三種情況，分別求解即可．【解答】解：（1）函數(shù)的表達式為：；（2）拋物線的對稱軸為，則點，設點，將點、的坐標代入一次函數(shù)表達式：并解得：函數(shù)的表達式為：，，故直線表達式中的值為，將點的坐標代入一次函數(shù)表達式，同理可得直線的表達式為：，解得：，故點，，，解得：或，故點或；（3）由（2）確定的點的坐標得：，，，①當時，即：，解得：或舍去），②當時，同理可得：，③當時，同理可得：（舍去，故點或或或過關檢測1.如圖，拋物線與軸交于、，與軸交于，且，，拋物線的對稱軸與軸交于，點從出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向運動到點止，過作軸的垂線交拋物線于點，交于點（1）求這個拋物線的解析式；（2）設點運動了秒時，的面積為，求關于的函數(shù)關系式，并求當最大時，點的坐標；（3）當點運動多長時間時，是等腰三角形？【分析】（1）根據(jù)，得出、、三點的坐標，再用待定系數(shù)法求解即可；（2）；由于、坐標已知，所以只需表示出、兩點的縱坐標之差即可，而、、三點的橫坐標相同，因此，設出點的橫坐標，將、兩點的縱坐標用橫坐標表示，這樣就把的面積表示成了關于點的橫坐標的二次函數(shù)，配方即可求出最大值，同時可求出點坐標；（3）分三種情況分別討論：；；．【解答】解：（1），，，，，設拋物線的解析式為，將點的坐標代入解析式可得：，拋物線的解析式為：；（2），，的解析式為，設點的坐標為，則，，，當，，此時，點的坐標為，；（3），，，，．設運動時間為，則，則，；①若，如圖1，則，，即：，解得：或（舍去）；②若，如圖2，則，即：，解得：；③若，如圖3，則，，即：，解得：；綜上所述：當運動時間為：1秒、秒、2秒時，是等腰三角形．2.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于原點和點，點在拋物線上．（1）求拋物線的表達式，并寫出它的對稱軸；（2）若點為線段上方拋物線上的一點，過點作軸的垂線，交于點，求線段長度的最大值．（3）求的值．（4）在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使得為以為腰的等腰三角形，若不存在，請說明理由，若存在，請直接寫出點的坐標．【分析】（1）把點，點分別代入，可求和的值，即可得到拋物線的表達式，根據(jù)拋物線的對稱軸，代入求值即可；（2）求出解析式為：，設點，則點，利用參數(shù)表示的長，由二次函數(shù)的性質可求解；（3）過點作，交于點，過點作，交于點，由等腰直角三角形的性質求出線段和的長，即可求解；（4）分點為頂點和點為頂點兩種情況討論，由兩點距離公式可求解．【解答】解：（1）把點，點分別代入得：，解得：，即拋物線的表達式為：，它的對稱軸為：；（2）把點代入得，則點的坐標為：，由點，得直線的解析式為：，設點，則點，，當時，的值最大，最大值為；（3）如圖1，過點作，交于點，過點作，交于點，，，，為等腰直角三角形，，，在等腰中，，，，；（4）存在，設點，若，點，點，點，，，，當時，點，點，點共線，不合題意舍去，點坐標為若，點，點，點，，，點坐標為或，綜上所述：點或或．3.在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點、、，已知，．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，為線段上一點，過點作軸的平行線，交拋物線于點，當為等腰三角形時，求點的坐標；（3）如圖2，拋物線的頂點為，軸于點，是直線上一動點，是軸一個動點，請直接寫出的最小值以及此時點、的坐標．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；（2）由待定系數(shù)法即可求得直線的解析式，再設，即可得，即可求得的長，然后分三種情況討論，求點的坐標；（3）如圖2，構造與軸成角，將轉化為線段到的距離，從而可知、、、在同一條直線上時，取最小值，根據(jù)的長和即可求出最小值．根據(jù)直線求出直線解析式，即求出坐標．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點、、，把，代入解析式得，，解得，．故該拋物線解析式為：．（2）令，解得，，即，設直線的解析式為，則，解得：，故直線的解析式為；設，，，，是等腰直角三角形，，當時，則，軸，，，，直線的解析式為，解得或，，此時；當時，則，，軸，點的縱坐標為3，代入得，，解得或，此時；當時，，，解得或，此時，；綜上，當為等腰三角形時，點的坐標為或或，．（3）的最小值為，坐標為，坐標為，．理由如下：如圖，取點坐標為，連接，，直線解析式為：，，，過點作，，，取最小值時，、、、在同一條直線上，即，設直線解析式為，故直線解析式為為，拋物線的頂點為坐標為，軸，在、上，坐標為，是軸一個動點，也是與軸交點，，．，，，綜上所述：的最小值為，坐標為，坐標為，．4.如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，頂點為，對稱軸交軸于點．（1）求該拋物線的一般式；（2）若點為該拋物線上第一象限內一動點，且點在對稱軸的右側，求四邊形面積的最大值及此時點的坐標；（3）若點為對稱軸上異于，的動點，過點作直線的垂線交直線于點，交軸于點，當為等腰三角形時，請直接寫出點的坐標．【分析】（1）將，，三點的坐標直接代入解析式即可求出、，的值；（2）過點作軸的平行線交于點，設點，求出直線的解析式為，可設，則，根據(jù)可得出的表達式，由二次函數(shù)的性質可求出答案．（3）設點，可得出點，，分當、、三種情況，得出的方程分別求解即可．【解答】解：（1）把，，，代入拋物線解析式得：，解得：，拋物線解析式為；（2）拋物線解析式為，拋物線的頂點的坐標為，對稱軸為，，過點作軸的平行線交于點，設點，設直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，可設，，，．當時，取得最大值，．此時．，．（3）拋物線的對稱軸為，則點，設點，將點、的坐標代入一次函數(shù)表達式：并解得：函數(shù)的表達式為：，，故直線表達式中的值為，將點的坐標代入一次函數(shù)表達式，同理可得直線的表達式為：，解得：，故點，，，，，①當時，，解得：或（舍去），．②當時，，解得：，或．③當時，，解得：或（舍去）．．綜合以上可得點的坐標為或或或．

二.等邊三角形存在性問題內容講解例1.如圖，拋物線經(jīng)過點，與軸相交于，兩點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點在拋物線的對稱軸上，且位于軸的上方，將沿直線翻折得到△，若點恰好落在拋物線的對稱軸上，求點和點的坐標；（3）設是拋物線上位于對稱軸右側的一點，點在拋物線的對稱軸上，當為等邊三角形時，求直線的函數(shù)表達式．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，把點，，的坐標代入得到方程組求解即可；（2）設拋物線的對稱軸與軸交于點，則點的坐標為，，由翻折得，求出的長，可得，求出的長，則坐標可求；（3）由題意可知△為等邊三角形，分兩種情況討論：①當點在軸的上方時，點在軸上方，連接，．證出△，可得垂直平分，則點在直線上，可求出直線的解析式，②當點在軸的下方時，點在軸下方．同理可求出另一直線解析式．【解答】解：（1）由題意得：解得，拋物線的函數(shù)表達式為．（2）拋物線與軸交于，，，拋物線的對稱軸為直線，如圖，設拋物線的對稱軸與軸交于點，則點的坐標為，，由翻折得，在中，由勾股定理，得，點的坐標為，，，，由翻折得，在中，，點的坐標為．（3）解：取（2）中的點，，連接，，，△為等邊三角形．分類討論如下：①當點在軸的上方時，點在軸上方，連接，．，△為等邊三角形，，，，，△，．點在拋物線的對稱軸上，，，又，垂直平分，由翻折可知垂直平分，點在直線上，設直線的函數(shù)表達式為，則，解得，直線的函數(shù)表達式為．②當點在軸的下方時，點在軸下方．，△為等邊三角形，，，．，△，，，，．，設與軸相交于點，在中，，點的坐標為．設直線的函數(shù)表達式為，則，解得，直線的函數(shù)表達式為．綜上所述，直線的函數(shù)表達式為或．例2.如圖，已知直線與拋物線相交于，兩點，且點坐標為，點在軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點，使與全等？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點是軸上一點，且為直角三角形，求點的坐標；（4）拋物線上是否存在一點，使為等邊三角形？若存在求出的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）已知點坐標可確定直線的解析式，進一步能求出點的坐標．點是拋物線的頂點，那么可以將拋物線的解析式設為頂點式，再代入點的坐標，依據(jù)待定系數(shù)法可解．（2）首先由拋物線的解析式求出點的坐標，在和中，已知的條件是公共邊，若與不相等，那么這兩個三角形不能構成全等三角形；若等于，那么還要滿足的條件為：，各自去掉一個直角后容易發(fā)現(xiàn)，點正好在第二象限的角平分線上，聯(lián)立直線與拋物線的解析式，直接求交點坐標即可，同時還要注意點在第二象限的限定條件．（3）分別以、、為直角頂點，分類進行討論．找出相關的相似三角形，依據(jù)對應線段成比例進行求解即可．（4）根據(jù)等邊三角形的邊相等，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得點坐標，根據(jù)點的坐標滿足函數(shù)解析式，點在函數(shù)圖象上；否則，點不在函數(shù)圖象上．【解答】解：（1）把代入，得，，令，解得：，的坐標是．為頂點，設拋物線的解析為，把代入得：，解得，．（2）存在．，，當時，，此時平分第二象限，即的解析式為．設，則，解得，舍），，．（3）①如圖，當時，，，即，，，即；②如圖，當時，，，即，，即；③如圖，當時，作軸于，則△，，即，，或3，即，．綜上，點坐標為或或或．（4）拋物線上不存在一點，使為等邊三角形，理由如下：設，由為等邊三角形，得，由①，得③，把③代入②，得．解得，，，，，，，．將代入拋物線的解析式，當時，，不在拋物線上；當時，不在拋物線上；綜上所述：拋物線上不存在一點，使為等邊三角形．過關檢測1.如圖，拋物線經(jīng)過原點，與軸的另一個交點為，將拋物線向右平移個單位得到拋物線，交軸于，兩點（點在點的左邊），交軸于點．（1）求拋物線的解析式及頂點坐標；（2）以為斜邊向上作等腰直角三角形，當點落在拋物線的對稱軸上時，求拋物線的解析式；（3）若拋物線的對稱軸存在點，使為等邊三角形，求的值．【分析】（1）把及代入，求出拋物線的解析式，即可求出拋物線的頂點坐標，（2）先求出的解析式，確定，，的坐標，過點作對稱軸，垂足為，利用為等腰直角三角形，求出角的關系可證得，再由列出方程求解得出的值，即可得出的解析式．（3）連接，，由拋物線對稱性可知，由為等邊三角形，可得，，由，，三點在以點為圓心，為半徑的圓上，可得，利用勾股定理求出，列出方程求出的值即可．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過原點，與軸的另一個交點為，，解得，拋物線的解析式為，拋物線的頂點坐標，（2）如圖1，拋物線向右平移個單位得到拋物線，的解析式為，，，，過點作對稱軸，垂足為，為等腰直角三角形，，，，，，，，，由得，解得，（舍去），拋物線的解析式為：．（3）如圖2，連接，，由拋物線對稱性可知，為等邊三角形，，，，，三點在以點為圓心，為半徑的圓上，，，由勾股定理得，，解得，（舍去），．

學習任務1.如圖，拋物線與直線在第一象限內交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）在軸上是否存在一點，使是以為腰的等腰三角形？若存在，請你求出點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）過點作直線平行軸且交拋物線于點，在軸的正半軸上找一點，使得，連接交軸于點，直線上是否存在一點使得的面積與的面積相等？若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由．【分析】（1）先利用正比例函數(shù)解析式求出點坐標，再把求得的點坐標代入二次函數(shù)解析式中，便可求得拋物線的解析式；（2）設點的坐標為，分兩種情況：當時；當時．列出的方程便可求得結果；（3）先用待定系數(shù)法求出直線、、的解析式，再分再種情況：當點與點直線同旁時；當點與在直線兩旁時，分別求出點坐標便可．【解答】解：（1）把代入中，得，，把代入中，得，拋物線的解析式為；（2）設點的坐標為，當時，有，解得，，或，此時點的坐標為，或，；當時，有，解得，（舍，或，此時點坐標為，綜上，在軸上是否存在一點，使是以為腰的等腰三角形，其點坐標為，或，或；（3）過點作直線平行軸且交拋物線于點，，，，，設直線的解析式為：，則，解得，，直線的解析式為：，，同理得，的解析式為，直線的解析式為，直線的解析式為，，當點與點在直線同旁時，的面積與的面積相等，，即點在上，為與的交點，聯(lián)立方程組，解得，，此時，當點與點直線兩旁時，延長到，使得，過作，與交于點，，的面積與的面積相等，，設的解析式為，把代入，得，的解析式為，聯(lián)立方程組，解得，，；綜上，直線上存在一點使得的面積與的面積相等，其點坐標為或．2.如圖，拋物線經(jīng)過的三個頂點，已知軸，點在軸上，點在軸上，且．（1）求拋物線的對稱軸；（2）寫出，，三點的坐標并求拋物線的解析式；（3）探究：若點是拋物線對稱軸上且在軸下方的動點，是否存在是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點坐標；不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)拋物線的解析式，利用對稱軸公式，可直接求出其對稱軸．（2）令，可求出點坐標，由軸可知，關于拋物線的對稱軸對稱，可求出點坐標，根據(jù)可求出點坐標．（3）分三種情況討論：①以為腰且頂角為，先求出的值，再利用等腰三角形的性質結合勾股定理求出的長，即可求出的坐標；②以為腰且頂角為角，根據(jù)的長和的長，求出的縱坐標，已知其橫坐標，可得其坐標；③以為底，頂角為角時，依據(jù)△即可求出和的長，可得坐標．【解答】解：（1）拋物線的對稱軸；（2分）（2）由拋物線可知，對稱軸，，，又，，在中，由勾股定理，得，，，，（5分）把點坐標代入中，解得，（6）．（7分）（3）存在符合條件的點共有3個．以下分三類情形探索．設拋物線對稱軸與軸交于，與交于．過點作軸于，易得，，，．①以為腰且頂角為角的有1個：△．（8分）在中，，，．（9分）②以為腰且頂角為角的有1個：△．在中，（10分），．（11分）③以為底，頂角為角的有1個，即△．畫的垂直平分線交拋物線對稱軸于，此時平分線必過等腰的頂點．過點作垂直軸，垂足為，，，，，．．于是，（13分）．（14分）3.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，與軸交于點．若點，同時從點出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別沿，邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．（1）直接寫出二次函數(shù)的解析式；（2）當，運動到秒時，將沿翻折，若點恰好落在拋物線上點處，求出點坐標；（3）當點運動到點時，點停止運動，這時，在軸上是否存在點，使得以，，為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出點坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將，兩點的坐標代入二次函數(shù)解析式中，求得、，進而可求解析式；（2）如圖，點關于與點對稱，過點作于，根據(jù)軸對稱的性質及已知條件可得，那么四邊形為菱形．由，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出，，得到．又，所以．將點坐標代入二次函數(shù)解析式，進而求解即可；（3）以，，為頂點的三角形為等腰三角形時，分三種情況進行討論：①；②；③．可通過畫圖得點大致位置，再利用勾股定理，等腰三角形的性質求解．【解答】解：（1）二次函數(shù)的圖象與軸交于，，，解得，二次函數(shù)的解析式為；（2）如圖，點關于與點對稱，過點作于，，，，，四邊形為菱形．，，，，，．，．在二次函數(shù)上，，，或（與重合，舍去），；（3）存在滿足條件的點，點的坐標為，或，或或．如圖，過點作于，此時，，，，，，，，，．，，，，．①作的垂直平分線，交軸于，此時，即為等腰三角形．設，則，，在中，，解得，，，，點在軸的負半軸上；②以為圓心，長半徑畫圓，交軸于，此時，，，，，；③當時，，或，或．綜上所述，存在滿足條件的點，點的坐標為，或，或或．4.如圖，拋物線交軸于，兩點，與軸交于點，連接，．點是第一象限內拋物線上的一個動點，點的橫坐標為，過點作軸，垂足為點，交于點．（1）求此拋物線的表達式：（2）過點作，垂足為點，請用含的代數(shù)式表示線段的長，并求出當為何值時有最大值，最大值是多少？（3）試探究點在運動過程中，是否存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點的坐標，若不存在，請說明理由．【分析】（1）由二次函數(shù)交點式表達式，即可求解．（2）由即可求解．（3）分、、三種情況，當時，構造直角三角形利用勾股定理可求坐標，時，先求再求，即可得到坐標，時，聯(lián)立解得不合題意．【解答】解：（1）由二次函數(shù)交點式表達式得：，即：，解得：，則拋物線的表達式為，（2）設點，則點，，，，，有最大值，當時，的最大值為．（3）存在，理由：點、、的坐標分別為、、，則，，，，將點、的坐標代入一次函數(shù)表達式：并解得：①，同理可得直線的表達式為：，設直線的中點為，，過點與垂直直線的表達式中的值為，同理可得過點與直線垂直直線的表達式為：②，①當時，如圖1，則，設：，則，由勾股定理得：，解得：或4（舍去，故點，②當時，如圖1，，則，則，故點，．③當時，聯(lián)立①②，，解得，（舍去），綜上所述點的坐標為：或，．5.如圖，拋物線的解析式為，拋物線與軸交于、兩點點在點的左側），與軸交于點，拋物線對稱軸與直線交于點．（1）點是線段上方拋物線上一點，過點作